Về định lí ritt đối với không điểm của hàm đa thức mũ

Về định lí ritt đối với không điểm của hàm đa thức mũ Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới PGS. TSKH Trần Văn Tấn. Thầy đã dành nhiều thời gian, công sức để hướng dẫn, trả lời những thắc mắc và giúp đỡ tôi hoàn thành bài luận văn này. Tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới bố, mẹ và các thành viên trong gia đình đã luôn động viên, ủng hộ tôi trong suốt thời gian qua. Tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn đến các thầy cô giáo trong trường Đại học Sư Phạm Thái Nguyên đã luôn nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu, đã tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ tôi hoàn thành chương trình học và bảo vệ luận văn. Bản thân tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu đã có nhiều cố gắng, tuy nhiên những thiếu sót chắc chắn khó tránh được. Tôi rất mong được thầy cô và các bạn đọc chỉ cho những thiếu sót đó. Thái Nguyên, tháng 6 năm 2020 Học viên Trần Thị Thư

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

TRẦN THỊ THƯ

VỀ ĐỊNH LÍ RITT ĐỐI VỚI KHÔNG ĐIỂM CỦA HÀM ĐA THỨC MŨ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên, năm 2020

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Cán bộ hướng dẫn khoa học: PGS TSKH Trần Văn Tấn

Thái Nguyên, năm 2020

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan đề tài luận văn "Về định lý Ritt đối với khôngđiểm của đa thức mũ" không có sự sao chép của người khác Khi viếtluận văn tôi có tham khảo một số tài liệu, tất cả đều có nguồn gốc rõ ràng

và được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của PGS TSKH Trần Văn Tấn Tôixin hoàn toàn chịu trách nhiệm về nội dung luận văn này

Thái Nguyên, tháng 6 năm 2020

Tác giả luận văn

Trần Thị Thư

của chủ nhiệm khoa Toán của người hướng dẫn

PGS TSKH Trần Văn Tấn

Lời cảm ơn

Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tôi xin gửi lời cảm ơnchân thành nhất tới PGS TSKH Trần Văn Tấn Thầy đã dành nhiều thờigian, công sức để hướng dẫn, trả lời những thắc mắc và giúp đỡ tôi hoànthành bài luận văn này

Tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới bố, mẹ và các thành viêntrong gia đình đã luôn động viên, ủng hộ tôi trong suốt thời gian qua.Tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn đến các thầy cô giáo trong trường Đạihọc Sư Phạm Thái Nguyên đã luôn nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ tôi trongsuốt quá trình học tập, nghiên cứu, đã tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ tôihoàn thành chương trình học và bảo vệ luận văn

Bản thân tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu đã có nhiều cốgắng, tuy nhiên những thiếu sót chắc chắn khó tránh được Tôi rất mongđược thầy cô và các bạn đọc chỉ cho những thiếu sót đó

Thái Nguyên, tháng 6 năm 2020

Học viên

Trần Thị Thư

1.1 Định lý về thương hai đa thức mũ 31.2 Đa thức mũ với số mũ thực 7Chương 2 MỘT DẠNG ĐỊNH LÝ RITT CHO ĐA THỨC

2.1 Giới thiệu kết quả chính 112.2 Một số ký hiệu và kết quả trong lý thuyết Nevanlinna 132.3 Một số kết quả trong lý thuyết Nevanlinna cho trường hợp mục

tiêu di động 172.4 Bổ đề Borel và định lý Green với các mục tiêu di động 232.5 Chứng minh Định lý 2.2 và Hệ quả 2.1 26

LỜI MỞ ĐẦU

Lí do chọn đề tài: Năm 1929, Ritt đạt được kết quả thú vị về các khôngđiểm của hàm đa thức mũ: Cho P (z) và Q(z) là hai đa thức (khác không)với hệ số phức sao cho P (ez)

