Lý thuyết dây loại II

CHƯƠNG 3: LÝ THUYẾT DÂY LOẠI II

3.3 Lý thuyết dây loại II

3.3.1 Trường vật lý trong lý thuyết dây loại II

Như đã trình bày trong Chương I, trạng thái của dây đóng có thể coi là tích tensơ các trạng thái của hai dây mở. Vì dây cơ bản trong lý thuyết dây loại II là đóng, cho nên, khi cặp đôi các điều kiện biên tuần hoàn (điều kiện Ramond) và phản tuần hoàn (điều kiện Neveu-Schwarz) cho các thành phần của tọa độ spinơ, các trạng thái của dây đóng sẽ có thể ở một trong 4 khu vực với số trường vật lý giống nhau: Ramond - Ramond (R-R), Ramond - Neveu-Schwarz (R-NS), Neveu-Schwarz - Ramond (NS-R) và Neveu-Schwarz - Neveu-Schwarz (NS-NS).

Trong khu vực Ramond, trạng thái chân không là spinơ, trong trạng thái Neveu- Schwarz, trạng thái ứng với không có kích thích là tachyon, do vậy, trạng thái chân không sẽ tương ứng với mức nghĩa là thấp nhất, đó là là b1/2 0 .

Việc trong lý thuyết có trạng thái tachyon mang đến nhiều hệ lụy. Một là nó dẫn đến tính không bền vững của trạng thái chân không. Tiếp theo là nó gây nên sự vi phạm siêu đối xứng, vốn cần thiết để xây dựng lý thuyết dây tương tác. Để giải quyết vấn đề này, Gliozzi, Scherk và Olive đã đề xuất một phương án, đó là áp đặt điều kiện lên các trạng thái, sao trạng thái có số chẵn dao động tử b phải bị loại bỏ. Bằng việc này, các trạng thái tachyon cũng đƣợc loại bỏ.

Ta biết rằng, khu vực R không chứa tachyon, cho nên, ta chỉ quan tâm đến khu vực NS. Ta xét toán tử sau đây, gọi là G-chẵn lẻ hay toán tử chiếu GSO:

   1 F 1 s 1/ 2b bis si

G







    (3.14)

Vì F là số dao động tử fermion, cho nên, trạng thái có số F chẵn đƣợc gọi là G-chẵn và trạng thái có F lẻ trạng thái G-lẻ. Toán tử chiếu GSO khi tác dụng lên trạng thái sẽ chỉ giữ lại trạng thái G-lẻ. Trạng thái chân không không có dao động tử b, nó sẽ bị loại bỏ.

Đối với khu vực R, tùy thuộc vào chirality của trạng thái cơ bản ta sẽ có các trạng thái kích thích với tính chẵn lẻ khác nhau. Khi đó, ta có hai lý thuyết dây khác nhau tùy thuộc vào tính chẵn lẻ của khu vực Ramond cho mode chuyển động phải và chuyển động trái là cùng dấu hay ngƣợc dấu nhau. Trong lý thuyết loại IIB các trạng thái cơ bản thuộc khu vực R có cùng chirality, và ta sẽ chọn nó là dương. Ta ký hiệu chúng là

 R. Trong trường hợp đó, bốn khu vực của lý thuyết loại IIB sẽ là:

56

1/2 1/2

1/2

1/2

0 0

0

0

R R

i j

NS NS

i

NS R

i

R NS

b b

b

b

 





  



 

 

(3.14)

Bởi vì

 R là một spinơ 8-thành phần, ta chỉ chọn thành phần ngang, cho nên, mỗi khu vực sẽ có 8 8 64 trạng thái vật lý.

Đối với lý thuyết dây loại IIA, trạng thái cơ bản thuộc khu vực R trái và phải có chirality trái dấu nhau. Những trạng thái không khối lƣợng trong phổ của nó là:

1/2 1/2

1/2

1/2

0 0

0

0

R R

i j

NS NS

i

NS R

i

R NS

b b

b

b

 





  



 

 

(3.15)

Nhƣ vậy:

Khu vực NS-NS: Trong khu vực này còn có một trường vô hướng, gọi là dilaton (một trạng thái). Có một trường chuẩn diễn tả bằng tensơ phản đối xứng (28 trạng thái), được coi là trường axion, và như vậy chúng sẽ là trường thành phần của siêu hấp dẫn.

