Việc giải bài toán bằng cách lập phơng trình là một ứng dụng của phơng trình, nó có ý trong việc rèn luyện óc phân tích và biểu thị toán học những mối liên quan của các đại lợng trong th
Trang 1PHẦN THỨ NHẤT: ĐẶT VẤN ĐỀ
PHẦN THỨ HAI:GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I/ Lý do chọn đề tài:
Toán học ra đời gắn liền với con ngời, với lịch sử phát triển và cuộc sống xã hội loài ngời nói chung, con ngời nói riêng Nó có lí luận thực tiễn lớn lao và quan trọng
nh đồng chí Phạm Văn Đồng đã nói: “Toán học là môn thể thao của trí tuệ nó giúp cho chúng ta rèn luyện tính thông minh và sáng tạo”
Đại số là một môn đặc biệt của toán học Nếu đi sâu vào nghiên cứu về môn đại
số hẳn mỗi chúng ta sẽ đợc chứng kiến “Cái không gian ba chiều” lí thú của nó mà không bao giờ vơi cạn Giải bài toán bằng cách lập phơng trình là một trong những nội dung quan trọng trong chơng trình toán của trờng trung học cơ sở Việc giải bài toán bằng cách lập phơng trình là một ứng dụng của phơng trình, nó có ý trong việc rèn luyện óc phân tích và biểu thị toán học những mối liên quan của các đại lợng trong thực tiễn Trong phân môn đại số chơng trình toán lớp 8 THCS số tiết về dạy học các bài toán bằng cách lập phơng trình đã chiếm một vị trí quan trọng
Về cả hai phía giáo viên và học sinh đều có khó khăn khi dạy và học kiểu bài này Đây là một vấn đề quan trọng và bức thiết Lâu nay chúng ta đang tìm kiếm một phơng pháp dạy học sinh giải các bài toán bằng cách lập phơng trình làm sao đạt hiệu quả Các tài liệu, các sách tham khảo, sách hớng dẫn cho giáo viên cũng cha có sách nào đề cập đến phơng pháp dạy kiểu bài này Có chăng chỉ là gợi ý chung và sơ l-ợc.Và đặc biệt trong các hội thi giáo viên dạy giỏi các cấp hầu nh các tiết thi giảng giải bài toán bằng cách lập phơng trình không mấy đạt đợc kết quả cao
Trớc tình hình trên, bản thân tôi là một giáo viên toán cấp THCS, cũng đã từng trăn trở nhiều về vấn đề trên.Và với bài viết này tôi không có tham vọng lớn để bàn về vấn đề: “Giải các bài toán” ở trờng phổ thông Tôi chỉ xin đề xuất một vài ý kiến về phơng pháp dạy kiểu bài “Giải bài toán bằng cách lập phơng trình” đối với học sinh lớp 8 THCS mà tôi đã từng áp dụng thành công
II/ Nhiệm vụ nghiên cứu:
Nghiên cứu một số phơng pháp hớng dẫn học sinh lớp 8 giải bài toán bằng cách phơng trình
III/ Đối tợng phạm vi nghiên cứu
1 Đối tợng nghiên cứu: Học sinh lớp 8 trờng THCS Đụng Phỳ
2 Phạm vi nghiên cứu: Trờng THCS Đụng Phỳ
IV/ Phơng pháp nghiên cứu:
1 Nghiên cứu lí thuyết thông qua sách giáo khoa, tài liệu tham khảo
2 Sử dụng phơng pháp phân tích tổng hợp
V/ Thời gian nghiên cứu:
Từ tháng 9 - 2009 đến 3 - 2010 tham khảo tài liệu, áp dụng giảng dạy tại trờng
Từ tháng 3 - 2011 đến 4 - 2011 tổng hợp số liệu và viết đề tài
Ch ơng I: Cơ sở lí luận
I - Cơ sở lí luận
Trang 2“Lập phơng trình đối với một bài toán cho trớc là biện pháp cơ bản để áp dụng toán học vào khoa học tự nhiên và kỹ thuật Không có phơng trình thì không có toán học, nó nh phơng tiện nhận thức tự nhiên”
Giải bài toán bằng cách lập phơng trình trớc tiên là biến bài toán bằng lời thành phơng trình ứng với bài toán đã cho Muốn vậy phải nắm vững “ngôn ngữ đại số” biết phiên dịch từ ngôn ngữ thông thờng sang ngôn ngữ đại số Phải nắm vững nghệ thuật lập phơng trình
* Ngôn ngữ đại số: Đó là thứ ngôn ngữ không dùng đến lời mà chỉ sử dụng các kí hiệu toán học
* Nghệ thuật lập phơng trình: Mỗi phơng trình lập đợc từ bài toán là ngôn ngữ đại
