Hình học 11 – vector trong không gian

Xác định các toạ độ trọng tâm lần lượt của các mặt đối diện với A, B, C, D.. Bốn trọng tuyến đồng quy tại một điểm gọi là trọng tâm của tứ diện... Ba trung đoạn đồng quy tại một điểm gọi

1

SỞ GIÁO DỤC  ĐÀO TẠO ĐĂKLĂK

Giáo viên dạy giỏi cấp tỉnh – cấp THPT

Bài 1: VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN SỰ ĐỒNG

PHẲNG CỦA CÁC VECTƠ

PPCT: Tiết 33

Giáo viên: LÊ THỊ KIM UYÊN

Đơn vị: Trường THPT Ngô Gia Tự

Lớp 11A1 – Trường THPT Buôn Ma Thuột

3 Đẳng thức sau đây thể hiện quy tắc nào?

Cho 3 điểm A,B,C bất kì Ta có: uuur uuur uuurAB BC  AC

5 Hai vectơ có giá song song hoặc trùng nhau gọi là hai

2 Cho tam giác ABC và G là …… của tam giác Ta có:

và GAuuur uuur uuur + GB + GC = 0 r

Đ Đ Đ Đ

S S S

Ơ Ù

Ì

4 Cho M là … của đoạn thẳng AB Ta có:

uuur uuur r uur uur uuur

15 11 10

3

Vectơ, các phép toán vectơ trong không gian được định nghĩa hoàn toàn giống như trong mặt phẳng

uuur uuur uuur uuur uuuur

uuur uuur uuur uuuur

AB

uuur

) ; ; ' '; ' '.

a AB DC A B D Cuuur uuur uuuuur uuuuur

a) Hãy kể tên tất cả các vectơ

bằng vectơ có điểm đầu và

điểm cuối là các đỉnh của hình

hộp

b) Thực hiện các phép toán sau:

Em hãy nêu các xác định trọng tâm của tứ diện ABCD.

Xác định các toạ độ trọng tâm

lần lượt của các mặt đối diện với A, B, C, D 1 1 1 1

, , ,

A B C D

Gọi đoạn nối đỉnh với trọng tâm của mặt

đối diện là trọng tuyến

Bốn trọng tuyến đồng quy tại một điểm

gọi là trọng tâm của tứ diện

G

Tính chất: GA  3 GA1

Cách 1:

Lấy hai trung điểm H, K của hai đoạn BC và AD

Nối hai trung điểm, đoạn thẳng ấy gọi là trung

đoạn

Ba trung đoạn đồng quy tại một điểm gọi là

trọng tâm của tứ diện

HĐ 1.4 Cho tứ diện ABCD với trọng tâm G Chứng minh rằng:

4

AB AC AD   AG

uuur uuur uuur uuur

Gọi A1 là trọng tâm tam giác BCD

uuur uuur uuur

và 1

4 3

Giải.

Theo quy tắc ba điểm, ta có:

Theo bài toán trọng tâm, ta có:

9

Ví dụ 1 Chứng minh rằng điểm G là trọng tâm của tứ diện ABCD

khi và chỉ khi một trong hai điều kiện sau xảy ra:

PG  PA PB PC PD  

uuur uuur uuur uuur uuur

với mọi điểm P.

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD

a) Theo bài toán trung tuyến ta có:

Điểm G là trọng tâm của tứ diện ABCD khi và chỉ khi

Ví dụ 1 Chứng minh rằng điểm G là trọng tâm của tứ diện ABCD

khi và chỉ khi một trong hai điều kiện sau xảy ra:

 uuur uuurPA PG   PB PGuuur uuur   PC PGuuur uuur   PD PGuuur uuur   0r

PG  PA PB PC PD  

uuur uuur uuur uuur uuur

với mọi điểm P.

b) Điểm G là trọng tâm của tứ diện ABCD khi

và chỉ khi

Điều này có nghĩa là với điểm P bất kì, ta có

1 Quy tắc ba điểm: Với ba điểm bất kỳ A, B, C ta có:

2 Quy tắc hình bình hành: Nếu ABCD là hình bình hành thì ta có:

3 Bài toán trung điểm: Nếu I là trung điểm đoạn thẳng AB thì

4 Bài toán trọng tâm của tam giác:

5 Quy tắc hình hộp Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Khi đó:

6 Bài toán trọng tâm của tứ diện: G là trọng tâm của tứ diện

ABCD khi và chỉ khi

GA GB GC GDuuur uuur uuur uuur r   

Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì

HĐ 3.3 Cho tứ diện ABCD có AB = c, CD = c’, AC = b, BD = b’,

ar  ar

HĐ 3.3 Cho tứ diện ABCD có AB = c, CD = c’, AC = b, BD = b’,

BC = a, AD = a’

a) Chứng minh rằng: và

b) Tính góc giữa hai vectơ và theo a, b, c, a’, b’, c’.

