Khái quát chơng tham khảo giải hệ phơng trình khối Chuyên đề : Giải toán cách lập phơng trình hệ phơng trình lớp Các bớc giải toán: - Bớc : Gọi ẩn đặt điều kiện thích hợp cho ẩn - Bớc : Lập phơng trình (dẫn đến hệ phơng trình) + Thiết lập mối liên hệ qua ẩn đại lợng đà biết + Lập phơng trình (dẫn đến hệ phơng trình) -Bớc : + Giải phơng trình (hệ phơng trình) + Đối chiếu điều kiện ban đầu + Kết luận toán Một số vấn đề cần lu ý : Mỗi phơng trình lập đợc từ toán ngôn ngữ đại số biểu thị tơng quan đại lợng toán thông qua số đà biết (ẩn số) Để có đợc phơng trình (hệ phơng trình) tơng ứng với toán (sau đà hiểu rõ đề toán) ta tiến hành nh sau : , Gọi ẩn số: Ân cha biết , cần phải tìm Trong toán thông thờng toán yêu cầu tìm (những gì) ta gọi ẩn (những ẩn) Tuy nhiên chọn ẩn nh mà phơng trình lập đợc lại phức tạp khó khăn cho khâu giải phơng trình (hệ phơng trình) , ta cần thay đổi cách gọi ẩn chọn thêm ẩn ; ẩn có liên quan đến cần tìm toán cho phép ta lập phơng trình dễ dàng giải Ví dụ : Một ôtô dự định quÃng ®êng AB dµi 60 km mét thêi gian nhÊt định Trên nửa quÃng đờng đầu đờng xấu nên thực tế ôtô với vận tốc vận tốc dự định km/h Để đến B dự định ôtô phải quÃng đờng lại 10 km Tính thời gian ôtô dự định hết quÃng đờng AB ? Phân tích cách gọi ẩn : Nếu ta gọi cần tìm làm ẩn Gọi x (giờ ) thời gian ôtô dự định hết quÃng đờng AB ( ®iỊu kiƯn : x > )  VËn tốc ôtô dự định quÃng đờng AB : 60 ( km/h ) x Ta cã nöa qu·ng đờng đầu ôtô với vận tốc : 60 ( km/h ) x 30  Thêi gian «t« nửa quÃng đờng đầu : 60 ( ) x Ta có nửa quÃng đờng sau ôtô ®i v¬i vËn tèc : 60 10 ( km/h ) x 30 Thời gian ôtô hết nửa quÃng ®êng sau lµ : 60 ( giê ) 10 x Giải toán cách lập phơng trình hệ phơng trình Khái quát chơng tham khảo giải hệ phơng trình khối Theo ta có phơng tr×nh : 30 30 + 60 10 60  = x x x Ta thÊy víi c¸ch gäi Èn , ta giải tìm đợc thời gian ôtô dự định Nhng phơng trình lập đợc cồng kềnh Ta thay cách gọi ẩn Bài giải : Gọi vận tốc ôtô dự định hết quÃng đờng AB x ( km/h ) ( ®iỊu kiƯn : x > 6) Thời gian ôtô dự định hết quÃng đờng AB lµ : 60 ( giê ) x Ta cã vận tốc ôtô nửa quÃng đờng đầu : x – ( km/h )  Thêi gian «t« ®i nưa qu·ng ®êng ®µu lµ : 30 ( giê ) x Ta có vận tốc ôtô nửa quÃng đờng sau : x + 10 ( km/h ) 30 ( giê ) x 10 Theo bµi ta có phơng trình : 30 + 30 = 60 x x  x 10  Thêi gian «t« nửa quÃng đờng sau : Giải phơng trình ta đợc x = 30 > ( t/m ) Vậy thời gian ôtô dự định hết quÃng đờng AB lµ : 60 = giê 30 , Lập phơng trình : + Hình dung thật cụ thể , rõ ràng điều kiện toán ( quan hệ cần tìm , cha biết đà cho ) + Tách phần phiên dịch ngôn ngữ đại số + Kết hợp phần đà phiên dịch ngôn ngữ đại số để biểu