D04 - Đếm số điểm cực trị (Biết y, y’) - Muc do 3

Như vậy, hàm số chỉ có một điểm cực trị... Do đó hàm số có đúng một cực trị.. Vậy trong mọi trường hợp hàm số có đúng một cực trị với mọi tham số m Chú ý:Thay vì trường hợp 2 ta xét m0,

Câu 41 [2D1-2.4-3] (Toán Học Tuổi Trẻ - Tháng 12 - 2017) Hàm số y f x  có đúng ba cực trị là 2

 , 1 và 0 Hỏi hàm số  2 

2

y f x x có bao nhiêu điểm cực trị?

Lời giải Chọn A

Vì hàm số y f x  có đúng ba cực trị là  2, 1 và 0 nên  

2

0

 





    

 



x

x

(Cả 3 nghiệm này đều là nghiệm đơn theo nghĩa f x đổi dấu khi qua ba nghiệm này)

1 0





    



x y

2

2

2

1





   



    





x

 2

1

0 2









  



 



x x x x

1 0 2







 

 



x x x

(Cả 3 nghiệm này cũng đều là nghiệm đơn theo nghĩa y đổi dấu khi qua ba nghiệm này)

Vậy hàm số  2 

2

y f x x có 3 cực trị

Chú ý: Ta có thể chọn f  x x x1x2 nhận  2, 1 và 0làm nghiệm đơn

Rõ ràng từ đây dễ dàng kiểm tra về tính cực trị của hàm số  2 

2

y f x x

Câu 47 [2D1-2.4-3] (THPT Xuân Trường - Nam Định - 2018-BTN) Cho hàm số y f x  xác định trên và hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ Tìm số điểm cực trị của hàm số  2 

3

y f x 

x

y

-2

2

O

1

Lời giải Chọn D

Quan sát đồ thị ta có y f x đổi dấu từ âm sang dương qua x 2 nên hàm số y f x  có một điểm cực trị là x 2

yf x   x f x 

0

1

x x

       

Do đó hàm số  2 

3

y f x  có ba cực trị

Câu 32: [2D1-2.4-3] (THPT Kiến An - HP - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hàm số y f x  xác

định trên và có đồ thị hàm số y f x là đường cong ở

hình bên Hỏi hàm số y f x  có bao nhiêu điểm cực trị ?

Lời giải Chọn D

Dựa vào đồ thị y f x ta thấy phương trình f x 0 có 4 nghiệm nhưng giá trị f x chỉ đổi dấu 3 lần

Vậy hàm số y f x  có 3 điểm cực trị

Câu 24 [2D1-2.4-3] (THPT Lục Ngạn-Bắc Giang-2018) Cho hàm số y f x  xác định và liên tục trên tập và có đạo hàm   3  2 

1 2

f x x x x Hàm số đã cho có bao nhiêu điểm cực trị?

Lời giải Chọn D

Ta có   3  2 

f x x x x 

0 1 2

x x x







  

 



Mặt khác f x đổi dấu khi đi qua x0 và x2 nên hàm số có 2 điểm cực trị

Câu 27 [2D1-2.4-3] (THPT Lê Hồng Phong - Nam Định - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hàm số

 

f x có đạo hàm là      2

2

f x  x  x Số điểm cực trị của hàm số này là:

Lời giải Chọn B

     2

2

f x  x  x 

1 1 3

x x x

 



  

 



Bảng xét dấu y

Do đó số điểm cực trị của hàm số là 2

Câu 34: [2D1-2.4-3] (Lương Văn Chánh - Phú Yên – 2017 - 2018 - BTN) Cho hàm số y f x  có

đạo hàm liên tục trên Đồ thị hàm số y f x như hình vẽ sau:

Số điểm cực trị của hàm số y f x 5x là:

Lời giải Chọn D

Ta có: y f x 5; y 0 f x 5 Dấu đạo hàm sai y

Dựa vào đồ thị, suy ra phương trình f x 5 có nghiệm duy nhất và đó là nghiệm đơn

Nghĩa là phương trình y 0 có nghiệm duy nhất và y đổi dấu khi qua nghiệm này

Vậy hàm số y f x 5x có một điểm cực trị

Câu 46: [2D1-2.4-3] (Lương Văn Chánh - Phú Yên – 2017 - 2018 - BTN) Cho hàm số

   2018  4  2018 2018 2  2 2018

f x  m  x   m  m  x m  , với m là tham số Số cực trị của hàm số y f x 2017

Lời giải Chọn D

Đặt g x  f x 2017

Ta có      2018  3  2018 2018 2 

g x  f x  m  x   m  m  x

Khi đó  

2018 2018 2 2

2018

0

0

x

f x

x









Nhận xét

2018 2018 2

2018

0

m

  m nên hàm số g x  f x 2017 luôn có 3 cực trị Nhận xét    2018   2018 2018 2  2018

Do đó   2018 2

g   m   m Suy ra hàm số g x  luôn có ba cực trị trong đó có hai cực tiểu nằm bên dưới trục Ox nên hàm số y f x 2017 có 7 cực trị

Câu 45: [2D1-2.4-3] (THPT Hoàng Hoa Thám - Hưng Yên - 2017 - 2018 - BTN) Tổng các giá trị

nguyên của tham số m để hàm số 3 3 2 9 5

2

m

y x  x  x  có 5 điểm cực trị là

Lời giải

Chọn A

Xét hàm số   3 2

2

m

f x x  x  x 

Ta có   2

3

x x

 



  

Ta có bảng biến thiên

Do           0

0

y f x







neáu neáu nên

2

m

m

   thì f x 0 có nghiệm x0 3, ta có bảng biến thiên của hàm số đã cho là

Trường hợp này hàm số đã cho có 3 điểm cực trị

Nếu 32 0 64

2

m

m

    thì f x 0 có nghiệm x0  1,ta có bảng biến thiên của hàm số

đã cho là

Trường hợp này hàm số đã cho có 3 điểm cực trị

Nếu

0 2

32 0 2

m

m m

 



  



thì   3 2

2

m

f x x  x  x   có ba nghiệm x1; x2;

3

x với x1  1 x2  3 x3, ta có bảng biến thiên của hàm số đã cho là

Trường hợp này hàm số đã cho có 5 điểm cực trị

Như vậy, các giá trị nguyên của m để hàm số đã cho có 5 điểm cực trị là m1; 2;3; ;63 Tổng các giá trị nguyên này là:

63 1 63

2

Câu 13: [2D1-2.4-3] (THPT Lê Quý Đôn - Hà Nội - 2017 - 2018 - BTN) [2D1-3] Cho hàm số

3

5

y x mx , m0 với m là tham số Hỏi hàm số trên có thể có nhiều nhất bao nhiêu điểm cực trị?

Lời giải Chọn A

Ta có: 3

5

y x mx

3

3



 



nÕu nÕu Nên

2

2

y



  



nÕu nÕu

Bởi thế với m0 thì 0

3

m

y   x , ta có bảng biến thiên

Như vậy, hàm số chỉ có một điểm cực trị

2

4

yx x

Lời giải Chọn C

Tập xác định D  2; 2

2

4 2 4



y    x

Bảng biến thiên

2 0 0

x y' y

2

+

Dựa vào bảng biến thiên suy ra điểm cực tiểu của hàm số là x 2

Câu 48 [2D1-2.4-3] (Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ - 2018 - BTN) Biết F x  là nguyên hàm của hàm số   xcosx2 sinx

f x

x



 Hỏi đồ thị của hàm số yF x  có bao nhiêu điểm cực trị trong khoảng 0; 2018?

Lời giải Chọn C

Ta có     xcosx2 sinx

x



  0 cos sin 0

F x  x x x , x0 (1)

Ta thấy cosx0 không phải là nghiệm của phương trình nên (1) x tanx (2)

Xét g x  x tanx trên 0; 2018 \ ,

2

k k

    

2

1

x



+ Xét 0;

2

x   

 , ta có g x  nghịch biến nên g x g 0 0 nên phương trình xtanx vô nghiệm

+ Vì hàm số tan x có chu kỳ tuần hoàn là  nên ta xét g x  x tanx, với ;3

2 2

x   

Do đó g x  nghịch biến trên khoảng ;3

2 2

 

16

g  g  

  nên phương trình xtanx có duy nhất một nghiệm x0

Do đó, ;4035

  có 2017 khoảng rời nhau có độ dài bằng  Suy ra phương trình xtanxcó

2017 nghiệm trên ;4035

+ Xét 4035 ; 2018

2

 , ta có g x  nghịch biến nên g x g20182018 nên phương trình xtanx vô nghiệm

Vậy phương trình F x 0 có 2017 nghiệm trên 0; 2018 Do đó đồ thị hàm số yF x  có

2017điểm cực trị trong khoảng 0; 2018

   3 2 3 

f x  x  x x  x với mọi x Hàm số f 1 2018 x có nhiều nhất bao nhiêu điểm cực trị?