Cuối cùng là tensơ hạng hai đối xứng, (35 trạng thái), chúng diễn tả trường hấp dẫn, graviton.

Khu vực NS-R và R-NS: Trong mỗi khu vực có chứa một spinơ hạng 3, spin 3/2. Đõy được coi là trường gravitino (56 trạng thỏi). Spinơ diễn tả hạt fermion spin ẵ, được coi là dilatino (8 trạng thái), hạt siêu đồng hành của dilaton. Trong trường hợp IIB, hai gravitino có cùng chirality, trong khi ở IIA chúng có chirality trái nhau.

Khu vực R-R: Những trạng thái này là boson thu đƣợc bằng tích tensơ của cặp hai spinơ Majorana-Weyl. Trong trường hợp IIA, hai spinơ Majorana-Weyl có chirality trái nhau. Trong khu vực này có một trường chuẩn vectơ (8 trạng thái). Một tensơ phản đối xứng hạng 3 (56 trạng thái). Trạng thái này dẫn đến việc tồn tại Dp-brane với p5 . Trong trường hợp IIB, hai spinơ Majorana-Weyl có cùng chirality. Có một trường vô hướng trường chuẩn (một trạng thái), một tensơ trường chuẩn phẩn đối xứng cấp 2 (28 trạng thái) và một tensơ trường chuẩn phản đối xứng cấp 4. Nó là tensơ cường độ trường chuẩn tự đối ngẫu (35 trạng thái).

Một trường vectơ có thể diễn tả tiện lợi bằng một dạng vi phân cấp 1. Ví dụ, ta xét không gian vectơ ba chiều. Một vectơ AA A Ax, y, zA A A1, 2, 3 sẽ tương ứng với dạng vi phân cấp 1:

57

x y z

A dx A dy A dz

  

Khi đó, vi phân ngoài d là một toán tử sẽ biến một dạng vi phân cấp n thành dạng vi phân cấp n1 theo quy tắc:

x x x

y y y

z z z

A A A

d dx dx dy dx dz dx

x y z

A A A

dx dy dy dy dz dy

x y z

A A A

dx dz dy dz dz dz

x y z

     

  

  

     

  

  

     

  

trong đó, tích nêm  là phản đối xứng, và do đó dxdx0, dxdy  dy dx. Nhƣ vậy:

y x z y x z

A A A A A A

d dx dy dy dz dz dx

x y y z z x

            Đây là dạng vi phân cấp hai tương ứng với vectơ rotA. Hiển nhiên:

  2 ,

d d d  

Nhƣ vậy, d2 0, điều này nghĩa là vi phân ngoài là toán tử nilpoten.

Hàm số đƣợc gọi là dạng vi phân cấp 0. Nó còn đƣợc gọi là 0 dạng. Dạng vi phân cấp 1, đƣợc gọi là 1 dạng, dạng vi phân cấp 2 là 2 dạng,…

Với ngôn ngữ dạng vi phân, trường chuẩn vectơ là 1 dạng, còn tensơ phản đối xứng là vi phân ngoài của dạng vi phân cấp 1 và nó là 2 dạng.

Nếu cho vectơ AA A A1, 2, 3, khi đó, tensơ:

ik ikl l

B  A

trong đó, ikl là ký hiệu Levi-Civita. Tensơ Bik là phản đối xứng và nó sẽ tương ứng với một dạng vi phân cấp 2. Cấp của nó là n 1 2, với n là chiều của không gian.

Tensơ Bik xác định 2 dạng và nó đƣợc gọi là đối ngẫu của của 1 dạng.

Trong trường hợp n4, đối ngẫu 2 dạng cũng là 2 dạng.

Trong trường hợp n8, không gian các thành phần ngang của vectơ trong không gian 10 chiều, 3 dạng có đối ngẫu là 5 dạng, 4 dạng có đối ngẫu là 4 dạng.

