MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM 1.Phương pháp đổi biến số.. Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần... TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VÀ NGUYÊN HÀM CƠ BẢN: 1... TÍCH PHÂN HÀM
Trang 1I t×m nguyªn hµm b»ng ®n vµ tc 1/ Tìm nguyên hàm của các hàm số.
1 f(x) = x2 – 3x +
x
1
ĐS F(x) = x − x +lnx+C
2
3 3
2 3
2 f(x) = 2 42 3
x
ĐS F(x) = C
x
x
+
−3 3
2 3
3 f(x) = 21
x
x−
ĐS F(x) = lnx +
x
1 + C
4 f(x) = ( 2 21)2
x
x − ĐS.F(X)= 3
1 2 3
x
x
5 f(x) = x+3 x+4 x ĐS F(x) = x + x + x +C
5
4 4
3 3
5 3
4 2 3
6 f(x) = 1 32
x
x − ĐS F(x) = 2 x −33 x2 +C
7 f(x) =
x
x 1)2
( − ĐS F(x) =
C x x
8 f(x) = 3 1
x
x−
ĐS F(x) = x −x3 +C
2 3 5
9 f(x) =
2 sin
2 2 x
ĐS F(x) = x – sinx + C
10 f(x) = tan2x ĐS F(x) = tanx – x + C
11 f(x) = cos2x ĐS F(x) = x+ sin2x+C
4
1 2
1
12 f(x) = (tanx – cotx)2 ĐS F(x) = tanx - cotx – 4x + C
13 f(x) =
x
2 cos sin
1
ĐS F(x) = tanx - cotx + C
14 f(x) =
x x
x
2
2 cos sin
2 cos
ĐS F(x) = - cotx – tanx + C
15 f(x) = sin3x ĐS F(x) = − cos3x+C
3
1
16 f(x) = 2sin3xcos2x ĐS F(x) = − cos5x−cosx+C
5 1
17 f(x) = ex(ex – 1) ĐS F(x) = e2x−e x+C
2
1
18 f(x) = ex(2 + )
cos2 x
e−x
ĐS F(x) = 2ex + tanx + C
19 f(x) = 2ax + 3x ĐS F(x) = C
a
+ + 3 ln
3 ln
2
20 f(x) = e3x+1 ĐS F(x) = e3x+ 1+C
3 1
2/ Tìm hàm số f(x) biết rằng
1 f’(x) = 2x + 1 và f(1) = 5 ĐS f(x) = x2 + x + 3
2 f’(x) = 2 – x2 và f(2) = 7/3 ĐS f(x) = 1
3 2
3
+
−x
x
3 f’(x) = 4 x−x và f(4) = 0 ĐS f(x) =
3
40 2 3
−
− x
x x
Trang 24 f’(x) = x - 12 +2
x và f(1) = 2 ĐS f(x) =
2
3 2
1 2
2
− +
x
x
5 f’(x) = 4x3 – 3x2 + 2 và f(-1) = 3 ĐS f(x) = x4 – x3 + 2x + 3
6 f x'( ) ax+ b , '( )f , ( )f , ( )f
x
= 2 1 0= 1 4= − =1 2 ĐS f(x) =
2
5 1 2
2
+ +
x x
II MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM 1.Phương pháp đổi biến số.
Tính I = ∫ f[u(x)].u'(x)dx bằng cách
Đặt t = u(x)⇒dt=u'(x)dx
I = ∫ f[u(x)].u'(x)dx=∫ f(t)dt
BÀI TẬP Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
1 ∫(5x−1)dx 2 ∫(3−2x)5
dx
3 ∫ 5−2x dx 4 ∫ 2x dx−1
5 ∫(2x2 +1)7xdx 6 ∫(x3 +5)4x2dx 7 x2 1.xdx
∫ + 8 ∫ + dx
x
x
5
2
9 ∫ + dx
x
x
3
2
2
5
3
10 ∫ x(1+ x)2
dx
11 dx
x
x
∫ln3 12 ∫x e x2 + 1dx
13 ∫sin4 x cos xdx
14 ∫ dx
x
x
5
cos
sin
15 cot xdx∫ 16 tan
cos
xdx x
17 ∫sindx x 18 ∫cosdx x 19 tan xdx∫ 20 ∫ dx
x
e x
21 ∫ x −3
x
e
dx
e
22
tan
cos
x
e dx x
∫ 2 23 ∫ 1−x 2 dx 24 ∫ 4 x− 2
dx
25 ∫x2 1−x2.dx 26 ∫1 x+ 2
dx
27 ∫ − 2
2
1 x
dx x
28 ∫ x2 +x+1
dx
29 ∫cos3 xsin2 xdx 30 ∫x x−1.dx 31 ∫e x +1
dx
32 x3 x2 1.dx
2 Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần.
