Tính độ dài cạnh đáy AB 0 Tóm tắt cách giải: CDA A ' Tuuur = ⇒Tứ giác A'ACD là hình bình hành Áp dụng định lí cosin trong tam giác A'BD, tính được A'B... Cho hai đường tròn có bán kính
Trang 1Së Gi¸o dôc vµ §µo t¹o Kú thi chän häc sinh giái cÊp tØnh
§Ò chÝnh thøc N¨m häc 2010 - 2011
Đáp án gồm 04 trang
ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM MÔN: TOÁN líp 12 hÖ gdtx
Bài 1:(5 điểm) Tìm tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số y 2x 3= + + − −x2 4x 5+ Tóm tắt cách giải:
TXĐ: D=−5;1
( )
2
x 2
+
Giải phương trình y' = 0, tìm nghiệm lập bảng biến thiên có tọa
độ cực đại
Kết quả:
1điểm
(0,6833; 5,7082) 4 điểm
Bài 2: (5 điểm) Cho hình thang ABCD có đường chéo AC 7= , BD 5= , cạnh đáy
CD 1= , góc giữa hai đường thẳng AC và BD bằng 15 Tính độ dài cạnh đáy AB 0
Tóm tắt cách giải:
CD(A ) A '
Tuuur =
⇒Tứ giác A'ACD là hình bình hành
Áp dụng định lí cosin trong tam giác A'BD, tính được A'B
AB A 'B CD= −
Kết quả:
2điểm
AB 1,5269≈ 3 điểm
Bài 3: (5 điểm) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y sinx 2cosx 1= + + . Tóm tắt cách giải:
Đưa về dạng: 2cosx sinx y 1+ = −
Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình
acosx bsinx c+ =
Kết quả:
2 điểm max y 3,2361≈
A'
Trang 2Bài 4: (5 điểm) Tính gần đúng nghiệm (độ, phút, giây) của phương trình
2
sin x 3cosx 2 0+ − =
Tóm tắt cách giải:
Đưa về phương trình: cos x 3cosx 1 02 − + =
Kết quả:
2 điểm
x 67 32'40'' k360
x 67 32'40'' k360 (k )
3 điểm
Bài 5: (5 điểm) Tìm tọa độ các giao điểm của hai đường tròn:
2 2 1
(C ) :x +y −2x 4y 4 0+ − = và (C ) :x2 2+y2+2x 2y 14 0− − =
Tóm tắt cách giải:
Tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ phương trình:
2 2
2 2
+ − + − =
Kết quả:
1 điểm (-1,8598 ; - 2,9065)
2 điểm (2,9367 ; 0,2911)
2 điểm
Bài 6: (5 điểm) Cho hai đường tròn có bán kính bằng nhau và bằng 1, chúng đi qua tâm
của nhau Tính diện tích phần chung của hai hình tròn đó
Tóm tắt cách giải:
Tóm tắt cách giải:
Tính diện tích S1của hình thoi AO BO1 2
Tính diện tích S2 của hình quạt O AO B 1 2
Diện tích cần tìm là S S S=2 2− 1
Kết quả:
2 điểm
S 1,2284≈ 3 điểm
1
O
B
A
2
O
Trang 3Bài 7: (5 điểm) Tính các cạnh của hình hộp chữ nhật biết thể tích của nó bằng 15,625; diện
tích toàn phần bằng 62,5 và các cạnh lập thành một cấp số nhân
Tóm tắt cách giải:
Gọi x, y, z là 3 kích thước của hình hộp chữ nhật
Không mất tính tổng quát, giả sử 0 x y z< ≤ ≤ .
Ta lập được hệ phương trình
2
2(xy yz zx) 62,5
Kết quả:
2 điểm
x 0,6699
y 2,5000
z 9,3301
≈
≈
≈
3 điểm
Bài 8: (5 điểm) Một ngân hàng đề thi có 100 câu hỏi, mỗi đề thi có 5 câu Một học sinh đã
học thuộc 80 câu Tính xác suất để học sinh đó rút ngẫu nhiên một đề thi, trong đó có 4 câu
đã học thuộc
Tóm tắt cách giải:
Gọi A là biến cố cần tìm:
4 1
80 20
5
100
C C
P(A )
C
=
Kết quả:
P(A ) 0,4201≈
5 điểm
Bài 9: (5 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip (E) :x2 y2 1
9 + 5 = Tìm tọa độ điểm
M thuộc (E) nhìn đoạn nối hai tiêu điểm dưới góc 60 0
Tóm tắt cách giải:
Áp dụng đinh lý cosin trong tam giác MF1F2 ta có:
1 2 1 2 1 2
F F =MF +MF −2MF MF cos60
Kết quả:
2 điểm Bốn điểm có tọa độ (2,2913 ; 1,4434) (2,2913 ; -1,4434) (-2,2913 ; 1,4434) (-2,2913 ; -1,4434)
3 điểm
Trang 4Bài 10: (5 điểm) Cho dãy số { }xn , n N∈ * được xác định như sau: x1 2
3
= và
n
n 1
n
x x
2(2n 1)x 1
+ + , ∀ ∈n N* Tính tổng của 2010 số hạng đầu tiên.
Tóm tắt cách giải:
Đặt n
n
2
u
x
= , từ công thức xác định dãy { }xn của đề bài, suy
ra u1=3; un 1+ =4(2n 1) u , n N+ + n ∀ ∈ *
Bằng phương pháp quy nạp, ta được:
un =(2n 1)(2n 1) , n N− + ∀ ∈ *
n
u (2n 1)(2n 1) 2n 1 2n 1
Suy ra
2010
i
i 1
1
4021
∑
Kết quả:
3 điểm
S 0,9998≈ 2 điểm
Ghi chú: Nếu học sinh trình bày cách giải khác với đáp án mà đúng thì cho điểm tối đa
Hết