Q(ez) là một hàm nguyên Khi đó tồn tại đa thứcR(z) với hệ số phức sao cho P (ez) = Q(ez)R(ez) Định lí trên đã là nguồncảm hứng cho nhiều nhà toán học sau này thiết lập các kết quả tương tự,với các cách tiếp cận khác nhau Với mục đích tìm hiểu về chủ đề này, chúngtôi chọn đề tài “Về định lí Ritt đối với không điểm của hàm đa thức mũ”.Mục đích nghiên cứu: Tìm hiểu và trình bày lại một cách chi tiết, hệthống kết quả cổ điển về các không điểm của hàm đa thức mũ đạt được bởiRitt [2] năm 1929 và một mở rộng đạt được gần đây theo một cách tiếp cậnkhác bởi Ji Guo [1]

Đối tượng nghiên cứu: Hàm phân hình trên mặt phẳng phức

Phương pháp nghiên cứu: Các phương pháp truyền thống của Giải tíchphức, Ứng dụng của Lí thuyết Nevanlinna đối với ánh xạ chỉnh hình

với các hệ số hằng a0, , am và các α0, , αm đôi một phân biệt Sự phân

bố các không điểm của các hàm như vậy, và các hàm tổng quát hơn vớicác hệ số là các đa thức biến z đã được nghiên cứu bởi Tamarkin, Pólya vàSchwenglert Trong chương này chúng tôi trình bày lại hai kết quả sau củaRitt [3]

- Nếu mỗi không điểm của một đa thức mũ cũng là không điểm của một

đa thức mũ thứ hai, thì thương của chúng là một đa thức mũ

- Xét hàm

1 + a1eα1 z + + ameαm z,

với các số thực α1, , αm thỏa mãn 0 < α1 < < αm Với một dải nằmngang bất kỳ trong mặt phẳng phức, ta tính tổng của các phần thực củacác không điểm của đa thức mũ trong dải, với phần ảo bị chặn Kết quảnày có thể coi là tương ứng với định lý nói rằng tích của các không điểmcủa 1 + a1eα1 z + + ameαm z là (−1)m/am

1.1 Định lý về thương hai đa thức mũ

sao cho A(z) = B(z)C(z)

Trước hết ta mô tả vắn tắt lại một kết quả của Tamarkin, Pólya vàSchwenglert Biểu diễn các αi trong mặt phẳng phức, và gọi A là đa giác lồinhỏ nhất chứa chúng Nó giúp chúng ta thu được tính duy nhất trong phântích ở Bổ đề 1.1

Giả sử các cạnh của A được xác định bởi

σ1, , σl

Xét di, (i = 1, , l) là tia đối xứng qua trục thực với một tia vuông gócvới σi ra phía ngoài A Các tác giả trên đã chứng minh rằng tồn tại l nửadải song song có hướng di (i = 1, , l) mà chúng chứa tất cả các khôngđiểm của A Nếu si là độ dài của σi, số các không điểm có mô-đun nhỏ hơn

r và nằm trong nửa dải song song với di là tương đương với rsi/(2π) (khi r

tiến ra ∞)

Bây giờ ta xét đa giác lồi B tương ứng với B(z) Vì mỗi không điểm của

B cũng là một không điểm của A nên rõ ràng, từ công thức tiệm cận cho sốkhông điểm trong một nửa dải, mỗi cạnh τ của B song song với một cạnhnào đó của A và độ dài cạnh của B không bé hơn độ dài cạnh tương ứng

của A, và hai hướng vuông góc với hai cạnh nói trên ra phía ngoài đa giáctương ứng là trùng nhau.

Giả sử rằng α0, , αm trong (1.1) được sắp xếp để phần thực tăng dần,trong trường hợp phần thực bằng nhau thì ta xét tiếp tới sự tăng dần củaphần ảo Khi các α0, , αm là các số thực không âm và am 6= 0, chúng ta sẽgọi αm là bậc của hàm (1.1)

Bổ đề 1.1 Giả sử A(z), và B(z) 6≡ 0 là hai đa thức mũ với các số mũthực không âm Khi đó, ta có thể biểu diễn

A = QB + R, (1.3)

ở đó Q và R là hai đa thức mũ với các số mũ thực không âm, và R hoặcđồng nhất 0 hoặc là một đa thức có bậc nhỏ hơn bậc của B

