Đờng vuông góc với BC tại D cắt AC tại E.. Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng.. Gọi M là trung điểm của đoạn BE.. Chứng minh rằng hai tam giác BHM và BEC đồng dạng.. Một h
Trang 1Phòng giáo dục và đào tạo tÂN Kỳ
Đề thi học sinh giỏi lớp 8 Năm học : 2010 2011.–
Thời gian : 120 phút (không kể thời gian giao đề).
Môn thi : Toán
Đề bài
Bài 1 ( 3điểm)
1 Cho a,b,c là các số thoả mãn :
b
b a c a
a c b c
c b
+
+
+
c
a 1 b
c 1 a
b 1
2 Phân tich đa thức sau thành nhân tử: 10 a3 − 17 a2 − 7 a + 2
Bài 2 (5điểm)
1 Tìm x,y nguyên dơng thoã mãn phơng trình : xy – 4x = 35 – 5y.
2 Chứng minh rằng : ( )3 ( 3 3 3)
24
a b c a b c
+ + − + +
3, Cho 4x – 3y = 7 Tìm giả trị nhỏ nhất của biểu thức: M = 2x2 +5y2
Bài 3 (4 điểm) Giải phơng trình:
1 x2− + + − =3x 2 x 1 0
+ + + − + + = +
Bài 4: (4 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đờng cao AH (H∈BC) Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD =
HA Đờng vuông góc với BC tại D cắt AC tại E
1 Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng Tính độ dài đoạn BE theo m=AB
2 Gọi M là trung điểm của đoạn BE Chứng minh rằng hai tam giác BHM và BEC đồng dạng Tính số đo của góc AHM
3 Tia AM cắt BC tại G Chứng minh: GB HD
BC = AH HC
+ .
Bài 5 (4 điểm).
1 Một hình vuông và một hình tam giác Nếu hai hình có diện tích bằng nhau thì hình nào có chu vi lớn hơn
2 Cho các số a; b; c thoả mãn : a + b + c = 3
2. Chứng minh rằng : a2 + b2 + c2 ≥ 3
4.
Đáp án đề thi học sinh giỏi lớp 8 Năm học : 20010 2011.–
Thời gian : 120 phút (không kể thời gian giao đề).
Môn thi : Toán.
Đề bài:
Bài 1 ( 3điểm)
Câu1 ( 2điểm) Từ giả thiết ta suy ra:
Đề chính
thức
Trang 2
b
b a c a
a c b c
c b a
2 b
b a c 2 a
a c b 2 c
c b a
+ +
= + +
= + +
⇔
+
− +
= +
− +
= +
− +
abc
b a c c
a c b
c b c
b a
*Nếu : a+b+c ≠ 0⇒a=b=c⇒P=2.2.2=8 (1,5 đ)
Câu 2: (1điểm) Ta có:
2 2
3 2 10
2 6
3 20
10 2
7 17
10
2 2
2 2
3 2
3
− +
−
=
− +
−
=
−
−
− +
−
=
+
−
− +
−
= +
−
−
a a
a a
a a
a a
a a
a
a a a
a a
a a
a
Bài 2: (4điểm)
Câu 1(2điểm) : Ta có xy – 4x = 35 – 5y
⇔x(y - 4) + 5y – 20 = 15
x(y - 4) + 5(y - 4) = 15
⇔ (y - 4) (x+5) = 15
15 = 1.15 = 3 5 = (-1)(- 15) = (-3)(- 5)
Do x nguyên dơng nên x + 5 > 5 mà 15(x +5) vì vậy x+5 Là ớc của 15
⇔x+5 =15 ⇒ x= 10 và y – 4 = 1 ⇒ y = 5
Vởy nghiệm nguyên dơng của phơng trình là (x, y) = (10 , 5)
Câu 2(2điểm) : Ta có ( )3 ( 3 3 3)
a b c a b c
+ + − + +
= 3(a+b)(b +c)(c +a)
Khi a, b , c cùng tính chẵn lẻ thì :
+ Với a lẻ ⇒ b , c đều lẻ
Nên a +b ; b +c ; c +a là các số chẵn
2
2
2
a b
b c
c a
+
+ ⇒
+
M
M
M
(a +b)(b +c)(c +a) M 8
Vậy 3 (a +b)(b +c)(c +a) M 8.
+ Với a chẵn ⇒ b , c đều chẵn
Nên a +b ; b +c ; c +a là các số chẵn
2
2
2
a b
b c
c a
+
+ ⇒
+
M
M
M
(a +b)(b +c)(c +a) M 8.
Vậy 3 (a +b)(b +c)(c +a) M 8
Do đó với a, b , c cùng tính chẵn lẻ thì : ( )3 ( 3 3 3)
24
a b c a b c
+ + − + +
Câu 3 ( 1điểm) Ta có
4
3
2
5 64
3 7
- Biến đổi
8
3 7 8
40 3 7 8
49 42 49
2 2
2
+
+
= + +
=
+ +
=
y y
M
y y
M
Do (7y+3)2 ≥ 0 suy ra M ≥ 5 Vởy MMin = 5
=
−
=
⇔
7 10 7 3
x y
Trang 3Bài 3 (4 điểm) Giải phơng trình:
Câu 1 (2điểm ) 2
x − + + − =x x (1) + Nếu x≥1: (1) ( )2
⇔ − = ⇔ = (thỏa mãn điều kiện x≥1)
⇔ − + = ⇔ − − − = ⇔ − − =
⇔ =x 1; x=3 (cả hai đều không bé hơn 1, nên bị loại) Vậy: Phơng trình (1) có một nghiệm duy nhất là x=1
+ + + − + + = +
Điều kiện để phơng trình có nghiệm: x≠0
⇔ + ữ + + ữ + ữ − + ữ = +
2
2 2
⇔ + ữ − + ữ= + ⇔ + =
x hay x
⇔ = = − và x≠0
Vậy phơng trình đã cho có một nghiệm x= −8
Trang 44,0
Góc ∠C chung
CD CA
CE =CB (Hai tam giác vuông CDE và CAB đồng dạng)
Do đó, chúng dồng dạng (c.g.c)
135
BEC= ADC= (vì tam giác AHD vuông cân tại H theo giả thiết)
45
AEB= do đó tam giác ABE vuông cân tại A Suy ra: BE=AB 2=m 2
1,0
0,5 4.2
BC = ìBC = ìAC (do ∆BEC: ∆ADC)
mà AD AH= 2 (tam giác AHD vuông vân tại H)
BC = ìAC = ì AC = AB = BE (do ∆ABH : ∆CBA)
Do đó ∆BHM : ∆BEC (c.g.c), suy ra: ãBHM =ãBEC=1350 ⇒ãAHM =450
0,5 0,5
0,5 4.3 Tam giác ABE vuông cân tại A, nên tia AM còn là phân giác góc BAC
Suy ra: GB AB
GC = AC , mà AB ED( ABC DEC) AH(ED AH// ) HD
GC = HC ⇒GB GC = HD HC ⇒ BC = AH HC
Bài 5
Câu 1
2điểm
Gọi cạnh của hình vuông là x , cạnh của tam Giác là a, b, c có đờng cao ứng với cạnh a là
ha Đặt diện tích của hai hinh là S
Vì b > ha ; c> ha nên b +c > 2.ha
2 a
a b c a+ + > + h
áp dụng bất đẳng thức Cô Si ta có :
2 a 2 2 a
a+ h ≥ a h mà a.ha =2S
a b c+ + > S = S mà S = x2
Vậy a +b +c > 4 x
Điều này chứng tỏ chu vi tam giác lớn hơn chu
Vi hình vuông
0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25
Câu 2 (2điểm)
Ta có:
2
− ≥ ⇔ − + ≥ ⇔ + ≥
ữ
Tơng tự ta cũng có: 2 1
4
b + ≥b
2 1
4
c + ≥c
Cộng vế với vế các bất đẳng thức cùng chiều ta đợc:
2 2 2 3
4
a + + + ≥ + +b c a b c Vì 3
2
a b c+ + = nên:
ha
x
a
Trang 52 2 2 3
4
a + + ≥b c ( §iÒu ph¶i chøng minh)
DÊu “=” x¶y ra khi a = b = c =1
2