Nếu u(x) , v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên I
∫u(x).v'(x)dx=u(x).v(x)−∫v(x).u'(x)dx
Hay
∫udv=uv−∫vdu ( với du = u’(x)dx, dv = v’(x)dx)
Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
1 ∫x sin xdx 2 ∫x cos xdx 3 ∫(x2 +5)sinxdx
4∫(x2 +2x+3)cosxdx
5 ∫xsin2xdx 6 ∫xcos2xdx 7 ∫x.e x dx 8 ∫lnxdx
9 ∫x ln xdx 10 ∫ln2 x dx 11 ∫lnxdx x 12 ∫e x dx
13 ∫ dx
x
x
2
cos 14 ∫xtg2xdx
15 ∫sin x dx 16 ∫ln(x2 +1)dx
17 ∫e x.cosxdx 18 ∫x3e x2dx 19 ∫xln(1+x2)dx
20 ∫2x xdx
Trang 321 ∫x lg xdx 22 ∫2xln(1+x)dx 23 ∫ + dx
x
x
2
) 1 ln(
24 ∫x2cos2xdx
TÍCH PHÂN
I TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VÀ NGUYÊN HÀM CƠ BẢN:
1
1
3
0
(x + +x 1)dx
2 1
1 1
e
3
1
2
∫ 4
2
1
1
x+ dx
∫
5 2
3
(2sinx 3cosx x dx)
π
π
1
0
(e x+x dx)
∫ 7
1 3 0
(x +x x dx)
2
1
( x+1)(x− x+1)dx
9
2
3
1 (3sinx 2cosx )dx
x
π
π
1
2 0
(e x+ +x 1)dx
2
1
(x +x x+ x dx)
2
1
( x−1)(x+ x+1)dx
13
3
3
1
x 1 dx
( )
−
+
2 +
∫2 2 -1
x.dx
x 15
2
e
1
7x 2 x 5
dx x
x 2
5 2
dx
x 2+ + −
∫
17
3
6
x dx
x
cos
sin
π
π
∫ 18 4
2 0
x dx x
π
∫ tan cos 19
1 x x
x x 0
−
−
− +
∫ 21
2
2 1
x 1 dx
+ +
∫ ( )
23 2
0
π
+
∫ osx.sin 24 ∫
−
+ +
1
1
2 ( x x dx 25 ∫2 − −
0
3
2 2
( x x dx 26 ∫
−
−
2
2
) 3 (x dx
x
27 ∫
−
−
4
3
2 4)
(x dx 28 dx
x x
+
2
1
3 2
1 1
29 ∫2 −
1 3
2 2
dx x
x x
30 ∫e
e x dx
1
1
31 16∫
1
.dx
x 32 dx
x
x x
e
∫ + − 2
1
7 5 2
x x
∫8 −
1 4
II PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ:
1
2
3
sin xcos xdx
π
π
∫ 2
2
3
sin xcos xdx
π
π
∫ 3 2
0
sin
1 3
x dx cosx
π +
∫ 4 4
0
tan xdx
π
∫
5
4
6
cot xdx
π
π∫ 6 6
0
1 4sin xcosxdx
π +
1 2 0
1
∫ 8
1
2 0
1
∫
9
1
3 2
0
1
∫ 10
3
x dx
∫ 11
1
0
1
0
sinx.cosx.(1+cosx) dx
π
∫
13
1
2012 0
( 1)
1 2 0
1
3 2dx
1 2
x dx
∫ 16
1
2 2
0(1 3 )
x dx x
+
∫
17
2
sin
4
x
e cosxdx
π
π
∫ 18
2
4
sin
cosx
π
π
∫ 19 1 2
2 0
x
∫ 20 2 3 2
3
sin xcos xdx
π
π
∫
Trang 421
2
3
sin xcos xdx
π
π
∫ 22 2
0