Chứng minh Nếu trong (1.2) ta có αm < βn, thì ta có ngay (1.3) với Q =

0, R = A Do đó, bây giờ ta xét trường hợp αm ≥ βn

Gọi αm, , αm−i là tập tất cả các số αi không bé hơn βn Xét đa thứcmũ

C = A − (ame

αmz + + am−ieαm−i z)

ở đó, các số mũ đều không âm

Nếu B chỉ gồm một hạng tử Khi đó C hoặc bằng 0, hoặc có bậc nhỏhơn B, và ta có biểu diễn A = QB + R với R = C và Q là phân thức trong

vế phải của (1.4), tức là:

Q = (ame

α m z + + am−ieαm−i z)

bneβ nz .

Bây giờ, giả sử B có ít nhất hai hạng tử Nếu C khác 0, khi đó, bậc của

C nhỏ hơn βn hoặc bằng αm− (βn− βn−1) Nếu C bằng 0, hoặc có bậc nhỏhơn βn, từ (1.4) ta đạt được ngay biểu diễn A = QB + R Với trường hợp

còn lại, ta nhân chéo và chuyển vế trong biểu thức (1.4) và nhận được (1.3).Tiếp tục quá trình trên, do βn− βn−1 là một đại lượng cố định, sau hữu hạnbước ta sẽ nhận được (1.3).

Từ công thức xấp xỉ số không điểm trên mỗi nửa dải song song (ứng vớicạnh của đa giác bao tuyến tính của tập các số mũ), ta có biểu diễn trong(1.3) là duy nhất

Chứng minh Định lý 1.1 Giả sử rằng A 6≡ 0 Nhóm các số hạng của A

có các số mũ có phần thực giống nhau, ta viết

B = Q1ew1 z + + Qhewh z, (1.7)với các điều kiện tương tự như đối với A Đại lượng uj là hiệu giữa hoành

độ của điểm ngoài cùng bên phải và điểm ngoài cùng bên trái của A Vìmỗi cạnh của B tương ứng với một cạnh của A ít nhất về chiều dài và cócùng hướng nên rõ ràng uj ≥ wh

Nếu B chỉ có một hạng tử, ta có ngay kết quả định lí Bây giờ ta giả sử

B chứa ít nhất hai hạng tử, tức là, trong (1.7), ta có h ≥ 2, Q1, Qh 6≡ 0.Đặt uj, , uj−r, trong đó mỗiu đều vượt quá uj− (wh− wh−1) Ta sẽ chứngminh rằng thương của Pj, , Pj−r với Qh là đa thức mũ có dạng (1.6)

Nếu Qh là một hằng số, điều đó là hiển nhiên Giả sử Qh không là hằng

số Khi đó B có một cạnh dọc bên phải có chiều dài bằng giá trị v lớn nhấttrong Qh Khi đó, A phải có một cạnh bên phải có cùng chiều dài như vậy.Tức là, giá trị v lớn nhất trong Pj không nhỏ hơn nó trong Qh Theo Bổ đề

có mọi không điểm của B Nhưng có một cạnh dọc bên phải của đa giáccho vế trái của (1.8) ngắn hơn cạnh tương ứng của B Điều đó chỉ ra rằng

định, quá trình lập luận trên chỉ gồm hữu hạn bước, do đó, đến một bướcnào đó chúng ta sẽ tìm được hàm giống như D ở trên bằng 0 Khi điều đóxảy ra, ta có A được biểu diễn như một tích của B với một đa thức mũ.Khi h = 1, trong (1.7) ta có B = Qh Như vậy, mỗi P là một tích của B

với một hàm dạng (1.7) Định lý được chứng minh

0 < α1 < < αm

Mục đích của phần này là tính tổng phần thực của các không điểm của f (z)

trên một miền được giới hạn bởi hai đường thẳng song song với trục hoành

Vì f (z) dần đến phần tử đơn vị khi x (z = x + yi) dần đến −∞, và dầnđến ∞ khi x dần đến +∞ nên tập các không điểm của f (z) thuộc một dảisong song tạo bởi hai đường thẳng đứng

