Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số.. Mặt phẳng P vuông góc với đường thẳng AB tại trung điểm I của OB cắt mặt cầu S theo đường tròn C.Tính thể tích khối nón đỉnh A đáy là
Trang 1KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG NĂM 2010
Môn thi: TOÁN - Trung học phổ thông
ĐỀ THAM KHẢO Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
A PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (3 điểm)
Cho hàm số y=x3 − 3x2 + 1, có đồ thị (C)
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2 Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
x3 − 3x2 + 1 −m= 0
Câu II (3 điểm)
1 Tính tích phân : I = ∫2( + )
1
ln 1
2x xdx
2 Giải bất phương trình: log2(x− 3)+ log2(x− 1) ≥ 3
3 Cho hàm số =2 ++11
x
x
y có đồ thị (H).Chứng minh tích các khoảng cách từ một điểm
M tuỳ ý thuộc (H) đến hai đường tiệm cận của (H) bằng một số không đổi
Câu III (1 điểm) Cho mặt cầu (S) tâm O, đưòng kính AB = 2R Mặt phẳng (P) vuông góc
với đường thẳng AB tại trung điểm I của OB cắt mặt cầu (S) theo đường tròn (C).Tính thể tích khối nón đỉnh A đáy là hình tròn (C)
B PHẦN RIÊNG (3 điểm)
1 Theo chương trình chuẩn
Câu IVa (2 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M( 2 ; − 1 ; 3 )
1 Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M và vuông góc với đường thẳng OM.Tìm toạ độ giao điểm của mp(P) với trục Ox
2 Chứng tỏ đường thẳng OM song song với đường thẳng d:
−
=
+
=
−
=
t z
t y
t x
3 1 1
2 1
Câu IVb (1 điểm) Tìm môđun của số phức z i i i
+ + +
=
3 2 1
2 Theo chương trình nâng cao
Câu Va (2 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm A(1;0;2),
B(-1;1;5), C(0;-1;2), D(2;1;1)
1.Tính khoảng cách từ C đến đường thẳng AB
2 Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng AB và song song với đường thẳng CD.Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD
Câu Vb (1 điểm) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) của hàm số = + 2−1
x x y
, đường tiệm cận xiên của (C), và các đường thẳng x = − 3 ,x= − 2
Trang 2
-Hết -A PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I
(3điểm)
I.1 Tập xác định D = R
Sự biến thiên:
- Chiều biến thiên:
y' =3x2 − 6x,
=
=
⇔
=
2
0 0
,
x
x y
)
; 2 ( ) 0
; ( , 0 , > ∀x∈ −∞ ∪ +∞
y nên hàm số đồng biến trên các khoảng ( −∞ ; 0 ), ( 2 ; +∞ )
) 2
; 0 ( , 0 , < ∀x∈
y nên hàm số nghịch biến trên khoảng( 0 ; 2 )
- Cực trị:
Điểm cực đại: x = 0, yCĐ = 1,
Điểm cực tiểu: x = 2, yCT = -3
-Các giới hạn:
+∞
=
+∞
→ y
xlim = −∞
−∞
→ y
xlim
Đồ thị không có tiệm cận -Bảng biến thiên:
x − ∞ 0 2
∞
+
y' + 0 - 0 + y
-Điẻm uốn:
y'' = 6x - 6 y'' = 0 ⇔ x = 1 y'' đổi dấu khi x đi qua x = 1 nên đồ thị có điểm uốn (1;-1)
Đồ thị:
2đ 0,25
0,25 0,25
0,25
0,25
0,25
0,50
Trang 3x3 − 3x2 + 1 −m= 0 (1)
⇔ x3 − 3x2 + 1 =m
Đây là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị (C) và đường
thẳng y = m (cùng phương với trục Ox ), nên số nghiệm của
phương trình (1) bằng số giao điểm của đồ thị (C) và đường
thẳng y = m
Khi m < -3 hay m >1 : phương tình có 1 nghiệm
