dạy học tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng hình học 10 nâng cao trung học phổ thông theo hướng tiếp cận giải quyết vấn đề

MỞ ĐẦU 1.Lí do chọn đề tài 1.1 Các nghị quyết và luật giáo dục Nghị quyết Hội nghị lần thứ IV Ban Chấp hành Trung ương Đảng Cộng sản Việt Nam Khoá IV,1993 nêu rõ: “ Mục tiêu giáo dục -

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

ĐỖ VĂN DŨNG

DẠY HỌC“TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG”

HÌNH HỌC 10 NÂNG CAO-TRUNG HỌC PHỔ THÔNG THEO HƯỚNG TIẾP CẬN GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN HỌC

HÀ NỘI, 2010

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

ĐỖ VĂN DŨNG

DẠY HỌC “TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG” HÌNH HỌC 10 NÂNG CAO-TRUNG HỌC PHỔ THÔNG THEO

HƯỚNG TIẾP CẬN GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học

(Bộ môn Toán học)

Mã số: 60.14.10

Người hướng dẫn khoa học: GS.TS Nguyễn Hữu Châu

HÀ NỘI, 2010

LỜI CẢM ƠN

Tác giả xin chân thành cảm ơn tập thể cán bộ, giảng viên trường Đại học Giáo dục, Đại học Quốc gia Hà Nội đã tạo mọi điều kiện, giúp đỡ tác giả trong khoá học và suốt quá trình hoàn thành luận văn

Trong thời gian qua, ngoài sự nỗ lực của bản thân, đề tài luận văn được hoàn

thành với sự hướng dẫn tận tình, chu đáo của GS TS Nguyễn Hữu Châu

Xin trân trọng gửi tới thầy lời biết ơn chân thành và sâu sắc của tác giả

Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, các giáo viên dạy toán cũng như học sinh các trường THPT Nghĩa Hưng A, THPT Nghĩa Hưng

B, THPT Nghĩa HưngC , tỉnh Nam Định đã nhiệt tình ủng hộ tạo điều kiện cho tác giả trong quá trình hoàn thành luận văn

Lời cảm ơn chân thành của tác giả cũng xin được dành cho người thân, gia đình và bạn bè, đặc biệt là lớp Cao học Lý luận và Phương pháp dạy học (bộ môn Toán) K4 trường Đại học Giáo dục, Đại học Quốc gia Hà Nội, vì trong suốt thời gian qua đã cổ vũ động viên, tiếp thêm sức mạnh cho tác giả hoàn thành nhiệm vụ của mình

Tuy đã có nhiều cố gắng, tuy nhiên luận văn này chắc chắc không tránh khỏi những thiếu sót cần được góp ý, sửa chữa Tác giả rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy giáo, cô giáo và các bạn đồng nghiệp để luận văn này được hoàn thiện hơn

Xin trân trọng cảm ơn!

Nam Định, ngày 6 tháng 12 năm 2010

Đỗ Văn Dũng

KÝ HIỆU VÀ VIẾT TẮT

Quy ước về các chữ viết tắt sử dụng trong luận văn

Viết tắt Viết đầy đủ

MỤC LỤC Trang

1.Lý do nghiên cứu……… …… 1

2.Mục đích nghiên cứu……… 6

3.Giả thuyết nghiên cứu……… ….6

4.Đối tượng và phạm vi nghiên cứu……… 6

5.Nhiệm vụ nghiên cứu……….6

6.Phương pháp nghiên cứu………6

7.Cấu trúc của luận văn……… ……….7

Chương1: MỘT SỐ VẤN ĐỀ LÝ LUẬN CỦA DẠY HỌC GQVĐ… ……8

1.1.Nhiệm vụ của quá trình dạy học Toán……….……….… 8

1.1.1.Truyền thụ những tri thức, kỹ năng toán học và kỹ năng vận dụng toán học vào đời sống……… …8

1.1.2.Phát triển năng lực trí tuệ chung………10

1.1.3 Giáo dục chính trị tư tưởng, đạo đức và thẩm mĩ……… 14

1.1.4.Đảm bảo chất lượng phổ cập đồng thời với phát triển và bồi dưỡng năng khiếu 17

1.1.5.Liên quan giữa các nhiệm vụ ………19

1.2.Dạy học giải quyết vấn đề……….21

1.2.1 Cơ sở khoa học của phương pháp dạy học giải quyết vấn đề…… …21

1.2.2 Những khái niệm cơ bản……… ……22

1.2.3 Các hình thức dạy học giải quyết vấn đề……….….25

1.2.4 Các mức dạy học giải quyết vấn đề……….……….26

1.2.5.Thực hiện dạy học giải quyết vấn đề………….………….27

1.4 Kết luận chương 1……….……… …29

Chương2.THỰC TRẠNG DẠY HỌC MÔN TOÁN THEO HƯỚNG TIẾP CẬN GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Ở MỘT SỐ TRƯỜNG THPT HIỆN NAY 30

2.1 Quá trình điều tra thực tiễn……… 30

2.1.1 Mục đích điều tra……….… 45

2.1.2 Đối tượng điều tra……… ……30

2.1.3 Nội dung điều tra……… …30

2.1.4 Phương pháp điều tra……… …30

2.1.5 Một số kết quả……… …31

2.2 Một số nhận xét và đánh giá chung……….……….……43

2.2.1 Phát hiện……… ……… …43

2.2.2 Nguyên nhân……….43

2.3.Kết luận chương 2……… …44

Chương3 MỘT SỐ BIỆN PHÁP DẠY HỌC THEO HƯỚNG TIẾP CẬN GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ THÔNG QUA DẠY HỌC CHƯƠNG “TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG” 3.1.Định hướng xây dựng và thực hiện các biện pháp 45

3.2.Một số biện pháp dạy học theo hướng tiếp cận giải quyết vấn đề….… 45

3.3.Thực nghiệm sư phạm……… 76

3.3.1.Mục đích thực nghiệm ……….……… 77

3.3.3.Tổ chức thực nghiệm……….….77

3.3.4.Kết quả thực nghiệm……….………….78

3.4.Kết luận chương III……….…… 82

C.KẾT LUẬN……….………83

PHỤ L ỤC……… ……….84

MỞ ĐẦU 1.Lí do chọn đề tài

1.1 Các nghị quyết và luật giáo dục

Nghị quyết Hội nghị lần thứ IV Ban Chấp hành Trung ương Đảng Cộng sản Việt Nam (Khoá IV,1993) nêu rõ: “ Mục tiêu giáo dục - đào tạo phải hướng vào việc đào tyạo những con người lao động tự chủ, sáng tạo, có năng lực giải quyết những vấn đề thường gặp, qua đó mà góp phàn tích cực thực hiện mục

tiêu lớn nhất của đất nước” (Tài liệu bồi dưỡng giáo viên 2005, tr.1))

Nghị quyết Hội nghị lần thứ II Ban Chấp hành Trung ương Đảng Cộng sản Việt Nam(Khoá VIII,1997) đã đề ra:“Phải đổi mới phương pháp đào tạo ,khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện thành nếp tư duy sáng tạo ở người học.Từng bước áp dụng những phương pháp tiên tiến và phương tiện hiện đại vào quá trình dạy học, đảm bảo điều kiện và thời gian tợ học, tự nghiên cứu ” Điều27.Luật Giáo dục có ghi: “ Mục tiêu của giáo dục phổ thông phải giúp học sinh phát triển toàn diện về đạo đức, trí tuệ , thể chất thẩm mỹ và các kỹ năng cơ bản ,phát triển nưng lực cá nhân , tính năng động và sáng tạo , hình thành nhân cách con người Việt Nam xã hội chủ nghĩa xây dựng tư cách và trách nhiệm công dân; chuẩn bị cho học sinh tiếp tục học lên hoặc đi vào cuộc sống lao động ,tham gia xây dựng và bảo vệ tổ quốc”

Điều5.Khoản2.Luật Giáo dục ghi: “Phương pháp Giáo dục phải phát huy tính tích cực,tự giá,chủ động, tư duy sáng tạo của người học ;bồi dưỡng cho người học năng lực tự học, khả năng thực hành, lòng say mê học tập và ý chí vươn lên”

1.2.Nhận định của các nhà giáo dục nổi tiếng

“Tư duy bắt đầu từ trong tình huống có vấn đề”

(X.L Rubinstein)

“Một hình có bốn góc ,ta chỉ nên dạy cho các trò một góc, còn ba góc các trò phải tự học lấy”

(Khổng Tử)

“ Người thầy giáo tồi mang chân lí đến sẵn,còn người thầy giáo giỏi thì dạy

đi tìm ra chân lí”

(A.Dixtecvec,Tuyển tập SP)

Nhà toán học Nguyễn Cảnh Toàn nhận định: “Cách dạy phổ biến hiện nay

là thầy đưa ra kiến thức (khái niệm định lý )rồi giải thích, chứng minh, trò cố gắng tiếp thu nội dung khái niệm, nội dung định lý, hiểu chứng minh định lý,

cố gắng tập vận dụng các công thức định lý để tính toán, chứng minh ”