Một dạng vi phân là tự đối ngẫu nếu nó trùng với đối ngẫu của nó.

Bằng ngôn ngữ dạng vi phân, nội dung trường vật lý của các lý thuyết dây loại II sẽ đƣợc diễn tả nhƣ sau:

Siêu dây loại IIA. Gồm các trường vật lý như sau:

a) Khu vực NS-NS: Những trạng thái không khối lƣợng nằm trong tensơ cấp 2:

58

 

, ,

1/2 1/2 0, 0

i L J R ij ij

b b  A x   (3.16)

Nó thực hiện biểu diễn tensơ của nhóm các thành phần ngang SO(8). Biểu diễn này đƣợc phân tích thành các biểu diễn bất khả quy sau đây:

- Biểu diễn một chiều, đó là trường vô hướng  x ij  1 (hạt “dilaton”) - Biểu diễn 28 chiều, bằng 2dạng phản đối xứng Bij x  Bji x có

  

1 2 3

2 D D 28 chiều (hạt “axion”) và

- trường tensơ đối xứng không vết Gij x Gji x , Gii0 có

  

1 2 1 1

2 D D   35 chiều (trường “graviton”).

b) Khu vực NS-R: Một vectơ gồm các chiral spinơ:

 

, 1/2 0,

i L i

b   x Nó đƣợc phân tích thành:

- một spinơ chiral spin 1/2:  x  i i x có 8 chiều (hạt “dilatino”),

- một trường có spin 3/2: i x với  i i x 0 có D22 8 56 chiều

(hạt “gravitino”).

c) Khu vực R-NS: giống nhƣ trên:

- một dilatino có 8 chiều, và - một gravitino có 56 chiều.

Chirality của các trạng thái này trái dấu với chirality của các trạng thái NS-R.

d) Khu vực R-R: Là tích của spinơ chiral trái với spinơ chiral phải, 8L8R. Cách thức phân tích tích tensơ này thành các biểu diễn bất khả quy của nhóm SO(8) đƣợc thực hiện bằng cách chèn ma trận gamma vào giữa tích của chúng:

1... ik

i

L R

    (3.17)

Mode trái và phải có chirality ngược nhau. Vì tất cả các tích vô hướng giữa các trạng thái có chirality trái ngƣợc nhau bằng không, cho nên, chỉ có tích số lẻ ma trận gamma mới cho đóng góp khác không. Nếu tích có nhiều hơn 4 ma trận gamma, nhờ đại số Clifford, tích của chúng sẽ đƣợc biểu diễn thông qua tổng của những tích có số ma trận gamma ít hơn.

Từ đó suy ra, 64 trạng thái sẽ đƣợc tách thành các nhóm các trạng thái sau:

- một trạng thái vectơ   L i R C xi  8 chiều, và

59

- một 3dạng phản đối xứng Cijk      L i j k R có 8 7 6 3!

   56 chiều.

Siêu dây loại IIB. Ba khu vực đầu tiên của nó cũng giống nhƣ của siêu dây loại IIA:

– NS-NS:

- một trường vô hướng, 1.

- một 2dạng phản đối xứng Bij x  Bji x ,  35.

- trường tensơ đối xứng không vết Gij x Gji x , Gii 0,  35.

– NS-R và R-NS: (cả hai có cùng chirality):

- một trường chiral Majorana có spin 1/2  có 8 chiều (dilatino), và - trường gravitino  , spin 3/2, có 56 chiều.

Khu vực R-R khác với trường hợp siêu dây loại IIA:

– R-R: Trạng thái 8L 8L chỉ chấp nhận dãy gồm số chẵn các ma trận gamma, cho nên ta có

- một trường vô hướng, C x   L L 1 chiều,

- một trường 2dạng phản đối xứng Cij  Cji     L i j L  28 và - một trường 4dạng tự đối ngẫu:

1...4 1 4 1 8 7 6 5

... 2 24

i i i i

L L

C           

  35

60 KẾT LUẬN