Đặt R(u, v) là tổng của tất cả các phần thực của các không điểm của

f (z) với u < y < v, ở đó u và v là số thực bất kỳ với v > u Ta sẽ chứngminh

R(u, v) = −(v − u) log |am|

2π + O(1). (1.9)

Lấy A sao cho

|f (z) − 1| < 1 (1.10)

với x ≤ A và lấy B > A sao cho

f (z)

ameα m z − 1

< 1 (1.11)

với mỗi x ≥ B Với mỗi không điểm của f (z), ta có A < x < B

Đặt S là tổng của các không điểm của f (z) với u < y < v Ta có thể giả

sử rằng không có không điểm nào của f (z) thuộc các đường thẳng y = u

hay y = v; điều này không ảnh hưởng đến kết quả của chúng ta (vì trongtính toán của ta, có đại lượng O(1)) Ta có

z log f (z) tăng theo (A + vi)Ci, ở đó C là sự biến thiên trong biên độ của

f (z) Do (1.10), sự biến thiên của ampf (z) (argument của f (z)) dọc theocạnh x = A nhỏ hơn π Để có được sự biến thiên dọc theo y = u và y = v,

sự biến thiên lớn như π trừ khi X bằng 0 tại một vài điểm trên đoạn đó Do

đó sự biến thiên của ampf (z) dọc theo cạnh nằm ngang của hình chữ nhậtkhông thể vượt quá π(p + 1) (p là số không điểm của X trên một cạnh).Trên đường thẳng y = u, chẳng hạn

X = 1 + b1eα1 x

+ + bmeαm x

,

trong đó b1, , bm là các số thực phụ thuộc vào u Ta đã biết hàm số như

X không thể có nhiều hơn n không điểm thực Do đó toàn bộ sự biến thiêncủa ampf (z) dọc theo y = u, y = v, x = A đều nhỏ hơn (2n + 3)π

Do (1.11), sự biến thiên của ampf (z) dọc theo x = B khác với sự biếnthiên của biên độ củaameαm z là nhỏ hơnπ Sự biến thiên biên độ củaameαm z

dọc theo x = B là αm(v − u) Do đó sự biến thiên của ampf (z) khi z chạyquanh hình chữ nhật khác αm(v − u) là nhỏ hơn (2n + 4)π

Sự thay đổi của z log z vì thế nên có dạng

(A + vi)[αm(v − u) + O(1)]i,

Vì O(1) là số thực nên hệ số của i trong sự biến thiên này là

A[αm(v − u) + O(1)] (1.14)Chúng ta sẽ ước lượng phần ảo của tích phân của log f (z) Ta đặt A

thêm một điều kiện là log f (z) với x ≤ A, tồn tại một khai triển theo chuỗiDirichlet hội tụ tuyệt đối

Bây giờ chúng ta lấy cạnh y = u Biên độ của f (z) tại (A, u) có giá trịtuyệt đối nhỏ hơn biên độ tại điểm (A, v) là π và không vượt quá 2π Vì sựbiến thiên biên độ dọc theo y = u nhỏ hơn (n + 1)π, giá trị tuyệt đối củabiên độ f (z) nhỏ hơn (n + 3)π trên y = u Do đó, phần ảo của tích phândọc theo y = u nhỏ hơn giá trị tuyệt đối

< (2n + 4)π(B − A) (1.18)

Do A và B cố định, A = O(1), B − A = O(1), từ (1.14), (1.15), (1.16),(1.17) và (1.18) ta nhận được khai triển (1.9) cho R(u, v)

Chương 2

MỘT DẠNG ĐỊNH LÝ RITT CHO ĐA THỨC NHIỀU BIẾN VỚI HỆ SỐ HÀM

2.1 Giới thiệu kết quả chính

Dãy số {G(n)}n∈N ⊂ C được gọi là có công thức truy hồi tuyến tính nếu

Định lý 2.1 Cho l, m ≥ 1 là hai số nguyên dương; f1, , fl và g1, , gm làcác hàm nguyên khác hằng số sao cho maxi=1, ,lTfi(r)  maxj=1, ,mTgj(r)