Theo GS.Hoàng Tuỵ :“Ta còn còn chuộng cách dạy nhồi nhét, luyện trí nhớ, dạy mẹo vặt để dạy các bài toán oái oăm, giả tạo, chẳng giúp gì mấy đến việc phát triển trí tuệ mà làm cho học sinh xa rời thực tế, mệt mỏi và chán nản ” GS.Nguyễn Bá Kim cho rằng: “Mỗi một nội dung dạy học đều liên hệ mật thiết với những hoạt động nhất định Đó là những hoạt động được tiến hành trong quá trình hình thành và vận dụng nội dung đó, phát hiện được những hoạt động tiềm tàng trong một nội dung là vạch ra được con đường để người học chiếm lĩnh nội dung đó và đạt được các mục đích khác và cũng đồng thời là cụ thể hoá được mục đích dạy học có đạt được hay không và đạt đến mức độ nào”

Theo M.A.Đanilôp và M.N.Xcatkin: “Quá trình dạy học là một tổ hợp rất phức tạp và năng động những hành động của giáo viên và học sinh Để có khả năng tổ chức đúng đắn quá trình dạy học và điều khiển nó cần phải hình dung

rõ nét cấu trúc và những quy luật bên trong của quá trình dạy học Đặc biệt quan trọng là phát hiện ra mối liên hệ qua lại giữa việc lắm vững kiến thức và với quá trình phát triển những năng lực nhận thức của học sinh”

Theo GS Nguyễn Hữu Châu :“Quá trình nhận thức của học sinh không phải

là quá trình tìm ra cái mới cho nhân loại mà là nhận thức được cái mới cho bản thân, rút ra từ kho tàng hiểu biết chung của loài người và là quá trình học sinh xây dựng , kiến tạo nên những kiến thức cho bản thân thông qua các hoạt động để thích ứng với môi trường học tập mới”

G Polya cho rằng: “ Nếu việc dạy Toán phản ánh mức độ nào đó việc hình thành Toán học như thế nào thì trong việc dạy toán phải dành chỗ cho dự đoán, suy luận có lý”

1.3 Bản chất của quá trình dạy học

Bản chất của quá trình dạy học là quá trình nhận thức của học sinh, đó chính là quá trình phản ánh thế giới khách quan vào ý thức của học sinh Quá trình nhận thức của học sinh về cơ bản cũng giống như quá trình nhận thức nói chung, diễn ra theo quy luật “ Từ trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng và từ tư duy trừu tượng trở về thực tiễn” Tuy nhiên quá trình nhận thức của học sinh có tính độc đáo đó là được tiến hành trong những điều kiện sư phạm nhất định

1.4.Mục tiêu của quá trình dạy học

Mục tiêu của quá trình dạy học là đào tạo những con người có kiến thức,

có năng lực tư duy độc lập và có kỹ năng giải quyết vấn đề

1.5.Lịch sử nghiên cứu

Các tình huống có vấn đề trong tư duy và trong dạy học” là công trình nghiên cứu của A.M Machiuskin (Nhà xuất bản Maxtcơva ,năm 1972) Tác phẩm này là một lý luận về dạy học có giá trị ,khai thác được những thành tựu mới của tâm lý học, Giáo dục học để phân tích các vấn đề cơ bản Nội dung bao gồm :

- Thế nào là lĩnh hội tri thức một cách sáng tạo ?

- Tình huống có vấn đề là gì? Làm thế nào có thể tạo được tình huống có vấn

- Hiệu quả của dạy học nêu vấn đề

Ở Việt Nam ,có nhiều nhà giáo dục đã nghiên cứu phương pháp dạy học phát hiện và nêu vấn đề Các tác giả đã nghiên cứu các vấn đề có tính khái

quát cao và đưa ra một số ví dụ về việc vận dụng dạy học giải quyết vấn đề.Trong dạy học giải quyết vấn đề , tác giả Nguyễn Bá Kim cho rằng : “ Học sinh tích cực tư duy do nảy sinh nhu cầu tư duy , do đứng trước khó khăn về nhận thức , học sinh tự kiến tạp hoặc tham gia vào việc kiến tạo tri thức cho mình dựa vào tri thức đã có , bổ sung và làm cho các tri thức cũ được hoàn thiện hơn Học sinh học tập tự giác tích cực , vừa kiến tạo được tri thức , vừa học được cách thức giải quyết vấn đề , lại vừa rèn luyện được những đức tính quý báu như kiên trì , vượt khó…”

Tuy nhiên ,việc nghiên cứu dạy học giải quyết vấn đề vào những nội dung cụ thể vẫn cần thiết và đang được các giáo viên quan tâm trong nhằm cải thiện công việc giảng dạy của mình

1.6.Thực trạng dạy học

Trên thực tế, trong các trường phổ thông , các giáo viên vẫn chỉ trú trọng tới việc truyền thụ tri thức, tình trạng đọc-chép vẫn khá phổ biến ; học sinh học tâp thụ động , máy móc, thiếu sáng tạo.Như vậy, dạy học vẫn chưa phát huy tính tích cực ,tự giác ,chủ động, tư duy sáng tạo của người học.Nói cách khác , luật giáo dục và các nghị quyết vẫn chưa được thực thi

1.7.Góp phần đổi mới phương pháp dạy học

Sự cấp thiết của việc cần phải đổi mới phương pháp dạy học đã được chỉ rõ trong các văn bản mang tính pháp lí của Đảng, Nhà nước và Bộ Giáo dục - Đào tạo Định hướng chung của việc đổi mới phương pháp dạy học đã được xác định là: Phương pháp dạy học phải hướng vào việc tổ chức cho người học học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực, sáng tạo, được thực hiện độc lập hoặc trong giao lưu Nói cách khác, cần vận dụng các phương pháp dạy học hiện đại, các PPDH đảm bảo "hoạt động hóa người học" vào các trường phổ thông Định hướng này bao gồm:

- Xác lập vị trí chủ thể của người học, bảo đảm tính tự giác tích cực, sáng tạo của hoạt động học tập

- Xây dựng những tình huống có dụng ý sư phạm cho học sinh học tập trong hoạt động và bằng hoạt động được thực hiện độc lập hoặc trong giao lưu

- Dạy việc học, dạy tự học thông qua toàn bộ quá trình dạy học

- Chế tạo và khai thác những phương tiện phục vụ quá trình dạy học

- Tạo niềm lạc quan học tập dựa trên lao động và thành quả của bản thân người học

- Xác định vai trò mới của người thầy với tư cách là người thiết kế, ủy thác,

điều khiển và thể chế hóa

Sáu định hướng trên đây được xác định trên cơ sở những nghiên cứu sâu sắc hoạt động học của người học theo hướng tiếp cận toàn diện quá trình dạy học Những định hướng này phù hợp với việc vận dụng Lý thuyết tình huống vào dạy học Các yêu cầu về phương pháp dạy học, trang thiết bị, đội ngũ giáo viên và học sinh

Những vấn đề nêu trên đã gợi cho người viết ý tưởng lựa chọn nghiên cứu

đề tài: Dạy học“Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng” hình học 10

nâng cao-Trung học phổ thông theo hướng tiếp cận giải quyết vấn đề”

2.Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu quá trình dạy học “Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng” hình học lớp 10 nâng cao-Trung học phổ thông nhằm giúp học sinh nắm vững tri thức; phát huy khả năng độc lập tư duy và rèn luyện kỹ năng giải quyết vấn đề cho người học

3.Giả thuyết nghiên cứu

Trong quá trình dạy học môn Toán, nếu giáo viên vận dụng một cánh hợp lý dạy học giải quyết vấn đề thì học sinh sẽ rất hứng thú học và do đó chất lượng học tập sẽ được nâng cao

4.Đối tượng , phạm vi nghiên cứu

Luận văn nghiên cứu dạy học giải quyết vấn đề thông qua dạy học chương “Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng ”(Chương trình hình học lớp 10 nâng cao) Đề tài được nghiên cứu từ năm 2005 (khi bộ giáo dục có

chủ trương đổi mới phương pháp dạy học) tới năm 2010 Thực trạng dạy học giải quyết vấn đề được nghiên cứu ở một số trường phổ thông trên địa bàn tỉnh Nam Định

5.Nhiệm vụ nghiên cứu

-Hệ thống các khái niện có liên quan đến dạy học giải quyết vấn đề và chỉ

rõ cơ sở khoa học của dạy học giải quyết vấn đề

-Phân tích thực trạng dạy học “Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng,”

ở một số trường THPT

-Đề xuất biện pháp dạy học theo hướng tiếp cận giải quyết vấn đề Vận dụng các biên pháp đó vào dạy học “Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng” hình học 10 nâng cao-Trung học phổ thông

-Tiến hành thực nghiệm sư phạm để kiểm tra tính khả thi của đề tài

6.Phương pháp nghiên cứu

-Phân tích tài liệu: Đọc các tài liệu về tâm lý học, triết học ,lôgic học , giáo

dục học Trên cơ sở các thông tin đó , tác giả phân tích , đánh giá tím ra các

giải pháp hợp lý

-Điều tra xã hội: Sử dụng phiếu trắc nghiệm và phỏng vấn trực tiếp học sinh, đồng nghiệp và các phụ huynh học sinh

