Chuyên đề số chính phươngg

Như vậy để chứng minh một số không phải số chính phương ta chỉ ra số đó có hàng đơn vị là e.. Bài 7: Chứng minh rằng tổng bình phương của hai số lẻ bất kỳ không phải là SCP không phải s

Như vậy để chứng minh một số không phải số chính phương ta chỉ ra số đó có hàng đơn vị là

)

e Số các ước số của một số chính phương là số lẻ, ngược lại một số có số lượng các ước là lẻ thì đó là số chính phương

f Nếu số chính phương chia hết cho p thì chia hết cho p2

g Nếu a.b là SCP và (a,b) = 1⇒

*) HỆ QUẢ : Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4

- Số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 25

- Số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9

- Số chính phương chia hết cho 8 thì chia hết cho 16

Dạng 1: Chứng minh một số là số chính phương

- Ta Biến đổi để đưa số đó về bình phương của một số tự nhiên

Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên x, y thì

4 ( )( 2 )( 3 )( 4 )

Vì n2 là số chính phương nên n không thể có chữ số tận cùng là 3 hoặc 8 nên n2 + 2 không

chia hết cho 5, hay

2 5(n + 2)

không phải là số chính phương

Bài 4: Cho hai số chính phương liên tiếp CMR tổng của hai số đó cộng với tích của chúng là

một số chính phương lẻ

Lời giải

Gọi hai số chính phương liên tiếp lần lượt là: a2 và

2 (a+ 1) (a Z∈ )

Bài 7: Chứng minh rằng tổng bình phương của hai số lẻ bất kỳ không phải là SCP

không phải số chính phương

Bài 8: Cho 5 số chính phương bất kỳ có chữ số hàng chục khác nhau còn chữ số hàng đơn vị

đều là 6 Chứng minh rằng tổng các chữ số hàng chục của 5 số chính phương đó là một số CPLời giải

Cách 1: Ta đã biết một số chính phương có chữ số hàng đơn vị là 6 thì chữ số hàng chục là lẻ

Vì vậy chữ số hàng chục của 5 số chính phương đã cho là : 1, 3, 5, 7, 9

Khi đó tổng của chúng là : 25 = 52 là số chính phương

Cách 2: Nếu một số chính phương M = a2 có chữ số hàng đơn vị là 6 thì chữ số tận cùng của

b Chứng minh rằng 1997 1998

11 1122 225

B=142 43 14 2 43

là số chính phươngLời giải

3

n n

Bài 12: Khó Cho một dãy số có số đầu tiên là 16, các số sau được tạo ra bằng cách viết thêm

số 15 vào chính giữa số liền trước nó: 16, 1156, 111556,… Chứng minh rằng mọi số của dãy đều là số chính phương

Dạng 2: Tìm giá trị của biến để biểu thức là số chính phương

Bài 1: Tìm số tự nhiên n sao cho các số sau là số chính phương

Vậy n=13k±8k+1(k N∈ )

thì 13n + 13 là số chính phương

Vì m + n + 2 > m + n – 2 nên có 3 trường hợp xảy ra.

Bài 2: Tìm số tự nhiên n có hai chữ số, biết rằng 2n + 1 và 3n + 1 đều là các số chính phương

Bài 3: Tìm số tự nhiên n có hai chữ số sao cho nếu cộng số đó với số có hai chữ số ấy viết

theo thứ tự ngược lại thì ta được một số chính phương

có 8 số là :

29, 38, 47, 56, 65, 74, 83, 92

Bài 4: Tìm tất cả số tự nhiên n sao cho :

2 14 256

n − n−

là một số chính phươngLời giải

Ta có vế trái của đẳng thức là số chính phương nên vế phải cũng là số chính phươngMột số chính phương chỉ có thể có chữ số tân cùng là 0, 1, 4, 5, 6, 9

không phải là số chính phương

Vậy không có giá trị nào của n thỏa mãn bài toán

Bài 2: Tìm số tự nhiên n sao cho các số sau là số chính phương

Ta có thể viết (2n + 3 + 2a)(2n + 3 – 2a) = 9.1 ⇔

2n 2a 3 9 n 1 2n 2a 3 1 a 2

Bài 3: Tìm a để các số sau là những số chính phương

Vậy không tồn tại số tự nhiên n để 2006 + n2 là số chính phương.

