Luận văn: KHÔNG ĐIỂM CỦA DÃY CÁC ĐA THỨC XẤP XỈ TỐT

Lý thuyết đa thế vị phức đã được phát triển từ thập kỷ 80 của thế kỷ trước với các công trình cơ bản của Belford Taylor, Siciak và nhiều tác giả khác. Các kết quả trong lĩnh vực này đã có nhiều ứng dụng vào một số vấn đề khác nhau của giải tích phức. Mục đích chung của luận văn này là trình bày công trình gần đây của Bloom về sự áp dụng của hàm Robin trong lý thuyết đa thế vị phức tới sự mở rộng chỉnh hình và dãy không điểm của dãy đa thức xấp xỉ tốt của hàm cần mở rộng. Luận văn có hai chương. Chương I trình bày một số kiến thức cơ bản về hàm cực trị dựa trên công trình của Siciak Si. Chương II trình bày sự áp dụng và các kết quả về hàm cực trị tới việc mở rộng hàm chỉnh hình từ một tập compact. Và sau đó về tập các không điểm của dãy các đa thức xấp xỉ tốt của hàm cần mở rộng.

Mục lục

Mở đầu 3

Chơng 1 Kiến thức chuẩn bị 4

1.1 Hàm chỉnh hình nhiều biến 4

1.1.1 Định nghĩa 4

1.1.2 Định nghĩa .4

1.1.3 Định nghĩa .4

1.1.4 Công thức tích phân Cauchy và các hệ quả 5

1.1.5 Bất đẳng thức Caychy .5

1.1.6 Định lý duy nhất 5

1.1.7 Định lý (Nguyên lý modul cực đại) 6

1.1.8 Định lý (Weiestrass) 6

1.1.9 Định lý (Hartogs) 6

1.2 Hàm đa điều hoà dới 6

1.2.1 Định nghĩa (hàm nửa liên tục trên) 6

1.2.2 Định nghĩa 7

1.2.3 Định nghĩa (hàm đa điều hoà dới) 7

1.2.4 Định lý .8

1.2.5 Định lý .8

1.2.6 Định lý .8

1.2.7 Định lý .8

1.2.8 Định lý (Bổ đề Hartogs) .9

1.2.9 Tập đa cực .9

1.2.10 Định lý (Josefson[Jo]) 10

1.3 Hàm đa điều hoà dới cực trị 10

1.3.1 Một số lớp của các hàm đa điều hoà dới trong 10

1.3.2 Hàm -cực trị 10

1.3.3 Tập L- đa cực 17

Chơng 2 Không điểm của các đa thức xấp xỉ tốt 26

2.0 Mở đầu 26

2.0.1 Định lý (Wójcik [W]) .27

2.0.2 Định lý (Blatt – Saff [BS]) .27

2.0.3 Định lý ( Plesniak [P] ) .27

2.1 Một số khái niệm và kết quả ban đầu 28

2.1.1 Nhận xét ([Si Hệ quả 8.6]) 29

2.1.2 Bổ đề 31

2.2 áp dụng của hàm Robin tới xấp xỉ đa thức trong - Chuẩn 32

2.2.1 Định lý 32

2.2.2 Bổ đề 36

2.3 Không điểm của các đa thức xấp xỉ tốt 37

2.3.1 Bổ đề 37

2.3.2 Bổ đề .39

2.3.3 Bổ đề 39

2.3.4 Định lý 40

2.3.5 Hệ quả .41

2.3.6 Định lý .42

Tài liệu tham khảo 43

Mở đầu

Lý thuyết đa thế vị phức đã đợc phát triển từ thập kỷ 80 của thế kỷ trớc với các công trình cơ bản của Belford - Taylor, Siciak và nhiều tác giả khác Các kết quả trong lĩnh vực này đã có nhiều ứng dụng vào một số vấn đề khác nhau của giải tích phức Mục đích chung của luận văn này là trình bày công trình gần đây của Bloom về sự áp dụng của hàm Robin trong lý thuyết đa thế

vị phức tới sự mở rộng chỉnh hình và dãy không điểm của dãy đa thức xấp xỉ tốt của hàm cần mở rộng