diễn đại lợng hai cách khác thành đẳng thức , ta có phơng trình *, Thông thờng ta đa ẩn ta cần lập nhiêu phơng trình ( trừ trờng hợp ngoại lệ : đa thêm ẩn phụ vào , sau tìm cách khử phơng trình dẫn đến phơng trình nghiệm nguyên ) ) Ví dụ : Một đoàn học sinh tổ chức tham quan b»ng «t« Ngêi ta nhËn thÊy r»ng , xe chở 22 học sinh thừa học sinh Nếu bớt ôtô phân bố học sinh ôtô lại Hỏi lúc đầu có ôtô , biết ôtô chở đợc không 32 học sinh Bài giải : Gọi x số ôtô lúc đầu ( điều kiÖn : x ; x  ) Gäi y số học sinh ôtô phải chở sau bớt ôtô ( điều kiện : y ; 22 y  32 )  Theo bµi ta có phơng trình : 22x + = y.( x – 1) y 22 x 1 22  23 x x x  1  x  23  Do ®ã : x – ớc nguyên dơng x 2.(loai) x 24 Vậy lúc đầu có 24 ôtô Giải toán cách lập phơng trình hệ phơng trình Khái quát chơng tham khảo giải hệ phơng trình khối *, Chú ý : Trong toán giải toán cách lập phơng trình , hệ phơng trình có đại lợng liên quan mật thiết chặt chẽ với ( gần nh nói đến đại lợng phải nghĩ tới quan hệ với đại lợng khác dù đề không nói đến đại lợng quan hệ ấy) Chẳng hạn : + Bài toán chuyển động : QuÃng đờng = Vận tốc Thời gian + Bài toán suất : Sản lợng = Năng suất Thời gian + Bài toán diện tích : - , Diện tích hình chữ nhật : Diện tích = Chiều dài Chiều rộng - , Diện tích tam giác : DiƯn tÝch = ChiỊu cao C¹nh đáy Cần nhớ; A Toán quan hệ số : , Các kiến thức cần nhớ : + Biểu diễn số có hai chữ sè : ab = 10a +b ®iỊu kiƯn : < a  ;  b  ; a,b  + Sè a lín h¬n sè b p đơn vị : a = b + p + Sè a gÊp q sè b : a = q.b + Sè a chia sè b ( b  ) đợc thơng số p số d lµ r : a = b.q + r + Tỉng cđa hai sè a vµ b : a + b + TÝch cđa hai sè a vµ b : a.b + Tổng bình phơng hai số a b : a + b + Bình phơng tỉng hai sè a vµ b : ( a + b ) + Số phơng bình phơng cđa mét sè … , Bµi tËp vận dụng : a , Bài toán bậc : Bài : Hai số 12 đơn vị Nếu chia số nhỏ cho số lớn cho5 thơng thứ nhỏ thơng thứ hai đơn vị Tìm hai số ? Bài giải : Gọi x số nhỏ , y số lớn Ta có hai số 12 đơn vị , suy : y = x + 12 (1) Ta cã : Th¬ng cđa sè nhá chia cho : Th¬ng cđa sè lín chia cho : x y Do th¬ng thø nhỏ thơng thứ hai đơn vị  Ta cã PT : y  x =  7y – 5x = 140 y x 12  y  x 140  Tõ (1) vµ (2) ta cã hƯ PT :    (2)  y x 12   7( x 12)  x 140  x 28  y 40 Vởy hai số cần tìm : 28 vµ 40 Bµi : Cho mét sè có hai chữ số , chữ số hàng chục nửa chữ số hàng đơn vị Nếu đặt số xen vào hai số ta đợc số lớn số đà cho 370 đơn vị Tìm số đà cho ? Bài giải : Giải toán cách lập phơng trình hệ phơng trình Khái quát chơng tham khảo giải hệ phơng trình khối Gọi số có hai chữ số cần tìm : ab ( đk : a  ;  b  ; a , b ) Ta có chữ số hàng chục nửa chữ số hàng đơn vị , suy b = 2.a (1) Khi đặt số xen