số biểu thị mối tơng quan giữa những đại lợng trong bài toán thông qua các số đã biết
Để có phơng trình tơng ứng với bài toán (sau khi đã hiểu rõ bài toán) ta thờng tiến hành nh sau:
- Đặt ẩn số: ẩn là cái cha biết, phải đi tìm Thông thờng bài toán yêu cầu tìm cái gì (những cái gì) thì nên đặt cái đó là ẩn Ngoại lệ khi chọn ẩn nh vậy mà phơng trình lập nên phức tạp hoặc khó khăn thì cần thay đổi cách chọn ẩn hoặc chọn thêm ẩn, ẩn
đó có liên quan đến cái gì cần tìm trong bài toán và cho phép ta lập phơng trình dễ dàng hơn
- Lập phơng trình:
+ Hình dung cụ thể, rõ ràng điều kiện của bài toán (quan hệ giữa cái cần tìm, cái cha biết và những cái đã biết)
+ Tách ra từng phần, phiên dịch theo ngôn ngữ đại số
+ Kết hợp những phần đề có thể biểu diễn cùng một đại lợng bằng hai cách khác nhau thành đẳng thức, khi đó ta có một phơng trình
Thông thờng đa ra bao nhiêu ẩn, cần thiết lập bấy nhiêu phơng trình (trừ những tr-ờng hợp ngoại lệ: đa thêm ẩn phụ vào, sau đó tìm cách khử đi hoặc lập phơng trình dẫn đến tìm nghiệm nguyên)
Trong sách giáo khoa đại số 8 đã chú trọng việc lựa chọn các bài toán có thể giải bằng phơng pháp lập phơng trình Theo phân phối chơng trình môn toán THCS của bộ giáo dục thực hiện từ học kỡ hai Số tiết để chỉ dạy học giải các bài toán bằng cách lập phơng trình là 7 tiết kể cả phần luyện tập
Việc tổ chức hớng dẫn học sinh biết lập phơng trình để giải các bài toán là điều quan trọng và cần thiết.
1 Giúp học sinh giải quyết dễ dàng nhiều bài toán
2.Dạy giải bài toán theo phơng pháp này đòi hỏi học sinh bao giờ cũng có cách nhìn tổng quát để phân tích tìm ra mối liên hệ giữa các sự kiện, chứ không tiến hành tính toán ngày nên ở học sinh phát triển tốt năng lực phân tích tổng hợp, trừu tợng hóa, năng lực ký mã và giải mã
3.Thông qua bài toán bằng cách giải phơng trình còn gây hứng thú học tập môn Toán cho học sinh, phát triển trí tuệ và giáo dục, rèn luyện con ngời học sinh về mọi mặt
4.Theo phơng pháp này, đòi hỏi học sinh phải nắm chắc các khái niệm về: số, phép toán, quan hệ hơn kém, quan hệ tỷ lệ thuận, tỷ lệ nghịch, đại lợng và các kỹ năng
“dịch” từ “ngôn ngữ toán học” sang ngôn ngữ thông thờng và ngợc lại, rút gọn biểu thức, giải phơng trình Do đó bất cứ chơng trình nào cha chuẩn bị cho học sinh các
điều kiện trên thì sẽ khó hình thành cho học sinh giải bài toán theo phơng pháp này
Để đảm bảo các yêu cầu trên đây trong khi dạy học sinh giải toán, ngoài những yêu cầu cần thiết là rèn luyện kỹ năng, phơng pháp suy luận, phát triển thông minh của học sinh, giáo viên không nên bỏ qua việc chọn vẻ bề ngoài của bài toán để phát triển thêm năng lực suy luận phát triển toàn diện cho học sinh
Trang 3II Thực trạng chung của vấn đề
1 Về phía giáo viên
Có thể khẳng định rằng đây là một trong những kiểu bài tơng đối khó đốivới giáo viên Đó là khó khăn trớc hết là khó khăn về kiến thức, về phơng pháp Cái gì dạy mãi cũng thành quen mà quen thì dễ hơn Nhng với kiểu bài này giáo viên rất lúng túng về phơng pháp Chỉ trong một số tiết giải bài toán bằng cách lập phơng trình mà dung l-ợng kiến thức không ít, có rất nhiều dạng toán, rất nhiều vấn đề cần đề cập nâng cao Giáo viên phải làm sao để giờ học vừa truyền thụ đủ kiến thức cho học sinh để học sinh có “nghệ thuật lập phơng trình” vừa không bị cháy giáo án Vừa tránh đợc sự giảng giải nhàm chán, từ đầu đến cuối tiết học vừa cuốn hút học sinh Phần lớn giáo viên đều ngại dạy kiểu bài này, nhất là ít chọn để thao giảng
Vậy nguyên nhân do đâu?