Bài 5: Tìm số tự nhiên n ≥ 1 sao cho tổng 1! + 2! + 3! + … + n! là một số chính phương

(Đề thi HSG lớp 6 - Phòng giáo dục đào tạo Phúc Yên - Vĩnh Phúc)

Bài 6: Tìm số tự nhiên n có 2 chữ số biết rằng 2n + 1 và 3n + 1 đều là các số chính phương.

q = 5 và p – q = 2 ⇒

p = 7 ⇒

n = 5 + 7 = 12Thử lại ta có: 28 + 211 + 2n = 802

Bài 8: Tìm số nguyên tố ab (a > b > 0) sao cho ab ba−

Bài 1: Tìm số chính phương có bốn chữ số, biết rằng 2 chữ số đầu giống nhau, hai chữ số

cuối giống nhau

Lời giải

Gọi số chính phương cần tìm là :

2 aabb =n a b N( , ∈ ,1 ≤ ≤a 9,0 ≤ ≤b 9)

Bài 5: Tìm STN có hai chữ số, biết rằng hiệu các bình phương của hai số đó và số viết bởi

hai chữ số đó nhưng theo thứ tự ngược lại là một số chính phương

Bài 6: Tìm một số chính phương gồm bốn chữ số sao cho chữ số cuối là số nguyên tố, căn

bậc hai của số đó có tổng các chữ số là một số chính phương

Tổng các chữ số của k là số chính phương nên k = 45 ⇒abcd =2025

Bài 7: Cho A là số chính phương gồm bốn chữ số Nếu ta thêm vào mỗi chữ số của A một

đơn vị thì ta được một số chính phương Hãy tìm các số A và B

Bài 8: Tìm SCP gồm bốn chữ số, biết rằng khi ta cộng thêm 1 đơn vị vào chữ số hàng nghìn,

thêm 3 vào chữ số hàng trăm, thêm 5 vào chữ số hàng chục, thêm 3 vào chữ số hàng đơn vị tavân được một số chính phương

Bài 9: Tìm một số chính phương gồm bốn chữ số biết rằng số gồm hai chữ số đầu lớn hơn số

gồm hai chữ số sau 1 đơn vị

Bài 11: Cho A là số chính phương gồm 4 chữ số Nếu ta thêm vào mỗi chữ số của A một đơn

vị thì ta được số chính phương B Hãy tìm các số A và B

Lời giải

Gọi A =

2

k abcd =

Nếu thêm vào mỗi chữ số của A một đơn vị thì ta có số

B =

2

) 1 )(

1 )(

1 )(

Bài 12: Tìm số chính phương có 4 chữ số biết rằng 2 chữ số đầu giống nhau, 2 chữ số cuối

Bằng phép thử với a = 1; 2;…; 9 ta thấy chỉ có a = 7 thoả mãn ⇒

⇒ abcd

= 2025

Vậy số phải tìm là: 2025

Bài 14: Tìm một số chính phương có 4 chử số sao cho khi viết 4 chử số đó theo thứ tự ngược

lại ta củng được một số chính phương và số chính phương này là bội số của số chính phương cần tìm

Vì dcba là bội của abcd

=> abcd vừa phải chia hết cho 11 vừa phải chia hết cho 3 tức là bội số của 33

Bài 16: Tìm số chính phương có 4 chữ số mà hai chử số đầu giống nhau và hai chữ số cuối

giống nhau

Lời giải

Giả sử xxyy là một số chính phương ta có:

Bài 17: Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết rằng hiệu các bình phương của số đó và viết số bở

hai chữ số của số đó nhưng theo thứ tự ngược lại là một số chính phương

Nếu a – b = 4 kết hợp với a + b = 11 ⇒

a = 7,5 loại

Vậy số phải tìm là 65

Bài 18: Tìm một số chính phương có 4 chử số sao cho khi viết 4 chử số đó theo thứ tự ngược

lại ta củng được một số chính phương và số chính phương này là bội số của số chính phương cần tìm

abcd dcba a d b c

abcd dcba d a c b

Vì dcba là bội của abcd nên abcd vừa phải chia hết cho 11 vừa phải chia hết cho 3 tức là

bội số của 33 Mà 31 < M < 50 nên M = 33 và ta có:

có tận cùng là 6,

2 2013

có tận cùng là 9,

2 2012

có tận cùng là 4,

2 2011

có tận cùng là 1 Vậy A có chữ số tận cùng là 5 + 9 + 6 + 4 – 1 = 3

Bài 3: Không tính kết quả hãy cho biết các tổng, các hiệu sau có phải là SCP hay không ?

