Chuyên đề đổi biến trong chứng minh bất đẳng thức

Chuyên đề: ĐỔI BIẾN ĐỂ CHỨNG MINH MỘT DẠNG BẤT ĐẲNG THỨC A.

Chuyên đề: ĐỔI BIẾN ĐỂ CHỨNG MINH MỘT DẠNG BẤT ĐẲNG THỨC

A ĐẶT VẤN ĐỀ

Đối với một số bài toán chứng minh bất đẳng thức chứa ba biến a, b, c không âm , có vai trò như nhau, bằng cách đặt:

P=a+b+c; q= ab+bc+ca; r=abc,

Ta có pq-r =(a+b)(b+c)(c+a);

2

p + q=( a+b)(b+c)+(b+c)(c+a)+(c+a)(a+b)

2 2 2 2 3 3 3 3 2 3 3 p q a b c p pq r a b c          Biến đổi bất đẳng thức chứa ba biến a, b, c nói trên về bất đẳng thức chứa p, q, r ,phép chứng minh đôi khi sẽ đơn giản hơn cùng với việc áp dụng các bất đẳng thức đúng sau:

2 3 p  q (1)

3

27 p  r (2)

q2  3pr (3)

pq9r (4)

3

4 9 0 p  pq r (5) Chúng ta cũng dễ dàng nhận thấy rằng p, q, r và các biểu thức chứa p, q, r ở trên đều không âm.Việc chứng minh các đẳng thức và bất đẳng thức trên xin dành cho bạn đọc

B CÁC VÍ DỤ

Sau đây các bạn hãy theo dõi một vài ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện abc=1.Chứng minh rằng :

(a+b)(b + c)(c + a) (1+ a+ b+ c)

Lời giải:

Do r = abc =1 ,với cách biến đổi trên bất đẳng thức trở thành:

2(1 ) 1 2(1 )

( 2) 3

p q

Cũng do r=1, từ (2) suy ra p 3

Từ (3) suy ra q 3

Suy ra p(q-2) 3 là bất đẳng thức đúng , suy ra bất đẳng thức cần chứng minh

Đẳng thức xảy ra p = q = 3

a = b = c = 1

Ví dụ 2: Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a + b + c = 3 Chứng minh rằng:

12

5

abc

ab bc ca

 

Lời giải:

Với cách biến đổi trên bất đẳng thức trở thành r 12 5

q

  (*)

Do p = a + b + c = 3 theo (5) ta có 27-12q + 9r 0 , suy ra

     (**)

Mặt khác , 4 9 12 5

3

q

q



 

4q 9q 36 15q (q 3) 0

       , là bất đẳng thức đúng với mọi q Từ (*) và (**) suy ra bất đẳng thức cần chứng minh

Đẳng thức xảy ra a = b = c = 1

Ví dụ 3: Cho ba số a, b, c không âm thỏa mãn điều kiện ab + bc + ca + abc = 4

Chứng minh rằng:

3(a2 b2 c2 ) abc 10

Lời giải:

Do q + r = ab + bc + ca + abc =4 với cách giải trên bất đẳng thức trở thành

3(p 2 )q  r 103p  6 7 q

Mặt khác, từ (5)

3

p

p





Vì vậy để hoàn thành bài toán, ta chỉ cần chứng minh

3

3 6 7

4 9

p p

p



 

 Thật vậy từ (1) và (2) suy ra:

2 3

2

p p

Từ đó ta có

3

4 9

p p

p



 



2

Là bất đẳng thức đúng

Đẳng thức xảy ra a = b = c = 1

Ví dụ 4: Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện ab + bc + ca = 3

a b c

a b b c a c ab bc ca a b c

 

Lời giải:

Do q= ab + bc + ca =3 Với cách biến đổi trên , bất đẳng thức trở thành:

p pq r r p

Do q=3, từ (1) suy ra 2

9

p  ,kết hợp với (5) ta có bất đẳng thức trên đúng , suy ra bất đẳng thức cần chứng minh

Đẳng thức xảy ra a = b = c = 1

Ví dụ 5: Cho ba số a, b, c thuộc (0;1) thỏa mãn điều kiện abc = (1 – a )( 1- b )( 1- c)

Chứng minh rằng a3b3c35abc1

Lời giải:

Ta có abc = (1 – a)(1- b)(1 – c)= 1-(a+b+c) + ( ab +bc +ca ) – abc , suy ra 2r = 1 – p + q Với cách biến đổi trên bất đẳng thức trở thành:

p33pq3r5r1

 p3  3pq 8r 1

3

 p3  4p  3 q(3p 4) (***)

Chú ý rằng 1 – p + q =2r > 0 và 2

3

p  q suy ra

2

3

p

p  q

Ta xét ba trường hợp sau:

Trường hợp 1: Nếu p 1 thì

p  p  p pp  q p

Trường hợp 2: Nếu 1 4

3

p

  thì: 3p – 4 <0 và 0 < p-1 < q , suy ra:

(p  4p 3) q(3p 4)  (p  4p 3) (  p 1)(3p 4)  (p 1)  0;

Trường hợp 3 : Nếu 4

3

p  thì:

p  p q p  p  p  p   

Như vậy trong mọi trường hợp ta đều có (***) là bất đẳng thức đúng , suy ra bất đẳng thức cần chứng minh

Đẳng thức xảy ra a = b = c = 1

2

C BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1: Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện abc = 1.Chứng minh rằng:

(a + b )( b + c ) (c + a ) +7 5( a + b + c)

Bài 2: Cho ba số dương, chứng minh rằng:

2(1abc) 2(1a2)(1b2)(1c2)(1a)(1b)(1c)

Bài 3: Cho ba số không âm a, b, c thỏa mãn điều kiện a + b + c = 1.Chứng minh rằng

0 2 7

27

ab bc ca abc