Thứ nhất: Các tài liệu để giáo viên tham khảo cũng rất hiếm nên giáo viên càng ít
có cơ hội để bổ sung kiến thức, phơng pháp
Thứ hai: Do giáo viên cha tìm đợc phơng pháp tối u, cha đầu t nhiều để suy nghĩ
đa ra hệ thống những lời chỉ dẫn cần thiết cho học sinh trong các tiết học
2 Về phía học sinh
a) Thực trạng chung
Với giáo viên, việc dạy học giải bài toán bằng cách lập phơng trình là khó thì với học sinh kiểu bài này còn rất khó hơn
Việc học tập các phơng pháp tổng quát và đặc biệt để giải các bài toán, việc hình thành kỹ năng và kỹ xảo vận dụng toán học vào những sự kiện khác nhau trong đời sống nh ta đã biết có một ý nghĩa quan trọng Khoa học và đời sống đòi hỏi ở nhà tr-ờng không những chỉ thông báo những sự kiện nhận thức nhất định qua sự giáo dục của nhà trờng mà còn phải giúp học sinh làm quen với những t tởng phơng pháp khoa học một cách có hệ thống, truyền đạt tới các em những kinh nghiệm nhận thức của loài ngời
Học sinh trong khi nghiên cứu toán học các em có những kiến thức nội dung tài liệu học tập, các em hiểu các định lý và quy tắc nhng không hiểu các phơng pháp chung để giải các bài toán Bởi vì các thủ thuật ấy không đợc nêu rõ và hình thành trong bản thân khoa học
Điều quan trọng không chỉ thông báo cho học sinh những thông tin về những thủ thuật và phơng pháp ấy mà phải làm sao cho học sinh hiểu thấu đáo những kiến thức thu đợc về phơng pháp Điều này là bắt buộc vì lẽ là những sách giáo khoa và những tuyển tập tài liệu dùng cho học sinh hiện nay không có đầy đủ những chỉ dẫn liên quan đến phơng pháp nhận thức riêng và lôgic đại cơng áp dụng cho khi nghiên cứu toán học ở nhà trờng Về giải bài toán bằng cách lập phơng trình cũng ít có những chỉ dẫn nh vậy
Những chỉ dẫn tản mạn của giáo viên thông thờng học sinh không nhớ và hệ thống hóa đợc Vì thế tất cả những chỉ dẫn đó chỉ trông vào trí nhớ của học sinh, học sinh lại nhanh quên
Mặc dù trong sách giáo khoa đại số 8 đã có một số bài tập giải mẫu các bài toán và một vài chỉ dẫn lập phơng trình nhng những hớng dẫn đó cha cung cấp cho học sinh
đầy đủ những cơ sở vững chắc để nắm vững cách giải các bài toán
Còn có những nguyên nhân khác làm cho học sinh giải cha tốt bài toán bằng cách lập phơng trình, đó là:
- Học sinh còn yếu về kỹ xảo ghi tóm tắt giải thiết bằng ký hiệu để giúp phân tích tổng hợp bài toán, giúp diễn tả rõ hơn mối quan hệ giữa các đại lợng đa vào bài toán
- Nhiều học sinh khó hình dung đợc mối liên hệ phụ thuộc giữa các đại lợng đa vào bài toán, không biết diễn tả mối phụ thuộc giữa các đại lợng đa vào bài toán,
Trang 4không biết diễn tả mối phụ thuộc này bằng ký hiệu cho nên khó chuyển bằng lời sang ngôn ngữ toán học trừu tợng
- Một số học sinh không hiểu giải một bài toán là nh thế nào Vì thế không giải
đầy đủ, không biết nghiệm của phơng trình tìm đợc có là đáp số của bài toán này không
- Giáo viên ít chú ý tới cấu trúc của những bài toán phức hợp từ những bài toán cơ bản, cũng nh ít phân tích các bài toán Trong sách giáo khoa toán 8 THCS cha chú ý tới hệ thống những bài tập về lập các bài toán.Và nguyên nhân của những nguyên nhân: “tôi nghĩ rằng nếu việc học toán thuộc về trí tuệ của loài ngời mà lại trở thành
điều không thể đạt đối với nhiều ngời thì công bằng là phải quy điều đó về khuyết
điểm của nghệ thuật và phơng pháp giảng dạy
b) Khảo sát chất lợng học sinh lớp 8 đầu năm:
Lớp Sĩ số GiỏiSL % KháSL % Trung bìnhSL % Yếu - kémSL %
Ch
ơng II: Quy trình để giải một bài toán bằng cách lập
ph ơng trình.
* Các bài tập chuẩn bị
Trớc khi cùng học sinh giải các bài toán phức hợp trong tiết học tôi đã cùng học sinh xây dựng một cách hợp lí những bài toán tơng tự từ những bài đơn giản cơ bản để
đi tới những bài phối hợp và phức tạp Chỉ khi học sinh học đợc cách xây dựng tốt thì học sinh mới phân tích đúng bài không mất nhiều thời gian
Trong quá trình giảng dạy nhất là các tiết giải bài toán bằng cách lập phơng trình tôi luôn chú ý đề ra những bài tập hợp lí và có hệ thống, đồng thời thỉnh thoảng ôn tập chung
I.CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN NHƯ SAU :
1 Hãy biểu thị bằng công thức mối liên hệ phụ thuộc giữa số bị chia a, số chia b, thơng q và số d r Hãy biểu thị từng số qua các số còn lại
2 Viết số a nhiều hơn b gấp m lần bằng nhiều cách khác nhau
3
b
a của m là x Vậy x =?
4
b
a của x là m Vậy x =?
5 a% của m là x Vậy x = ?
6 Hãy viết số gồm a trăm, b trục, c đơn vị, điều kiện Hãy viết số gồm a chục, b
đơn vị, điều kiện
7 Hiệu suất (năng suất) lao động là n, thời gian làm việc là t, khối lượng công việc
đợc hoàn thành là A Hãy biểu diễn mối quan hệ phụ thuộc bằng các công thức
8 Vận tốc chuyển động của một vật là v, thời gian chuyển động là t, quãng đờng là
s Hãy viết công thức biểu thị mối liên hệ giữa s, v, t
9 Vận tốc riêng của một chiếc ca nô là v0, vận tốc của dòng chảy là v3, vận tốc của ca nô đi xuôi dòng là v1, vận túc của ca nụ khi ngược dũng v2 Hiệu số giữa vận tốc xuôi
Trang 5dòng: v1 = v0 + v3 và ngợc dòng nớc là: v2 = v0 - v3 Hãy thành lập những công thức khác nhau chứa những đại lợng trên
10 Nếu ký hiệu khoảng cách giữa hai điểm trên một vùng nào đó là D, khoảng cách giữa hai điểm đó trên bản đồ là d, tỷ lệ xích là m thì mối liên hệ phụ thuộc đợc biểu diễn bằng công thức nào
11 Giá tiền của một loại hàng T, số lợng hàng là m, tiến vốn là c Hãy viết công thức về mối liên hệ giữa T, m, c
12 Cho khối lợng công việc là l Hãy viết công thức về mối liên hệ phụ thuộc giữa hiệu suất (năng suất) n, thời gian để hoàn thành công việc đó là t và khối lợng công việc l
13 Công suất của một động cơ là P, thời gian làm việc là t, công là A, biểu thị mối tơng quan giữa P, A, t
14 Cho nớc chảy vào một cái bể có thể tích V lít qua một vòi phải mất t giờ, hiệu suất của vòi là N lít trong một giờ Hãy biểu thị mối liên hệ phụ thuộc giữa các
đại lợng V, N và t
15 Một ngời gửi tiền vào ngân hàng a đồng với lãi suất b% hàng năm Hãy biểu thị số vốn của ngời đó sau một năm bằng công thức Ký hiệu số vốn này bằng K
16 Cho thể tích của một bể chứa V Hãy biểu thị sự phụ thuộc giữa hiệu suất n của ống dẫn nớc vào bể, thời gian đầy bể là t
17 Hãy biểu thị bằng công thức mối liên hệ phụ thuộc giữa khối lợng m, thể tích v và khối lợng riêng D Hãy viết công thức cho mỗi đại lợng
18 Hãy vẽ phác họa những hình đã biết và viết công thức để tính diện tích của chúng nếu kí hiệu các cạnh là a, b chiều cao là h, bán kính R, diện tích S
19 Hãy viết công thức để tính thể tích những hình mà em biết Sau khi đã vẽ phác chúng và ký hiệu những yếu tố cần thiết
20 Trong vụ mùa những hecta thu đợc a kg/ha, diện tích là S ha, thu hoạch toàn
vụ là P kg Biểu thị mối liên hệ phụ thuộc giữa a, S và P
21 Hãy biểu thị bằng công thức trạng thái định lợng của một đại lợng nếu nh trạng thái ban đầu của nó là H sự thay đổi xảy ra là M, trạng thái cuối cùng là K (các trờng hợp có thể là: H - M = K; H * M = K; H : M = K
Trong chơng trình môn toán trong các tiết học có các bài toán giải bằng cách lập phơng trình tôi luôn cho học sinh làm các bài tập chuẩn bị Trớc khi giải các bài toán phức tạp thì nên phức tạp hóa dần dần các bài tập
Vậy thì các giáo viên tổ chức cho học sinh làm các bài tập chuẩn bị nh thế nào? Mỗi học sinh có những phơng pháp và biện pháp tích cực làm các bài tập Những bài tập này có thể ra cho học sinh làm tại lớp trớc khi giải các bài toán phức tạp
II Các giai đoạn giải các bài toán bằng cách lập ph ơng trình
Trong hoạt động giải một bài toán, kỹ năng chọn phép tính cần thiết dẫn đến kết quả mong muốn của học sinh sẽ gây cho các em niềm hy vọng Cấu trúc của bài toán cũng nhẹ việc hình thành các biện pháp hoạt động trí tuệ và học tập của học sinh xác định việc lựa chọn các phép tính Từ đó xuất hiện sự cần thiết phân chia bài toán