Luận văn có hai chơng Chơng I trình bày một số kiến thức cơ bản về hàm cực trị dựa trên công trình của Siciak [Si] Chơng II trình bày sự áp dụng

và các kết quả về hàm cực trị tới việc mở rộng hàm chỉnh hình từ một tập compact Và sau đó về tập các không điểm của dãy các đa thức xấp xỉ tốt của hàm cần mở rộng

Luận văn đợc hoàn thành với sự hớng dẫn chỉ bảo nhiệt tình của thầy giáo GS – TSKH Nguyễn Văn Khuê Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất tới thầy giáo GS – TSKH Nguyễn Văn Khuê

Em xin trân trọng bày tỏ lòng biết ơn tới các thầy cô giáo trong trờng Đại học s phạm - Đại học Thái Nguyên, trờng Đại học S phạm Hà Nội, Viện Toán học Việt Nam, các thầy phản biện, các bạn đồng nghiệp đã đa ra nhiều ý kiến quý báu giúp đỡ em trong quá trình hoàn thành luận văn

Em xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành tới sở Giáo dục - Đào tạo Bắc Ninh, trờng THPT Thuận Thành số 3 tỉnh Bắc Ninh cùng các bạn đồng nghiệp

đã tạo điều kiện thuận lợi cho em trong quá trình học tập và thực hiện luận văn này

Cuối cùng em xin gửi tới gia đình và bạn bè đã động viên khuyến khích

em trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu

Thái Nguyên, tháng 10 năm 2006

Chơng 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Hàm chỉnh hình nhiều biến

Và ta nói f là R- khả vi (tơng ứng C- khả vi) trên Ω nếu nó là R- khả

vi (tơng ứng C- khả vi) tại mọi điểm thuộc Ω Dễ thấy ánh xạ S thoả mãn

định nghĩa trên (nếu có) là duy nhất và gọi là R - đạo hàm (tơng ứng C - đạo hàm) của f tại z ký hiệu 0 f z hay ′( )0 df z ( )0

1.1.3 Định nghĩa

Cho Ω là mở trong Ê và N f =( f1, , f m):Ω →Ê ta nói f là m Ă khả −

vi (tơng ứng Ê - khả vi) trên Ω nếu f là j Ă khả vi (tơng ứng − Ê - khả vi)

trên , 1 j mΩ ∀ ≤ ≤ Hàm Ê - khả vi trên Ω còn gọi là hàm chỉnh hình trên Ω.

Không gian vectơ các hàm chỉnh hình trên Ω ký hiệu H ( )Ω

Nh đối với hàm chỉnh hình một biến ta có một số kết quả sau

α α

1.1.6.2 Định lý ( Liouville)

Nếu f chỉnh hình trên Ê N và bị chặn thì f =const.

Chứng minh Thật vậy, với z∈ÊN, xét g z( )λ = f ( )λz ,λ∈C Khi đó g

chỉnh hình và bị chặn trên C Theo định lý Liouville g z =const

( ) z( )1 z( )0 ( )0 ,

1.1.7 Định lý (Nguyên lý modul cực đại).

Giả sử f z liên tục trên ( ) Ω với Ω là miền bị chặn trong Ê N và chỉnh hình trong Ω, nếu tồn tại z0∈Ω để:

1.2 Hàm đa điều hoà dới

1.2.1 Định nghĩa (hàm nửa liên tục trên).

Giả sử cho X là một không gian metric Hàm ϕ:X → −∞ +∞[ , ) đợc gọi

là hàm nửa liên tục trên tại x0∈X nếu ∀ > ∃ε 0, U x0 là lân cận của x trong 0

X sao cho ∀ ∈x U x0ta có:

Hàm ϕ đợc gọi là nửa liên tục trên trên X nếu ϕ là nửa liên tục trên tại

mọi x X∈

1.2.2 Định nghĩa.

Hàm thực ϕ Ω → −∞ + ∞: [ , ) với Ω là mở trong Ê gọi là điều hoà dới nếu

(i) ϕ nửa liên tục trên và ϕ ≡ −∞.

(ii) ϕ thoả mãn bất đẳng thức giá trị trung bình:

1.2.3 Định nghĩa (hàm đa điều hoà dới).

