Đề thi khảo sát, chọn đội tuyểnMôn: Toán – Lớp 8.. Các điểm D; E theo thứ tự di chuyển trên cạnh AB; AC sao cho BD = AE.. Xác định vị trí D; E sao cho: a DE có độ dài nhỏ nhất; b Tứ giác
Trang 1Đề thi khảo sát, chọn đội tuyển
Môn: Toán – Lớp 8. Lớp 8 Năm học: 2005 - 2006.
Thời gian: 120 phút (Không kể giao đề).
Bài 1 (3 điểm):
Giả sử (a2 + b2)3 = (a3 + b3)2 và ab ≠ 0 Tìm giá trị của các biểu thức sau:
a) A = 2 2
a b +
a b +
b a
Bài 2 (2 điểm):
Xét hai biểu thức P = x + y + z
y+z x+z x+y;
Q = + + y+z z+x x+y a) Chứng minh rằng: Nếu P = 1 thì Q = 0;
b) Nếu Q = 0 thì có nhất thiết P = 1 hay không? Vì sao?
Bài 3 (2 điểm):
Cho tam giác ABC vuông cân tại A Các điểm D; E theo thứ tự di chuyển trên cạnh AB; AC sao cho BD = AE Xác định vị trí D; E sao cho:
a) DE có độ dài nhỏ nhất;
b) Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ nhất
Bài 4 (1 điểm):
Tìm tỉ lệ ba cạnh của một tam giác, biết rằng cộng lần lợt độ dài hai đờng cao của tam giác đó thì tỉ lệ các kết quả là 5:7:8
Bài 5 (2 điểm):
a) Cho các số a1; a2; a3; …; a2005 Biết rằng: k 2 2
2k+1
a = (k +k) với k = 1; 2; 3; ; 2005 Hãy tính tổng: S = a1+ a2 + a3+ … + a2005 ?
b) Gọi A là tổng của 10 số thực dơngvà B là tổng của 10 số nghịch đảo của chúng Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của A.B ?
- Giám thị không giải thích gì thêm !
Hớng dẫn chấm bài thi khảo sát, chọn đội tuyển
Môn: toán – lớp 8.
từng phần
Bài 1: Từ (a2 + b2)3 = (a3 + b3)2, khai triển và rút gọn 2 vế ta đợc:
3a2b2(a2 + b2) = 2a3b3 3(a2 + b2) = 2ab (Vì ab ≠ 0)
a +b2 2 =2
ab 3 (Chia cả 2 vế cho ab ≠ 0) a+b=2
b a 3 Từ đó:
1,5 đ
Trang 2a) A = 2 2
a b
+
b a = (a+b
b a )2 - 2 = (2
3)2 - 2 = … = 14
9
= 15
9
b) B = 3 3
a b
+
b a = (a+b
b a )3 - 3a b.
b a (a b
ba ) = … = 46= 119
27 27
0,75 đ 0,75đ
Bài 2:
a) Vì P= x + y + z
y+z x+z x+y = 1 (x + y + z)( x + y + z
y+z x+z x+y) = x + y + z
x y z xy xz xy yz zx zy
y+z x+z x+y x+z x+y y+z x+y y+z x+z = x + y + z
x y z xy zx xy zy xz yz
y+z x+z x+y y+z y+z x+z x+z x+y x+y
+ +
y+z x+z x+y + x + y + z = x + y + z
Q= + + y+z z+x x+y = 0
b) Nếu
Q= + +
y+z z+x x+y = 0, và tổng x + y + z ≠ 0, ta thực hiện phép
biến đổi tơng đơng ngợc với quá trình trên thì suy ra P = 1
Còn nếu x + y + z = 0 thì P = - 3
1 đ
1 đ
Bài 3: a) Gọi M và N là trung điểm của AB và
AC, sau đó kẻ DP và EQ MN.
Chứng minh: ∆MPD = ∆NQE (ch-gn)
MP = NQ PQ = MN.
Chứng minh: DE PQ
Vậy DE nhỏ nhất D M và E N.
b) Nhận xét: SBDEC = S ∆ABC - S ∆ADE ,
do đó S BDEC nhỏ nhất S ∆ADE lớn nhất,
mà 2.S ∆ADE = AD.AE
2
AD+AE 2
=
2
AB 2
Nên S ∆ADE lớn nhất AD = AE D M và E N.
Vậy S BDEC nhỏ nhất D M và E N
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
Bài 4:
Giả sử h +h a b h +h b c h +h c a
5 7 8 = h; theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau
ta tính đợc ha = 3h; hb = 2h và hc = 5h (1)
Nếu gọi S là diện tích tam giác đó thì ta có: aha = bhb = chc = 2S
thay (1) vào ta có dãy đẳng thức: a.3h = b.2h = c.5h 3a = 2b = 5c
a = b =c
10 15 6
Vậy: Ba cạnh tơng ứng của tam giác tỉ lệ với 10; 15 và 6
0,5 đ
0,5 đ
Bài 5:
a) Biến đổi:
2 2
2k+1 (k+1) -k 1 1
-(k +k) k (k+1) k (k+1) Thay k lần lợt bằng 1; 2; 3; …; 2005 sau đó cộng vế với vế 2005 đẳng
0,5 đ 0,5 đ
Q
B
E D
N
M
P
Trang 3thức vừa lập đợc, rồi rút gọn vế phải Ta đợc:
2
2 2006
2007 2005 2006
1
b) Gọi 10 số dơng đã cho là: x1; x2; x3; …; x10 Ta có :
9
A.B = (x +x + +x )( + + + )
x
A.B =10+ + + + + + + + + +
Có 90 :2 = 45 dấu ngoặc trong cách viết trên
Theo BĐT Cauchy ta có i j i j
+ 2 =2
x x x x , i; j = 1; 2; …; 10
Do đó A.B 10 + 90 = 100 Min A.B = 100 khi x1 = x2 = x3 = … = x10
0,5 đ
0,5 đ