ra những yếu tố thành phần, lựa chọn và kết hợp các yếu tố ấy lại theo một bố cục khác sẽ đảm bảo cho học sinh làm việc tích cực và từ đó cũng xuất hiện sự cần thiết phải chia tiến trình giải bài toán bằng cách lập phơng trình ra những giai đoạn
Trong các giai đoạn với những chỉ dẫn nhất định là một chơng trình hoạt động của học sinh, gây ra những thao tác tơng ứng ở mức tri giác và t duy của các quá trình nhận thức
Không có chơng trình hoạt động cụ thể cho học sinh, không có thuật toán hoặc chỉ dẫn chung để tìm cách giải các bài toán đó thì rõ ràng khó tổ chức việc học tập cho các em vì quá trình này chứa đựng sự bắt chớc và tiếp tục sáng tạo
Trang 6Trong mỗi bài toán đều có những dữ kiện rõ ràng và không rõ ràng về mối liên
hệ phụ thuộc giữa các đại lợng Một trong những nhiệm vụ của giáo viên là dạy cho các em biết biến những điều cha rõ thành rõ, quan tâm đến tất cả các dữ kiện và những mối liên hệ phụ thuộc trong giả thiết bài toán Ở lớp 8 khi giải một bài toán tôi luôn chú ý hình thành đầy đủ các thao tác, các giai đoạn giải toán bằng cách lập
ph-ơng trình Cụ thể có 7 giai đoạn(3 bớc), đó là:
Bước 1: Lập phương trỡnh
+ Chọn ẩn số và đặt điều kiện cho ẩn
+ Biểu diễn cỏc cỏc đại lượng chưa biết theo ẩn và cỏc đại lượng đó biết
+ Lập phương trỡnh biểu thị mối quan hệ giữa cỏc đại lượng
Bước 2: Giải phương trỡnh
Bước 3: Trả lời: Kiểm tra xem trong cỏc nghiệm của phương trỡnh, nghiệm nào thoả món điều kiện của ẩn, nghiệm nào khụng, rồi kết luận
1 Giai đoạn 1: Phân tích và tự viết giả thiết bài toán.
Biểu tợng rõ ràng về đầu bài toán là điều kiện tất yếu để xác định mối liên hệ phụ thuộc giữa các đại lợng điều hợp lý là ở đây mỗi học sinh phải tự mình ghi chép
và phân chia bài toán ra những phần hợp thành nhng phải làm sao để không một học sinh nào lãng quên giả thiết của bài toán
Trong giai đoạn đầu tôi đã chỉ dẫn cho học sinh những điều sau:
1 Tìm hiểu ý nghĩa đề bài toán và ý nghĩa của từng lời Hãy nhớ lại và đọc qua
định nghĩa những khái niệm đợc đa vào giả thiết bài toán
2 Xác định đối tợng nghiên cứu
3 Làm rõ các quá trình đợc diễn tả trong bài toán Hãy nhớ rằng có bao nhiêu quá trình thi có bấy nhiêu lần quan sát, bấy nhiêu lần ghi chép
4 Chỉ ra các đại lợng đặc trng cho mỗi quá trình cho chúng những ký hiệu và
đặt những đơn vị đo Tìm mối quan hệ giữa các đại lợng và viết công thức diễn tả quan hệ đó Nếu khó viết đợc dới dạng tổng quát ngay thì hãy viết nó trong những biểu thức riêng lẻ rồi sau đó mới viết dới dạng tổng quát
5 Viết giả thiết dới dạng có thể và dễ hiểu đối với mình để chọn một trong những đại lợng cha biết và ký hiệu nó bằng một chữ cái, lập các biểu thức đại số gồm các dữ kiện của ẩn số cho mỗi quá trình của bài toán Đừng quên những đơn vị đợc chọn để đo, hãy giản ớc các biểu thức
Chú ý: Nếu nh khó viết ngay các biểu thức đại số thì lấy số có lý do nào đó
thay cho đại lợng cha biết và lập các biểu thức số Sau khi đã hiểu cấu trúc của biểu thức hãy ghi nó bằng chữ cái (x, y, z)
6 Sắp đặt thứ tự các biểu thức đại số đã đợc viết thuận tiện cho các phép tính và các phơng trình, hãy sử dụng ở đây các bảng, đồ thị, hình vẽ hoặc là những chú thích của đầu bài toán
Sau khi xác định những đối tợng chủ yếu cần nghiên cứu, các quá trình đợc diễn tả trong bài toán và các công thức liên kết các đại lợng đó thì việc chuyển những