Giả sử Ω là một miền trong C N ( N ≥1) Một hàm ϕ Ω → −∞ +∞: [ , )

đ-ợc gọi là đa điều hoà dới nếu nó nửa liên tục trên và

a ϕ ≡ −∞/ trên Ω.

b Với mỗi đờng thẳng phức , l l∩ Ω ≠ ∅, hạn chế của ϕ trên mọi thành

phần liên thông của l∩ Ω là một hàm điều hoà dới.

L zϕ gọi là dạng Levi của ϕ tại z.

Vì hàm điều hoà dới có tính chất modul cực đại nên ta có:

Chøng minh Do ϕk nöa liªn tôc trªn víi mäi k ≥1 nªn ϕ nöa liªn tôc trªn

Cho z0∈Ω vµ w∈£N,w≠0 Do λa ϕk( z0 +λw) ®iÒu hoµ díi trong

1.3 Hµm ®a ®iÒu hoµ díi cùc trÞ

1.3.1 Mét sè líp cña c¸c hµm ®a ®iÒu hoµ díi trong £N

ë ®©yL vµ L + gäi lµ líp LeLong c¸c hµm ®a ®iÒu hoµ díi trªn £N

VÝ dô: NÕu f z lµ ®a thøc bËc n( ) ≤ th× 1log f z( )

Các tính chất sau suy ra từ định nghĩa

1.3.2.3 Tính đơn điệu đối với b

1.3.2.7 Bất đẳng thức Bernstein-Walsh.

Nếu f là đa thức trên C bậc n N ≤ sao cho:

( ) exp E( ) ,

f x ≤M nV x  ∀ ∈x E thì:

E

f x ≤M nV x  ∀ ∈x CThật vậy, do:

Nếu E⊂C compact và N b nửa liên tục trên thì E V nửa liên tục dới E b,

Chứng minh Cố định u∈L ( E b, ) và ε >0, do E compact và b nửa liên tục dới ∃ =λ λ ε( ) >0 đủ bé để

Nh vËy V lµ bao trªn cña c¸c hµm liªn tôc E b, u w* λ −ε, u∈(E b, ,) ε >0,

= vµ gäi lµ chÝnh quy trªn cña V.

Do V liªn tôc t¹i mäi ®iÓm cña E vµ E compact nªn tån t¹i l©n cËn

b L - chính quy địa phơng nếu E chính quy địa phơng tại a E∀ ∈ .

c L - chính quy hay chính quy nếu V liên tục E

Do f z( ) ≠ ∀ ∈0, z D nên log 1f đa điều hoà dới trên D Theo nguyên lý

modul cực đại ta có: V E b, 1log f

⇒) Giả sử E là đa cực khi đó a E∀ ∈ tồn tại lân cận liên thông U a ∋a

và hàm đa điều hoà dới W trên U sao cho W a ≡ −∞/ và W = −∞ trên E U∩ a Giả sử D là miền con compact tơng đối của U bao hàm a Có thể xem a W ≤0trên D

(1) ∃ >R 0 và M >0 sao cho u M≤ trong B B= (0, R) .

(2) ∃ >R 0 và M >0 sao cho u M log x , x N

R

+

(3) Tồn tại tập mở ∅ ≠ ⊂D C và N M >0 sao cho u M≤ trên D.

(4) u là bị chặn trên trên mọi tập compact trong C N

Nếu u là liên tục và (6) thực hiện thì u là nửa liên tục dới và do đó tồn i

tại một hình cầu B B= ( )a r, ⊂D và M >0 để u M≤ trên B và nh vậy (3) thoả mãn Thật vậy với n≥1 đặt:

Cố định ε >0 và ξ ∈C thoả mãn (*) và chọn N n k → +∞ sao cho:

Vậy W là nửa liên tục trên trên B(0, R) Suy ra W là nửa liên tục trên trên C N

(vì R tuỳ ý) Và do đó W là đa điều hoà dới

NÕu c E( ) >0 th× ∃ ∈a C sao cho N c E( ∩B( )a r, ) > ∀ >0, r 0

Chøng minh (i) ⇒(ii) gi¶ sö *

(iv) ⇒ (i) lấy u∈L, u≡ −∞/ và u= −∞ trên E do n u L E+ ∈ ( ) nên

(i) ⇒ (ii) là định lý Josefson,[Jo]

(ii) ⇒ (iii) Bởi định lý 1.3.3.6 ta có thể xem E là bị chặn Giả sử ( )N ,

W∈PSH C W ≡ −∞ và W = −∞ trên E Giả sử E không là L- đa cực theo hệ quả 1.3.3.9 *

đặc biệt ρ ≤ M Vô lý, vậy E là L- đa cực.