-Thống kê toán học: Quan sát thái độ của học sinh trong quá trình thực

nghiệm ; thống kê , phân tích các kết qủa kiểm tra

7.Cấu trúc của luận văn

Kết cấu của đề tài ngoài phần mở đầu ,kết luận và danh mục tài liệu tham khảo, gồm có 3 chương

Chương1.Một số vấn đề lí luận của dạy học GQVĐ

Chương2.Thực trạng dạy học theo hướng tiếp cận giải quyết vấn đề thông

qua dạy học “Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng” ở một số trường THPT

Chương3 Một số biện pháp dạy học theo hướng tiếp cận giải quyết vấn đề

thông qua dạy học “Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng”

NỘI DUNG

Chương1:MỘT SỐ VẤN ĐỀ LÝ LUẬN VỀ DẠY HỌC GQVĐ

1.1.Nhiệm vụ của quá trình dạy học Toán

1.1.1.Truyền thụ những tri thức, kỹ năng toán học và kỹ năng vận dụng toán học vào đời sống

Truyền thụ tri thức, rèn luyện kỹ năng là cơ sở để thực hiện các nhiệm vụ

về các phương diện khác Để thực hiện nhiệm vụ quan trọng này, ta cần lưu ý những điểm sau đây:

1.1.1.1.Truyền thụ những dạng khác nhau của tri thức: Người ta thường phân

biệt 4 dạng tri thức: Tri thức sự vật ,tri thức phương pháp,tri thức chuẩn và tri thức giá trị

Tri thức sự vật trong môn toán thường là một khái niệm (ví dụ khái niệm

vectơ), một định lý(chẳng hạn định lý sin trong tam giác), cũng có khi là một yếu tố lịch sử

Tri thức phương pháp liên hệ với hai loại phương pháp khác nhau về bản

chất: những phương pháp có tính chất thuật toán(ví dụ như phương pháp giải phương trình bậc hai) và những phương pháp có tính chất tìm đoán(chẳng hạn phương pháp tổng quát của Pôlya để giải bài tập toán học)

Tri thức chuẩn thường liên quan với những chuẩn mực nhất định, chẳng

hạn trình bày giả thuyết và kết luận của một chứng minh như thế nào, sắp xếp các dòng biến đổi đồng nhất ra sao v.v …

Tri thức giá trị có nội dung như là những mệnh đề đánh giá, chẳng hạn

“Toán học có vai trò quan trọng trong khoa học kỹ thuật cũng như trong đời sống”, “khái quát hóa là thao tác trí tuệ cần thiết cho mọi khoa học”

Trong dạy toán học, người thầy giáo cần coi trọng đúng mực các dạng tri thức khác nhau, tao cơ sở cho việc thực hiện giáo dục toàn diện Đặc biệt, ta

có thể nói rằng tri thức phương pháp ảnh hưởng trực tiếp tới việc rèn luyện kỹ năng, tri thức giá trị làm nền tảng cho việc giáo dục tư tưởng chính trị

1.1.1.2.Hình thành kĩ năng trên những bình diện khác nhau: Do tính trừu

tượng nhiều bình diện của Toán học , trong dạy học toán, ta cần quan tâm rèn luyện cho học sinh những kĩ năng trên những bình diện khác nhau:

- Kĩ năng vận dụng tri thức nội bộ môn toán

- Kĩ năng vận dụng tri thức toán học vào những môn học khác

- Kĩ năng vận dụng tri thức toán học vào đời sống

Kĩ năng trên bình diện thứ nhất là một sự thể hiện mức độ thông hiểu tri thức toán học Không thể hình dung một con người hiểu những tri thức toán học mà lại không biết vận dụng chúng để làm toán

Kĩ năng trên bình diện thứ hai thể hiện vai trò công cụ của Toán học đối với những môn học khác, thường là những môn gắn bó thực tiễn trực tiếp hơn môn toán

Kĩ năng trên bình diện thứ ba là một mục tiêu quan trọng của môn toán Nó cũng cho học sinh thấy rõ mối liên hệ giữa toán học và đời sống

1.1.1.3.Tô đậm những mạch tri thức, kĩ năng xuyên suốt chương trình: Trong

dạy toán học, ta không chỉ dừng lại việc truyền thụ những tri thức lẻ tẻ, rèn luyện những kĩ năng riêng biệt cho học sinh, mà còn phải thường xuyên chú ý những hệ thống tri thức, kỹ năng tạo thành những mạch xuyên suốt chương trình Trong môn toán, có thể kể tới những mạch như sau:

1.1.2.Phát triển năng lực trí tuệ chung

Môn toán có khả năng to lớn góp phần phát triển năng lực trí tuệ cho học

sinh Nhiệm cụ này cần được thực hiện một cách có ý thức, có hệ thống, có kế

hoạch chứ không phải là tự phát Muốn vậy, người thầy giáo cần có ý thức đầy đủ về các mặt sau đây:

1.1.2.1.Rèn luyện tư duy logic và ngôn ngữ chính xác: Do đặc điểm của khoa

học toán học, môn toán có tiềm năng quan trọng có thể khai thác để rèn luyện cho học sinh tư duy logic Nhưng tư duy không thể tách rời ngôn ngữ, nó phải diễn ra dưới hình thức ngôn ngữ, được hoàn thiện trong sự trao đổi ngôn ngữ của con người và ngược lại, ngôn ngữ được hình thành nhờ có tư duy Vì vậy, việc phát triển tư duy logic gắn liền với việc rèn luyện ngôn ngữ chính xác Việc phát triển tư duy logic và ngôn ngữ chính xác ở học sinh qua môn toán

có thể được thực hiên theo ba hướng liên quan chặt chẽ với nhau:

- Làm cho học sinh nắm vững, hiểu đúng và sử dụng đúng những liên kết logic và, hoặc, nếu thì, phủ định, những lượng từ tồn tại và khái quát…

- Phát triển khả năng định nghĩa và làm việc với những định nghĩa

- Phát triển khả năng hiểu chứng minh, trình bày lại những chứng minh và độc lập tiến hành chứng minh

1.1.2.2.Phát triển khả năng suy đoán và tưởng tượng: Tác dụng phát triển tư

duy của môn toán không phải chỉ hạn chế ở sự rèn luyện tư duy logic mà còn

ở sự phát triển khả năng suy đoán và tưởng tượng Muốn phát triển khả năng này, người thầy giáo cần lưu ý:

- Làm cho học sinh quen và có ý thức sử dụng những quy tắc suy đoán như xét tương tự, khát quát hóa, quy lạ về quen…Những suy đoán có thể rất táo bạo, nhưng phải có căn cứ, dưa trên những quy tắc, kinh nghiệm nhất định chứ không phải là đoán mò, mà lại càng không phải là nghĩ liều

- Tập luyện cho học sinh khả năng hình dung được những đối tượng và quan

hệ không gian và làm việc với chúng trên những dữ liệu bằng lời hay những hình phẳng

1.1.2.3.Rèn luyện những thao tác tư duy: Môn toán đòi hỏi học sinh phải

thường xuyên thực hiện những thao tác tư duy như phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa, khái quát hóa v.v…, do đó có tác dụng rèn luyện cho học sinh những thao tác này

Trừu tượng hóa là tách những đặc điểm bản chất khỏi những đặc điểm không

bản chất Đương nhiên sự phân biệt bản chất với không bản chất ở đây mang

ý nghĩa tương đối, nó phụ thuộc mục đích hành động

Khái quát hóa là chuyển từ một tập hợp đối tượng sng một tập hợp lớn hơn

chứa tập hợp ban đầu bằng cách nêu bật một số trong các đặc điểm chung của các phẩn tử của tập hợp xuất phát Như vậy, ta thấy ngay rằng trừu tượng hóa

là điều kiện cần của khái quát hóa

Cùng với phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa, khái quát hóa, trong môn Toán học sinh còn thường phải thực hiện các phép tương tự hóa, so sánh, …

do đó có điều kiện rèn luyện cho họ những thao tác trí tuệ này

Việc thực hiện một số trong các thao tác trí tuệ trên được minh hóa qua ví dụ tìm công thức tính sin3x theo những hàm số lượng giác của đối số x

Thoạt tiên, thao tác phân tích làm biến đổi sin3x thành sin(2x + x) Sự phân tích này diễn ra trên cơ sở tổng hợp, liên hệ biểu thức sin3x với công thức

sin(a + b) = sinacosb + sinbcosa

Việc khớp trường hợp riêng sin (2x + x) vào biểu thức tổng quát sin(a + b) là

một sự khái quát hóa; việc này được thực hiện nhờ trừu tượng hóa, nêu bật

các đặc điểm bản chất “Hàm số sin”, “ Đối số có dạng tổng hai số” và tách chúng khỏi những đặc điểm không bản chất “Một số hạng gấp đôi số hạng kia”