điều ghi chép bằng lời ra ngôn ngữ toán học là một phần tự nhiên của việc giải một bài toán
Trong khi giải các bài toán, việc phân tích vẫn là trội hơn trong tất cả các công việc đã làm Sau đó sự tổng hợp chiếm địa vị u thế về một phơng diện khác
Khi giải một bài toán mà cha biết cách giải toàn bộ cả bài thì thờng là bắt đầu giải những phần đơn giản của bài toán để nghĩ bài toán phức tạp hơn ở đây việc ghi chép bằng lập bảng bảo đảm chọn một trong hàng loạt bài toán riêng biệt cần thiết để giải bài toỏn đã cho
Trang 7Sự phân chia bài toán ra từng phần là cơ sở của sự phân tích Nếu các phần tách
ra đợc kết thúc một cách logic cùng với mối liên quan của chúng đợc làm rõ thì cấu trúc của bài toán sẽ đợc phản ánh một cách rõ nét trong nhận thức của học sinh và
điều đó đảm bảo những kết quả nhất định trong khi giải một bài toán
Bảng là một phơng tiện, một công cụ của t duy khi phân tớch một bài toán ra những phần hợp thành quan trọng, cũng nh khi tổng hợp các phần ấy, cần thiết để lập phơng trình Mỗi một biểu đồ hoặc mỗi dòng của bảng có chứa đựng một nội dung thuần túy logic Bảng đã lập xong sẽ tạo khả năng nhìn đợc tổng quát mối tơng quan giữ các yếu tố của bài toán nhờ đó tìm ra cách giải
Trong sách giáo khoa Đại số 8 cũng đã đa ra các bảng khi phân tích tìm cách giải một số bài toán làm ví dụ nhng không nêu rõ cách lập nh thế nào (các cột, các dòng ghi những gì) Đó là vấn đề giáo viên cần phải khai thác tự tìm cho mình hớng
đi khi hớng dẫn học sinh giải toán
Qua thực tế giảng dạy tôi thấy bảng, sơ đồ đối với học sinh là dễ và đơn giản hơn nhiều so với việc trình bày bằng lời Chỉ khi tất cả những mối tơng quan giữa các phần của bài toán đã đợc trông thấy rõ ràng thì tốt hơn là có thể trình bày bằng lời
Điều đó xác định thứ tự giới thiệu cho học sinh phơng pháp trình bày lời giải một bài toán Đầu tiên là lập bảng ghi tóm tắt, sau đó trình bày bằng lời văn
Việc xác định các đối tợng nghiên cứu, tách các quá trình cần phải khảo sát các lợng đa vào bài toán ở đây học sinh sẽ hiểu rằng: cái gỡ là hiện tợng và những trờng hợp riêng của nó, mối liên hệ phụ thuộc giữa các đại lợng là gì? và vẫn diễn tả mối phụ thuộc đó bằng một công thức
2 Giai đoạn II: Những cơ sở để lập ph ơng trình
7 Hãy chọn một giữ kiện không nằm trong những điều ghi tóm tắt giả thiết của bài toán Nó là cơ sở để lập phơng trình Hãy lập cho nó một biểu thức đại số phù hợp với đại lợng cha biết
Nếu nh tất cả các dữ kiện đều nằm trong phần ghi tóm tắt giả thiết bài toán thì cơ sở để lập phơng trình đợc diễn tả bằng lời Trong trờng hợp này có thể phân tích câu cho biết đặc điểm so sánh các biểu thức đại số chẳng hạn chúng bằng nhau, bằng một nửa, gấp đôi Sau khi đã chọn đại lợng nh vậy mà đối với nó có hai biểu thức khác nhau thì nên so sánh các giá trị bằng số của chúng, các giá trị này là cơ sở để lập phơng trình
3 Giai đoạn III: Lập ph ơng trình
8 Nên ghi các biểu thức đại số phản ánh cơ sở để lập phơng trình thành một hàng sao cho giữa chúng có thể đặt các dấu của các phép tính hoặc là dấu bằng Sau
đó so sánh các giá trị bằng số của chúng và xác định giá trị nào lớn hơn bao nhiêu
đơn vị hoặc bao nhiêu lần Sự so sánh này sẽ chỉ ra cần biến đổi nh thế nào (tăng, giảm) một trong các giá trị để có thể đặt dấu bằng
