Hai đưũng chộo AC và BD cắt nhau tại O.
Trang 1Phòng giáo dục & đào tạo kỳ thi học sinh giỏi lớp 9 thcs
th i x Sầm Sơnã Sầm Sơn năm học 2010-2011
môn thi :Toán
Ng y thi : 21 / 10/ 2010ày thi : 21 / 10/ 2010
Thời gian 150 phút (không kể thời gian giao đề thi ) Đề này gồm 01 trang
Cõu 1 : ( 5 điểm )
a) Rỳt gọn biểu thức A =
y x
y y x x y x
y x y y x x
y x
2
b) Cho tam giỏc ABC cú độ dài ba cạnh là : a , b, c thoả món
4.( a2 + b2+ c2 –ab - bc- ca) =(a-b)2 + (b-c)2 + ( c-a)2
Chứng minh rằng tam giỏc ABC là tam giỏc đều
Cõu 2 : ( 5 điểm )
a) Tỡm nghiệm nguyờn của phương tỡnh sau :
xy –y -3x = 2
b) Giải phương trỡnh :
x 1 2 x + x 9 6 x = 4
Cõu 3 : ( 4 điểm )
a) Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức : P = x 2010 2 x 2011 2
b) Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức : Q = -x2 - y2 + xy -3x + 3y + 2008
Cõu 4 : ( 4 điểm ) Cho hỡnh vuụng ABCD cú độ dài cạnh là a Hai đưũng chộo AC và
BD cắt nhau tại O Gọi M ; N lần lượt là trung điểm của OB và CD
a) Tớnh gúc AMN
b) Gọi P là trung điểm của AN Tớnh độ dài đoạn thẳng MP theo a
Cõu 5 : ( 2 điểm ) cho tứ giỏc lồi ABCD Gọi O là điểm trờn cạnh BC và E là điểm đối
xứng của D qua O một điểm M di động trờn cạnh AD ( M A ; M D) đường thẳng
EM cắt OA tại I Từ I kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB và AC lần lượt tại K và
H
Chứng minh rằng 1
AM
AD AH
AC AK AB
Hết
Phòng giáo dục & đào tạo kỳ thi học sinh giỏi lớp 9 thcs
th i x Sầm Sơnã Sầm Sơn năm học 2010-2011
Đề chớnh thức
Trang 2LỜI GIẢI
Câu1:
a) A =
y x
y y x x y x
y x y y x x
y x
.
2
A =
) )(
(
) )(
( ) )(
( 2
y x y x
y y x x y x y
x
y x y x y y x x
y x
A = x x x.y y y
y x
y y x x y
y x
y xy x y x
A = x x x y y y
A = (x ( x.x yy y)(). x xy y) = (x . x xy.y y)
b) vé trái 4 (a2 + b2 +c2 –ab -ac –bc ) = 2( 2a2 + 2b2 + 2c2 – 2ab – 2ac – 2bc ) = 2.( a 2 - 2 ab b 2 ) ( a 2 - 2 ac c 2 ) ( b 2 - 2 bc c 2 )
= 2 .( a - b ) 2 ( a - c ) 2 ( b - c ) 2
vậy ta có : 2 .( a - b ) 2 ( a - c ) 2 ( b - c ) 2 = ( a - b ) 2 ( a - c ) 2 ( b - c ) 2
( a - b ) 2 ( a - c ) 2 ( b - c ) 2 = 0
0 )
c
-
b
(
0 )
c
-
a
(
0 )
b
-
a
(
2
2
2
0 c -b
0 c -a
0 b -a
c b c a b a
a = b = c nên tam giác ABC đều
Câu 2 : a) Tìm nghiệm nguyên của phương tình sau :
xy –y -3x = 2
xy –y -3x + 3 = 2 +2
(x-1)(y-3) =5
(x;y) = 6 ; 4 ; 2 ; 8 ; 0 ; 2 4 ; 2
b) Giải phương trình :
x 1 2 x + x 9 6 x = 4
x 1 2 + ( x 3 ) 2 = 4
| x+1| + | x+ 3| = 4
0 x 3
Câu 3 :
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P = x 2010 2 x 2011 2
P = | x-2010| + | x – 2011|
P = | x-2010| + | 2011-x| | x-2010 +2011-x | =1
Khi 2010 x 2011
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : Q = -x2 - y2 + xy -3x + 3y + 2008 2Q = -(2x2 + 2 y2 - 2xy+ 6x - 6y – 4016)
2Q = - ( 2 2 2 2 4 4 ) ( 2 2 1 ) ( 2 2 1 ) 4022
2Q = - ( 2 ) 2 ( 1 ) 2 ( 1 ) 2 4022
x
2Q = 4022- (x y 2 ) 2 (x 1 ) 2 (y 1 ) 2 4022
Q = 2011- 21 (x y 2 ) 2 (x 1 ) 2 (y 1 ) 2 2011
Max Q = 2011 khi x = -1 ; y = 1
Câu 4 :
Trang 3O A
B
I M
N P
Gọi I là trung điểm của BC
Ta có M là trung điểm cảu OB MI là đường tung bình của ttam giác OBC
MI //OC và MI = 12 OC (1)
Hoàn toàn tương tự NI là đường trung bình của tam giác BCD
NI //BD (1) và NI = 21 BD (2)
Vì BD AC tại O BOC = 1V (3) từ (1) ; (2) và (3) ta có MINI MIN = 1V
Mà ta có OB= CO mà OM = 21 OB nên OM = 21 OC ; kết hợp (1) ta có MI = OM (*)
Ta có OA = 21 AC mà AC = BD nên OA = 12 BD kết hợp với (2) ta có NI =OA (**)
Và MOA = MIN = 1V (***)
Xét MOA và MIN từ (*) ; (**) và (***) ta có MOA = MIN ( cgc)
AMO = NMI
ta có MI// OC mà OC BD ; MIOB IMO = 1V
Hay OMN +AMO = 1V mà NMI = AMO ( chứng minh trên )
nên OMN +AMO = 1V hay AMN = 1V
b) áp dụng định lý pi ta go cho tam giác ADN vuông tại D ta có AD2 + DN2 = AN2
AN2 = a2 + 22
a =
4
5a2
AN =
2
5
a
Theo câu a ta có MOA = MIN MA = MN lại có AMN = 1V
MAN vuông cân tại M vì P là trung điểm của AN nên MP là trung tuyến ứng với cạnh huyền AN vậy MP = 21 AN suy ra MP = 21
2
5
4
5
a
Câu 5 :
H I
B
A
D
C
E
O M
K