Sơ đồ 1.1.Ví dụ về các thao tác tư duy

Tiếp theo việc khái quát hóa là việc đặc biệt hóa công thức

sin(a + b) = sinacosb + sinbcosa cho trường hợp a = 2x, b= x để đi đến công thức sin(2x + x) = sin2xcosx + sinxcos2x Thao tác phân tích lại diễn ra khi tách riêng sin2x và cos2x trong công thức trên để biến đổi thành :

sin2x = 2sinxcosx ; cos2x = cos2x – sin2x

cos2x – sin2x

Phân tích sin2xcosx + sinxcos2x Đặc biệt hóa

Từ đó dẫn tới biến đổi vế phải thành 3sinxcos2

x – sin3x

Cuối cùng, việc liên kết biểu thức xuất phát sin3x với kết quả biến đổi

3sinxcos2x – sin3x là một sự tổng hợp dẫn tới:

sin3x = 3sinxcos2x – sin3x

Các hoạt động vừa phân tích ở trên thật ra mới chỉ ở dạng tiềm năng Nếu

người thầy giáo có ý thức phát triển năng lực trí tuệ chung cho học sinh thì ở những lúc thích hợp có thể kích thích việc thực hiện những hoạt động này bằng những câu hỏi gợi ý như:

-Hãy viết sin3x dưới dạng thích hợp với công thức biến đổi lượng giác nào đó? (kích thích phân tích, khái quát hóa);

-Hãy áp dụng công thức biến đổi sin của một tổng vào biểu thức

sin(2x + x) (khuyến khích đặc biệt hóa).sin(a + b)

1.1.2.4.Hình thành những phẩm chất trí tuệ: Việc rèn luyện cho học sinh

những phẩm chất trí tuệ có ý nghĩa toán học lớn đối với việc học tập, công tác

và cuộc sống của học sinh Có thể nêu lên một số phẩm chất trí tuệ quan

trọng:

- Tính độc lập: Tính độc lập của tư duy thể hiện ở khả năng tự mình phát hiện vấn đề, tự mình kiểm tra và hoàn thiện kết quả đạt được Tính độc lập liên hệ chặt chẽ mật thiết với tính phê phán của tư duy Tính chất sau này thể hiện ở khả năng đánh giá nghiêm túc những ý nghĩa và tư tưởng của người khác và bản thân mình, có tinh thần hoài nghi khoa học, biết đặt những câu hỏi “tại sao”, “như thế nào ?” khi lĩnh hội kiến thức

- Tính sáng tạo: Tính linh hoạt, tính độc lập và tính phê phán là những điều kiện cần thiết của tư duy sáng tạo, là những đặc điểm về những mặt khác nhau của tư duy sáng tạo Tính sáng tạo của tư duy thể hiện rõ nét ở khả năng tạo ra cái mới: Phát hiện ra vấn đề mới, tìm ra hướng đi mới, tạo ra kết quả mới Nhấn mạnh cái mới không có nghĩa là coi nhẹ cái cũ Cái mới thường nảy sinh, bắt nguồn từ cái cũ, nhưng vấn đề là ở chỗ cách nhìn cái cũ như thế nào Các khái niệm nhóm, vành, trường chẳng qua là một sự trừu tượng hóa, khái quát hóa những đối tượng, những quan hệ và những tính chất đã thấy trên một

số tập hợp số Nhưng rõ rang việc đi từ những tập hợp số tới những khái niệm nhóm, vành, trường là một sự sáng tạo lớn Tính sáng tạo có thể dẫn tới

những suy nghĩ rất táo bạo, nhưng có căn cứ chứ không phải nghĩ liều, làm liều

1.1.3 Giáo dục chính trị tư tưởng, đạo đức và thẩm mĩ

Cũng như ở các bộ môn khác, quá trình dạy học môn toán là một quá trình

thống nhất giữa giáo dưỡng và giáo dục Để làm được việc này, người thầy giáo toán một mặt phải thực hiện phần nhiệm vụ chung giống như giáo viên các bộ môn khác: phát huy tác dụng gương mẫu, tận dụng ảnh hưởng của tập thể học sinh, phối hợp với giáo viên chủ nhiệm…; nhưng mặt khác còn cần khai thác tiềm năng của nội dung môn toán để góp phần riêng của bộ môn và việc thực hiện nhiệm vụ này.Nhìn chung cần chống hai khuynh hướng:

- Khuynh hướng thứ nhất phủ nhận nhiệm vụ giáo dục tư tưởng chính trị của môn toán, hay nhẹ hơn một chút là chỉ hạn chế tác dụng giáo dục của mônnày

1.1.3.1.Giáo dục long yêu nước, yêu chủ nghĩa xã hội: Trong phạm vi môn

toán, có thể giáo dục lòng yêu nước, yêu chủ nghĩa xã hội theo những cách sau:

-Đưa những số liệu về công cuộc xây dựng và bảo vệ tổ quốc vào những đề toán trong những trường hợp có thể được, chẳng hạn những bài toán có nội dung thực tế giải bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình

-Khai thác một số sự kiện về lịch sử toán liên quan tới truyền thống dân tộc, chẳng hạn việc tính gần đúng số л theo quy tắc: “Quân bát, phát tam, tồn ngũ, quân nhị”

-Giáo dục về lòng tự hào về tiềm năng Toán học của dân tộc ta Tiềm năng này bộc lộ rõ rang đến mức thế giới đã thừa nhận rằng có một nền Toán học Việt Nam Việc dùng tiếng mẹ đẻ trong dạy học và nghiên cứu Toán cũng là một niềm tự hào dân tộc.

1.1.3.2.Bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng: Môn toán có nhiều tiềm

năng có thể khai thác để bồi dưỡng cho học sinh thế giới quan duy vật biện chứng Để làm tốt việc này, cần chú ý các điểm sau:

-Làm cho học sinh thấy rõ mối liên hệ giưa toán học với thực tiễn, cụ thể là thấy rõ toán học là một dạng phản ánh thực thế khách quan, thấy rõ nguồn gốc, đối tượng và công cụ của Toán học, qua đó hiểu được bản chất của sự trừu tượng toán học

-Làm cho học sinh ý thức được những yếu tố của phép biện chứng, chẳng hạn sự tương quan và vận động của các sự vật và hiện tượng, sự thống nhất và đấu tranh của các mặt đối lập, sự chuyển hóa từ thay đổi số lượng sang chất lượng, sự biện chứng cái chung và cái riêng, cái cụ thể và cái trừu tượng, cái tất nhiên và cái ngẫu nhiên v.v…

Cần chú ý là ta thực hiện những điều này thông qua việc dạy học toán chứ không phải dạy môn triết học trong môn toán

1.1.3.3.Rèn luyện phẩm chất đạo đức: Môn toán cũng có tiềm năng rất lớn đối

với việc bồi dưỡng cho học sinh những phẩm chất đạo đức con người mơi, bởi vì bản thân lao động toán học cũng đòi hỏi những phẩm chất như thế Trong những phẩm chất này có thể kể tới: tính cẩn thận, chính xác, tính kế hoạch, ký luật, kiên trì, vượt khó, ý chí tiến công, tinh thần trách nhiêm, thái

độ phê phán, thói quen tự kiểm tra v.v…

Trong khi việc giáo dục lòng yêu nước, yêu chủ nghĩa xã hội, việc bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng chỉ có thể thực hiện ở những cơ hội nhất định thì việc rèn luyện phẩm chất đạo đức cho học sinh có thể diễn ra trong mọi giờ toán, ở mọi nội dung Điều quan trọng là thầy giáo không nên vì thế

mà ôm đồm muốn bồi dưỡng cho học sinh qua nhiều phẩm chất mội cách dàn trải trong cùng một tiết học Phải căn cứ vào đặc thù của nội dung, vào tình

hình cụ thể của học sinh về mặt đạo đức mà lúc thì nhấn mạnh phẩm chất này, khi thì tập trung vào phẩm chất kia một cách có trọng tâm, trọng điểm Như vậy mới có thể đạt được hiệu quả giáo dục mong muốn

1.1.3.4.Giáo dục thẩm mỹ: Để giáo dục văn hóa thẩm mĩ cho học sinh, cần

chú ý phát triển đồng thời các thành tố: trí thức và tầm nhìn thẩm mĩ, quan niệm và thị hiếu thẩm mĩ, tình cảm và năng lực thẩm mĩ Môn toán cũng có thể đóng góp phần mình vào giáo dục thẩm mĩ cho học sinh từ một số phương diện

Thứ nhất, môn toán cũng có những cơ hội để học sinh cảm nhận và thể hiện cái đẹp theo nghĩa thông thường trong đời sống Những hình vẽ đẹp trong sách giáo khoa, cách trình báy bảng sáng của thầy, cô giáo, những trang hình màu sắc hòa hợp trên máy vi tính, những hình cân đối, hài hòa mà nhiều khi

đã được người ta sử dụng trong kiến trúc và trong nghệ thuật tạo hình v.v …

có tác dũng bồi dưỡng óc thẩm mĩ, làm cho học sinh biết thưởng thức cái đẹp Việc yêu cầu học sinh giữ vở sạch chữ đẹp, vẽ hình rõ rang, sáng sủa, vẽ đồ thị với đường nét trơn tru, trình bày những phép tính ngăn nắp … sẽ góp phần giáo dục họ biết thể hiện và sáng tạo cái đẹp

Thứ hai, Toán học có một vẻ đẹp rất đặc sắc thể hiện tính logic, chính xác của nó Nhà bác học Nga N.E Giucốpxki (1847 - 1921) đã nhận xét: “Toán học cũng có vẻ đẹp riêng giống như hội họa và thi ca, vẻ đẹp này thường hiện

ra qua những tư tưởng rõ rang, khi mọi chi tiết của các suy lí như bày ra trước mắt ta, nhưng có khi nó làm ta phải sửng sốt vì những ý đồ rộng lớn chứa điều

gì đó chưa nói ra hết nhưng đầy hứa hẹn” (trích theo Đỗ Xuân Hà… 1990) Như vậy cùng với những tri thức Toán học quy định trong chương trình môn toán còn tiềm tàng những khả năng không nhỏ để giáo dục thẩm mĩ Giáo viên có thể dạy cho học sinh thưởng thức và thể hiện cái đẹp trong lập luận logic chặt chẽ, trong cách trình bày rõ ràng, mạch lạc, trong ngôn ngữ kí hiệu ngắn gon, chính xác, trong những lời giải bất ngờ, độc đáo, trong những ứng dụng phong phú, đa dạng… của Toán học vào đời sống

Thứ ba, Toán học có tác dụng phát triển ở người học nhiều phẩm chất giúp

họ biết thưởng thức và sáng tạo cái đẹp Một công trình nghệ thuật giá trị nào

mà không có sự sáng tạo Con người phải có sự sáng tạo thì mới tao ra được cái đẹp Con người phải có sự sáng tạo thì mới hiểu được sự sáng tạo trong cái đẹp Như vậy, óc thẩm mĩ gắn liền với óc sáng tạo Việc thưởng thức và tạo ra cái đẹp cũng thường liên hệ với tư duy hình tượng Toán học góp phần phát triển năng lực sáng tạo và tư duy hình tượng, cho nên môn toán có tác dụng giáo dục thẩm mĩ

1.1.4 Đảm bảo chất lượng phổ cập đồng thời với phát triển và bồi dưỡng năng khiếu:

Việc đảm bảo chất lượng phổ cập xuất phát từ yêu cầu khách quan của xã

hội và từ khả năng thực tế của học sinh Một mặt, xã hội đòi hỏi học sinh ra trường phải đảm nhiệm công việc lao động xây dựng và bảo vệ tổ quốc, nếu

cơ sở Toán học không vững thì sẽ ảnh hưởng tới năng suất lao động, tới hiệu suất công tác Mặt khác, những nghiên cứu của nhiều nhà tâm lý học khẳng định rằng mọi học sinh có sức khỏe bình thường đều có thể tiếp thu một nền văn hóa phổ thông, trong đó có học vấn toán học phổ thông Hiện tượng có không ít học sinh kém toán ở trường phổ thông hiện nay là do nhiều nguyên nhân về cách dạy của thầy, cách học của trò, về hoàn cảnh kinh tế, điều kiện vật chất… chứ không phải do việc dạy học toán đòi hỏi học sinh một năng khiếu đặc biệt, một trí thông minh khác thường Người giáo viên toán có thể

và cần phảo làm cho mọi học sinh tiếp thu được các tri thức và kĩ năng toán học cơ bản quy định trong chương trình Đó là nhiệm vụ bảo đảm chất lượng phổ cập

Tuy nhiên, không ít tất cả học sinh đều có khả năng trở thành những nhà Toán học Trong các trẻ em, một số có năng khiếu, tài năng về toán Phát hiện

và bồi dưỡng được những mầm mống nhân tài này là rất cần thiết, rất quan trọng, bởi vì nước ta đang cần những nhà Toán học xuất sắc góp phần xây dựng nền Toán học hiện đại, nền khoa học kĩ thuật tiên tiến, góp phần xây dựng tổ quốc Để cho những mầm non như thế bị thui chột đi không phải chỉ

đem lại sự thiệt thòi cho bản thân người có năng khiếu mà còn là một sự lãng phí rất lớn của đất nước Cuộc cách mạng khoa học kĩ thuật ngày nay đã buộc mọi người phait chú ý tới một loại tài nguyên vô cùng quý giá, đó là tài

nguyên trí tuệ lỗi lạc Việc bồi dưỡng và sử dụng có hiệu quả tinh hoa trí tuệ

là một trong những yếu tố quan trọng nhất để tạo lập và duy trì tiềm năng khoa học kỹ thuật, kinh tế, văn hóa và xã hồi của một quốc gia Vì thế giáo dục năng khiếu ngày càng được khẳng định như một tất yếu của thời đại và trở thành khâu quan trọng trong chiến lược nhân tài của nhiều quốc gia Giáo dục toán học trong nhà trường phổ thông cần phải góp phần thực hiện nhiệm

1.1.5.Liên quan giữa các nhiệm vụ

Các nhiệm vụ trên không tách rời nhau mà trái lại, chúng quan hệ mật

thiết với nhau, hỗ trợ bổ sung cho nhau nhằm hình thành ở người học sinh thế giới quan và nhân sinh quan cánh mạng, năng lực nhận thức và hành động, động cơ đúng đắn và long say mê học tập lao động, xây dựng và bảo vệ tổ quốc Điều đó thể hiện sự thống nhất giữa dạy chữ và dạy người, giữa dạy học

và phát triển

Sự liên quan giữa các nhiệm vụ thể hiện như sau:

1.1.5.1.Tính toàn diện của các nhiệm vụ: Các nhiệm vụ nêu ở trên là những

phương diện khác nhau của một thể thống nhất thể hiện tính toàn diện của nhiệm vụ dạy học toán Nói tới tính toàn diện là để người thầy giáo quan tâm tới các phương diện của nhiệm vụ, tránh khuynh hướng đơn thuần truyền thụ

tri thức hoặc chỉ thực hành một cách thực dụng, không chú ý phát triển năng lực trí tuệ và giáo dục phẩm chất đạo đức Trong điều kiện kinh tế xã hội của nước ta hiện nay, tính toàn diện không nên hiểu là yêu cầu quá cao về tất cả các mặt một cách thoát li thực tế

Mặt khác, khi nói tới nhiệm vụ toàn diện là nói đối với toàn bộ chương trình Còn đối với từng bài cụ thể thì không nên hiểu nhiệm vụ toàn diện một cách khiên cưỡng, không nên yêu cầu một sự toàn diện rải mành mành mà trái lại, cần tập trung vào một số trọng tâm, trọng điểm

1.1.5.2.Vai trò của cơ sở tri thức: Tri thức là cơ sở để rèn luyện kĩ năng thực

hiện các nhiệm vụ khác “Cơ sở” không nên hiểu là quan trọng hơn các

nhiệm vụ khác mà chỉ có nghĩa là nếu không truyền thụ tri thức thì không thể thực hiện các nhiệm vụ khác Từ đó phải tránh tình trang học sinh nhắm mắt làm ngay bài tập khi chưa học lí thuyết Tuy nhiên từ đó cũng không được dẫn tới một xu hướng sai lầm theo chiều ngược lại là gia tăng khối lượng tri thức quá nhiều, nhồi nhét tri thức cho học sinh Thậm chí còn có khả năng giảm bớt số lượng tri thức mà không hề ảnh hưởng xấu tới việc thực hiện nhiệm vụ toàn diện của môn toán Trong tình hình hiện nay, sựtinh giản tri thức một cách có cân nhắc còn có thể làm thuận lợi cho việc thực hiện các

nhiệm vụ về các mặt khác, thuận lợi cho việc giáo dục toàn diện

Với tư cách là cơ sở của giáo dục toán học, tri thức có quan hệ mật thiết với việc thực hiện các nhiệm vụ toán học Đặc biệt, những tri thức phương pháp liên quan chặt chẽ với việc rèn luyện kĩ năng, nhưng tri thức giá trị (đánh giá vai trò của một hoạt động, tầm quan trọng của một tri thức v.v …) nhiều khi

có liên hệ với việc gây động cơ hoạt động, điều đó cũng ảnh hưởng tới việc rèn luyện kĩ năng, phát triển năng lực trí tuệ hoặc bồi dưỡng thế giới quan

1.1.5.3.Vị trí của kĩ năng và hoạt động: Cùng với vai trò cơ sở của tri thức,

cần thấy rõ tầm quan trọng của kĩ năng Sự nhấn mạnh này đặc biệt cần thiết đối với môn toán vì môn này được coi là môn học công cụ do đặc điểm và vị trí của nó trong việc thực hiện nhiệm vụ phát triển nhân cách trong nhà trường phổ thông, vì vậy cần hướng mạnh vào việc vận dụng tri thức và rèn luyện kĩ

năng Sự khẳng định vị trí quan trọng của kĩ năng tất yếu dẫn tới nhấn mạnh

vai trò của hoạt động của học sinh, bởi vì kĩ năng chỉ có thể được hình thành

và phát triển trong hoạt động

Một số nhiệm vụ dạy học có thể được hoạt đông hóa, tức là có thể dùng

những hoạt động để trưng cho yêu cầu thực hiện các nhiệm vụ đo Người ta

có thể nêu ra những hoạt động mà việc tiến hành chúng thể hiện người học

sinh đạt được mục đích đặt ra tới mức độ nào Việc hoạt động hóa một nhiệm

vụ là cụ thể hóa nhiệm vụ đó, đồng thời vừa vạch ra một con đương thực hiện

nhiệm vụ đặt ra Vì những lí do đó cần cố gắng hoạt động hóa những nhiệm

vụ dạy học, mặc dù điều này không phải bao giờ cũng làm được

1.1.5.4 Sự thống nhất của các nhiệm vụ trong hoạt động: Cần hướng vào

hoạt động của học sinh trong việc thực hiện các nhiệm vụ dạy học Việc

truyền thụ một kiến thức, rèn luyện một kĩ xảo, phát triển một năng lực, hình

thành một phẩm chất cũng là nhằm góp phần giúp học sinh tiến hành một hoạt

động nào đó trong học tập cũng như trong đời sống Nhờ đó, các nhiệm vụ về

các mặt khác nhau được thống nhất trong một hoạt động, điều này thể hiện

mối liên hệ hữu cơ giữa các nhiệm vụ đó Tri thức, kĩ năng, kĩ xảo, năng lực

trí tuệ và niềm tin một mặt là điều kiện và mặt khác là đối tượng biến đổi của

hoạt động Hướng vào hoạt động một cách đúng đắn không hề làm phiến diện

nhiệm vụ dạy học, mà trái lại còn đảm bảo tính toàn diện của nhiệm vụ đó [12, tr26 - 40]