4 Giai đoạn IV: Phân tích ph ơng trình và giải ph ơng trình.
9 Khi khảo sát các phơng trình nên khảo sát các phơng pháp biến đổi thích hợp nhất
* Khi giải một phơng trình bậc nhất nên áp dụng thuật toán đã đợc thừa nhận
- Quy đồng mẫu rồi khử mẫu thức
- Mở các dấu ngoặc, điều đó sẽ tạo khả năng tách các đại lợng đã biết ra khỏi những đại lợng cha biết
- Đa tất cả các số hạng đã biết (bằng số) sang một vế, số hạng cha biết (chứa ẩn) sang vế khác của phơng trình
- Làm xuất hiện các số hạng đồng dạng trong cả hai vế của phơng trình
- Chia cả hai vế của phơng trình cho hệ số của ẩn nếu nh hệ số này khác 0
Trang 85 Giai đoạn V: Nghiên cứu các nhiệm vụ của phơng trình để xác định nghiệm
phù hợp với giả thiết của bài toán, phõn tích ý nghĩa lời giải, kiểm tra các phép tính và lập luận
Để học sinh hình dung rõ tất yếu các giá trị của biện luận lời giải, phân tích ý nghĩa của nó tôi đã hớng dẫn học sinh khảo sát một loại bài tập thích hợp, phản ánh những trờng hợp riêng khác nhau của các nghiệm
Những chỉ dẫn cho học sinh trong giai đoạn này:
10 Để xác định những đáp số của bài toán cần phải nghiên cứu các nghiệm của phơng trình, phân tích ý nghĩa các nghiệm Trong những trờng hợp đại lợng phải tìm của bài toán và ẩn số của phơng trình trùng nhau cần phải tính đến điều sau:
Nếu nh đại lợng đợc nghiên cứu có giới hạn và nghiệm của phơng trình lại vợt qua giới hạn thì nghiệm này không thể là đáp số của bài toán
Những nghiệm âm của phơng trình có thể là những đáp số của bài toán trong những trờng hợp nếu đại lợng phải tìm có thể lấy giá trị âm
Nếu nh phơng trình không có nghiệm thì bài toán không có đáp số Ngay cả khi
ẩn số của bài toán tìm đợc nhờ thực hiện một sự phân tích nào đó, đối với các nghiệm của phơng trình thì cũng phải rút ra những kết luận tơng tự nh trên về các giá trị của các đại lợng phải tìm
11 Để kiểm tra các phép tính nên thay các giá trị tìm đợc vào phần ghi tóm tắt giả thiết của bài toán và tìm các giá trị bằng số của tất cả các biểu thức đại số đợc ghi trong khi lập phơng trình Hãy so sánh các giá trị bằng số của các vế trái và phải
6 Giai đoạn VI: Viết đáp số
Điều quan trọng là dạy học sinh biết viết đáp số theo đầu bài toán không phải
nh viết nghiệm của phơng trình Muốn vậy cần lu ý học sinh rằng trong bảng chúng ta lập có nhiều ẩn số, một phần trong chúng là câu trả lời của bài toán
12 Đọc để biết bài toán hỏi cái gì Chọn các số phù hợp với câu hỏi của bài toán để viết bổ sung Nếu không có những số nh vậy thì nên thực hiện các phép tính
bổ sung bằng các số của bảng để đợc đáp số Nếu đáp số gồm một vài số thì nên viết chúng theo thứ tự của bài toán hỏi
7 Giai đoạn VII: Phân tích cách giải bài toán
Vì mục đích đặt ra trong giảng dạy không phải chỉ thông báo cho học sinh tổng
số các kiến thức nhất định mà còn phải rèn luyện cho học sinh kỹ năng, kỹ xảo tự lập giải toán ngoài ra còn phải lĩnh hội đợc những quan niệm và phơng pháp nghiên cứu của bộ môn Cho nên trả lời câu hỏi của bài toán không phải là giai đoạn cuối cùng của phép giải Ta có thể gọi giai đoạn này là giai đoạn nhận thức t tởng, là giai đoạn t duy về quan niệm và phơng pháp giải toán đã cho và cả những bài học tơng tự, nghiên cứu các quy tắc để giải chúng Thiếu giai đoạn này thì việc giải toán sẽ không đầy đủ giá trị
Đây là giai đoạn quan trọng của sự tổ chức hợp lý lao động trí óc của học sinh: Phân tích công việc đã làm, loại trừ các phép tính không cần thiết, đơn giản cách giải, tìm cách thích hợp hơn để giải bài toán
Với quan điểm thực hành, giai đoạn VII là giai đoạn kết thúc công việc, giai
đoạn trọng điểm cuối cùng của lời giải
Qua cách trình bày ở trên, ta thấy: Để lập đợc phơng trình, ta cần khéo chọn ẩn
số và tìm sự liên quan giữa các đại lợng trong bài toán Lập bảng biểu diễn các đại l-ợng trong bài toán theo ẩn số đã chọn là một phơng pháp thờng dùng
*Các ví dụ minh hoạ
Bài toán 1 :
Mẫu số của một phõn số lớn hơn tử số của nú là 3 đơn vị Nếu tăng cả tử và mẫu thờm 2 đơn vị thỡ được phõn số bằng 1/2 Tỡm phõn số ban đầu
Trang 9- dữ kiện: có hai số tử và mẫu, mẫu số lớn hơn tử số là 3và nếu tang cả tử và mẫu them 2 đơn vị thỡ được phõn số mới bằng 1/2 các mối quan hệ của hai số là :
* mẫu - tử = 3
* mẫu + 2 ; tử + 2
* (tử + 2)/(mẫu + 2) = 1/2
- Nếu gọi tử số x thỡ mẫu số là: x + 3 ( x ≠ - 5)
- Nếu thờm cả tử và mẫu 2 đơn vị thỡ ta cú: Tử là: x + 2; mẫu là: x + 5
Ta có phơng trình : x + 2 /x + 5 = 1/2
Giải phơng trình ta có nghiệm là :x = 1
Trả lời :Tử số là 1 , mẫu số 4
Bình luận cách giải : bài toán này liên quan đến nội dung số học khi giải lu ý
đến điều kiện của các số đó
Bài toán 2 :
Một xởng may lập kế hoạch may một lụ hang, theo đú mỗi ngày phõn xưởng phải may xong 90 cỏi ỏo Nhưng nhờ cải tiến kĩ thuật, phõn xưởng đó may được 120 ỏo mỗi ngày Do đú, phõn xưởng khụng những đó hoàng thành kế hoạch trước thời hạn 9 ngày mà cũn may them được 60 ỏo Hỏi theo kế hoạch, phõn xưởng phải may bao nhiờu ỏo?
