- Trong bài làm, nếu ở một bước nào đó bị sai thì các phần sau có sử dụng kết quả sai đó không được điểm.. - Học sinh được sử dụng kết quả phần trước để làm phần sau.[r]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
VĨNH PHÚC
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2013-2014
ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 180 phút, không kể thời gian giao đề.Môn: TOÁN THPT
Ngày thi 25/10/2013
Câu 1 (2,0 điểm) Giải phương trình 3 sin 2 x 3 1 2cos 2x
Câu 2 (2,0 điểm) Cho hàm số y x 3 3 mx2 m4 (1), m là tham số thực
a) Tìm m để đường thẳng y x m 4 cắt đồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt.
b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A và B sao cho tam giác ABC có
diện tích bằng 2, trong đó C (0; 1)
Câu 3 (2,0 điểm) Cho hệ phương trình sau với m là tham số thực
2
( , )
x x y x xy m
x y
a) Giải hệ khi m 2
b) Tìm m để hệ đã cho có nghiệm.
Câu 4 (2,0 điểm) Cho hình chóp S ABC . có SA vuông góc với mặt phẳng đáy Gọi
M là trung điểm của BC và H là trung điểm của AM Biết HB HC a ,
HBC ; góc giữa mặt phẳng SHC và mặt phẳng HBC bằng 600 Tính theo
a thể tích khối chóp S HBC và tính cosin của góc giữa đường thẳng BC và mặt
phẳng SHC .
Câu 5 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình thang ABCD vuông tại A và D; AB 2 AD CD , 3 AD Đường thẳng BD có phương trình x 2 y 1 0 ,
đường thẳng AC đi qua điểm M 4;2 Tìm tọa độ đỉnh A biết rằng diện tích ABCD
bằng 10 và điểm A có hoành độ nhỏ hơn 2.
Câu 6 (1,0 điểm) Cho các số thực a b c , , thỏa mãn 0 a b c và a2 b2 c2 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của P 3 abc 2014 a b c
……… Hết……….
Trang 2- Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.
- Họ và tên thí sinh ………Số báo danh……….
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
VĨNH PHÚC
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2013-2014
Môn: TOÁN THPT
HƯỚNG DẪN CHẤM
(Gồm 05 trang)
Lưu ý khi chấm bài:
- Đáp án chỉ trình bày một cách giải bao gồm các ý bắt buộc phải có trong bài làm của học sinh Khi chấm nếu học sinh bỏ qua bước nào thì không cho điểm bước đó.
- Nếu học sinh giải cách khác, giám khảo căn cứ các ý trong đáp án để cho điểm.
- Trong bài làm, nếu ở một bước nào đó bị sai thì các phần sau có sử dụng kết quả sai đó không được điểm.
- Học sinh được sử dụng kết quả phần trước để làm phần sau.
- Trong lời giải câu 4 nếu học sinh không vẽ hình thì không cho điểm.
- Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn.
Câu 1 (2,0 điểm)
3 cos 2
x
4
k
Vậy phương trình có nghiệm là x 12 k
hoặc x 4 k (k )
0,5
Câu 2 (2,0 điểm)
a) (1,0 điểm)
2
0
x
x mx
0,25 Yêu cầu bài toán tương đương với (1) có hai nghiệm phân biệt khác 0 9m2 4 0 0,25
Trang 33
2
3
m
m
Vậy các giá trị cần tìm của m là
2 3
m
hoặc
2 3
m
0,25
b) (1,0 điểm).
Ta có y' 3 x2 6mx; y' 0 x0 hoặc x2m
Đồ thị có hai điểm cực trị khi và chỉ khi m 0 (*)
0,25 Các điểm cực trị của đồ thị là A0;m4 ;B m m2 ; 4 4m3
Suy ra
AC m m
2
ABC
S AC d B AC m m
; S ABC 2 m m 412
0,25
Đặt m t 0 ta được t5 t 2 0 ( 1)(t t4t3t2 t 2) 0 t 1
Do đó m 1 (thỏa mãn điều kiện (*)) Vậy m 1
0,25
Câu 3 (2,0 điểm)
a) (1,0 điểm).
Với m=2 ta có hệ
x x y x xy x x x y
Đặt x2 x a x y b ;3 , ta có hệ:
4
2 4
ab
a b
a b
Giải hệ
4 4
ab
a b
ta được a b 2 Suy ra
x x
x y
Giải hệ ta được ( ; ) ( 1;5);(2; 4)x y Vậy hệ có hai nghiệm ( ; ) ( 1;5);(2; 4)x y
b) (1,0 điểm)
Hệ tương đương
2 2
x x x y m
Đặt
4
x x a a x y b
, ta có hệ:
2 6
ab m
a b m
0,25
2
6
2
6
a a
a
b m a
Hệ đã cho có nghiệm khi và chỉ khi (1) có nghiệm thỏa mãn
1 4
a
0,25
Trang 4Xét hàm số
2
a a
a
2
2
'( )
a a
f a
a
Với
1
4
a
thì f a'( ) 0 a2
0,25
Bảng biến thiên:
Suy ra giá trị cần tìm của m là: m 2
0,25
Câu 4 (2,0 điểm)
2 0
HBC
a
S HB HC
Gọi K là hình chiếu vuông góc của A trên HC
Ta có
AH HM HB AK AH
0,25
Trang 5Góc giữa (SHC) và (ABC) là
4
a
Vậy
.
Gọi B’ là hình chiếu của B trên (SHC), suy ra góc giữa BC và (SHC) là BCB '.
Gọi I là hình chiếu của A trên SK AI (SHC)
Ta có BB'd B SHC( ,( )) 2 ( ,( d M SHC)) 2 ( ,( d A SHC)) 2 AI
Trong tam giác vuông SAK, ta có
2
a
AK AS
0,25
Do đó
0
BCB
Vậy
BCB
0,25
Câu 5 (1,0 điểm)
Gọi I AC BD , H là hình chiếu của B trên CD
Ta có
1 1
1 1
2 3
D C
0,25
Đường thẳng AC có dạng: a x( 4)b y( 2) 0 ax by 4a 2b0 (a2b2 0)
Góc giữa AC và BD bằng 450 nên
2
5
a b
a ab b
a b
Chọn b=1 ta được
1
3
a a
Từ đó suy ra phương trình AC là x3y10 0 hoặc 3x y 10 0
0,25
Gọi E BH AC, ta có
3 2
2
BE AB IA AD
EH CH IE BE .
Ta có
2 3
2
ABCD
AD AD AD
Từ đó tìm được
4 10 5
AI
0,25
17 11
;
Trang 62 2
5 5
A A
Do x A 2 A1;3
* Nếu AC: 3x y 10 0 , suy ra
21 13
;
5 5
I
Gọi A t t ;3 10
thì từ
4 10 5
AI
ta có
Vậy điểm A cần tìm là A1;3
Chú ý: Nếu HS chỉ tính được cạnh AD 2 thì cho 0,25 điểm.
Câu 6 (1,0 điểm)
Ta có a b c a2 b2 a2 c2 0 b c2 2 a b2 2c2 a2a23 2 a2
Suy ra bc a 3 2 a2
0,25
a b c a b c a b c
0,25
Xét hàm f a( ) 3 a2 3 2 a2 2013a 3; a0;1
Ta có
2
18 1 2
a a a
3
2
a a a a a
Suy ra 2 2
1
3 3
3 3
f a
0,25
Suy ra f a( ) nghịch biến trên đoạn 0;1 Do đó f a( )f(1)2013
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c 1
Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 2013 khi a b c 1
0,25
……… Hết……….