sin
1 3
x dx cosx
π
+
∫ 23 6
0
1 4sin xcosxdx
π
+
1 2 0
1
∫
25
1
2
0
1
∫ 26
1
3 2 0
1
3
x dx
∫ 28
1
0
1
∫
29
1
1 ln
e
x
dx x
+
∫ 30
1
sin(ln )
e
x dx x
∫ 31
1
1 3ln ln
e
dx x
+
2ln 1
1
e e x
dx x
+
∫
33
21 ln2
ln
e
e
x
dx
+
∫ 34
2
x dx x
1
x dx
x+
∫ 36
1
0
1
∫
37
1
0
1
1
0
1
3
1
1
x dx x
+
∫ 40 2 ( 4 )
0
sin x 1 cosxdx
π
+
∫
41
4
2
0
4 x dx−
∫ 42
1
2
01
dx x
+
∫ 43 e x dx
∫
− +
0
1
3 2
44 ∫1 −
0
dx
e x
45
1
3 0
x dx
(2x 1)+
∫ 46
1
0
x dx 2x 1+
∫ 47
1
0
x 1 xdx−
∫ 48
1 2 0
4x 11 dx
x 5x 6
+ + +
1
2
0
2x 5 dx
x 4x 4
−
− +
∫ 50
2 0
x dx
x +2x 1+
0
(sin x cos x)dx
π
+
0
4sin x dx
1 cosx
π
+
4
2
0
1 sin 2xdx
cos x
π
+
0
cos 2xdx
π
∫ 55 4(cos x sin x)dx
0
4 4
π
56
∫ +
4
01 2sin2
2 cos
π
dx x
57 ∫2 +
02cos3 1
3
sin
π
dx x
x 58
∫ −
2
05 2sin cos
π
dx x
x 59 ∫
+
0
2
2 2
x x
x
60 ∫ + +
−
1
1 x2 2x 5
dx
61 2 3 2
0
cos xsin xdx
π
0
cos xdx
π
∫ 63
1
0
x 1 x dx−
0
sin 2x(1 sin x) dx
π
+
65 4 4
0
1 dx
cos x
π
∫ 66
e
1
1 ln xdx x
+
∫ 67 4
0
1 dx cosx
π
∫ 68
1
1 ln xdx x
+
∫
69
1
0
x (1 x ) dx−
0
cosx dx
6 5sin x sin x
π
∫ 71 ∫ +20(2 sin )2
2 sin
π
dx x
x 72 ∫
+
+
2
0 1 3cos
sin 2 sin
π
dx x
x
73 ∫2 +
0 1 cos
cos
2
sin
π
dx x
x
x 74.∫2 +
0 sin cos )cos (
π
xdx x
x
x x
1
ln ln 3
∫ +−
4 0
2
2 sin 1
sin 2 1
π
dx x
77
1
2
0
1 dx
4 x−
∫ 78
1 2 0
1 dx
x − +x 1
∫ 79 2
0
1
1 cosx sinx dx
π
2 2 2
2 0
x dx
1 x−
∫
81
2
1
x 4 x dx−
2 3 2 2
1 dx
x x 1−
6 0
1
1 x dx x
+ +
∫ 84 ∫ + +
−
0
1x2 2x 2
dx
85 ∫
+
+
1
01 1 3x
dx
86
0 1
x
+
3
0
1
∫ 88 ∫
+
3 2
5 x x2 4
dx
Trang 5
II PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN:
Công thức tích phân từng phần : u( )v'(x) x ( ) ( ) ( ) '( )
b a
Tích phân các hàm số dễ phát hiện u và dv
@ Dạng 1
sin ( )
ax
ax
f x cosax dx e
β α
∫ Đặt
cos
∫
@ Dạng 2: f x( ) ln( )ax dx
β
α∫
Đặt ln( )( )
( )
dx du
=
=
@ Dạng 3: sin
∫ ax ax
cosax
β
α
Ví dụ 1: tính các tích phân sau 1.