Các đại lợng là số áo may trong 1 ngày(đó biết), tổng số ỏo may và số ngày may (chưa biết): Theo kế hoạch và thực tế đó thực hiện
Chỳng cú quan hệ:
Số ỏo may trong 1 ngày x Số ngày may = Tổng số ỏo may.
Chọ ẩn là một trong cỏc đại lượng chưa biết Ở đõy, ta chọn x là số ngày may theo kế hoạch Quy luật trờn cho phộp ta lập bảng biểu thị mối quan hệ giữa cỏc đại lượng trong bài toỏn:
Số áo may 1 ngày Số ngày may Tổng số áo may
Từ đú, quan hệ giữa tổng số ỏo đó may được và số ỏo may theo kế hoạch được biểu thị bởi phương trỡnh:
120(x - 9) = 90x + 60
Giải phong trình có số nghiệm là : x =38
Trả lời bài toán :Giỏ trị x phự hợp với điều kiện của ẩn Vậy theo kế hoạch mỗi ngày xởng phải may xong trong 38 ngày với tổng số 38 x 90 = 3420 (ỏo)
Bình luận cách giải : với dạng toán có 3 đại lợng trong đó có một đại lợng bằng tích của hai đại lợng kia (toán năng xuất) nên phân tích các đại lợng bằng bảng thì dễ lập phơng trình bài toán
Bài toán 3 :
Một xe mỏy khởi hành từ Hà Nội đi Nam Định với vận tốc 35 km/h Sau đú 24 phỳt, trờn cựng tuyến đường đú, một ụ tụ xuất phỏt từ Nam Định đi Hà Nội với vận
Trang 10tốc 45 km/h Biết quóng đường Nam Định – Hà Nội dài 90 km Hỏi sau bao lõu, kể từ khi xe mỏy khởi hành, hai xe gặp nhau?
Phân tích bài toán : Hai đối tượng tham gia vào bài toỏn là ụ tụ và xe mỏy, cũn cỏc đại lượng liờn quan là vận tốc (đó biết), thời gian và quóng đường đi (chưa biết) Đối với từng đối tượng, cỏc đại lượng ấy quan hệ với nhau bởi cụng thức:
Thời gian (h) = Quãng đờng(km)/ Vận tốc(km/h)
Nếu chọn một đại lợng cha biết làm ẩn, chẳng hạn, gọi thời gian từ lỳc xe mỏy khởi hành đến lỳc hai xe gặp nhau là x giờ, ta cú thể lập bảng biễu diễn cỏc đại lượng trong bài toỏn như sau( trước hết đổi 24 phỳt thành 2/5 giờ):
vận tốc (km/h) thời gian đi (h) Quóng đường đi
(km)
Hai xe (đi ngược chiều) gặp nhau nghĩa là đến lỳc đú tổng quóng đường hai xe
đi được đỳng bằng quóng đường Nam Định – Hà Nội Do đú
35x + 45(x - 2/5) = 90
Giải phơng trình ta đợc nghiệm là : x = 27/20
Trả lời bài toán : Giỏ trị này phự hợp với điều kiện của ẩn Vậy thời gian để hai xe gặp nhau là 27/20 giờ, tức 1 giờ 21 phỳt, kể từ khi xe mỏy khởi hành
Bình luận cách giải : Loại toán chuyển động cùng chiều hay ngợc chiều ta phải xác định xem có mấy đối tợng tham gia trong bài toán và các đại lợng tham gia trong loại toán này là : Vận tốc, thời gian, quãng đờng Đặc biệt nên lập bảng để dễ lập
ph-ơng trình hơn
Iii Khảo sát học sinh lớp 8 qua điểm kiểm tra chất l ợng giữa kỳ II
Lớp Sĩ số GiỏiSL % KháSL % Trung bìnhSL % YếuSL %
IV.
Bài học kinh nghiệm
Tóm lại theo phơng pháp này để giải bài toán bằng cách lập phơng trình thì giáo viên:
1 Phải biết phân loại bài tập, chọn những bài tập mẫu để hớng dẫn học sinh.Trớc khi cùng học sinh giải các bài toán phức hợp giáo viên phải cho học sinh làm các bài toán tơng tự từ những bài toán cơ bản đơn giản
2 Hình thành cho các em các giai đoạn trong quá trình giải bài toán bằng cách lập phơng trình:
- Giai đoạnI: Phân tích và tự viết giả thiết bài toán
- Giai đoạn II: Nêu cơ sở để lập phơng trình
- Giai đoạn III: Lập phơng trình
- Giai đoạn IV: Phân tích phơng trình và giải phơng trình
- Giai đoạn V: Nghiên cứu các nghiệm của phơng trình để xác định nghiệm phù hợp với giả thiết của bài toán Phân tích ý nghĩa của lời giải Kiểm tra các phép tính và lập luận