Đặt

F (n) = a0 + a1f1n+ + alfln

và G(n) = b0 + b1g1n+ + bmgmn,

trong đó a0 ∈ C và a1, , al, b0, , bm ∈ C∗ Giả sử có ít nhất một trong haiđiều sau được thỏa mãn:

(i) F (n)/G(n) là một hàm nguyên với vô hạn các số n ∈ Z∗;

(ii) f1, , fl và g1, , gm đều là các hàm nguyên không có không điểm,

Mục đích chính của chương này là trình bày lại kết quả của Guo [3] về sựtổng quát hóa Định lý 2.1 tới trường hợp các hệ số là hàm với độ tăng nhỏ.Kết quả thu được không chỉ tổng quát bài toán thương của các dãy truyhồi, mà còn mang đến một ứng dụng trong việc nghiên cứu các đa thức mũkhởi xướng bởi Ritt mà ta đã đề cập trong chương trước

Với mỗi hàm nguyên g1, , gm, đặt

g = (g1, , gm)

là một ánh xạ chỉnh hỉnh từ C vào Pm−1 Ta nói hàm phân hình a là tăngchậm tương ứng với g nếu Ta(r) = o(Tg(r)) Đặt

Kg := {a| a là một hàm phân hình và Ta(r) = o(Tg(r) }

Theo các tính chất cổ điển của các hàm đặc trưng, Kg là một trường Đặt

Rg ⊂ Kg là vành con chứa tất cả các hàm nguyên trong Kg

Định lý 2.2 Cho l, m là hai số nguyên dương; f1, , fl và g1, , gm là cáchàm nguyên khác hằng sao cho max

1≤i≤lTfi(r)  max

1≤j≤mTgj(r), cho a0 ∈ Rg và

a1, , al, b0, , bm ∈ Rg \ {0} Đặt

F (n) = a0 + a1f1n+ + alfln

và G(n) = b0 + b1g1n+ + bmgmn,

Giả sử có ít nhất một trong hai điều sau được thỏa mãn:

(i) F (n)/G(n) là một hàm nguyên với vô hạn các số n ∈ Z∗;

(ii) fz, , fl và g1, , gm đều là các hàm nguyên không có không điểm,

Áp dụng định lý trên cho các đa thức mũ, ta thu được hệ quả sau đây:

Hệ quả 2.1 Cho F và G là hai đa thức mũ được viết dưới dạng

F (n) = a0 + a1eλ1 z

+ + aleλl z

,G(n) = b0 + b1eτ1 z + + bmeτm z,

trong đó ai, bj là các đa thức khác 0trong C[z] và λi, τj ∈ C Nếu F (z)/G(z)

là một hàm nguyên, thì λ1, , λl, τ1, , τm phụ thuộc tuyến tính trong Q

2.2 Một số ký hiệu và kết quả trong lý thuyết

Ký hiệu nf(∞, r) là số cực điểm của f trong {z : |z| ≤ r} đếm cả bội.Hàm đến của f tại ∞ được định nghĩa bởi

Nf(∞, r) :=

Z r 0

nf(∞, t) − nf(∞, 0)

t dt + nf(∞, 0) log r

= X0<|z|≤r

vz−(f ) log

...

< (1.11)

với x ≥ B Với khơng điểm f (z), ta có A < x < B

Đặt S tổng không điểm f (z) với u < y < v Ta giả

sử khơng có khơng điểm f (z) thuộc đường thẳng... 2

MỘT DẠNG ĐỊNH LÝ RITT CHO ĐA THỨC NHIỀU BIẾN VỚI HỆ SỐ HÀM

2.1 Giới thiệu kết chính

Dãy số {G(n)}n∈N ⊂ C gọi có cơng thức truy hồi tuyến... [3] sựtổng quát hóa Định lý 2.1 tới trường hợp hệ số hàm với độ tăng nhỏ.Kết thu khơng tổng qt tốn thương dãy truyhồi, mà mang đến ứng dụng việc nghiên cứu đa thức mũkhởi xướng Ritt mà ta đề cập