A 9 B 2018 C 2022 D 11

Lời giải Chọn A

Ta có   3   2 

f x x x x   có 4 nghiệm và đổi dấu 4 lần nên hàm số y f x  có

4 cực trị Suy ra f x 0 có tối đa 5 nghiệm phân biệt

Do đó y f 1 2018 x có tối đa 9 cực trị

Câu 1 [2D1-2.4-3]-[SGD VĨNH PHÚC - 2017] Cho hàm số y x3mx5, m là tham số Hỏi hàm số đã cho

có nhiều nhất bao nhiêu điểm cực trị

Lời giải Chọn B

Ta có: 6

5

y x mx

Suy ra:

3 5

5

3



    và hàm số không có đạo hàm tại x0

TH1:m0 Ta có:

5

3

5 0

x y x

   vô nghiệm và hàm số không có đạo hàm tại x0

Do đó hàm số có đúng một cực trị

TH2:m0 Ta có: 5 3

0

3 3

x mx







 Bảng biến thiên

Do đó hàm số có đúng một cực trị

TH3:m0 Ta có: 5 3

0

3 3





 



Do đó hàm số có đúng một cực trị

Vậy trong mọi trường hợp hàm số có đúng một cực trị với mọi tham số m

Chú ý:Thay vì trường hợp 2 ta xét m0, ta có thể chọn m là một số dương (như m3) để làm Tương

tự ở trường hợp 3, ta chọn m 3 để làm sẽ cho lời giải nhanh hơn

Câu 34: [2D1-2.4-3] (CHUYEN PHAN BOI CHAU_NGHE AN_L4_2018_BTN_6ID_HDG) Đồ thị

y x  x  x  x có bao nhiêu điểm cực trị?

Lời giải Chọn C

Số cực trị của hàm số y f x  bằng số cực trị của hàm số y f x  cộng với số giao điểm (khác cực trị) của hàm số y f x  với trục hoành

y f x x  x  x  x ta có

f x  x  x  x ; f x 0 x 1 x 2  x 3

Ta có bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số có 3 cực trị và phương trình f x 0 có bốn nghiệm phân biệt nên hàm số y f x  có 7 điểm cực trị

Câu 43 [2D1-2.4-3] (THPT QUẢNG XƯƠNG I) Cho hàm số   3 2

f x ax bx  cx d với

, , ,

a b c d ;a0 và 2018

2018 0

d

a b c d





Số cực trị của hàm số y f x 2018 bằng

Lời giải Chọn D

Ta có hàm số g x( ) f x( ) 2018 là hàm số bậc ba liên tục trên

Do a0nên lim ( ) ; lim ( )

      Để ý

Nên phương trình g x( )0 có đúng 3 nghiệm phân biệt trên Khi đó đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt nên hàm số y f x 2018 có đúng 5 cực trị

Câu 46 [2D1-2.4-3] (CHUYÊN SƠN LA) Cho hàm số 3  

y x mx m tham số Hỏi hàm số

đã cho có thể có nhiều nhất bao nhiêu điểm cực trị?