hai số đà cho ta đợc số : a1b Theo bµi ta cã sè míi lớn số đà cho 370 đơn vị Suy ta có phơng trình : a1b - ab = 370  100a + 10 + b – ( 10a + b ) = 370  90a = 360  a = ( tho¶ m·n ) (2) Thay (2) vào (1) ta đợc b = 2.4 b = ( t/m ) VËy sè cã hai ch÷ số cần tìm : 48 Bài : Tìm tỉng cđa hai sè biÕt r»ng : TÝch cđa hai số không đổi tăng số thứ thêm đơn vị bớt số thứ hai đơn vị giảm số thứ đơn vị tăng số thứ hai đơn vị Bài giải : Gọi số thứ số thứ hai lần lợt x y ( đk : x > ; y > ) Khi số thứ tăng đơn vị số thứ hai giảm đơn vị tích vânx không đổi  Ta cã PT : ( x + 1).(y – 1) = x.y  y – x = (1) Mặt khác số thứ giảm đơn vị số thứ hai tăng thêm đơn vị tích không đổi Suy ta cã PT : ( x – ).( y + ) = x.y  2x – y = (2) Từ (1) (2) ta có hệ phơng tr×nh  y    x  x 1 y 9   x 5   y 6 ( tháa m·n ) VËy tỉng cđa hai sè cần tìm : x + y = + =11 Bµi : TÝch cđa hai sè lµ 630 Nếu thêm vào số nhân tích 798 Tìm hai số ? Bài giải : Gọi x , y hai số cần tìm Ta có tích hai số 630  x.y = 630 (1) Khi thªm vào số nhân tích hai số : x.( y + ) = 798 (2) Tõ (1) (2) ta có hệ phơng trình : x y 630   x.( y  4) 798   x 15   y 42 ( tháa m·n ) Vậy hai số cần tìm : 15 42 b , Các toán bậc hai : Bài : Tìm hai số biết tổng chúng 17 tổng bình phơng chúng 157 Bài giải : Gọi x , y hai số cần tìm ( đk : x , y   ) Ta cã tæng hai sè b»ng 17 Suy ta cã PT : x = 17 y (1) Ta có tổng bình phơng hai sè lµ 157 Suy ta cã PT : x + y = 157 (2) ThÕ (1) vào (2) ta đợc : ( 17 y ) + y = 157  y - 17y + 66 = Giải toán cách lập phơng trình hệ phơng trình Khái quát chơng tham khảo giải hệ phơng trình khối y  0  ( y – ).( y – 11 ) =    y  11 0   y 6  ( tháa mÃn ) y 11 Vậy hai số cần tìm 11 Bài : Tìm số có hai chữ ? Biết đem chia số cho tổng chữ số đợc thơng d , đem chia số cho tích chữ số đợc thơng d Bài giải : Gọi số có hai chữ cần tìm xy ( đk : x , y  ; x , y   ) Ta có chia số cho tổng chữ số đợc thơng d  xy = 4.( x + y ) +  10x + y = 4x + 4y + y = 2x (1) Mặt khác chia số cho tích chữ số đợc thơng d xy = 3.x.y +  10x + y = 3xy + (2) Thế (1) vào (2) ta đợc : 10x + 2x – = 3x.( 2x – ) +  6x - 15x + =  ( x – )( 6x – ) =   x 2   x y=3 Đối chiếu điều kiện suy x = ( t/m ) VËy sè có hai chữ số cần tìm 23 Bài : T×m hai sè biÕt r»ng ? BiÕt r»ng trung bình cộng chúng nhỏ số lớn 24 , trung bình nhân chúng lớn số nhỏ 12 Bài giải : Gọi x , y hai số cần tìm ( đk : x > y > ) Ta cã trung b×nh céng hai số lớn số lớn 24 Suy x  y x  24  x = y + 24 (1) Ta cã trung b×nh nhân hai số lớn số nhỏ 12 Suy x y y 12  ( x y ) = ( y + 12 )  x.y = y + 24y + 144 (2) Thế (1) vào (2) ta đợc : y.