Phương pháp dồn biến trong chứng minh bất đẳng thức bậc THCS

CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG PHÁP DỒN BIẾN ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC THUẦN NHẤT A.. Phương pháp dồn biến là phương pháp làm giảm biến số của hàm số, đưa hàm số về dạng đơn giản hơn ,ta sẽ sử dụn

CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG PHÁP DỒN BIẾN ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

THUẦN NHẤT

A ĐẶT VẤN ĐỀ

Hàm số F(a; b; c) với các biến a; b; c được gọi là hàm thuần nhất bậc  nếu với mọi

số thực t, ta có: F(ta; tb; tc) = t .F(a; b; c)

Bất đẳng thức có dạng F(a; b; c) 0 với F là một hàm thuần nhất bấc  được gọi là bất đẳng thức thuần nhất bậc 

Phương pháp dồn biến là phương pháp làm giảm biến số của hàm số, đưa hàm số về dạng đơn giản hơn ,ta sẽ sử dụng phương pháp này để chứng minh bất đẳng thức thuần nhất Thay vì phải chứng minh trực tiếp bất đẳng thức F(a; b; c) 0 ta sẽ chứng minh các bất đẳng thức trung gian với số biến ít hơn

Sau đây là một số ví dụ minh họa:

B CÁC VÍ DỤ

Ví dụ 1: Cho a; b; c 1;3

3

5

a b bcca 

Lời giải:

Đặt F(a; b; c) = a b c

a b bcca

Với vai trò như nhau không làm mất tính tổng quát, giả sử a = maxa b c; ; ,

ta có:F a b( ; ; ab) a b ab a 2 b

suy ra F(a; b; c) – F a b( ; ; ab)= b c

bcca - 2 b

a b

=

2

0 ( ; ; ) ( ; ; )

F a b c F a b ab

Đặt x a 3

b

  ( vì a; b; c 1;3

3

  

 )

Ta có F a b( ; ; ab)- 7

5 = a

a b - 2 b

a b - 7

5=

=

2

5( 1)( 1)

  (2)

Đẳng thức xảy ra ( ; ; ) 3; ;11

3

  và các hoán vị của nó

Từ (1) và (2) suy ra đpcm

Ví dụ 2: Cho a; b; c là các số không âm và không có hai số nào cùng bằng không

Chứng minh: ab bc2 ca2 ab bc2 ca2 ab bc2 ca2 3

Lời giải:

Đặt F(a; b; c)= ab bc2 ca2 ab bc2 ca2 ab bc2 ca2

Với vai trò như nhau không làm mất tính tổng quát , giả sử a  b  c , ta có :

F(a;b;c) – F(0; b; c) =

2a b c( )2 a bc ab2( )2 a bc ac2( )2

b bc c c ac a a ab b

Suy ra F(a; b; c) F(0; b; c) (1)

Ta lại có F(0; b; c) – 3 =

4



Đẳng thức xảy ra (a; b; c)= (0; 1; 1) và các hoán vị của nó

Từ (1) và (2) suy ra đpcm

Ví dụ 3: Cho a; b; c; là các số thực dương thỏa mãn abc = 1 Chứng minh:

(a+b)(b+c)(c+a) + 7 5(a+ b+ c)

Lời giải:

Không làm mất tính tổng quát, giả sử a= maxa b c; ; và đặt x = b+ c

Ta có: a  1; x 2 bc 2

a

 > 0 (1)

Xét F(a; b; c) = (a+b)(b+c)(c+a) + 7- 5(a+ b+ c)

= x(ax + 2

a +bc)+ 7 – 5a – 5x = ax2+( a2 +bc-5)x+7 – 5a (2)

= a

7 5

(3)

Từ (1)suy ra :

5

2

a bc

x

a

 

a +

2

5 2

a bc a

2

2

1 5

1

a

 

 > 0 (4)

Từ (1); (2); (3); (4) suy ra :

F(a; b; c;)= ax2+( a2 +bc-5)x+7 – 5a  a

2

2

a

 

 

 

+ (a2 +bc-5) 2

a +7-5a

= 2

a ( 2

a +1

a-5)+ 11 -5a

Đặt t = a 1, ta có : F(a; b; c)  2

a (a2+1

a-5)+ 11 -5a

=

2t 5t 11t 10t 2 (t 1) (2t t 4t 4t 2)



0

Đẳng thức xảy ra a= b= c= 1

Bài tập vận dụng Bài 1: Cho a; b; c; là độ dài ba cạnh của tam giác, chứng minh:

5 2 4 2



Bài 2: Cho a; b; c là các số thực dương thỏa mãn: a2b2c23

Chứng mỉnh rằng: 5(a b c) 3 18

abc

Bài 3: Cho a; b; c là các số thực không âm , chứng minh :

12 a b c  a b c b ca c a b

Bài 4: cho a; b; c 1; 2

2

 

   chứng minh rằng: 8 a b c 5 b c a 9

Bài 5: cho a; b; c 2

3

 thỏa mãn điều kiện a+ b + c = 3 chứng minh rằng:

2 2 2 2 2 2

a b b c c a ab bc ca 

Bài 6: cho a; b; c; d là các số thực dương thỏa mãn a+ b+ c+ d = 4 Chứng minh:

2 2 2 2

3(a b c d ) 4 abcd16