1.2.Dạy học giải quyết vấn đề

1.2.1 Cơ sở khoa học của phương pháp dạy học giải quyết vấn đề

1.2.1.1.Cơ sở triết học

Theo triết học duy vật biện chứng: “Mâu thuẫn là động lực thúc đẩy quá

trình phát triển” Mỗi vấn đề được gợi cho học sinh học tập chính là một mâu

thuẫn giữa yêu cầu nhiệm vụ nhận thức với kiến thức và kinh nghiệm sẵn có

Tình huống này phản ánh một cách lôgic và biện chứng quan hệ bên trong

giữa kiến thức cũ, kỹ năng cũ, kinh nghiệm cũ với những yêu cầu giải thích

sự kiện mới hoặc đổi mới tình thế

1.2.1.2 Cơ sở tâm lý học

Theo các nhà tâm lý học, con người chỉ bắt đầu tư duy tích cực khi nảy sinh nhu cầu cần tư duy, tức là khi đứng trước một khó khăn về nhận thức cần phải khắc phục, một tình huống gợi vấn đề, hay nói như Rubinstein: “Tư duy sáng tạo luôn luôn bắt đầu bằng một tình huống gợi vấn đề”

1.2.1.3 Cơ sở giáo dục học

Dạy học giải quyết vấn đề phù hợp với nguyên tắc tính tự giác và tích cực vì nó khêu gợi được hoạt động học tập mà chủ thể được hướng đích, gợi động cơ trong quá trình giải quyết vấn đề

Dạy học giải quyết vấn đề cũng biểu hiện sự thống nhất giữa giáo dưỡng và giáo dục Tác dụng giáo dục của kiểu dạy học này là ở chỗ nó dạy cho học sinh cách khám phá, tức là rèn luyện cho họ cách thức phát hiện, tiếp cận và giải quyết vấn đề một cách khoa học Đồng thời nó góp phần bồi dưỡng cho người học những đức tính cần thiết của người lao động sáng tạo như: tính chủ động, tính kiên trì vượt khó, tính kế hoạch và thói quen tự kiểm tra

1.2.2 Những khái niệm cơ bản

1.2.2.1 Vấn đề

Trong giáo dục, người ta thường hiểu khái niệm “vấn đề” như sau:

Một vấn đề được biểu thị bởi một hệ thống những mệnh đề và câu hỏi (hoặc yêu cầu hành động) thoả mãn các điều kiện sau:

- Học sinh chưa giải đáp được câu hỏi đó hoặc chưa thực hiện được hành động đó

- Học sinh chưa được học một quy tắc có tính chất thuật toán nào để giải đáp câu hỏi hoặc thực hiện yêu cầu đặt ra

Hiểu theo nghĩa trên thì vấn đề không đồng nghĩa với bài tập Những bài tập chỉ yêu cầu học sinh trực tiếp vận dụng một quy tắc có tính chất thuật toán thì không phải là những vấn đề

1.2.2.2 Tình huống gợi vấn đề

Tình huống gợi vấn đề là một tình huống gợi ra cho học sinh những khó khăn

về lý luận hay thực tiễn mà họ thấy cần thiết và có khả năng vượt qua, nhưng

không phải là ngay tức khắc nhờ một quy tắc có tính chất thuật toán, mà phải trải qua một quá trình tích cực suy nghĩ, hoạt động để biến đổi đối tượng hoạt động hoặc điều chỉnh kiến thức sẵn có

Như vậy, một tình huống gợi vấn đề cần thoả mãn các điều kiện sau:

- Tồn tại một vấn đề: Tình huống phải bộc lộ mâu thuẫn giữa thực tiễn với

trình độ nhận thức, chủ thể phải ý thức được một khó khăn trong tư duy hoặc hành động mà vốn hiểu biết sẵn có chưa đủ để vượt qua

- Gợi nhu cầu nhận thức: Nếu tình huống có một vấn đề, nhưng nếu học sinh

thấy xa lạ, không muốn tìm hiểu thì đây cũng chưa phải là một tình huống có vấn đề Trong tình huống có vấn đề, học sinh phải cảm thấy cần thiết, thấy có nhu cầu giải quyết vấn đề đó

Một vấn đề có thể có ý nghĩa do bản thân nội dung của nó, đó có thể là lời giải cho một câu hỏi nào đó mà cá nhân đã quan tâm đến từ lâu, hay một câu hỏi nảy sinh một cách tự nhiên và lý thú từ lôgic của đề tài đang nghiên cứu Đó có thể là một tình huống nghịch lý khiến người ta ngạc nhiên thắc mắc Song, quá trình dạy học nêu vấn đề hình thành tốt đẹp các chức năng của

nó thì trong quá trình áp dụng nó ngày càng nhiều trong thực hành thì bản thân quá trình sáng tạo, quá trình tìm tòi sẽ trở thành động cơ chủ yếu

- Gây niềm tin ở khả năng: Nếu một tình huống tuy có vấn đề và vấn đề tuy

hấp dẫn, nhưng nếu học sinh cảm thấy nó vượt quá xa so với khả năng của mình thì học sinh cũng không sẵn sàng giải quyết vấn đề Cần làm cho học sinh thấy rõ tuy họ chưa có ngay lời giải, nhưng đã có một số kiến thức, kỹ năng liên quan đến vấn đề đặt ra và nếu họ tích cực suy nghĩ thì có nhiều hy vọng giải quyết vấn đề đó

Đặt vấn đề tốt sẽ tác động đến cá nhân theo một phương thức nhất định Nếu việc khắc phục được khó khăn trong vấn đề nêu lên dẫn đến sự thoả mãn một nhu cầu nào đó của cá nhân, thì cá nhân đó sẽ có nguyện vọng giải quyết vấn đề ấy Lúc này sẽ nảy sinh một sự căng thẳng trí tuệ nhất định, sự căng thẳng này chỉ mất đi khi vấn đề đã được giải quyết Những người lười suy nghĩ, không quen với tư duy độc lập, sẵn sàng tránh sự căng thẳng đó và sự

băn khoăn về trí tuệ kèm theo nó Điều đó cũng cho thấy, tình huống có vấn

đề còn phụ thuộc vào chủ quan và tạo ra tình huống có vấn đề như thế nào để không bỏ rơi một bộ phận học sinh trong lớp là kết quả của nghệ thuật sư phạm của giáo viên

1.2.2.3 Dạy học giải quyết vấn đề

Trong dạy học giải quyết vấn đề, giáo viên tạo ra những tình huống có vấn đề, điều khiển học sinh phát hiện vấn đề, hoạt động tự giác và tích cực để giải quyết vấn đề và thông qua đó mà lĩnh hội tri thức, rèn luyện kỹ năng và đạt được những mục đích học tập khác

Có thể sơ đồ hoá quá trình dạy học giải quyết vấn đề như sau:

Sơ đồ 1.2 Quá trình dạy học giải quyết vấn đề

x

t h

Đưa học sinh (H) đến một trở ngại (T) (tình huống có vấn đề), ở đó T thoả mãn các điều kiện gây xúc cảm và trên sức một ít

Học sinh tích cực hoạt động nhận thức dưới sự gợi mở dẫn dắt toàn bộ hoặc từng phần của giáo viên, hoặc hoàn toàn độc lập để tìm ra con đường

HK vượt qua T đến kết quả K Mô phỏng theo lý thuyết hoạt động các mũi tên Hx thể hiện yếu tố trực giác với tư cách là một sự mách bảo bất ngờ, không nhận thức được Quá trình rèn luyện học sinh độc lập vượt qua trở ngại

sẽ dần dần hình thành và phát triển ở họ các năng lực sáng tạo

Dạy học giải quyết vấn đề có những đặc trưng sau:

- Học sinh được đặt vào một tình huống có vấn đề

- Học sinh hoạt động tích cực huy động tri thức và khả năng của mình để giải quyết vấn đề

- Mục đích của dạy học không chỉ là làm cho học sinh lĩnh hội được kết quả của quá trình giải quyết vấn đề, mà còn làm cho họ phát triển được khả năng tiến hành những quá trình như vậy Nói cách khác, học sinh không chỉ học kết quả của việc học mà trước hết là học bản thân việc học