( y + 48 ) = y + 24y + 144  24.y = 144  x = 54 ( t/m ) Suy y = ( tháa m·n ) VËy hai số cần tìm 54 Bài : Tìm số có hai chữ số ? Biết tổng bình phơng hai chữ số số cộng thêm tích hai chữ số Ngoài lấy số cộng thêm 36 đợc số gồm hai chữ số viết theo thứ tự ngợc lại Bài giải : Gọi số có hai chữ số cần tìm xy ( ®k :  x , y  ; x , y   ) Ta cã tæng bình phơng hai chữ số số cộng với tích hai chữ số Suy ta có phơng trình : x + y = xy + x.y  x + y = 10.x + y + x.y (1) Mặt khác số cần tìm cộng với 36 đợc số có hai chữ số viết theo thứ tự ngợc lại Suy ta có phơng trình : xy + 36 = yx  10x + y + 36 = 10y + x y = x + (2) Giải toán cách lập phơng trình hệ phơng trình Khái quát chơng tham khảo giải hệ phơng trình khối Thế (2) vào (1) ta đợc : x + ( x + ) = 10x + x + + x.( x + )  x - 7x + 12 =  ( x – )( x – ) =   x   x  0 0   y 7  x 4     y 8  x 3  x 3; y Thử lại ta đợc : x 4; y 8 ( t/m ) VËy sè cã hai chữ số cần tìm : 37 48 Bài : Tìm số có hai chữ số ? NÕu ®em sè ®ã chia cho tỉng sè cđa hai chữ số đợc thơng Nếu đem cộng tích hai chữ số với 25 ta có đợc số có hai chữ số viết theo thứ tự ngợc lại Bài giải : Gọi x chữ số hàng đơn vị , y chữ số hàng chục số có hai chữ số cần tìm (đk : x , y ; x , y   ) Ta cã ; xy = 10x + y yx = 10y + x Theo ta có hệ phơng trình :  10 y  x 6  x y  x - 9x + 20    x y  25 10 x  y =0  ( x – )( x – ) = Víi x =  Víi x =  y=5   x   x  0 0   x 4   x 5 ( t/m ) y = 25 ( ko t/m ) Vậy số có hai chữ số cần tìm 54 , Bµi tËp tù lun : Bµi : Tỉng cđa hai sè b»ng 136 NÕu lÊy sè nhá chia cho vµ sè lín chia cho tổng hai thơng 28 Tìm hai số ? Hớng dẫn: Gọi x số lớn , y số nhỏ cần tìm ( ®k : x , y   ) HƯ ph¬ng trình lập đợc : x y 136 x y   28 4   x 64 y 72 Bài : Chữ số hàng chục số có hai chữ số lớn chữ số hàng đơn vị Nếu đổi chỗ hai chữ số cho đợc có hai chữ số số ban đầu Tìm số có hai chữ số ban đầu ? Hớng dẫn : Gọi x , y lần lợt chữ số hàng chục hàng đơn vị số có hai chữ số cần tìm Giải toán cách lập phơng trình hệ phơng trình Khái quát chơng tham khảo giải hệ phơng trình khối (đk :  x , y  ; x , y   )  x y 1  Hệ phơng trình lập đợc : yx  xy   x 5   y Bài : Tìm hai số biết tỉng cđa chóng b»ng 156 NÕu lÊy sè lín chia số nhỏ đợc thơng số d lµ Híng dÉn : Gäi x , y lần lợt số lớn số nhỏ hai số cần tìm ( < y < x < 156 ; x , y   ) Hệ phơng trình lập đợc : x y 156   x 3 y   x 118 y 38 Bài : Tìm mét sè cã hai ch÷ sè ? BiÕt r»ng ch÷ số hàng chục gấp đôi chữ số hàng đơn vị Nếu đổi chữ số hàng chục hàng đơn vị cho đợc số có hai chữ số nhỏ số ban đầu 36 đơn vị Híng dÉn : Gäi xy lµ sè cã hai chữ số cần tìm (đk : x , y  ; x , y   ) Hệ phơng trình lập đợc : x y   xy yx  36  x 8 y 36 Bài : Tìm hai sè biÕt r»ng tỉng cđa hai sè lµ 13 vµ tổng bình phơng chúng 97 Hớng dẫn : Gäi x lµ sè thø nhÊt hai sè cần tìm ( đk : x < 13 ) Phơng trình lập đợc : x + ( 13 – x ) = 97  x 4 x Bài : Tìm số có hai chữ số ? biết số gấp lần tổng hai chữ số thêm 13 vào tích hai chữ số đợc số viết theo thứ tự ngợc lại Híng dÉn : Gäi sè cã hai ch÷ sè cần tìm xy (đk : x , y  ; x , y   ) Hệ phơng trình lập đợc : xy 8( x  y )    x y 13 yx   x 7   y 2 Bµi : Tìm số có hai chữ số ? Biết chữ số hàng chục hai lần chữ số hàng đơn vị cộng thêm tổng hai chữ số số nguyên tố nhỏ có hai chữ số Hớng dẫn : Gọi số cần tìm có hai chữ số cần tìm ab ( ®k :  a  ;  b  ; a , b  ) Hệ phơng trình lập đợc : a 2b   a  b 11   a b Giải toán cách lập phơng trình hệ phơng trình Khái quát chơng tham khảo giải hệ phơng trình khối Bài : Mét ph©n sè cã tỉng cđa tư sè vµ mÉu sè lµ 107 NÕu lÊy mÉu sè trừ hai lần tử số đợc 11 Tìm phân số ? Hớng dẫn : Gọi x tử số , y mẫu số phân số cần tìm ( đk : y )  x  y 107   y  x 11 Hệ phơng trình lập đợc :  x 32   y 75  Bµi : Tìm số ó hai chữ số ? Biết tổng hai chữ số 12 thay đổi thứ tự hai chữ số cho ta đợc số lớn số cũ 18 Híng dÉn : Gäi sè cã hai ch÷ sè cần tìm : xy (đk : x , y  ; x , y  ) Hệ phơng trình lập đợc : x y 12   yx  xy 18   x y Bài 10 : Tìm hai sè , biÕt r»ng hai lÇn sè thø nhÊt nhiỊu lần số thứ hai hiệu bình phơng chúng 351 Hớng dẫn : Gọi hai số cần tìm x y ( ®k : x > y ; x , y * ) Hệ phơng trình lập đợc lµ :  x 5 y     x  y 351    x 20   y 7 B To¸n làm chung , làm riêng công việc , Các kiến thức cần nhớ : *, Toán làm chung , làm riêng có ba đại lợng tham gia : + Toàn công việc + Phần làm việc đơn vị thời gian ( suất ) + Thời gian *, Năng suất làm việc : Đa đơn vị thời gian ( chẳng hạn : ngày , , ) ) *, Nếu đội làm xong công việc a (đơn vị thời gian) (đơn vị thời gian) đội làm đợc công việc a *, Nếu toán đối tợng hoàn thành công việc với nội dung chung nh : công việc , đào mơng , làm cánh đồng , nớc chảy vao mét bĨ níc … ) th× ta hiĨu hoàn thành công việc , Bài tập vận dụng : a , Các toán bậc : *, Bài tập tổng quát : Hai đội A B làm chung công việc thời gian a hoàn thành Nếu hai đội làm chung với b thời gian ( b < a ) , råi ®éi A chuyển làm công việc khác, đội B làm công việc lại thời gian c hoàn thành Hỏi đội làm sau hoàn thành công việc ? *, Lời giải mẫu : Gọi thời gian để đội A đội B làm hoàn thành công việc lần lợt x y ( điều kiện : x , y > a ) Giải toán cách lập phơng trình hệ phơng trình Khái quát chơng tham khảo giải hệ phơng trình khối Trong đơn vị thời gian : Đội A làm đợc (công việc) , đội B làm đợc y x (công việc) hai đội làm đợc (công việc) a = (1) Suy ta có phơng trình : + y a x b (c«ng viƯc) Trong b thêi gian : Đội A làm đợc