Khi m = -3 hay m = 1: phương trình có 2 nghiệm
Khi -3 < m < 1 :phương trình có 3 nghiệm phân biệt
1,0
0.50 0,50
Câu II
(3điểm)
1
Đặt
+=
=
⇒
+=
=
xx v x
dx du dx x dv
x u
2
)1 2(
ln
Áp dụng công thức tích phân từng phần ,suy ra I
− +
1
2 1
(x x x x dx
2
1
2
) 2 ( 2 ln
5 − x +x
=
2
5 2 ln
=
1,0
0,25 0,25 0,25 0,25
2
Điều kiện 3
03
01
>⇔
>−
>−
x x
x
Với điều kiện trên, bất phương trình đã cho tương đương với bất
phương trình:
≥
−
≤
⇔
≥
−
−
⇔
≥
−
−
⇔
≥
−
−
⇔
≥
−
−
) ( 5
) ( 1
0 5 4
8 ) 3 )(
1 (
2 log )
3 )(
1 ( log
3 ) 3 )(
1 ( log
2
3 2 2
2
N x
L x
x x
x x
x x
x x
[
1,0 0,25
0,25 0,25
Trang 4(H) có tiệm cận ngang là y = 2 hay y− 2 = 0
(H) có tiệm cận đứng là x = -1 hay x+ 1 = 0
Lấy bất kỳ điểm M(x0;y0) ∈ (H)
Khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang là y0 − 2
Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng là x0 + 1
Do đó y0 − 2 x0 + 1 = 2 1
1
1 2
0 0
+
x x
= 1 ( không đổi )
1,0 0,25
0,25 0,25
0,25 Câu III
(1 điểm) Hình vẽ
Khối nón đỉnh A đáy là hình tròn (C) có -Đường cao là
AI = AO + OI = R
2 3
-Bán kính đáy
2
3 2
2 OI R R
r= − =
Vậy thể tích khối nón là
V = r AI R R
2
3 ) 2
3 ( 3
1 3
π
π =
= 3
8
3
R
π
0,25
0,25 0,25
0,25
B PHẦN RIÊNG (3 điểm)
1 Theo chương trình chuẩn
Trang 5Câu IVa
(2 điểm)
-Câu IVb
(1 điểm)
1
Vì OM ⊥ (P) nên OM→ = ( 2 ; − 1 ; 3 )là VTPT của mp(P) Mp(P) đi qua M(2;-1;3) nhận →
OM = (2;-1;3) làm VTPT nên phương trình của mp(P) là
2(x -2) -1(y+1) +3(z - 3) = 0 hay 2x - y + 3z -14 = 0
Vì A∈(Ox)nên A (x; 0 ; 0 )
Vì A∈(P) nên 2x - 0 + 3.0 -14 = 0 Suy ra x = 7
Vậy A( 7 ; 0 ; 0 )
-2
Đường thẳng OM đi qua O(0;0;0) và có VTCP u= ( 2 ; − 1 ; 3 )
Đường thẳng d có VTCP v= ( − 2 ; 1 ; − 3 )
Ta thấy u= −v và điểm O∉d
nên đường thẳng OM song song với đường thẳng d
-Ta có z i i i
+ + +
=
3 2 1
1 2 ( 3( 3)( 3) )
i i
i i i
− +
− +
+
=
)i
4
3 2 ( 4
5
+ +
=
Vậy
2 2
4
3 2 5
4
+ +
=
z
127 16 3
4
=
1,0 0,25
0,25 0,25
0,25
-1,0 0,25 0,25 0,25 0,25 -1,0
0,25 0,25
0,25 0,25
2 Theo chương trình nâng cao
Trang 6(2 điểm)
-Câu Vb
(1 điểm)
1
Đường thẳng AB có VTCP AB→ = ( − 2 ; 1 ; 3 )
Ta có AC→ = ( − 1 ; − 1 ; 0 )
nên AB→,AC→= ( 3 ; − 3 ; 3 )
Vậy khoảng cách từ C đến đường thẳng AB là
14
27 9
1 4 9 9 9 ,
= + + + +
=
→
→
AB
AC AB h
-2
Ta có AB→ = ( − 2 ; 1 ; 3 )
và CD→ = ( 2 ; 2 ; − 1 )
Suy ra →n =AB→, CD→= ( − 7 ; 4 ; − 6 ) ≠→0
Vectơ → →
≠ 0
n vuông góc với cả hai vectơ → →
CD
AB, nên
→
n là một vectơ pháp tuyến của mp(P) Mặt phẳng (P) đi qua A(1; 0; 2) và có vectơ pháp tuyến →
n nên nó có phương trình -7(x-1) + 4(y - 0) - 6(z - 2) = 0 hay 7x - 4y + 6z - 19 = 0
Vì CD song song mp(P) chứa AB nên khoảng cách giữa hai đường thẳng CD và AB bằng khoảng cách
từ C đến mp(P) Vậy d(CD,AB) = d(C, (P)) =
36 16 49
19 2 6 ) 1 (
4 0 7
+ +
− +
−
−
= 1013
-Đồ thi hàm số = + 2−1
x x
y có tiệm cận xiên là đường thẳng y = x
Diện tích hình phẳng cần tính là
∫
−
−
−
− +
= 2
x x S
−∫
− −
= 2
2
dx x
3 1 ln
= 2 ln34 (đvdt)
1,0
0,25 0,25
0,50
-1,0
0,25 o,25
0,25
0,25
-1,0
0,25 0,25
Trang 70,25 0,25