1.2.3 Các hình thức dạy học giải quyết vấn đề

Tuỳ theo mức độ độc lập của học sinh trong quá trình giải quyết vấn đề, người ta nói tới các cấp độ khác nhau, cũng đồng thời là những hình thức khác nhau của dạy học giải quyết vấn đề

1.2.3.1 Hình thức trình bày nêu vấn đề

ở hình thức này, mức độ độc lập của học sinh thấp hơn ở hai hình thức trên Thầy giáo tạo ra tình huống gợi vấn đề, sau đó chính bản thân thầy đặt vấn đề và trình bày quá trình suy nghĩ giải quyết (chứ không phải chỉ đơn thuần nêu lời giải) Trong quá trình này có tìm kiếm dự đoán, có lúc thành công, có khi thất bại phải điều chỉnh phương hướng mới đi đến kết quả Như vậy, kiến thức được trình bày không phải dưới dạng có sẵn mà là trong quá trình khám phá ra chúng, quá trình này là một sự mô phỏng và rút gọn quá trình khám phá thực

Hình thức này được áp dụng trong trường hợp thông báo những sự kiện trong lịch sử phát triển khoa học mà chính khoa học cũng đứng trước những tình huống có vấn đề, có khi đến nay vẫn chưa giải quyết được Hoặc trong trường hợp do lô-gic của trình bày tài liệu mà nảy sinh ra những tình huống mâu thuẫn với các quan niệm quen thuộc hay với những khẳng định mới đây của giáo viên liên quan với việc nghiên cứu giai đoạn phát triển khoa học trước đó Trong hai trường hợp vừa nêu, tình huống có vấn đề là không vừa sức học sinh Nếu tình huống có vấn đề tuy cũng vừa sức học sinh nhưng nó thuận tiện để giới thiệu với học sinh một mẫu mực về tư duy nghiêm túc, tiết kiệm thì vẫn có thể sử dụng hình thức trình bày nêu vấn đề

1.2.3.2.Hình thức tìm tòi từng phần

Trong hình thức này, học sinh giải quyết vấn đề không hoàn toàn độc lập mà có sự gợi ý dẫn dắt khi cần thiết Giáo viên tạo tình huống, học sinh tự

phát hiện và giải quyết vấn đề với sự hướng dẫn của giáo viên Hình thức này

là cần thiết trong trường hợp học sinh gặp khó khăn, không có lối thoát khi giáo viên tạo tình huống gợi vấn đề Khi đó, nhiệm vụ của giáo viên là phải giúp đỡ học sinh mà không làm mất đi tính có vấn đề của bài toán Có thể chỉ

ra một số con đường để thực hiện phương pháp này Nếu học sinh không thể giải được bài toán thì thì giáo viên xây dựng một bài toán khác tương tự thế nhưng hẹp hơn Hoặc giáo viên chia một bài toán khó thành vài ba bài toán nhỏ, dễ hơn, nhưng tập hợp lại thì thành lời giải cho bài toán ban đầu Hoặc, giáo viên gợi ý những dữ kiện bổ sung cho điều kiện của bài toán khó, nhờ đó hạn chế được số bước giải và phạm vi tìm tòi

1.2.3.3 Hình thức nghiên cứu

Trong hình thức nghiên cứu, tính độc lập của người học được phát huy cao độ Thầy giáo chỉ tạo ra tình huống gợi vấn đề, học sinh tự phát hiện và giải quyết vấn đề đó Thầy giáo giúp học sinh cùng lắm là ở khâu phát hiện vấn đề Như vậy, trong hình thức này, người học độc lập nghiên cứu vấn đề

và thực hiện tất cả các khâu cơ bản của quá trình nghiên cứu này, nhờ đó chuẩn bị cho học sinh năng lực giải quyết các vấn đề một cách trọn vẹn

1.2.4 Các mức dạy học giải quyết vấn đề

Theo một số nhà lí luận dạy học, tuỳ theo mức độc lập tư duy của học sinh,người ta thực hiện các mức dạy học giải quyết vấn đề như sau

Mức1.Giáo viên đặt vấn đề , nêu cách giải quyết vấn đề , đòng thời giáo viên

giải quyết vấn đề Học sinh là người quan sát và tiếp nhận kết luận do giáo viên thực hiện , đây là mức thấp nhất và thường áp dụng với những nội dung dạy học quá khó so với trình độ nhận thức của học sinh trong quá trình này ,

họ cũng trải qua những thời điểm , những cảm xúc và thái độ khác nhau như một học sinh đang thực sự tham gia quá trình nghiên cứu, nhưng không trực tiếp giải quyết vấn đề

Mức2.Giáo viên dặt vấn đề, nêu cách giải quyết vấn đề và giải quyết vấn đề

.Sau đó giáo viên hướng dẫn học sinh rút ra kết luận và giáo viên chính xác hoá các kiến thức

Mức3.Giáo viên gợi ý để học sinh phát hiện ván đề, hướng dẫn học sinh tìm

cách giải quyết vấn đề , giáo viên và học sinh cùng đánh giá kết quả ,rút ra kết luận

Mức4.Học sinh tự phát hiện vấn đề cần nghiên cứu , lập kế hoạch và giải

quyết vấn đề, tự rút ra kết luận , giáo viên nhận xét đánh giá

1.2.5 Thực hiện dạy học giải quyết vấn đề

Hạt nhân của dạy học giải quyết vấn đề là điều khiển quá trình nghiên cứu của học sinh Quá trình này có thể chia thành các bước sau, trong đó bước nào, khâu nào do học trò tự làm hoặc có sự gợi ý của thầy hoặc chỉ theo dõi

sự trình bày của thầy là tuỳ thuộc sự lựa chọn một cấp độ đã nêu ở mục 1,2,3

Bước 1: Phát hiện vấn đề:

- Đưa học sinh vào tình huống có vấn đề

- Phân tích tình huống đó

- Dự đoán vấn đề nảy sinh và đặt mục đích chứng minh tính đúng đắn của nó

Bước 2: Giải quyết vấn đề:

- Phân tích vấn đề, làm rõ những mối liên hệ giữa cái đã biết và cái phải tìm

- Đề xuất và thực hiện hướng giải quyết, có thể điều chỉnh, thậm chí bác bỏ

và chuyển hướng khi cần thiết Trong khâu này thường sử dụng những quy tắc tìm đoán như: quy lạ về quen, đặc biệt hoá, chuyển qua những trường hợp suy biến, xem xét tương tự, khái quá hoá, xét những mối liên hệ và phụ thuộc, suy ngược và suy xuôi

- Trình bày cách giải quyết vấn đề

Bước 3: Kiểm tra và vận dụng:

- Kiểm tra sự đúng đắn và phù hợp với thực tế của lời giải

- Kiểm tra tính hợp lý hoặc tối ưu của lời giải

- Tìm hiểu những khả năng ứng dụng kết quả

- Đề xuất những vấn đề mới có liên quan nhờ xét tương tự, khái quát hoá, lật ngược vấn đề và giải quyết nếu có thể

* Những điểm lưu ý trong quá trình sử dụng quy trình dạy học:

- Quy trình dạy học trên phải được xây dựng trên cơ sở bao quát toàn bộ các đơn vị kiến thức quy định trong một giờ học, tức là giáo viên phải định rõ vấn

đề nhận thức nào là cơ bản, cho học sinh phát hiện và giải quyết (giai đoạn 1

và 2), những vấn đề còn lại được coi là sự vận dụng (giai đoạn 3) của vấn đề

cơ bản đó Như vậy, toàn bộ tiến trình giờ học là sự vận động và biến đổi theo

ba giai đoạn của vấn đề cơ bản ban đầu

- Bước vận dụng vào tình huống mới (trong giai đoạn thứ ba của quy trình) lại trải qua ba giai đoạn của quy trình dạy học: phát hiện tình huống mới, giải quyết nó và lại vận dụng nó vào tình huống mới khác cứ thế tiếp tục cho tới hết giờ học Do đó, hành động vận dụng ở quy trình dạy học phải thực hiện mục đích kép: vừa tìm ra kiến thức mới, vừa rèn luyện phương thức hành động qua việc thực hành lại quy trình dạy học

- Quy trình dạy học đã nêu nên được coi là quy trình “khung” cho một giờ dạy theo kiểu giải quyết vấn đề Còn trong mỗi giai đoạn, hoạt động tương tác giữa giáo viên và học sinh luôn biến đổi hết sức linh hoạt bởi: tuỳ thuộc vào nội dung nhận thức nào cần lĩnh hội, hình thức dạy học nào được lựa chọn, trình độ nhận thức của học sinh, năng lực chuyên môn và sư phạm của giáo viên Song, cần đảm bảo tính hướng đích của quy trình dạy học: Dựa vào kết quả dự đoán mà chủ thể (học sinh) luôn hướng vào đó để điều chỉnh và kiểm tra hành động của mình

- Không nên quá cứng nhắc trong việc xây dựng và sử dụng quy trình dạy học, bởi việc thiết kế nó bị phụ thuộc vào nội dung, đối tượng nhận thức, trình