(iii) ⇒ (iv) ⇒ (i) suy ra từ mệnh đề 1.3.3.3

Giả sử E⊂Ê là tập compact và chính quy theo nghĩa N V là liên tục E

Giả sử W E là bao đóng theo chuẩn đều trên E của ( ) P( )ÊN , không

( )

E = ∈z Ê V z < R (0.1)

Ta sẽ nghiên cứu mở rộng chỉnh hình của f tới các tập mở E Nghĩa là tồn R

tại hay không hàm chỉnh hình F trên E để F R  =Ε f trong trờng hợp một biến

Giả sử à là độ đo Borel dơng hữu hạn trên E thoả mãn điều kiện đa

thức Leja ( xem [P] đối với định nghĩa ) khi đó f mở rộng chỉnh hình tới E R nếu các không điểm của { }f không có điểm tụ trong n E R

2.1 Một số khái niệm và kết quả ban đầu

Giả sử E⊂Ê là compact Nhắc lại rằng N V kí hiệu hàm cực trị đa phức E

(toàn cục) của E Tức là

Giả sử à là độ đo Borel hữu hạn trên E sao cho (E,à) thoả mãn điều kiện Bernstein – Markov (BM):

Suy ra (BM) thực hiện đối với r q> .

Suy ra (BM) thực hiện đối với 0 r q< <

Giả sử L E q P( ,à),1≤ < ∞q kí hiệu không gian các hàm trên E mà nó là

giới hạn đối với . à,q của các đa thức:

( ,à =) { : →Ê

q P

q q

Giả sử E⊂Ê là compact chính quy và giả sử N à là độ đo Borel sao cho

(E,à) thoả mãn (BM) Cho f C E∈ ( ) với R >1 nếu f có mở rộng chỉnh hình

tới E R = ∈{z Ê :N V z E( ) < logR là F thì dãy các đa thức xấp xỉ tốt } { }p và n

{ }f đối với chuẩn n E và chuẩn . à,q là bị chặn đều trên mọi compact của

= ∑ lu ý nếu degr n <n thì rˆ 0.n = đối với

đa thức thuần nhất bậc n n( )

ở đây r n−1 và s n−1∈P n−1 là các đa thức xấp xỉ tốt tới h đối với n E và . à,qtức là

( ) { ( ) }

( )

λ λ

( ) ( )

Giả sử E⊂Ê là compact chính quy và giả sử N à là độ đo Borel trên E

sao cho (E,à) thoả mãn (BM) cố định 1 q≤ < ∞ và ∈ q( ,à)

p

f L E khi đó các khẳng định sau là tơng đơng

f mở rộng chỉnh hình tới E (2.1) R

Lu ý ở đây { }f là dãy các đa thức xấp xỉ tốt đối với n L chuẩn q

(2.1), (2.2), (2.3), (2.5) đúng với chuẩn đều đã đợc chứng minh định lí 3.1 ( [ Bl2 Th 3.1] )

Chứng minh định lý đợc chứng minh theo sơ đồ sau

(2.1) ⇒ (2.2) ⇒ (2.4) ⇒ (2.5) ⇒ (2.1)

(2.3) ⇔ (2.4)(2.3) ⇒ (2.5) ⇒ (2.3)

Giả sử f mở rộng chỉnh hình tới E (ta cũng kí hiệu mở rộng đó là f R

(2.2) ⇒ (2.3) Bởi định nghĩa của Tch fà,q nˆ và bởi (1.11)

− → khi p→ ∞.

