CÁC BÀI TẬP TÌM NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN
(LUYỆN TẬP TỔNG HỢP) A/ Các bài tập tìm nguyên hàm
1) Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
( ) ( ( ) )
( )
( )
4 x
1 x
h
)
c
x 9 4
1 x
g
)
b
x 1 x
x 1 x
f
a
4
2 2
−
=
−
= +
+
=
=
(Gtoán tp và giải tích tổ hợp – tr 15)
2) Tìm họ nguyên hàm của hai hàm số sau:
( )x cos x.cos x; g( )x sin x.cos2x
3) Tìm họ nguyên hàm của các hàm số:
3 2
2
2 2
3 6
6
3 x
1 x 1 x
2
2 3 2
3
x 4 9
1 x x 4 ) 0
; x 1 x
x 2 1 ) n
; x 25 1
1 )
m
x 8 sin x cos ) l
; x 4 cos x cos x cos ) k
; x cos x sin
)
i
x cos ) h
; 4 x cos 3 x 2 cos ) g
; 10
5 2
)
e
2 x x
1 )
d
; 12 x x
1 ) c
; 1 x
1 x x ) b
; x
1 x
)
a
−
+ +
− +
+
− +
+π
+π
−
−
−
−
− +
− +
− +
( GTTP và GT tổ hợp – tr 18, 19)
4) Tìm họ nguyên hàm của các hàm số:
1 x ) i
; x 1 x
1 ) h
; 2 x
x x ) g
; 4 x
x
)
1 x x ) e
; x sin
x cos ) d
; 10 x x
x )
c
; x tan ) b
; 1 x x
x 2 )
a
4
2 3
2 10
4
9 2
3
5 3
6
2 2
+
−
−
−
−
−
− +
+
− +
( GTTP và GT tổ hợp – tr 21-25)
5) Tìm họ nguyên hàm của các hàm số:
(x 1)e ; c)e sinx; d)(x 1) cos x;e)e cos x )
b
; x sin x
)
( GTTP và GT tổ hợp – tr 27-32)
6) Tìm họ nguyên hàm của các hàm số:
(x 1) (x 2)
1 x )
d
; 3 x x
3 x 4 ) c
; 8 x 6 x 2
1 )
b
; 2 x x
1 )
−
−
+ +
+
+
− +
− +
− ( GTTP và GT tổ hợp – tr 42)
7) Tìm họ nguyên hàm của các hàm số:
2
x x 8
2
3
5 2
8 2 3
e e
1 )
; x sin
x cos
)
e
x cos x sin ) d
; x 2 1 x ) c
; x 1
x ) b
; x 2
x
)
a
−
−
−
−
(PP giải toán TP- tr 40.41,42)
Trang 28) tìm nguyên hàm của các hàm số (PP tích phân từng phần)
(x 1) cos x i ) e k ) e cos x
)
h
x x ln ) g x
sin x ) e e
1
x
)
d
x ln ) c x
cos x ) b x
sin
e
)
a
x x
2
2
2 2
x
2
x
−
+
+
(GTTP và tổ hợp – tr 27 – 32)
B/ Các bài tập tích phân:
∫
∫
∫
∫
∫
π
π
π
+ +
−
+ +
−
8
3
8
2 2
1
0
2 1
3
0 2
4
x cos
x
sin
dx
)
5
3 x x
dx )
4 dx
x
cos
1
)
3
dx 2 x x ) 2 dx
9
x
1
x
)
1
(GTTP và tổ hợp – tr 64)
∫
∫
∫
π
−
−
+
−
−
−
− +
−
+
2 0
1
1
2
5 3
2
0
2
dx x sin 1 ) 9 dx
x 1
x
)
8
dx 2 x 2 x ) 7 dx
3 x
2
x
)
6
(GTTP và tổ hợp – tr 66-72)
∫
∫
∫
∫
−
−
π π
π
−
−
−π
1 1 x 2
2
2
4 0 2 2
2
dx 1 e ) 13 dx
1
x
)
12
dx x 4 sin ) 11 xdx
2 sin
x
7
sin
)
10
(PPGT tích phân – tr 132)
Trang 3( ) ( ) ( )
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
π
−
−
−
π
π
−
−π +
+
−
= +
+
+
−
− + + +
2 0
2 2
1 2
3 1 3 1
2
2 1
0 2
5 1
4 1 2 4
4
5 2
2
1 2
dx 4 x cos x sin ) 23 2
x
xdx
)
22
dx 1 x ) 21 x
4
dx
x
)
20
t x dat 1 x
dx x ) 19 ptich
1
x
xdx
)
18
dx 2 x x ) 17 xdx
3 sin
x
cos
)
16