a) Ta có: CB CDuuur uuur uuur  DB Do đó,

2 1

2 1

2 2

HĐ 3.3 Cho tứ diện ABCD có AB = c, CD = c’, AC = b, BD =

Hãy nêu cách xác định góc giữa hai vectơ đó

Cho hai vectơ a r

và b r

đều khác 0 r

Từ một điểm O bất kì, ta vẽ các vectơ OA auuur r và OB buuur r

HĐ 3.3 Cho tứ diện ABCD có AB = c, CD = c’, AC = b, BD =

Hãy nêu cách xác định góc giữa hai vectơ đó

Cho hai vectơ a r

Cách 2: Sử dụng định nghĩa tích vô hướng

của hai vectơ

HĐ 3.3 Cho tứ diện ABCD có AB = c, CD = c’, AC = b, BD = b’,

BC = a, AD = a’

a) Chứng minh rằng: và

b) Tính góc giữa hai vectơ và theo a, b, c, a’, b’, c’.

b) BC DA BC DAuuur uuur  cos uuur uuurBC DA,  (3)

mà BC DA BC DC CAuuur uuur uuur uuur uuur     CB CD CB CAuuuruuur uuuruuur 

Chú ý: Nếu b c b , '  c' thì cos BC DAuuur uuur,   0

hay BCuuur uuur DA.

HĐ1.1 Cho hình hộp ABCD.EFGH Gọi I và K lần lượt là trung điểm của các

cạnh AB và BC Chứng minh rằng đường thẳng IK và ED song song với mặt phẳng (AFC).

Định nghĩa: Ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu các giá của

chúng cùng song song với một mặt phẳng.

2 Sự đồng phẳng của các vectơ Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng

Nhận xét: Nếu ta vẽ OA a OB b OC c uuur r uuur r uuur r  ,  ,  thì ba vectơ a b c r r r , ,

HĐ 3.1 Cho tứ diện ABCD Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các

cạnh AB, CD Chứng minh rằng ba vectơ đồng phẳng.uuuBC AD MNr uuur uuuu, , r

Khi đó, mp(MNI) chứa MN và

song song với với các đường thẳng

BC và AD Ta suy ra ba đường

Từ định nghĩa ba vectơ đồng phẳng khi và sự khai triển một vectơ theo hai vectơ không cùng phương trong hình học phẳng ta có được định lí sau.

Điều kiện để ba véctơ đồng phẳng:

Điều kiện cần và đủ để ba vectơ đồng phẳng là có các số m, n sao cho

.Hơn nữa các số m, n là duy nhất.

không cùng phương.

Điều kiện để ba véctơ đồng phẳng:

PA k PD QC kQD k  � uuur uuur uuur uuur

Bài toán 2 Cho tứ diện ABCD Các điểm M và N lần lượt là trung

điểm của AB và CD Lấy các điểm P, Q lần lượt thuộc các đường thẳng

AB và BC sao cho

Chứng minh rằng các điểm M, N, P, Q cùng thuộc một mặt phẳng

Từ hệ thức

Giải

Để chứng minh các điểm M, N, P, Q cùng thuộc

một mặt phẳng ta biểu diễn MNuuuur mMP nMQuuur uuuur.

hay

1

MA k MD MP

Tương tự,

1

MB k MC MQ



 uuuur

Vậy các điểm M, N, P, Q cùng thuộc một mặt phẳng

* Định lý 2: Nếu là ba vectơ không đồng phẳng thì với mỗi vectơ

ta tìm được các số m, n, p sao cho Hơn nữa các số

m, n, p là duy nhất.

Định lí 1 nói đến điều kiện để biểu thị một vectơ qua hai vectơ không cùng phương Định lí dưới đây sẽ nói về biểu thị một vectơ qua

ba vectơ không đồng phẳng

Bài tập Cho lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh 4 Đặt

Gọi M, N theo thứ tự trên AC và A’B sao cho Hãy biểu

thị vectơ qua các vectơ

hiệu ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng 4(m) Người ta tiến hành trang trí ngôi nhà bằng cách gắn các dây lụa tại điểm M và N theo thứ tự trên AC và A’B sao cho Biết rằng

chủ nhà muốn trang trí bằng dây lụa nhập khẩu giá 500.000 nghìn đồng 1m Hỏi phải trang trí bằng cách nào cho đỡ tốn chi phí nhất?

HĐ3.1 Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Xét các điểm M và N lần lượt thuộc

các đường thẳng A’C và C’D sao cho MAuuuur'   3MC NCuuuur uuuur, '  uuurND.

Đặt uuuBAr  ar, BBuuur r' b, uuur rBC c

a) Hãy biểu thị các vectơ uuuurBM

và BNuuur

qua các vectơ a br r r, , c

b) Chứng minh rằng đường thẳng MN song song với đường thẳng BD’.

a)MAuuuur'   3MCuuuur� MB BAuuur uuur '   3MB BCuuur uuur 