đây là đề thi học sinh giỏi toán lớp 9 năm học 2013 2014, thời gian 180 phút, đề thi cấp tỉnh, là đề thi hay, đề thi có chất lượng, cả nhà nên tham khảo Câu 1: (2,0 điểm) Chứng minh rằng nếu là số nguyên tố bất kỳ, thì với mọi số tự nhiên ta luôn có: Câu 2: (4,0 điểm) a, Giải phương trình: b, Giải hệ phương trình:
Trang 1Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1: (2,0 điểm)
Chứng minh rằng nếu plà số nguyên tố bất kỳ, thì với mọi số tự nhiên n ta luôn có:
( p )
n −n pM
Câu 2: (4,0 điểm)
a, Giải phương trình: 3 2 4 − − =x 2x− 5
b, Giải hệ phương trình:
2
2 2 2
12
6
2 2
x
y
x y
x y y
+
Câu 3: (3,0 điểm)
P= x − x+ − x − x+
Câu 4: (4,0 điểm)
Cho các số thực dương a ;;b c Chứng minh rằng:
3 81
a bc b ca c ab
a b c
a b c b c a c a b a b c b c a c a b
Câu 5: (6,0 điểm)
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( )O , trực tâm H Đường tròn ( )O1 đường kính
AH cắt đường tròn ( )O tại K khác A Đường tròn ngoại tiếp tam giác BHC cắt ( )O1 tại F khác
H
a, Chứng minh rằng: KH, AF, BC đồng quy
b, Gọi D là một điểm bất kỳ trên cạnh BC AD cắt đường tròn ( )O tại điểm thứ hai là E Trên các đường thẳng AB, AC thứ tự lấy hai điểm M, N sao cho M, N đối xứng với nhau qua
D Chứng minh rằng ( )I đi qua E và tiếp xúc với MN tại D luôn đi qua một điểm cố định khi
D thay đổi
Câu 6: (1,0 điểm)
Cho 4030 số nguyên dương a i; b i (i= 1; 2015)nhỏ hơn 2015 1008 Trong đó, các a i đôi một khác nhau và các b i đôi một khác nhau Chứng minh rằng trong 4030 số đã cho tồn tại bốn số a x; a y;b m;b n thỏa mãn a x−a y=b m −b n.
HẾT./.