su dung dang thuc chung minh bat dang thuc

Đẳng thức xảy ra khi một trong 3 số bằng 1 và hai số còn lại đối nhau... Hướng dẫn giải Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có: Chứng minh hoàn toàn tương tự ta có: Dấu “=” xảy ra khi Vậy gi

Thanh Hóa, ngày 27 tháng 5 năm 2020

Đẳng thức thường gặp 1:

Với a, b, c là các số thực thì ta có:

Từ đẳng thức này ta có các kết quả sau:

Kết quả 1 Nếu a + b + c =1 thì (a + b)(a + c) = a(a + b + c) + bc = a + bc

Kết quả 2 Nếu ab + bc + ca = 1 thì (a + b)(a + c) = a 2 + ab + bc + ca = a 2 + 1

Kết quả 3 Nếu a + b + c = k thì (a + b)(a + c) = a(a + b + c) + bc = k.a + bc

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi một trong 3 số bằng 1 và hai số còn lại đối nhau

a+b a+c =a +ab bc+ +ca=a a+ + +b c bc

1

ab c

+

= −+

Hướng dẫn giải

Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có:

Chứng minh hoàn toàn tương tự ta có:

Dấu “=” xảy ra khi

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là

Thí dụ 3 Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c =1 Chứng minh rằng:

( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )

Bất đẳng thức được chứng minh đẳng thức xảy ra khi

Thí dụ 3 Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

(Trích đề vào 10 Chuyên Hà Tĩnh năm 2016-2017)

Thí dụ 4 Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 11 Tìm GTNN

(Trích đề vào 10 Chuyên Quảng Bình năm 2015-2016)

12(a 11) 12(b 11) c 11

5a 5b 5c12(a ab bc ca) 12(b ab bc ca) c ab bc ca

(1) Tương tự:

(2) (3) Cộng từng vế của (1), (2) và (3) ta có

(**)

Từ (*) và (**) ta có

Dấu bằng xảy ra ⇔

Vậy GTNN của P là ,đạt được khi a = b = 1, c = 5

Thí dụ 6 Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

(Trích đề vào 10 Chuyên Phú Thọ năm 2014-2015)

Hoàn toàn tương tự ta được

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được

Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được

Vậy giá trị lớn nhất của B là

Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi

Thí dụ 7 Cho x, y, z là ba số thực dương thỏa mãn Chứng minh rẳng:

(Trích đề vào 10 Chuyên Hà Nội năm 2014-2015)

Hướng dẫn giải

Áp dụng giả thiết ta được

Hoàn toàn tương tưh ta được

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được

Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được

Vậy bài toán được chứng minh xong

Hướng dẫn giải

( luôn đúng) Vậy BĐT được chứng minh

Vậy đẳng thức được chứng minh

Nhận xét: Từ đẳng trước trên có thể suy ra với các số thực x, y, z thỏa mãn xyz = 1

Sử dụng bất đẳng thức AM – GM cho các số dương ta được:

Chứng minh tương tự ta được:

Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên ta được:

Chứng minh tương tự ta được:

Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên ta được:

Do đó:

Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 1

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 5

Thí dụ 5 Cho thực dương thỏa mãn Chứng minh rằng:

6 225

Chứng minh hoàn toàn tương tự ta có:

Như vậy

(Áp dụng BĐT Bunyakovski cho 3 số)

Lại có

Vậy ta có điều phải chứng minh

Thí dụ 6 Cho ba số thực a, b, c dương thỏa mãn abc = 1 Chứng minh rằng

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1

Thí dụ 7 Cho ba số thực a, b, c dương thỏa mãn abc = 1 Chứng minh rằng

Hướng dẫn giải

Sử dụng bất đẳng thức AM – GM cho các số dương ta được:

Chứng minh tương tự ta được:

Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên ta được:

Mà ta đã biết đẳng thức:

Vậy bài toán được chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi x = y = 1, z = 2

Đẳng thức thường gặp 4:

Xuất phát từ hai hằng đẳng thức đơn giản:

Từ đẳng thức này ta có các kết quả sau:

Dâu “=” xảy ra khi a = b = c = 1

Vậy giá trị lớn nhất của P là 1

Thí dụ 2 Cho a, b, c là các số thực khác 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho ba bộ số dương m, n, p và ta được:

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c

Vậy giá trị nhỏ nhất của T là khi a = b = c

Thí dụ 3 Cho hai số thực dương và thỏa mãn

Tìm giá trị nhỏ nhất của :

Hướng dẫn giải

Từ giả thiết , áp dụng kết quả 2 ta được:

Ta có:

Dấu “=” xảy ra khi :

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 14

Thí dụ 3 Cho hai số thực dương và thỏa mãn Chứng minh rằng

Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 2

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 2

Thí dụ 5 Cho các số dương x, y, z thoả mãn x + y + z = 1 Chứng minh rằng:

Thí dụ 6 Cho các số không âm x, y, z Chứng minh rằng:

Chứng minh tương tự, ta có : (2)

(3) Cộng (1), (2), (3) vế theo vế ta được :

a x

b y

c z

b x

c y

a z

Thí dụ 1 Cho ba số thực a, b, c đôi một phân biệt Chứng minh rằng:

(Trích đề vào 10 Chuyên Vĩnh Phúc năm 2009-2010)

21

a x

b y

c z

b x

c y

a z

Ta có:

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

( )( )( ) ( ( ) )( ( )( ) ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

a a b a c b b a b c c c a c b

(Đây chính là bất đẳng thức Shur có nhiều cách chứng minh.)

Do vai trò của a, b, c là như nhau nên ta có thể giả sử a≥ ≥b c

Trường hợp 1: nếu 2 trong 3 số bằng nhau thì bất đẳng thức hiển nhiên đúng

Trường hợp 2: nếu a b c> > ta chia hai vế bất đẳng thức cho (a−b b)( −c c)( −a)> nên bất 0