Tia phân giác trong của góc A cắt đờng tròn tại điểm M.. Chứng minh M,0,N thẳng hàng.. 2 Giả sử đờng phân giác ngoài góc A cắt đờng thẳng BC tại E.. Đờng thẳng BD cắt đờng tròn 0 tại đi
Trang 1Đề thi vào lớp 10 chuyên Hùng vơng Phú thọ
năm học 2002 2003–
Câu 1: Cho phơng trình x2 – mx + m – 1 = 0 có hai nghiệm x 1 x 2
1) Tính giá trị biểu thức 2
2 1 2
2 1
2 2
2
1 3 3 3
x x x x
x x M
+
− +
=
2) Tìm giá trị của m để 2 10
2
2
1 +x =
x
Câu 2 : Cho hai số x, y thoả mãn hệ thức 4
4
1 2
2 2
2 + + y =
x
x Hãy xác định x, y để tích x,y nhỏ nhất
Câu 3 : Giải hệ phơng trình
= + +
= +
+
2 2
2
9 3 2
2 2
2 2
y xy x
y xy x
Câu 4 : Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (0) Tia phân giác trong của góc A cắt
đờng tròn tại điểm M.
1) Đờng phân giác ngoài của ∠ A cắt đờng tròn (0) tại N Chứng minh M,0,N thẳng hàng.
2) Giả sử đờng phân giác ngoài góc A cắt đờng thẳng BC tại E Chứng minh
∠ AMO = ∠ CEA
3) Trên cạnh BC lấy điểm D tuỳ ý ( Khác A và C) Đờng thẳng BD cắt đờng tròn (0) tại điểm thứ hai F Đờng thẳng qua A vuông góc với AB và đờng thẳng qua F vuông góc với FC cắt nhau tại P Chứng tỏ rằng P, D, O thẳng hàng
Câu 5 : Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên ta luôn có n+ n+ 1 < 4n+ 2
Câu 6 : 1) Chứng minh rằng số n= 2 ( 3 + 1 ) 2 − 3 là số vô tỉ
2) Cho x ≥ 1 Hãy rút gọn biểu thức M = x+ 2 x− 1 + x− 2 x− 1
Câu 7 : Cho a ≥ b ≥ 0
1) a, b thoả mãn 2a + 3b ≤ 6và 2a + b ≤ 4 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức A = a 2 - 2a - b
2) a+b= 10 Chứng minh ( 1+ a 4 ) ( 1 + b 4 ) ≤ 101
Câu 8 : Chứng tỏ rằng nếu p là một số nguyên tố, a là số nguyên dơng sao cho
a
2
1 + không là số nguyên tố thì phơng trình x2 − 2 a.x−p = 0 không có nghiệm hữu tỷ.
Câu 9 : Cho tứ giác lồi ABCD nội tiếp đờng tròn (O)
1) Trên các cạnh AB, BC, CD, DA lấy các điểm M, N, P, Q tơng ứng sao cho
BC
AD PC
PD
MB
MA = = Và QD QA = NC NB =CD AB Chứng minh MP ⊥ NQ
2) Vẽ tia Axvuông góc với AD cắt BC tại E, tia Ay vuông góc với AB cắt CD tại F Chứng minh rằng EF đi qua O
Trang 2Câu 10 : Tìm các số a,b, c dơng thoả mãn hệ
≤ + +
= + +
12
3 9 4 1
c b a
c b a
Đề thi vào đại học quốc gia thành phố hồ chí minh
năm học 2003- 2004
Câu 1:a) Vẽ parabol y = 2x2
Tìm các giá trị của x để 2x2 - 3x + 5 > -x + 17
b) Cho f ( x) = ( m2 - 8 ) x3 - ( 4m 2 - 9m - 13 ) x2 + 2 ( -3m + 8 ) x - m Tìm m<0 để f(1) = 0 Lúc đó, tìm g(x) để f(x) = ( x-1).g(x) và tìm các nghiệm còn lại nếu có của phơng trình f(x) = 0
Câu 2 a) Giải phơng trình 2x+ 5 =x2 + 3x− 1
b) Rút gọn biểu thức 22 23 3 + 22−−23− 3
+ + +
Câu 3: a)Giải hệ phơng trình
= +
−=
−
1
9 3
3 x y
y x
Với 3 x ; 3 y là những số nguyên
b) Tìm k để phơng trình kx2 - ( 12 - 5k ) x - 4 ( 1+ k ) có tổng bình
ph-ơng các nghiệm là 13
Câu 4 : Cho dây cung BC trên đờng tròn tâm O, điểm A chuyển động
trên cung lớn BC Hai đờng caoAE, BF của tam giác ABC cắt nhau
tại H
a) Chứng minh rằng CE CB = CF CA
b) AE kéo dài cắt đờng tròn tại H’ Chứng minh H và H’ đối xứng với nhau qua BC, xác định quỹ tích của H
Câu 5: Có ba đội xây dựng cùng làm chung nhau một công việc Làm
chung đợc 4 ngày thì đội III đợc điều động đi làm công việc khác, Hai đội còn lại cùng làm thêm 12 ngày nữa thì hoàn thành công việc Biết rằng năng suất của đội I cao hơn năng suất của đội II, năng suất cảu đội III là trung bình cộng của năng suất của đội I và đội II và nếu mỗi đội làm một mình một phần ba công việc thì phải mất tất cả 37 ngày mới xong Hỏi nếu mỗi đội làm một mình thì bao nhiêu ngày mới xong công việc trên?
