Đề thi thử cuối kì Câu 1: Cho hàm số 𝑓(𝑥, 𝑦) = 3𝑥 2𝑦2 − 2𝑚𝑥 3+ 𝑚2𝑥2 𝑦 − 2𝑦 3 Tìm tất cả các giá trị thực m để ∇𝑓(2,3) // 𝑣⃗ = (6,1)
Câu 2: tính tích phân bội 3
𝐼 = ∭ 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
√𝑥2+𝑦2 +(𝑧−2) 2 , V là hình cầu 𝑥 2+ 𝑦2+ 𝑧2 ≤ 1
Câu 3: Cho miền phẳng D giới hạn bởi 𝑦 = 𝑥2 , 𝑦 = (𝑥 − 2) 2 , 𝑥 = 2, C là biên của
D, lấy theo chiều kim đồng hồ
a) Chứng mình rằng diện tích 𝐷 được tính bởi tích phân ∫ −𝑥𝑑𝑦𝑐
b) Tìm diện tích miền 𝐷 theo cách tính này
Câu 4: Tìm diện tích phần mặt 𝑧 = √𝑥2+ 𝑦2 nằm trong hình cầu
𝑥2+ 𝑦2+ 𝑧2 = 2𝑧
Câu 5: Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa ∑ (−1)
𝑛 3𝑛+1
4 𝑛+2 √𝑛+13 (𝑥 − 1)𝑛
∞ 𝑛=0
Câu 6: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số ∑ 𝑛 (1 + 1
2𝑛)−2𝑛
2
∞
Trang 2Lời giải
Câu 1: Cho hàm số 𝑓(𝑥, 𝑦) = 3𝑥 2𝑦2 − 2𝑚𝑥 3+ 𝑚2𝑥2 𝑦 − 2𝑦 3 Tìm tất cả các giá trị thực m để ∇𝑓(2,3) // 𝑣⃗ = (6,1)
Giải:
∇𝑓 = ∇ (𝑓′𝑥, 𝑓′𝑦) = ( 6𝑥 2 𝑦 − 6𝑚𝑥 2 + 2𝑚 2 𝑥𝑦, 6𝑥𝑦 2+ 𝑚2𝑥2 − 6𝑦 2)
= ∇f(2,3) = (12𝑚 2 − 24𝑚 + 108,4𝑚 2 + 18)
∇𝑓(2,3) // 𝑣⃗ => 12𝑚 2 −24𝑚+108
6 = 4𝑚 2 +18
1
−12𝑚 2 − 24 = 0
[ 𝑚 = 0
𝑚 = −2
Câu 2: tính tích phân bội 3 𝐼 = ∭ 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
√𝑥2+𝑦2 +(𝑧−2) 2 , V là hình cầu 𝑥 2+ 𝑦2+ 𝑧2 ≤ 1
Giải:
Đặt : {
𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜑
𝑦 = 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑
𝑧 = 𝑧
=> {
0 ≤ 𝑟 ≤ 1
0 ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋
−√1 − 𝑟 2 ≤ 𝑧 ≤ √1 − 𝑟 2
√𝑟2 + (𝑧 − 2) 2
√1−𝑟 2
−√1−𝑟 2
1
0
2𝜋
𝑜
√𝑟2 + (𝑧 − 2) 2𝑑𝑟𝑑𝑧
𝐷
2𝜋
0
, 𝐷 = { 𝑟 > 0
𝑟2+ 𝑧2 ≤ 1
Xem r, z là hai biến (tương tự x, y)
√𝑟2 + (𝑧 − 2) 2𝑑𝑟𝑑𝑧
𝐷
√𝑟2 + (𝑧 − 2) 2𝑑𝑟
√1−𝑧 2
0
] 𝑑𝑧
1
−1
Trang 3∫ [(√𝑟2 + (𝑧 − 2) 2|0 √1−𝑧 2 ] 𝑑𝑧
1
−1
= ∫ (√1 − 𝑧 2 + (𝑧 − 2) 2 − |𝑧 − 2|) 𝑑𝑧
1
−1
= 1
3
Do đó: 𝐼 = ∫ 𝑑𝜑0 2𝜋 1
3 =2𝜋
3
Câu 3: Cho miền phẳng D giới hạn bởi 𝑦 = 𝑥2 , 𝑦 = (𝑥 − 2) 2 , 𝑥 = 2, C là biên của
D, lấy theo chiều kim đồng hồ
c) Chứng mình rằng diện tích 𝐷 được tính bởi tích phân ∫ −𝑥𝑑𝑦𝑐
d) Tìm diện tích miền 𝐷 theo cách tính này
Giải
a) Dùng công thức Green:
∫−𝑥𝑑𝑦
𝐶
= ∬ 𝑑𝑥𝑑𝑦
𝐷
= 𝑆𝐷 b) 𝑆(𝐷) = ∫ −𝑥 2𝑥𝑑𝑥 1 2 + ∫ −2𝑑𝑦 4 0 + ∫ −𝑥(𝑥 − 2)𝑑𝑥 2 1 = 2
Câu 4: Tìm diện tích phần mặt 𝑧 = √𝑥2+ 𝑦2 nằm trong hình cầu
𝑥2+ 𝑦2+ 𝑧2 = 2𝑧
Giải:
Chiếu xuống 𝑂𝑥𝑦 ∶ 𝐷 = {𝑥2+ 𝑦2 ≤ 1}
𝑆 = ∬ √1 + (𝑧𝑥′ )2+ (𝑧𝑦′ )2𝑑𝑥𝑑𝑦
𝐷
= ∫ 𝑑𝜑 ∫ √2𝑟𝑑𝑟
1
0
2𝜋
0
= 𝜋 √2
Câu 5: Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa ∑ (−1)
𝑛.3 𝑛+1
4 𝑛+2 √𝑛+1 3 (𝑥 − 1)𝑛
∞
Giải
𝜌 = lim
𝑛→∞( 3
𝑛+2
4 𝑛+2 √𝑛 + 2 3 .
4 𝑛+3 √𝑛 + 1 3
3 𝑛+1 ) = lim
(3√𝑛 + 1 3 )
4√𝑛 + 2 3 =
3 4
=> −4
3 < 𝑥 − 1 < 4
3 => −
1
3< 𝑥 <
7 3
Trang 4𝑥 = −1
16 √𝑛+1 3
∞
𝑛=0 : phân kỳ
𝑥 = 7
3 ∑ 3(−1)𝑛
16 √𝑛+1 3
∞
𝑛=0 : Hội tụ theo tiêu chuẩ Leibnitz
Miền hội tụ: (−1
3,7
3]
Câu 6: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số ∑ 𝑛 (1 + 1
2𝑛)−2𝑛
2
∞
Giải
Cn = √nn (1 + 1
2n)
−2n
→1
e < 1 => HT
