Xác định vị trí của điểm M trên cạnh BC để tổng BI + CK nhỏ nhất.
Trang 1UBND HUYỆN CHÂU THÀNH
Phòng Giáo dục & Đào tạo
CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập – Tự do – Hạnh phúc ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2008 – 2009
Môn thi: TOÁN 9
Thời gian: 90 phút (không kể thời gian phát đề)
Đề số 2: (Học sinh không phải chép đề vào giấy thi)
Bài 1) (3đ):
2009 2008 Cho biểu thức A=2(9 9 9 1)
Chứng minh rằng A bằng tích của hai số tự nhiên liên tiếp
Bài 2) (4đ):
)Rút gọn 4 10 2 5 4 10 2 5
)Tìm x để biểu thức sau có giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị nhỏ nhất đó 2009
Bài 3) (4đ)
)Áp dụng tính chất trên để tính giá trị của biểu thức sau với
0
1 1 1 nếu biết 0
b
x y z
xy xz yz
D
× × ≠
Bài 4) (3đ)
Cho a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác
Chứng minh rằng:
3
E
b c a a c b a b c
Bài 5) (3đ)
Cho tam giác đều ABC từ 1 điểm M thuộc miền trong tam giác kẻ MH, MK, ML vuông góc với cạnh AB, BC , AC và có độ dài lần lượt là x, y, z Gọi H là độ dài đường cao tam giác đều
Chứng minh rằng 2 2 2 1 2
3
x + + ≥y z h
Bài 6) (3đ)
Cho tam giác ABC (AB < AC) M là 1 điểm trên cạnh BC vẽ BI ⊥ AM, CK ⊥ AM
Xác định vị trí của điểm M trên cạnh BC để tổng BI + CK nhỏ nhất
Trang 2
-* -HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2008 - 2009
Môn thi : TOÁN 9
Đề số 2:
Bài 1: (3đ):
( )
2009 2008
2009 2008
2009 2008 2010
2 1005
1005 1005
4
9 1 ; 9 1 là hai số chẵn liên tiếp 4
2 .2 1
4
A
A
A
A
A
⇒ =
+
Bài 2: (4đ):
2
2
2
2 2
2
2
8 2 16 10 2 5
8 2 6 2 5
8 2 5 1
6 2 5
6 2 5
5 1
a Rútgọn B
B
B
B
B
B
B
B
B
= +
2
2
1 " " 2009 0
2 1
2009
2
1 0
2009 4 1
2009
2
x
x
x x
≥
Trang 3Vậy giá trị nhỏ nhất của C là 20083 20091
4 ⇔ =x 4
Bài 3: (4đ):
a) Chứng minh rằng nếu
3
3 Thay
+ + = ⇒ + = −
3
1 1 1
theo câu a ta có
1 1 1 3 1 1 1 0
do đó
=
b Vì
x y z
xy xz yz xyz xyz xyz D
+ + =
Vậy D=3
Bài 4: (3đ):
a, b, c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác
Chứng minh rằng
3 Đặt
2
2
2
E
b c a a c b a b c
x y
x z
y z
+
+
+
⇒
1
2
1
=
2
1 2 2 2 3 (Áp dụng bất đẳng thức côsi)
2
3
y z x z x y
E
y z x z x y
x x y y z z
E
+ + + + +
⇒ ≥
Trang 4Bài 5: (3đ):
2 2
Gọi cạnh của đều ABC là a ta có:
S
2
2
2
ABC S BMC S AMC S AMB
ah ax ay az
h x y z
⇒ = + +
+ ≥
+ ≥
V
2 3
1 3
Bài 6: (3đ):
Vẽ đường cao AH ta có:
AH
1
2
2 Vậy M Khi AM BC M là chân đường cao vẽ từ A đến cạnh BC
ABM ACM ABC
ABC
ABC ABC
S
AH
∆
∆
∆