b (công việc) , đội B làm đợc y x c Trong c thời gian đội B làm đợc y (công việc) b + c = (2) Theo ta có phơng trình : b + y x y  1    x y a  x    …   Tõ (1) vµ (2) ta cã hệ phơng trình : b b c y   x  y 1   x  §èi chiÕu ®iỊu kiƯn :   ( tháa m·n ) y Vậy đội A làm xong công việc sau thời gian , đội B làm xong công việc sau thời gian Bài : Hai máy cày làm việc cánh đồng Nếu hai máy cày làm sau 10 ngày xong công việc Nhng thực tế hai máy làm việc ngày đầu , sau máy thứ nghỉ , máy thứ hai làm tiếp ngày xong Hỏi máy làm cày xong cánh đồng ? Bài giải : Gọi thời gian để máy thứ nhất, máy thứ hai làm xong cánh đồng lần lợt x y Điều kiện : x , y > 10 ngày Trong ngày : Máy thứ làm đợc cánh đồng, máy thứ hai làm đợc x cánh đồng y = hai máy làm đợc cánh đồng Suy ta cã PT : + x 10 y 10 (1) Trong ngày: Máy thứ làm đợc cánh đồng, máy thứ hai làm đợc x y cánh đồng Giải toán cách lập phơng trình hệ phơng trình Khái quát chơng tham khảo giải hệ phơng trình khối 9 cánh đồng Suy ta cã PT : + y x ngày máy thứ hai đợc = y 1 1     x y 10 Tõ (1) vµ (2) ta cã hƯ PT :   16  x  y 1   x 15   y 30  7 7 x y  10    16  x  y 1   (tháa m·n) VËy máy thứ làm 15 ngày , máy thứ hai làm 30 ngày xong cánh đồng Bài : Hai ngời thợ đợc giao sơn tờng Hai ngời sơn , sau ngời thø hai nghØ , ngêi thø nhÊt tiÕp tơc lµm xong toàn tờng Ngày hôm sau họ lại đợc giao sơn tờng lần trớc Hai ngời sơn bøc têng míi giê th× ngêi thø nhÊt làm việc khác ngời thứ hai phải làm thêm 40 phút xong tờng Hỏi ngời thợ làm riêng thời gian sơn xong tờng ? Biết suất làm việc ngời thợ không thay đổi Bài giải : Gäi thêi gian ngêi thỵ thø nhÊt , ngêi thỵ thứ hai làm sơn xong tờng lần lợt x y (giờ) ( điều kiện : x , y >5 ) Trong giê ngời thứ sơn đợc tờng , ngời thứ hai sơn đợc y x tờng Suy ngời thứ sơn đợc tờng , ngời thứ hai sơn đợc y x bøc têng + =1 Theo bµi ta cã PT : + x y x  + = (1) x y Trong ngời thứ sơn đợc tờng , ngời thứ hai sơn đợc y x tờng bøc têng Trong giê 40 = ngời thứ hai làm đợc + =1 Theo bµi ta cã PT : + x y 3y  3y + 20 = (2) x 3x Giải toán cách lập phơng trình hệ phơng trình 10 ... phơng trình y    x  x 1 y ? ?9   x 5   y 6 ( tháa mÃn ) Vậy tổng hai số cần tìm : x + y = + =11 Bµi : TÝch cđa hai sè lµ 630 NÕu thêm vào số nhân tích 798 Tìm hai số ? Bài giải : Gọi... x.y = 630 (1) Khi thêm vào số nhân tích hai số : x.( y + ) = 798 (2) Tõ (1) vµ (2) ta có hệ phơng trình : x y 630  x.( y  4)  798   x 15   y 42 ( tháa m·n ) VËy hai số cần tìm : 15... tổng hai số 13 tổng bình phơng cđa chóng b»ng 97 Híng dÉn : Gäi x số thứ hai số cần tìm ( đk : x < 13 ) Phơng trình lập ®ỵc : x + ( 13 – x ) = 97  x 4   x Bài : Tìm số có hai chữ số