Đề khảo sát đội tuyển Toán 9 Câu 1 (1,5 điểm).
Tìm các số tự nhiên dạng abcd biết abcd 11 và a = b + c, bc là số chính phơng
Câu 2(2 điểm) Cho:
36 12 2 3
78 29
2 : 6 6
6 7
4 1 4 3 1 2 1 4 4
− +
+ +
−
− +
−
−
−
+
+
−
=
x x
x x
x x x
x x x x
x x
-1,5
P
1 Rút gọn P
2 Tìm x để P = 15
Câu 3 (1,5 điểm): Giải phơng trình:
2 2x x
x 2x 2 + 8 + 6 + 2 − 1 = +
Câu 4 (1 điểm) Tìm đa thức P(x) biết:
P(x) chia cho (x -3) d 3
P(x) chia cho (x+4) d (- 4)
P(x) chia cho (x2 + x – 12) đợc (x2 + 3) và còn d
Câu 5(1 điểm): Tìm Min của:
2008
2008 +
−
= x 2008 x
P
Câu 6 (1 điểm): Cho a, b, c > 0 thoả mãn: 2
1
1 1
+
+ +
+
1
CMR:
8
1 abc ≤
Câu 7 (1 điểm): Qua điểm A của hình vuông ABCD cạnh a vẽ 1 đờng thẳng cắt
BC tại M và cắt DC tại I
CMR: giá trị của biểu thức:
2 2
AI AM
1
P = + 1 không phụ thuộc vào vị trí của M và I
Câu 8(1điểm): Cho O nằm trong ∆ABC Các tia AO, BO, CO cắt các cạnh của
∆ABC lần lợt tại A ′ , B ′ C ′ Tìm vị trí của O để :
C O
OC B
O
OB A
O
OA
P
′
+
′
+
′
đáp án
Trang 2Câu
1
Vì abcd 11 ⇒a+c−b−d 11
Mà a=b+c⇒ 2c−d 11 (1)
Mặt khác: − 9 ≤ 2c−d ≤ 18 ⇒ 2c−d∈{ }0 ; 1 (2)
Từ (1) và (2) ta có:
+TH1: 2c – d =0⇔ d = 2c≤ 9 ⇒c≤ 4 mà bc là số chính
ph-ơng
{0 ; 1 ; 4}
∈
⇒c
Nếu c =0 thì vô lí vì số chính phơng đã tận cùng là 0 thì
phảI có hai chữ số tận cùng là 00
Nếu c = 1 thì
=
=
⇒
=
=
⇒
=
2
9812 9
8 81
d
abcd a
b bc
Nếu c = 4
=
=
⇒
=
⇒
10
6 64
a
b
+TH2: 2c – d =11
{ 0 ; 1 ; 4 ; 5 ; 6 }
7 18
11 2
∈
⇒
≤
⇒
≤ +
=
⇒
c
c c
d
Mà c lẻ vậy c 1; 5
Nếu c=1
=
=
⇒
=
=
⇒
=
6
9816 8
9 81
d
abcd b
a
bc loại vì không chia hết cho 11
Nếu c=5
=
=
⇒
=
=
⇒
=
8
7258 2
7 25
d
abcd b
a
bc loại vì không chia hết cho 11
Vậy có duy nhất số 9812 thoả mãn
Câu
2
) 3 (
2
6 3
) 26 )(
3 (
) 6 3 )(
6 ( ) 6 ( 2
26 )
26 )(
3 (
) 6 3 )(
6 ( ) 6 ( 2
8 2 18 3
) 26 )(
3 (
) 6 3 )(
6 ( 6
4 2
3
) 6 3 )(
6 (
) 26 )(
3 ( : ) 1 )(
6 (
) 1 )(
4 ( 1
) 1 )(
1 ( 2
3
36 6 18 3
76 26 3 :
6 6
4 4
1
1 2
3
6
2 2
3 3
2
2 6
7
2 3 2
6
+
−
=
+ +
− +
+
+
= + +
− +
+
+
− +
=
+ +
− +
+
−
−
=
− +
+ +
− +
+
− +
− +
−
=
−
− +
+ + +
−
− +
− +
− +
−
−
=
x
x
x x
x x
x
x x
x
x x
x
x x
x x
x x
x x
x x
x x x
x
x x x
x x
x x x
x x x x
x x
x x x x
x P
Trang 3ĐKXĐ:
−
≠
≠
−
≠
−
≠
≠
26 2 3 1 1
x x x x x
b/
−
=
−
=
⇔
−
−
=
−
+
=
−
⇔
+
=
−
⇔
= +
−
⇔
=
9 28 9 32
30 10 2
30 10 2
3 10 2 15
6 2
6 3 15
x
x x
x
x x
x x
x
x P
Vậy với x=
9
32
− và x=
9
28
− thì |P| =15
Câu
3
Giải phơng trình: 2x2 + 8x+ 6 + x2 − 1 = 2x+ 2 (1)
ĐK
−
=
≥
1
1
x x
) 1 )(
1 ( ) 3 )(
1 ( 2
| 1
|
1 )
3 )(
1 ( 2 ).