Giả sử E ⊂Ê là compact, chính quy và N à là độ đo Borel trên E sao

cho ( E,à) thoả mãn (BM) Giả sử 1 q≤ < ∞ và { }h là dãy các đa thức thuần n nhất thoả mãn deg h n =n hoặc h n ≡0.Giả sử R>1, nếu

2.3 Không điểm của các đa thức xấp xỉ tốt

Giả sử E⊂Ê compact, chính quy, N f W E∈ ( ) và { }p dãy các đa thức n

xấp xỉ tốt của f trong chuẩn đều trên E, trong mục này ta sẽ nghiên cứu sự liên hệ giữa vị trí các không điểm của dãy p với tính chất mở rộng chỉnh n

hình của f tới E , R > 1 R

Muốn vậy xét hàm đa điều dới trên Ê cho bởi N

( ) lim log1 n( ) * lim log1 n *( )

( ) ( ) 0

1log

Ngợc lại giả sử f cần mở rộng chỉnh hình tới E do (1.8) trong nhận R

xét 2.1.1 dãy { }p bị chặn đều trên , 1 n E r ∀ < <r R suy ra v≤0 trên E với r

1 r R

∀ < < mặt khác do

1 r R E r E R

< <U = nên v≤0 trên E vậy R E R ⊂ IntZ.Giả sử E⊂Ê compact, chính quy và N à là độ đo Borel hữu hạn trên E

thoả mãn (BM) Giả sử 1 q≤ < ∞ và { }f là xấp xỉ tốt của n f ∈L E q p( ,à) đối với L chuẩn Đặt q

(iii) nếu f mở rộng chỉnh hình trên E nhng không mở rộng chỉnh hình R tới E s ∀ >s R thì

(i) Để Chứng minh E⊂Z ta cần chứng minh v≤0 trên E Do { }p bị n

chặn đều trên E nên lim log1 n( ) 0

n

→∞ ≤ trên E Theo ([ KL, hệ quả 4.6.2]) ∃

tập đa cực N để v≤0 trên \E N vì ( ) lim log1 n( ) 0 \

Hoàn toàn tơng tự thay cho p xét n f và z là zà n ta có E⊂Zà.

(ii) Suy từ (i) và bổ đề 2.3.1 Thật vậy, do (i) ta có E⊂Z vì vậy nếu

E∩ ∂ = ∅Z thì E⊂ IntZ Do V liên tục và E V chỉ bằng 0 trên E nên E ∃ >R 1

để E ⊂E R ⊂IntZ theo bổ đề 2.3.1 f mở rộng chỉnh hình tới E trái giả thiết, R tơng tự ta có Z∂ ∩ ≠ ∅à E

Chứng minh Ta chứng minh bằng phản chứng giả sử z không là điểm tụ 0

nh thế khi đó ∃ hình cầu B tâm z và 0 n sao cho 1 p z n( )0 ≠ ∀ ∈ ∀ ≥0 z B n n1.

p là

dãy hàm chỉnh hình và bị chặn đều trên B Do B ⊆ IntZ nên ∃ ∈z1 B để

vậy g z( )1 >1 và g z( ) ≤1 z IntZ B∀ ∈ ∩ và do g const≠ trên B theo nguyên lý

modul cực đại ta có g z( ) <1 trên IntZ ∩ B

Chứng minh Do giả thiết và do bổ đề 2.3.3(ii) ta có z∂ ∩ ≠ ∅E giả sử z 0

không là điểm tụ nh trong định lý 2.3.6 khi đó tồn tại hình cầu B tâm z và 0 1

1lim n lim exp log

do 'E kh«ng ®a cùc nªn g z1( ) =g z2( ) =1 trªn B tr¸i víi (3.18).

Tµi liÖu tham kh¶o

[1] P B Borwein (1984), The relationship between the zeros of best approximations and differentiability, Proc Amer Math Soc 92, 528-532.[2] H P Blatt and E B Saff (1986), Behaviour of zeros of polynomials of near best approximation, J Approx Theory 46, 323 - 344

[3] e Bedford & B A Taylor (1982), A new capacity for plurisubharmonic functions, Acta math 149, 1 - 40

[4] M Klimek (1991), "Pluripotential Theory," Clarendon Press,

[5] W Plesniak (1981), On the distribution of zeros of the polynomials of best

[7] J Siciak (1997), Aremark on Tchebysheff polynomials in £ , Univ, N

Jagiellonian Acta Math 25

[8] J Szczepanski (1997), Zeros of polynomials approximating analytic functions, IM UJ Preprint 23

[9] J L Walsh (1959), The analogue for maximally convergent polynomials

of Jentzchs theorem, Duke Math J 26, 605-616

[10] A Wojcik (1988), On zeros of polynomials of best approximation to

holomorphic and C∞ functions, Monatsh Math 105, 75-81