Tính giá trị của biểu thức... CMR tam giác ABC là tam giác đều.
Trang 1Chuyên đề : chứng minh đẳng thức, tính giá trị của biểu thức từ các
điều kiện cho trớc
Bài toán 1 :
Cho xyz ≠ 0 và x ≠ y Giả sử x x(12 yz yz) =y y(12−−xz xz)
−
−
CMR : x+y+z=1x+1y+1z
Bài toán 2 : Cho ax+by+cz=0 ; a+b+c=2006 và a,b,c dơng.Tính giá trị của biểu thức sau, với xyz≠ 0
2 2
2
2 2 2
) ( ) ( ) (
.
y x ab z
x ac z y bc
z c y b x a A
− +
− +
−
+ +
= Bài toán 3: Biết xyz=1 Hãy tính giá trị của biểu thức
1 1+ + +1
+ +
+ + +
=
z xz
z y
yz
y x
xy
x B
Bài toán 4: CMR với a,b,c là ba số phân biệt ta có
a b b a c c b c c b a a c a a c b b a b b c+c−a
−
+
−
=
−
−
− +
−
−
− +
−
−
) )(
( ) )(
( ) )(
( Bài toán 5 : Đơn giản biểu thức
A (a b a)(2a c) (b c b)(2b a) (c a c)(2c b)
−
−
+
−
−
+
−
−
=
Bài toán 6: Cho a,b,c≠ 0, a≠bvà bc≠ 1, ac≠ 1 CMR
ac b
ac b bc a
bc
) 1 ( ) 1 (
2 2
+ +
= + +
⇔
−
−
=
−
−
Bài toán 7 : a) Tính giá trị của biểu thức sau, với 2x-y=7
53 7 −32 −−27
+
−
=
y
x y x
y x A
b) Thực hiện phép tính : (a a2b)(a bc c) (b b2c)(b ca a)+(c+c2a)(−c ab+b)
+ +
− +
+ +
−
Bài toán 8 : a) Biết a-2b=5 Tính giá trị của biểu thức
Trang 23 5 2
2 3
−
− + +
−
=
b
a b a
b a A
b) Biết a+b+c = 0 và abc≠ 0 Tính giá trị của biểu thức
2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1
1
c b a a b c a c b
B
− +
+
− +
+
− +
Bài toán 9 : a) CMR 32010+52010 chia hết cho 13
b) Cho
n
3
1 2
1
4
3 3
2 2
1 (
n
n n
S n = − + + + + − Bài toán 10 : Cho a,b,c là ba số khác không và đôi một khác nhau thoả mãn điều kiện a+b+c=0 CMR:
a) a3 +b3 +c3 +a2b+ab2 +b2c+bc2 +c2a+ca2 = 0
−
+
−
+
−
− +
− +
−
a c
b c b
a b a
c b
a c a
c b c b a
Trang 3Tính giá trị của biểu thức: a2 (a+ 1 ) −b2 (b− 1 ) − 3ab(a−b+ 1 )
Bài toán 2 Cho a+b+c=0
CMR: (a2 +b2 +c2 ) 2 = 2 (a4 +b4 +c4 )
Bài toán 3: Cho 1+1+1 = 0
z y
x Tính giá trị của biểu thức 2 2 z2
xy y
xz x
yz+ +
Bài toán 4: a) Cho x, y thoả mãn x>y>0 vàx2 + 3y2 = 4xy
Tính giá trị của biểu thức: A x x y y
2
5 2
−
+
=
b) Cho a, b, c, d thoả mãn: a+b=c+d, a2 +b2 =c2 +d2
CMR: a2004 +b2004 =c2004 +d2004
Bài toán 5: a) Cho x, y, z là ba số khác 0 thoả mãn:
= + +
= + +
2004
1 1 1 1
2004
z y x
z y x
CMR: trong ba số x, y, z tồn tại hai số đối nhau
b) Cho a, b, c là ba số thoả mãn điều kiện
= + +
= +
+
14
0
2 2
2 b c a
c b a
Hãy tính giá trị của biểu thức: A= 1 +a4 +b4 +c4
Bài toán 6: Cho a+b+c=1 và 1+1+1= 0
c b
a CMR a2 +b2 +c2=1 Bài toán 7: Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác ABC biết rằng:
( 1 + )( 1 + )( 1 + ) = 8
c
a b
c a
b
CMR tam giác ABC là tam giác đều
Bài toán 8: Cho + + = 1
c
z b
y a
x
và + + = 0
z
c y
b x
a
2 2
2 2
2
= + +
c
z b
y a x
Bài toán 9: Cho ba số a, b, c thoả mãn điều kiện: a1+b1+1c=a+b1+c
Tính giá trị của biểu thức: ( 2003 2003 )( 2005 2005 )( 2004 2004 )
a c
c b b
Bài toán 10: Cho a, b, c là ba số khác 0 thoả mãn đẳng thức
a
a c b b
b c a c
c b
a+ − = + − = + − Tính giá trị của biểu thức:
abc
a c c b b a
Bài toán 11: Cho a, b, c là ba số thoả mãn : a3 −b2 −b=b3 −c2 −c=c3 −a2 −a=13
CMR: a=b=c
Trang 4Bài toán 12: Cho x, y, z là ba số thoả mãn đồng thời
= + +
= + +
= + +
1 1 1
3 3 3
2 2 2
z y x
z y x
z y x
Hãy tính giá trị của biểu thức 19 5 2005
) 1 ( ) 1 ( ) 1
P
Bài toán 13: CMR nếu a, b là hai số dơng thoả mãn điều kiện a+b=1
Thì
3
) ( 2 1
−
=
−
−
a b a
b b
a
Bài toán 14: CMR nếu abc=a+b+c và 1+1+1 = 2
c b
a thì 12 + 12 + 12 = 2
c b a
Bài toán 15: Cho a, b, c là ba số khác 0 thoả mãn: ( + + )(1+1+1) = 1
c b a c b a
Hãy tính giá trị của biểu thức ( 2001 2001 )( 2003 2003 )( 2005 2005 )
c a c b b a
Bài toán 16: Tìm a, b, c thoả mãn đồng thời các điều kiện sau:
a+b+c=3;
3
1 1 1 1
= + +
c b
a và 2a2 +b= 1 Bài toán 17: Cho a+b+c=1 và a2 +b2 +c2 = 1
a) Nếu
c
z b
y a
x
=
= CMR : xy+yz+zx=0 b) Nếu a3 +b3 +c3 = 1 Tìm giá trị của a, b, c
Bài toán 18: Tính giá trị của biểu thức Q b a c a b c a c b
+
+ +
+ +
=
10
7 1 1
1
>
= +
+ +
+
b
Bài toán 19: Cho các số a, b, c thoả mãn các đẳng thức:
= + +
= +
+
1 ) (
2004
2004
c b a
abc ca
bc ab
Tính giá trị của biểu thức: C=a2004 +b2004 +c2004
Bài toán 20: Giả sử b+22bc c−a+a+22ac c−b =a+ab b−2c
Tính giá trị của biểu thức : 2 2 22
b a
c ab D
+
+
Bài toán 21: CMR nếu x, y, z ≠ 0 và z x
z
y y
x+1= +1= +1 thì x=y=z hay xyz=± 1
Bài toán 22: Cho ba số x, y, z thoả mãn đồng thời: x + y + z = 0
Trang 5Bài toán 23: Cho các số dơng x, y, z thoả mãn đẳng thức: x y2 +y z2 +z x2 =x z2 +z y2 + y x2
CMR: hai trong ba số trên bằng nhau
Bài toán 24: Cho các số dơng a, b, c thoả mãn :
b a
c a c
b c b
a
+
= +
= +
3
3
3
3
3
=
+ +
+ +
+
a
c b b
a c c
b
a
Bài toán 25: Cho các số a, b, c đôi một khác nhau và b a c c b a+a c−b
−
+
−
) ( ) ( )
−
+
−
+
c a
c
b c
b
a
Bài toán 26: Cho tam giác ABC có BC=a, AC=b, AB=c là độ dài ba cạnh của tam giác thoả mãn hệ thức:
b a
bc a c
ab c b
ca b a
ca a c
bc c b
ab
+
+ +
+ +
= +
+ +
+ + CMR: Tam giác ABC là tam giác cân
Bài toán 27: