[r]
Trang 1Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH
Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên của phương trình 3x + 4y = 29
Giải:
Ta cĩ x = 29 4y 9 y 2 y
Muốn cĩ x, y nguyên thì 2 y
3
−
phải nguyên hay 3 là ước của 2 – y
Vậy: 2 – y = 3t (t ∈ Z)
Khi đĩ: y = 2 – 3t và x = 9 – y + t = 9 – 2 + 3t + t = 4t + 7
Vậy: x 4t 7(t nguyên)
y 2 3t
= +
= −
là tất cả các nghiệm nguyên của phương trình đã cho
Muốn tìm nghiệm nguyên dương của phương trình trên, ta đặt thêm các điều kiện để x > 0; y > 0
Ta cĩ:
7 t
2
y 2 3t 0
t 3
> −
⇔
= − >
Do đĩ: 7 t 2
− < < và t chỉ cĩ hai giá trị t1 = –1, t2 = 0
Với t1 = –1 thì x = 3, y = 5 là nghiệm nguyên dương của phương trình đã cho
Với t2 = 0 thì x = 2, y = 7 là nghiệm nguyên dương của phương trình đã cho
Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình 7x + 23y = 120 (1)
Giải:
Ta cĩ x = 120 23y 17 3y 1 2y
Muốn cĩ x, y nguyên thì 1 – 2y = 7t hay 2y = 1 – 7t (t nguyên)
Từ đĩ: y = –3t + 1 t
2
−
Vì y, t nguyên nên 1 – t = 2t1 (t1 nguyên) ⇔ t = 1 – 2t1.
Thay vào (3) ta cĩ: y = –3(1 – 2t1) + t1 = 7t1 – 3
Thay vào (2) ta được: x = 17 – 3(7t1 – 3) + 1 – 2t1 = 27 – 23t1.
Vậy: x = 27 – 23t1 , y = 7t1 – 3 là nghiệm nguyên của phương trình (1)
Muốn cĩ nghiệm nguyên dương, ta phải cĩ:
1 1
1
1
27 t
t 7
<
⇔
= − >
Suy ra t1 = 1 và x = 4, y = 4 là nghiệm nguyên dương duy nhất của phương trình đã cho
Ví dụ 3: Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình xy – 4x = 35 – 5y (1)
Giải:
(1) ⇒ xy – 4x + 5y – 20 = 15 hay ( x + 5)(y – 4) = 15 = 15.1 = 5.3
Vì x, y đều là số tự nhiên nên x + 5 ≥ 5 và là ước của 15,
CHUYÊN ĐỀ TÌM NGHIỆM NGUYÊN CỦA PHƯƠNG TRÌNH
Trang 2Biên soạn: GV HUỲNH đỨC KHÁNH
ta có: hoặc x 5 15 x 5 5
Suy ra: x = 10, y = 5 hoặc x = 0, y = 7 đó là những nghiệm tự nhiên của phương trình ựã cho
Vắ dụ 4: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình x2 Ờ 6xy + 13y2 = 100 (1)
Giải:
(1) ⇒ x2 Ờ 6xy + 9y2 = 100 Ờ 4y2 hay (x Ờ 3y)2 = 4(25 Ờ y2) ≥ 0
y ≤5 và 25 y− là số chắnh phương
Với y = 1 hoặc y = 2 thì 25 Ờ y2 không là số chắnh phương (loại)
Với y = 3 ta có: 2 x 9 8 x 17
(x 9) 4.16
Với y = 4 ta có: (x 12)2 36 x 12 6 x 18
Với y = 5 ta có: (x Ờ 15)2 = 0 ⇒ x = 15
Vậy các nghiệm nguyên dương của phương trình ựã cho là: (1; 3), (17; 3), (6; 4), (18; 4), (15; 5)
Vắ dụ 5: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình 3x2 + 5 y2 = 345 (1)
Giải:
345 vừa chia hết cho 3 vừa chia hết cho 5 nên 3x2 + 5 y2 vừa chia hết cho 3 vừa chia hết cho 5
Vì (3, 5) = 1 nên x ⋮ 5 ⇒ x = 5a (a ∈ Z) và y ⋮ 3 ⇒ y = 3b (b ∈ Z)
Ta có: 3.25a2 + 5.9b2 = 345 ⇔5a2 + 3b2 = 23 (2)
Ngoài ra: a2 23 b2 23
Thay vào (2) các giá trị của a = 1, 2 và b = 1, 2 ta thấy phương trình có nghiệm nguyên dương duy nhất với a = 2, b = 1 Lúc ựó x = 10, y = 3
Vắ dụ 6: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình 5x Ờ 3y = 2xy Ờ 11 (1)
Giải:
(1) ⇒ 11 + 5x = y(2x + 3) hay y 11 5x 2y 2(5x 11)và 2y 5 7
Nếu x, y ựều là nguyên dương thì 2x +3 phải là ước của 7 tức là bằng Ờ1, 1, Ờ7, 7
Trong bốn trường hợp này phương trình chỉ nhận một cặp nghiệm nguyên dương với 2x + 3 = 1
& 7 Lúc ựó x = 2 và y = 3
Vắ dụ 7: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình x + y + z = xyz (1)
Giải:
Do vai trò của x, y, là bình ựẳng nên ta giả sử 0 < x ≤ y ≤ z
Ta có: xyz = x + y + z ≤ 3z ⇒ xy ≤ 3
Nếu x = y = z thì z3 = 3z ⇒ z2 = 3 ựiều này không xảy ra với z nguyên
Vậy ba số x, y, z không thể bằng nhau Vậy số nhỏ nhất không thể bằng 3 Ta có xy < 3
Nếu xy = 2 thì x = 1, y = 2 ⇒ z = 3
Nếu xy = 1 thì x = 1, y = 1 ⇒ 2 + z = z vô nghiệm
- HẾT -
TRUNG TÂM LUYÊN THI đẠI HỌC ứỷÙC KHAÙNH 22A Ờ PHẠM NGỌC THẠCH Ờ TP QUY NHƠN Thầy KHÁNH (GV TOÁN) 0975.120.189 Ờ 0563.602.929