độ của giáo viên, phương tiện dạy học

1.3 Kết luận chương 1

Chương này đề cập đến các cơ sở khoa học của phương pháp dạy học giải quyết vấn đề , phân tích dạy học giải quyết vấn đề trong quá trình dạy học toán, với nhấn mạnh rằng: dạy học giải quyết vấn đề mang tính hiện đại, nó đáp ứng được một số yêu cầu về vấn đề dạy học và tích cực hoá hoạt động nhận thức của học sinh Trong quá trình dạy học, giáo viên cần phải dự tính lựa chọn các pha dạy học giải quyết vấn đề thích hợp cho từng nội dung, cho từng tiết học và cho từng đối tượng học sinh Dạy học theo hướng tiếp cận giải quyết vấn đề phù hợp với những định hướng và các giải pháp đổi mới phương pháp dạy học hiện nay Cải tạo được thực trạng dạy học môn Toán ở các trường THPT Vì thế, việc thực hiện dạy học một số nội dung toán học theo hướng tiếp cận giải quyết vấn đề là hết sức cần thiết

Chương 2: THỰC TRẠNG DẠY HỌC THEO HƯỚNG TIẾP CẬN GIẢI

QUYẾT VẤN ĐỀ THÔNG QUA DẠY HỌC “TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG” Ở MỘT SỐ TRƯỜNG THPT

2.1 Quá trình điều tra thực tiễn

2.1.1 Mục đích điều tra

Tìm hiểu thực trạng dạy học theo hướng tiếp cận GQVĐ ; sự cần thiết của của việc dạy học GQVĐ thông qua dạy học chương “ Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng”- Hình học10 (ban nâng cao) ở một số trường THPT trên địa bàn tỉnh Nam Định

2.1.2.Đối tượng điều tra

Đối tượng khảo sát là một số giáo viên Toán đang trực tiếp ở trường THPT

trên địa bàn tỉnh Nam Định và HS ở một số trường THPT trên địa bàn tỉnh Nam Định Đối tượng tham gia trả lời phiếu là 45 giáo viên Toán và 50 học sinh

2.1.3.Nội dung điều tra

-Tìm hiểu về thực trạng dạy học theo hướng tiếp cận giải quyết vấn đề của

GV Toán thông qua dạy học chương “ Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng”- Hình học10 (ban nâng cao)

- Xin ý kiến của giáo viên về sự cần thiết và tính khả thi của dạy học giải quyết vấn đề

2.1.4.Phương pháp điều tra

- Quan sát: Dự giờ một số tiết dạy môn Toán về chương “ Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng”- Hình học 10( ban nâng cao ) để quan sát tiến trình dạy học, thái độ học tập của các em từ đó đánh giá mức độ bồi dưỡng và phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh thông qua các giờ học đó

- Phỏng vấn, điều tra bằng phiếu hỏi đối với giáo viên Toán về thực trạng dạy học giải quyết vấn đề khi dạy học chương “Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng”

- Đánh giá khả năng phát hiện và giải quyết vấn đề của học sinh thông qua các bài kiểm tra

2.1.5 Một số kết quả:

2.1.5.1.Kết quả điều tra thực trạng dạy học GQVĐ của GV qua phiếu hỏi Kết quả thu được khi tiến hành tổng hợp phiếu hỏi giáo viên , với câu hỏi

“Trong quá trình dạy học chương “Tích vô hướng của hai vectơ và ứng

dụng” , thầy (cô) thường sử dụng phương pháp dạy học nào?”

Bảng2.1 Kết quả lấy ý kiến GV về sự lựa chọn phương pháp dạy học khi dạy chương “Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng”

TẦN SỐ SỬ DỤNG

PHƯƠNG PHÁP

Thường xuyên

Không thường xuyên

Không

sử dụng

1 Thuyết trình kết hợp với nêu câu hỏi 27 18 0

Với câu hỏi “Xin thầy (cô) cho ý kiến của mình về sự cần thiết phải dạy học giải quyết vấn đề”

Bảng 2.2 Kết quả xin ý kiến giáo viên về sự cần thiết của dạy học giải quyết

Bảng2.3 Kết quả xin ý kiến giáo viên về tác động của dạy học giải quyết

vấn đề và tình khả thi của cách dạy học này

1.Dạy học GQVĐ có thể giúp học sinh đạt được

chuẩn kiến thức,kĩ năng trong chương trình

Kết quả cho thấy , hầu hết giáo viên đều nhận thấy dạy học giải quyết vấn

đề có thể giúp học sinh đạt được chuẩn kiến thức kĩ năng trong trương

trình.Đồng thời dạy học giải quyết vấn đề có thể góp phần phát triển trí tuệ cho học sinh và hình thành ở họ một số phẩm chất trí tuệ.Song, vẫn có 3/45 giáo viên cho rằng dạy học giải quyết vấn đề không thể giúp học sinh đạt được chuẩn kiến thức kĩ năng trong chương trình và 3/45 giáo viên cho rằng

dạy học giải quyết vấn đề chưa phù hợp với tiết học 45 phút và không thể thực hiện đúng tiến độ của PPCT

Với kết quả phiếu hỏi “các biện pháp mà giáo viên đã sử dụng để tạo tình huống gợi vấn đề , giúp học sinh lập kế hoạch giải quyết vấn đề , tổ chức cho học sinh giải quyết vấn đề và giúp học sinh đánh giá kết quả” thì hầu hết giáo viên chọn biện pháp thuyết trình giải quyết vấn đề , số ít chọn biện pháp sử dụng hệ thống câu hỏi hướng dẫn học sinh và biện pháp tổ chức cho học sinh thảo luận nhóm

2.1.5.2.Kết quả điều tra thực trạng học tập của học sinh qua bài kiểm tra

*)Một số nhận xét rút ra từ bài làm của học sinh qua bài kiểm tra số 1

Với một kiểu đề mở và khá “lạ” đối với học sinh

Em hãy phát hiện sai lầm trong lời giải sau và cho các lời giả đúng

(càng nhiều cách giải càng tốt)

(Kiểm tra năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề của học sinh)

Bài toán Cho trước hai điểm cố định A ,B phân biệt

Tìm tập hợp điểm M thoả mãn 

MA 

MB = 0 Lời giải

Vậy có hai vị trí của điểm M thoả mãn là A và B.”

Tuy nhiên nếu học sinh nắm vững kiến thức về tích vô hướng của hai vectơ

và có kĩ năng giải quyết vấn đề , có thể đạt điểm số cao Kết quả sau phản ánh phần nào thực trạng về năng lực giải quyết vấn đề của học sinh

Bảng2.4.Kết quả bài kiểm tra số1

Biểu đồ 1.1 Kết quả bài kiểm tra số 1



MA 

MB = 0  MI2 - IA2 = 0

 IM2 = IA2

 IM = IA (không đổi) Vậy tập hợp điểm M là Đường tròn tâm I , bán kính AI

*)Những nhận xét rút ra từ bài làm của học sinh qua bài kiểm tra số 2

(đề kiểm tra ở phần phụ lục)

Bài1 Cho hình bình hành ABCD ,có AB = 8, AD =5 , góc A = 600

a) Tính độ dài đường chéo AC

b) Tính bán kính đường tròn (BCD)

Nhận xét: Bài 1.a) là kiến thức cơ bản.Tuy nhiên vì là bài toán mới lạ hoàn

toàn nên HS dè dặt , không dám làm hoặc để làm sau Số HS tham gia giải câu này là 35/50 , trong đố chỉ có 24 HS giải đúng

Bài 1.b) là kiến thức cơ bản Tất cả HS đều tham gia giải câu này (có 3

HS giả sai), nhưng các bài làm thường dài ,máy móc theo bài toán giải tam giác mà các em đã được biết trong SGK

Bài 2 Là bài lấy trong SGK Hình học 10 cơ bản, nhưng đã cắt phần gợi

ý ở câu a, chỉ hỏi câu b Tuy nhiên , chỉ có 13HS tham gia giải bài này và có 7

2.1.4.3 Một vài nhận xét về tiết dạy thứ nhất

Nhận thấy trong bài tỉ số lượng giác của một góc bất kì, giáo viên có thể

thiết kế pha dạy học giải quyết vấn đề Sau khi xem PPCT và được phép của

một cô giáo đã công tác lâu năm trong nghề dạy học , chúng tôi đã vào dự tiết

dạy này.(biên bản tiết dạy ở phần phụ lục)

Hoạt động 1 (Kiểm tra bài cũ và giới thiệu định lý)

Vào đầu giờ , thầy giáo kiểm tra sĩ số và kiểm tra bài cũ

GV: Cho tam giác ABC vuông tại A Hãy xác định các tỉ số sinB, cosB, tanB

và cotB

Gọi một học sinh có tên trong sổ điẻm cá nhân lên bảng

HS : Lên bảng vẽ hình và viết các công thức

Chương2 TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG

$1GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KỲ (Từ 00 đến 1800) 1.Định nghĩa

-Đọc cho học sinh ghi định nghĩa nguyờn văn trong SGK (Hỡnh học10

nõng cao)

- Vẽ hình và ghi kí hiệu lên bảng

- Giải thích thêm định nghĩa

Trước kia chúng ta biết sin cos tan và cot của các góc nhọn còn

bây giờ chúng ta xét sin cos tan và cot của một góc bất kỳ Tức là góc

đó cụ thể là góc tù , góc vuông , góc 00

1800 …