1 )(
1 (
4 8 4 ) 6 8 2 )(
1 ( 2 1 6
8 2 )
1
(
2
2 2
2 2
2
+
−
= +
− +
⇔
−
= + +
− +
⇔
+ +
= + +
− +
− + + +
⇔
x x x
x x
x x
x x
x
x x x
x x
x x x
+ Nếu x =-1 thoả mãn
+ Nếu x ≥ 1 ta có PT:
−
=
=
⇔
−
= +
=
−
⇔
−
= +
−
⇔
−
= +
−
loai x
x x
x x
x x
x
x x
x
7
1 1
6 2
0 1
) 1 (
) 3 )(
1 (
2
1 )
3 )(
1 (
2
2
Vậy nghiệm của PT là x = 1 và x=-1
Câu
4
+ Vì P(x) chia cho x2+ x -12 đợc thơng là x2 +3 và còn d
Do đó P(x) là đa thức bậc 4 và số d là: ax + b
Vậy P(x) = (x2+ 3 )(x2 +x – 12) + ax +b
+ P(3) = 3 ⇔ 3a+b= 3
+ P(-4) = -4⇔ − 4a+b= − 4
x x x x x
P b
a
+
−+
+
=
⇒
=
=
⇒ )( ( )(3 )12
0
36 4 9 )
(
36 3 3 12 )
(
2 3 4
2 2 3 4
− +
− +
=
⇔
+
− + +
− +
=
⇔
x x x x x P
x x
x x x x x P
Trang 4Câu
5
1
1 2008 1
11 2008
1 2008 1
1 1
2008
2008 2008 2007 2008
≥
+
−
≥
+
− + + +
=
P
x x
P
x x
P
Dấu “=” xảy ra khi x =± 1
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là 1 Dấu “=” xảy ra khi
x =± 1
Câu
6
Từ
) 1 )(
1 (
2 1 1
) 1
1 1 ( ) 1
1 1 ( 1 1
2 1
1 1
1 1
1
+ +
≥ +
+ +
= +
− + +
−
= +
⇒
= +
+ +
+ +
c b
bc c
c b
b c b
a
c b a
T2
) 1 )(
1 (
2 1 1
) 1 )(
1 (
2 1 1
+ +
≥ +
+ +
≥ +
b a
ab c
c a
ac b
Nhân vế với vế của 3 BDDT trên ta có:
8
1
≤
abc
Câu
7
Trên tia đối của tia DC lấy điểm E | BM = DE
Ta có: ∆ABM = ∆ADE ( 2 cạnh góc vuông )
AE AM A
TA Có
AEI
A A
A A
A A AEI
∆
⇒
∠
=
∠
⇒
∠ +
∠
= +∠
∠
=
∠
1 2
3 1
2 3
Vuông tại A Có CD vuông góc với EI
2 2 2
2 2 2
1 1 1
1 1 1
a AI AM
hay
AI AE AD
=
+
=
⇒
Câu
8
Ta có : S1 = SBOC ; S2 = SAOC; S3 = SAOB
6 3
2 1 2 1 3
2 1 '
2
1 ' '
1
3 3
1 3
2 2
3 1
2 2
1
3
1
3 2
3 2
1
3 2
'
3
' 2
≥
+ +
+ +
+
=
+ +
+ +
+
=
⇒
+
=
+
=
+
=
=
=
⇒
S
S S
S S
S S
S S
S S
S
S
S S S
S S S
S S P
S
S S OC
OC
S
S S OB
OB
T
S
S S S
S S
S OA
OA
B OA C OA
Dấu “=” xảy ra khi S1 = S2 = S3
Hay tam giác ABC là tam giác dều