2 x 2 x
dx )
15 2
x
xdx
)
14
(PPGT tích phân – tr 136,137)
∫
∫
∫
∫
∫
∫
π π
π
+
−
−
−
+
−
4
2
0
2
2 0
3 3
1
0
2 2
2 1
0
2
x cos
dx ) 29 xdx
4 cos
x
cos
)
28
dx x sin x cos ) 27 dx
x
1
x
)
26
dx x 1
x ) 25 dx
x
2
3 x
x
)
24
∫
∫
∫
∫
∫
∫
π π
π
π
π
=
=
+ +
+ +
−
2 0
2 2
2
0
2 2
2
4
6
e 1
4
0
4
xdx 2 cos x sin J
; xdx 2 cos x cos
I
)
34
x x
dx )
33 x
2 cot x
tan
xdx 4 sin
x
sin
)
32
x ln 1 x
dx )
31 dx
x 2
cos
1
x cos
1
)
30
3
( GTTP và tổ hợp – tr 67,68)
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
−
−
+ +
−
+
−
π
π π
π
3
0
1
4
0
4 0 2
6
3
e 1
1
0
5 4
3
dx
x
4
4
x
)
41
e 1
dx )
40 dx
x sin
2
x sin
x
cos
)
39
x cos
dx ) 38 dx
x
sin
x
cos
)
37
dx x
x ln 1 x ln ) 36 dx
1
x
x
)
35
Trang 4(GTTP và tổ hợp – tr 80,81)
∫
∫
∫
∫
∫
∫
+
−
−
+ +
−
π
π π
4 1
2
0
2 0
1
0 8
3
2 0 5 e
x x
dx ) 47 x
cos x sin
10
13
xdx cos
)
46
x cos 2
xdx cos )
45 1
x
dx
x
)
44
xdx cos ) 43 x
ln
4
x
dx
)
42
∫
∫
∫
∫
∫
∫
π π
π
π
π π
−
− +
+
+
4
2
4
6
2 ln
0 x
12
0
4
6 3
3
ln
x cos 8 x cos x sin 2 x sin
dx )
53 xdx
cot
)
52
5 e
dx )
51 3
x
sin
dx
)
50
x cos x sin
dx )
49 e
e
dx
)
48
(GTTP và tổ hợp – tr 88,89)
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
+
−
π
π π
−
−
−
−
+
−
−
−
+
−
−
+ + + +
+
+ +
+ +
2 2 1 3
2 6
3
2
3 3
3 2 2
2
0
2 2
0
3
43
3 0
3
0
2
2 0
3 2 2
2 0
2
0
dx 1 x
1 x x )
65 dx
x
9
x
)
64
9 x x
dx )
63 dx
x 4
x 2
x
)
62
dx x 1
x 1 ) 61 dx
x
4
4
x
)
60
3 1 x 2 x
dx )
59 dx
1
x
1
x
)
58
dx 1 x x ) 57 x
sin
1
xdx
2
sin
)
56
x cos 1
xdx cos ) 55 x
cos
2
dx
)
54
(GTTP và tổ hợp – tr 90) 66) Tính các tích phân sau:
∫
∫
π π
+
= +
2
dx x cos 1
x sin J
dx x
sin
1
x
sin
I
(GTTP và tổ hợp – tr91)
Trang 567) Giải các phương trình:
2 2 dt 1 e ) d 0
x 18 dt
t
t
ln
1
)
c
0 dt 2
3 t sin 4 ) b dt
x
t
cos
)
a
x 0 t x
e
1
x 0 4 x
0
2
>
π
−
=
−
>
=
+
=
−
∫
∫
∫
∫
(GTTP và tổ hợp – tr 88 – 90 - 93)
+ +
+ +
+
−
= +
+
+
− +
+
= +
+ +
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
π
π π
π π
π
6
1 3 ln 2 : DS dx 5 x cos 3 x sin 4
6 x cos 7 x sin
)
75
dx x cos x sin 3
x cos x sin 2 J xet : HD dx x cos x sin 3
x cos 2 x sin
)
74
dx 12 x x
x )
73 dx
1 x x
1 )
72
x sin x cos
xdx cos J
xet : HD dx x sin x cos
x sin )
71 xdx
cos
)
70
1 x
dx x ) 69 1
x
xdx )
68
2
0
4 0
4
0
2
1 2
2 4
1 2
2 0
2 0
2
0
3
1
0 2
5 1
(HD:dat x t)
xdx 5 cos
x
cos
x
)
80
dx x sin 2
x sin )
79 dx
x sin x cos
x
cos
)
78
xdx cos ) 77 xdx
sin
x
cos
)
76
0
3
2
2
0
4 4
0 4 2
0
2 3
− π
=
+ +
∫
∫
∫
∫
∫
π
π π
π π
(PPGT tích phân – tr139 – 142)
∫