Hướng dẫn giải Chọn C

TXĐ:

Ta có

5 6

6

6

2

x

x



Phương trình

5

6

6 0 2

x

x

y (C g

)

Xét

2

6

3 khi 0

3 khi 0 2

2

g x

x x





Dựa vào đồ thị suy ra phương trình y 0 có tối đa 1 nghiệm

Do đó, theo điều kiện cần để hàm số có cực trị, hàm số có không quá một điểm cực trị

Đôi điều: kết quả bài toán không phụ thuộc vào dữ kiện m0

Câu 22 [2D1-2.4-3] (SGD-BÌNH PHƯỚC) Hàm số y f x  xác định, liên tục trên và đạo hàm

    2 

f x  x x Khi đó hàm số f x 

A Đạt cực đại tại điểm x 1 B Đạt cực tiểu tại điểm x3

C Đạt cực đại tại điểm x3 D Đạt cực tiểu tại điểm x1

Lời giải Chọn B

Cách 1 Ta có     2   12 0

3

x

x

 



 Hàm số đạt cực trị tại điểm x3

Do y đổi dấu từ âm sang dương khi qua điểm x3 nên x3 là điểm cực tiểu của hàm

số

Cách 2 Ta có     2  '     

f x   x   x x  f   

 Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại điểm x3

Câu 26: [2D1-2.4-3] (THPT CHuyên Lam Sơn - Thanh Hóa - Lần 2 - 2017 - 2018 - BTN) Số điểm

cực trị của hàm số y 1

x

 là

Lời giải Chọn A

Xét hàm số y 1

x



Tập xác định D \ 0 

2

1

0,

x

Hàm số nghịch biến trên khoảng ; 0 và 0;

Vậy hàm số y 1

x

 không có cực trị

hàm số y f x  Đồ thị của hàm số y f x như hình bên

Hàm số    2

g x  f x có bao nhiêu điểm cực trị?

Lời giải Chọn C

Từ đồ thị y f x ta có  

2 0 0

1 3

x x

f x

x x

 



 



 

 



;

x

f x

x





     

x

f x

x

 



Ta có    2

2

g x  xf x ;    

2

2

0

0

3 0

x

x

x x





 







 



2

2

0

0

3 3

3

x x x

f x

x x

x

   





     

  



Ta có bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta có hàm số    2

g x  f x có 5 điểm cực trị

BẢNG ĐÁP ÁN

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

A A C A C D A D B C C D B B D C A C B D D A C B A

26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

C D A D A A D B C C D B B B D A B V D B B A D C C Câu 890: [2D1-2.4-3] [THPT chuyên KHTN lần 1 - 2017] Cho hàm số f có đạo hàm là

    2 3

f x x x x Số điểm cực trị của hàm số f là

Lời giải

Chọn A

 

0

3

x

x







  



Ta có bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra hàm số có hai điểm cực trị

Câu 892: [2D1-2.4-3] [Chuyên ĐH Vinh - 2017] Cho hàm số y f x  có đạo hàm

     2  4 

f x  x x  x  Số điểm cực trị của hàm số y f x  là?

Lời giải Chọn B

Ta có      2  4 

f x   x x  x      2  2 2 

 

 

 









Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, ta có hàm số chỉ có 1 cực trị

Câu 922: [2D1-2.4-3] [BTN 171 - 2017] Cho hàm số 3 2

2016

yx bx  cx với b c,  Trong các khẳng

định sau, khẳng định nào đúng?

A Hàm số luôn có 2 điểm cực trị   c  ;0

B Hàm số luôn có 2 điểm cực trị  c 0;

C Hàm số luôn có 2 điểm cực trị  c

D Hàm số luôn có 2 điểm cực trị  c

Lời giải Chọn B

3 2

- - 2016

yx x cx có tập xác định là: D

2 ' 3x 2

y   bx c ;  ' b23c

Đối với các trường hợp ở đáp án Hàm số luôn có 2 điểm cực trị  c , Hàm số luôn có 2 điểm cực trị   c  ;0,Hàm số luôn có 2 điểm cực trị  c Chọn c 10,b1, khi đó

' 0

  , suy ra phương trình y'0 vô nghiệm, suy ra hàm số không có cực trị  Loại 3 đáp

án trên

Câu 944 [2D1-2.4-3] [CHUYÊN SƠN LA 2017] Cho hàm số 3  

y x mx m , m là tham số Hỏi hàm số đã cho có thể có nhiều nhất bao nhiêu điểm cực trị?