a 7.13.25.63.105 113+

A không có tận cùng là 2 hoặc 3 nên chữ số tận cùng của A là 0, 4

+) Nếu chữ số tận cùng của A là 0 suy ra chữ số hàng chục là 0 ( vô lý )

+) Nếu chữ số tận cùng của A là 4 suy ra chữ số hàng chục của A phải là số chẵn suy ra là 0 hoặc 2

Gọi 5 số tự nhiên liên tiếp là : n−2,n−1, ,n n+1,n+2(n N n∈ , ≥2)

Có các số:

2 3429;4329;2349;3249 57

loai

=

1 4 4 2 4 4 3

Dạng 5: Phương pháp phản chứng để giải các bài toán về số chính phương

Bài 1: Chứng minh rằng với ∀ ∈n N

, thì: 3 4

n+ không là số chính phương Lời giải

(*) / 3

3 4 : (*) 3

n VT

Voly khonglaSCP VP

Lời giải

Giả sử có hai số chính phương : m2 và n2 thỏa mãn điều kiện ban đầu, tức là : m2 – n2 = 10002

Với giả thiết m > n ⇔(m n m n− )( + =) 10002

n + =m m N∈ ⇔ m −n = ⇒dpcm

M M

Đặt S =abc bca cab+ + =111(a b c+ + =) 3.37(a b c+ + )

13n + = 2 m (*)

13 2 : 4 : 3

chia du

n + ⇒du ⇒khongtontai

+) Nếu m, n chẵn

(*) : 4 2

(*) 4

voly dpcm VP

Dạng 6: Sử dụng tính chất chia hết để giải bài toán số chính phương

Có: AM3 nhưng A chia 9 dư 3 nên A không là số chính phương

Bài 4: Cho a, b, c là các số nguyên dương thỏa mãn:

+) Giả sử abc không chia hết cho 3 ⇒a b c, ,

không chia hết cho 3 ( 3 là số nguyên tố )

2 2 2 1(mod3) 1 1 1(mod3) 3(1)

+) Nếu trong 3 số a, b, c có ít nhất hai số chẵn thì abcM4(2)

+) Nếu trong 3 số có đúng 1 số chẵn và 2 số lẻ Ta thấy nếu a và b cùng lẻ thì c chẵn

Bài 5: Cho n là số nguyên dương sao cho 2n + 1 và 3n + 1 đều là các số chính phương, chứng

minh rằng n chia hết cho 40

Lời giải

Đặt

2n+ = 1 a ;3n+ = 1 b a b N( , ∈ )

Bài 8: Viết liên tiếp các STN từ 1 đến 101 thành dãy theo thứ tự tùy ý nào đó tạo thành số A

Chứng minh rằng A không là số chính phương

Lời giải

Dạng 7: Phương pháp kẹp để giải bài toán số chính phương

Nội dung phương pháp:

Dựa vào tính chất sau: Không tồn tại số chính phương nằm giữa hai số chính phương liên tiếpVd: 4, 9, 16, 25, …

Như vậy để chứng minh số K không phải SCP ta chỉ cần chỉ ra STN q sao cho:

Ta có :

2018 1009 2

2018 (2018 )

A> =

- Với n = 0, n = 1 thì không thỏa mãn

Lời giải

Dễ thấy:

n <n + <n n + n+ = +n →dpcm

Dạng 7 : Dựa vào các chú ý quan trọng sau

- Nếu x, y là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau có tích là 1 số chính phương thì x, y

là các số chính phương

2

, : ( , ) 1

Nên điều giả sử là sai ⇒ +(a b b c, − = ⇒ +) 1 a b b c; − ⇒lasochinhphuong

Bài 2: Cho n là số nguyên dương sao cho n2 là hiệu lập phương của hai số tự nhiên liên tiếp Chứng minh rằng n là tổng của hai số tự nhiên liên tiếp

Lời giải

Theo giả thiết :

2 ( 1) 3 3 ( ) 2 3 2 3 1 4 2 3(4 2 4 1) 1 3(2 1) 2 1

n = k+ −k k∈N ⇒n = k + k+ ⇒ n = k + k+ + = k+ +

2 (2n 1)(2n 1) 3(2k 1)