∫
∫
+
−
−
3
2
3 2
1 2 2
2
2
dx x
x
9
)
83
t sin
1 x dat : HD 1 x x
dx )
82 x
1
dx
x
)
81
(PPGT tích phân – tr 144,145)
Trang 6( )
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
−
−
− +
+ + +
−
− π
= +
+ +
+ +
+ +
−
+
−
=
+ +
+ +
= +
+
+ +
−
π
−
π π
π
π
−
π
π π
π
1
2
2 2
2 1
2
1 0
1
0 2
5
1 0
10 2 1
0
19
0
2 1
1 x
2 0
2
2
3 3
0
2 5
1
0 4 2
1
0
6 3
5
2
4
1
1
2010
2 ln
0 x
e
1
2
7
0 3 2
3 8
3 2
2 2
6
3 0
3 3
6
2
dx x
x 1 ) 106 dx
x
4
x
)
105
dx 1 x
x ) 104 dx
1
x
x
)
103
dx x x 1 x 1 ) 102 dx
x
1
x
)
101
t x dat : HD xdx cos x sin x ) 100 dx
1
e
x
cos
)
99
dx x cos 7
x cos )
98 dx
x
cos
1
x
sin
)
97
dx x cos 1
x cos x sin 96 dx
x
1
x
)
95
dx 1 x x
x )
94 dx
x
1
x
)
93
t 2 x dat : HD dx x sin x
cos
x cos
)
92
) t x dat : HD xdx sin
x
)
91
2 e
dx 80
dx x
x
ln
1
)
89
dx x 1
x )
88 1
x
x
dx
)
87
t x cos x sin 2 dat : HD dx
x cos x
sin
2
x sin
)
86
dx 2 x cos
x sin ) 85 dx
6 x sin 5
x
sin
x cos
)
84
(PPGT tích phân – tr 148 – 153)
Trang 7( )
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
− +
−
−
+
−
+
−
+
+
− π
= +
−
−
− +
−
+ +
+ +
−
π
π
π
π
π
π π
−
1
0
x
1
0 x x
1
2
0
2
e
1
3
6 2 3
0
4
2 0 0
0
1 2
1
0
3 2
dx
e
)
119
) 201 tr PPGTTP (
e
e
dx
)
118
202 tr PPGTTP t
x 2
x 2 ln dat : HD dx x 2
x 2 ln
x
4
1
)
117
x 2 t dat dx x cos
1
x sin
1
ln
)
116
t x dat : HD dx x cos
4
9
x sin
x
)
115
dx x cos x sin 7 11
x cos )
114 202
PPGTTP dx
x
2
x ln
2
)
113
dx x cos x sin x cos
x tan )
112 dx
x
2
cos
x
tan
)
111
2
x tan t dat 1 x cos x sin
dx )
110 dx
x
sin
)
109
1 x x
dx )
108 dx
x
1
)
107
2
(PPGT tích phân – tr 153)
(1 x )dx (PPGTTP 205)
ln x ) 129 x
sin
xdx
)
128
dx x
x ln ) 127 xdx
cos
x
)
126
dx x ln
1 x ln
1 )
125 xdx
ln
x
)
124
xdx sin e ) 123 dx
x
ln
1
)
122
dx xe ) 121 xdx
cos
x
)
120
1 0
2 3
4
2
2
1 2
2
0
e
e 2
e
1
2
2 0 x e
1
2
2 ln 0 x 2
0
2
2
− +
−
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
π
π
π
π
− π
(GTTP và tổ hợp – tr 93 – 101)
Trang 8( )
∫
∫
∫
∫
∫
+
+ +
π
π
2
2
3 2
2
3 0
2
4
2
1
4 1 x e
1
3
dx x
x
1
)
134
dx x 1 x ln ) 133 dx
x
cos
)
132
dx e ) 131 xdx
ln
)
130
2
2
(GTTP và tổ hợp – tr 101, 102)
( )
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
π π
π
− π
π
π
π
π π
+
π
+ +
+ +
− +
+
0 2 2
0
2
x
4 0 x e
1
1 1
2 x 2
0
2
e
e
2
0
1 0 2 e
1
2
1 0
x 2 2
0
x
4 0
2 2
1 2
0
2 x 2
0
2
xdx sin x ) 150 xdx
cos
e
)
149
xdx 2 sin e 5 ) 148 xdx
ln 2
x
)
147
dx x sin e ) 146 xdx
cos
x
)
145
dx 1 x
x ln ) 144 dx
x cos 1 ln
x
cos
)
143
dx 1 x ln x ) 142 dx
x
ln
x