Lời giải

Chọn A

TXĐ:

Ta có

5 6

6

6

2

x

x

Phương trình

5

6

6 ' 0

2

x

x

Xét

2

6

3 khi 0

3 khi 0 2

2

g x

x x



Dựa vào đồ thị suy ra phương trình y'0 có tối đa 1 nghiệm

Đôi điều: kết quả bài toán không phụ thuộc vào dữ kiện m0

Câu 946 [2D1-2.4-3] [Cụm 1 HCM 2017] Biết rằng hàm số y4x3 – 6x21 có đồ thị như hình vẽ

sau

Phát biểu nào sau đây là phát biểu đúng?

A Đồ thị hàm số y 4 – 6x3 x21 có 2 cực trị

B Đồ thị hàm số y 4 – 6x3 x2 1 có 1 cực trị

C Đồ thị hàm số y 4 – 6x3 x21 có 5 cực trị

D Đồ thị hàm số y 4 – 6x3 x21 có 3 cực trị

Lời giải

Chọn A

Ta vẽ đồ thị hàm số y f x  như sau:

+) Giữ nguyên đồ thị hàm số y f x  phần phía trên trục hoành

+) Lấy đối xứng qua trục hoành phần đồ thị hàm số y f x  phần phía dưới trục hoành

Từ đồ thị hàm số ta thấy hàm số có 5 cực trị

Câu 947 [2D1-2.4-3] [TTGDTX Nha Trang - Khánh Hòa 2017] Cho hàm số

3 2 1

3

y x mx  m x Mệnh đề nào sau đây sai?

A Hàm số luôn có cực trị B  m 1 hàm số có cực đại, cực tiểu

C  m 1 hàm số có 2 điểm cực trị D  m 1 hàm số có cực trị

Lời giải

Chọn A

2

y  x  mx m



Hàm số có cực trị      0 m 1

Câu 955 [2D1-2.4-3] [BTN 174] Số cực trị của hàm số   2

f x x  x  là:

Lời giải

Chọn D

Hàm số đã cho xác định và liên tục trênR Ta có:

  22 2x 2016, 0

2x 2016, 0

f x



 

x

f x

x



f x   x x 

Bảng biến thiên

Hàm số đạt cực đại tại điểm x0, và đạt cực tiểu tại các điểm x 1 và x1

Câu 956 [2D1-2.4-3] [BTN 173] Cho các hàm số   2

f x x  x  và

  1 4 1 3 1 2

2016

g x  x  x  x  x Hãy chỉ ra các hàm số có ba cực trị (trùng câu 945 )

A Cả hai hàm số B Chỉ duy nhất hàm số g x 

C Không có hàm số nào D Chỉ duy nhất hàm số f x 

Lời giải

Chọn D

Đầu tiên nhận xét rằng hai hàm số đề bài cho đều liên tục trên

Dựa vào bảng biến thiên suy ra hàm số f x  có ba cực trị

Câu 957 [2D1-2.4-3] [THPT Hoàng Văn Thụ (Hòa Bình) năm 2017] Số điểm cực trị của hàm số

  2

y x x là:

Lời giải

Chọn B

Xét hàm số   2 3 2

y x x x  x  x Tập xác định: D

Ta có 2

y  x  x ; y  0 3x210x   8 0 x 2 hoặc 4

3

x Bảng biến thiên

Từ BBT của   2

y x x suy ra BBT của   2

y x x :

Vậy hàm số đã cho có 3 điểm cực trị

Câu 967 [2D1-2.4-3] [THPT Thuận Thành 2 năm 2017] Đồ thị hàm số   3 

y x x có bao nhiêu điểm cực trị?

Lời giải

Chọn B

       

3 3

3

1

1

x

x



Xét hàm số:     3  1

1

x

x

 



     Không có cực trị

Xét hàm số:     3   

g x   x x x  có một cực trị

Vậy hàm số   3 

y x x có một cực trị

tiểu và một cực đại

Lời giải Chọn C

  3

y  mx  m x

  2

0 0

1

x y





Hàm số có 2 điểm cực tiểu và 1 điểm cực đại khi phương trình y 0 có ba nghiệm phân biệt

và m0

1

mx   m có hai nghiệm phân biệt khác 0 và m0 0

1 0

m

m m

m







A m 3 B 3m C   3 m 0 D 0 m 3

Lời giải Chọn A

Hàm bậc 4 trùng phương có hai điểm cực đại suy ra a m 0

m m

9 0

3

m m

m





Kết hợp điều kiện suy ra m 3