1
ln
e
∫ 2
1
2 0
ln( 1)
3 2
1
ln
e
∫ 4 2
0
(x cosx)s inxdx
π +
1
1 ( ) ln
e
x
+
2 2 1 ln(x +x dx)
∫
7
3
2
4
tan
π
π
∫ 8
2 5 1
ln x
dx x
∫ 9
1
0
x
xe dx
∫ 10
2
0
cos
x
π
∫
1
0
3
.e dx
12 ∫2 −
0
cos ) 1 (
π
xdx
x 13 ∫6 −
0
3 sin ) 2 (
π
xdx
x 14 ∫2
0
2 sin
π
xdx
15 ∫e x xdx
1
ln 16 ∫e −x x dx
1
2).ln 1
( 17 ∫3
1
ln
4x x dx 18 ∫1 +
0
2)
3 ln(
19 ∫2 +
1
2 1)
(x e x dx
20 ∫π
0
cos x dx
x 21 ∫2
0
2.cos
π
dx x
x 22 ∫2 +
0
2 2 ).sin (
π
dx x x x
23 2 2
0
x cos xdx
π
1 x 0
e sin xdx
∫ 25
2
0
sin xdx
π
0
x sin xdx cos x
π
+
0
xsin x cos xdx
π
0
x(2cos x 1)dx
π
−
1 2 0
xtg xdx
∫ 30 1∫ −
0
2
) 2 (x e x dx
III TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC:
Trang 61 2 x 4 xdx
0
2 cos
sin
∫
π
2 ∫2
0
3
2 cos sin
π
xdx
x 3 ∫2 x x dx
0
5
4 cos sin
π
4 ∫2 +
0
3
3 cos ) (sin
π
dx x
5 ∫2
3
sin
1
π
π
dx
x 6 ∫2 −
0 2 cos
π
x
dx 7 ∫2 +
0 2 sin 1
π
dx
x 8 ∫2 +
0
2
3
cos 1 sin
π
dx x x
9 ∫2 −
0 2 cos
cos
π
dx x
0 2 sin sin
π
dx x
x 11 ∫2 +
0
3
cos 1 cos
π
dx x
x 12 ∫2 + +
1
π
dx x x
13 tan xdx
π
0
14 cot xdx
π
π
6
15 tan xdx
π
π
4
16 π∫
0
sin cosx x dx
IV.BT TỔNG HỢP
1.∫2 x2 −x dx
0
2 sin sinx
1+3cosx
π
+
x
∫21 1 1 4
e
dx x
+
1
1
5 sin
os2x+7
dx c
π
∫0 6 sinx+sin3
os2x
x dx c
π
∫40 7 (ln )
e
x dx x
1
8
x x
x
dx xe
+ + +
1
9 ∫1 x7 −x dx4
0
1 10 cot
sin
x dx x
+
∫1 9 11 xsin xdx
π
0
12
ln
x
dx e
+
∫03 1
x
+
∫
6 3
6 1
1
14 ∫10 x e dx x 15 .ln
e
x
xdx x
+
∫
2
1
1
16 ln
e
x
xdx x
+
1
1
x
−
∫
2
2
4
1 1
18 dx
∫62 2 1 4 1 19 os(lnx)dx
e
c
π
∫1 20
ln
x
x
e dx
21 ( t anx) 2e dx x
π
+
0
1 22 sinx2
cos x dx
π
+
∫20 3 23
ln ln
e
x dx
∫
3
3
ln
x
dx e
+
∫03 1
V.ĐỀ THI THỬ ĐH TRƯỜNG PCT-TP
1 ( PCT KA_B 2012) I= dx x
∫ 2 1 Kq I= ln
x
x
e
C
2 2
2
2 ( PCT KD 2012) I= (∫ x e+ x)2dx
Kq I= x e x x x
3 2
Trang 73 (TP KD 2011) I= cos sinx.cos3x 5xdx
π
−
∫2 6 0
4 (TP KB 2011) I= 2
dx
π
4
2 5 Kq I=1/2
5.(TP KA 2010) I= 3
2
sinx.cos os
xdx
π
6.(TP KA 2012) I= (sin x x c) os (2 x )dx
π
π
π2 +47
16 60 7.(TP KA 2012) ( .ln )
e
x
dx x
+
∫1 1
Kq e e
8.(TP KA 2012) ln
e
x
xdx x
+
∫
2
1
1
Kq 4e3+20
9 9.(HSG 2008- 2009) ( t anx)2e dx x
π
+
0
1 Kq eπ2
10.(TP KB 2010)
dx
0 1 1 Kq
2 2
11.( TP KA 2009) ln
ln
e
x dx
∫
3
3
388
35 12.(PCT KA 2010) ∫649 1x+ 1x dx
Kq 76
3
13.KB -2011
x dx
x x
+ +
1 14.KA-2012
3
2 1
1 ln(x 1)
x
=∫
15 KB_2012
0
x
=
∫ 16.KD-2012
/ 4 0
I x(1 sin 2x)dx
π
“CẦN CÙ BÙ THÔNG MINH”