)
141
dx e 1 x ) 140 xdx
3
sin
e
)
139
dx 1 x cos 2 x ) 138 dx
x
x
1
ln
)
137
xdx sin e ) 136 xdx
sin
1
x
)
135
(PPGT tích phân – tr 155 – 158)
(dat t cos x)
dx x cos 1
x sin ) 156 xdx
cos
x
)
155
t x dat dx x cos 4
x sin x ) 154 dx
1 x
x
x
)
153
dx 9 x x
10 x x ) 152 dx
x
cos
1
x
cos
)
151
4
2
0
3
2
0 2
3
1
0 2
2 2
0
= +
− π
=
− +
+
+ +
+ + +
∫
∫
∫
∫
∫
∫
π π
π π
Trang 9( )( ) ( )
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
π
π
−
π
π
−
−
−
−
π
π
π π
−
π
−
π
−
−
= +
−
= +
−
= +
−
+ +
−
= +
= +
+
−
⇒
=
=
+ +
=
− +
− +
= +
+
− +
= +
−
= +
= + + + +
+
+
+
2
2
8 0
2 x
2
4
4
x 2
2
6
1 1
e
1
2 1
2
3
x 2
1
0
x
2
0 0
1
2
0
2
x
2 ln 0 x 2
ln
0 x
x
2 2
0
3 x
sin 1
2 x
1
x x
1
0 x
1
1 2
3
1
0
2 0
3 2 2
6
dx x 16 )
177 t
x đăt 1
2
xdx cos x sin
)
176
t x đăt e
1 x cos
dx )
175 t
x đăt e
1
dx
x
)
174
dx x 2
x 2 ln x cos ) 173 dx
x ln 2 1
x
x ln 2
3
)
172
TP phân tích dùngCT I
; x cos 1 t đăt : I , tp hai thành tách dx
x cos
1
x sin
x
)
171
x cos x sin 2
e
dv
; x u đăt xdx
sin
e
x
)
170
dx x cos 2
x sin x ) 169 x
sin
1
xdx
)
168
t sin x dat x
1 x
dx )
167 dx
xe
)
166
dx 1 e )
165 dx
1 e
e
)
164
x sin t dat xdx cos x sin e ) 163 dx
e
e
1
)
162
dx 3 e
e 3 e 3
1 3
e
dx
)
161
t x dat 1 x
dx
x
)
160
t 8 x 1 x dat 8
x 1 x
dx )
159
dx 1 x x ) 158 t
2 x dat dx x cos x
sin
x sin
)
157
2
Trang 10( )
) 198 tr tp PPGT (
1 x v 1 x
xdx dv
; 1 x u đăt dx
1 x
x x
)
195
) thuc can truc ( x 1
x
dx
)
194
) 197 tr tp PPGT
(
1 x v
dv
; 1 x x ln u đăt 1
x
dx 1 x x
ln
x
)
193
194 tr PPGTtp t
x 1
x 1 đăt x
1
dx x
1
)
192
dx x 2 cos x 2 sin
x cos x sin )
191 dx
x sin
1
x cos
4
)
190
t cot x và t tan x đăt luot lân rôi
tp 2 thành tach x
cos x sin
3
dx )
189
t cos 2 x đăt dx x 2
x 2 )
188 dx
x
1
x
x
1
)
187
t 4 x đăt dx
1 x tan ln ) 186 t
2 x đăt xdx
cos
x
)
185
t x sin và t x cos đăt , tp 2 thành tách dx
x cos 4 x sin
3
x cos 4 x sin
3
)
184
dx x cos 1
x cos x 2 sin ) 183 dx
x
x 1
)
182
x 1
dx )
181 9
x
x
dx
)
180
x 1
dx x )
179 x
9
dx )
178
2 2
1
0 2
2
1
0
2 2
3
2
1
4 0
2
0
3
2
4
4 0
2
2 0
2
7
4 0
2
0
3
2
2 0
3
2
3
3
6
2
2 2
2 2
3
2
2
−
+
=
⇒ +
= +
==
+
+
+ +
−
+
=
⇒
= +
+
= +
+ +
−
= +
− +
−
+ +
=
= +
+
=
−
+ +
−
+
− π
=
=
= +
+
+ +
+
−
−
−
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
π π
π
π
π π
π π
π
π
−
(đăt truccăăthuc ) (PPGTtp tr200))
1 x x
dx x
)
200
dx x ln ) 199 xdx
log
x
)
198
u 1 t t đăt
t e đăt dx e e
e
)
197
1 x
dx
x
)
196
1
3
2
2 1
2
1
2
2 x
1
x
1
1 2
3
− +
+
= + +
= +
+
∫
∫
∫
∫
∫
−
−