Trang 3Đề thi vào lớp 10 trờng đh ngoại ngữ
đhqg hà nội năm học 2004 2005–
Câu 1: Cho biểu thức
1 1
2
−
+
− +
−
−
+
−
−
− +
x
x x
x
x x
x x x
x
x x x
x
a) Hãy tìm điều kiện của x để biểu thức M có nghĩa, sau đó rút gọn M b) Với giá trị nào của x thì biểu thức M đạt giá trị nhỏ nhất và tìm giá trị nhỏ nhất đó của M?
Câu 2 :
a) Giải phơng trình : ( x2+ 3x + 2 ).( x2 + 7x + 12 ) = 24
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : P = 2 - 5x2 - y2 - 4xy + 2x
Câu 3 : Giải hệ phơng trình
= +
−
= +
−
1
1 3
6 2 2
2
y x
y x xy x
Câu 4 : Cho đờng tròn (O) và dây BC cố định Gọi điểm A là điểm di
động trên cung lớn BC của đờng tròn (O), ( A khác B,C) Tia phân giác của góc ACB cắt đờng tròn (O) tại điểm D khác điểm C, lấy điểm I thuộc
đoạn CD sao cho DI = DB Đờng thẳng BI cắt đờng tròn (O) tại điểm K khác điểm B
a) Chứng minh tam giác KAC cân
b) Chứng minh đờng thẳng AI luôn đi qua một điểm J cố định, từ đó hãy xác định vị trí của A để độ dài đoạn AI là lớn nhất
c) Trên tia đối của tia AB lấy điểm M sao cho AM = AC Tìm tập hợp của các điểm M khi A di động trên cung lớn AB của đờng tròn (O)
Câu 5: Hãy tìm cặp số (x;y) sao cho y nhỏ nhất thoả mãn
x2+5y2 + 2y - 4xy - 3 = 0
Câu 6:
1) Tìm các giá trị của tham số m để tập hợp nghiệm của phơng trình sau
12 7
6 7 2 2
2
2 4 2
2
= +
+
+
− +
−
x x
m m x m x
Trang 42) Giải hệ phơng trình sau :
= + + + + +
= + + + + +
16
771 1 1 1
4
51 1 1 1
2 2 2 2 2
z y x z y x
z y x z y x
Câu 7: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức P = x - y + 2004,
trong đó các số thực x, y thoả mãn hệ thức 36
16 9
2 2
= + y
x
Câu 8 : Chứng minh rằng tồn tại các số tự nhiên a,b,c nghiệm đúng
ph-ơng trình x2+y2+z2= 3xyz và thoả mãn điều kiện Min {a ,,b c }> 2004
Câu 9: Cho ngũ giác ABCDE Gọi M,P,N,Qlần lợt là trung điểm của AB,
BC, DE,EA.Chứng minh MN đi qua trung điểm PQ khi và chỉ khi MN//CD
Câu 10 : Cho đờng thẳng xy và một điểm A cố định nằm ngoài đờng
thẳng ấy Điểm M chuyển động trên x,y Trên đoạn thẳng AM lấy điểm I sao cho AI AM = k2 là số dơng cho trớc và k nhỏ hơn khoảng cách từ A
đến đờng thẳng xy Dựng hình vuông AIJK Tìm tập hợp điểm I và tập hợp điểm K