Chuyên đề Hàm số bậc hai

Chuyên đề Hàm số bậc hai trình bày kiến thức cơ bản; các dạng bài tập cơ bản; bài tập vận dụng; đề minh họa thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT. Đây là tài liệu tham khảo hữu ích dành cho các em học sinh, hỗ trợ quá trình học tập, luyện thi vào lớp 10 gặt hái nhiều thành công.

CHUYÊN Đ  HÀM S  B C HAI Ề Ố Ậ

Danh sách các kí hi u s  d ng ệ ử ụ

Đ c là ọ Khác Thu c ộ T ươ ng đ ươ ng Suy ra Giá tr  l n nh t ị ớ ấ Giá tr  nh  nh t ị ỏ ấ Danh sách các tài li u tham kh o ệ ả

+ Sách giáo khoa Toán 9 t p 2 ậ ­ NXB GD

+ Nâng cao và phát tri n Toán 9  ể ­  Vũ H u Bình ữ

+ Bài t p và câu h i tr c nghi m Toán 9 ậ ỏ ắ ệ ­  Phan L u Biên ư

+ B i d ồ ưỡ ng năng l c t  h c Toán 9 ự ự ọ ­  PGS – TS Đ ng Đ c Tr ng ặ ứ ọ

Hàm s  y = ax ố 2  (a 0) đ ượ c xác đ nh vói m i giá tr  c a   ị ọ ị ủ

a > 0. Hàm s  đ ng bi n khi x > 0; ngh ch bi n khi x < 0 ố ồ ế ị ế

      y = 0 là giá tr  nh  nh t c a hàm s , đ t đ ị ỏ ấ ủ ố ạ ượ c khi x = 0

a < 0. Hàm s  đ ng bi n khi x < 0; ngh ch bi n khi x > 0 ố ồ ế ị ế

      y = 0 là giá tr  l n nh t c a hàm s , đ t đ ị ớ ấ ủ ố ạ ượ c khi x = 0

b) Đ  th ồ ị

Đ  th  hàm s  y = ax ồ ị ố 2  (a 0)  là m t parapol có đ nh là góc t a đ  O(0 ; 0) và nh n tr c  ộ ỉ ọ ộ ậ ụ tung làm t c đ i x ng ụ ố ứ

x y

a > 0

y = ax2

­1 O 1

x y

 Là m t Parabol (P) v i đ nh là g c t a đ  0 và nh n tr c Oy làm tr c đ i x ng ộ ớ ỉ ố ọ ộ ậ ụ ụ ố ứ

 N u a > 0 thì đ  th  n m phía trên tr c hoành. 0 là đi m th p nh t c a đ  th ế ồ ị ằ ụ ể ấ ấ ủ ồ ị

 N u a < 0 thì đ  th  n m phía d ế ồ ị ằ ướ i tr c hoành. 0 là đi m cao nh t c a đ  th ụ ể ấ ủ ồ ị

V  đ  th  c a hàm s  y = ax ẽ ồ ị ủ ố 2  (a0):

+ L p b ng các giá tr  t ậ ả ị ươ ng  ng c a (P) ứ ủ

  + D a và b ng giá tr   v  (P) ự ả ị ẽ

B Ph ươ ng trinh bâc hai môt ân:̀ ̣ ̣ ̉

a) Đinh nghiã ̣ : Ph ươ ng trinh bâc hai môt ân la ph̀ ̣ ̣ ̉ ̀ ươ ng trinh co dang:  trong đo  la ân sô ; , ,  la ̀ ́ ̣ ́ ̀ ̉ ́ ̀

cac sô cho tŕ ́ ươ c goi la cac hê sô .́ ̣ ̀ ́ ̣ ́

 : Ph ươ ng trinh co hai nghiêm phân biêt:̀ ́ ̣ ̣

 : Ph ươ ng trinh co nghiêm kep: ̀ ́ ̣ ́ .

 : Ph ươ ng trinh vô nghiêm.̀ ̣

C Hê th c Vi­et va  ng dung ̣ ứ ́ ̀ ́ư ̣ :

1 H  th c Vi­ét: ệ ứ  N u ph ế ươ ng trình  có hai nghi m x ệ 1  và x 2  thì: 

H  th c Vi­ét th ệ ứ ườ ng đ ượ c áp d ng đ  tính nh m nghi m, xét d u nghi m hay tìm hai s ụ ể ẩ ệ ấ ệ ố   khi bi t t ng và tích c a chúng d a vào các k t qu  sau đây: ế ổ ủ ự ế ả

a K t qu  1 ế ả : Cho ph ươ ng trình  

N u a + b + c = 0 thì ph ế ươ ng trình có hai nghi m x ệ 1  = 1, x 2  = 

N u a  b + c = 0 thì ph ế ươ ng trình có hai nghi m x ệ 1  =1, x 2  = 

b K t qu  2 ế ả : Cho ph ươ ng trình  

có  v i  ớ

Đi u ki n ề ệ D u các nghi m ấ ệ Mô tả

P < 0 hay a.c < 0 x 1  < 0 < x 2 Ph ươ ng trình có hai nghi m trái d u ệ ấ

P > 0, S > 0 0 < x 1   x 2 Ph ươ ng trình có hai nghi m d ệ ươ ng

P > 0, S < 0 x 1   x 2  < 0 Ph ươ ng trình có hai nghi m âm ệ

c K t qu  3: ế ả  N u hai s  a và b có a + b = S và a.b = P thì a và b là nghi m c a ph ế ố ệ ủ ươ ng   trình:  (Đi u ki n đ  có a và b : ) ề ệ ể

b)  Tính bi n thiên: ph  thu c vào a > 0 (ho c a < 0) ế ụ ộ ặ

c)  B ng giá tr : tính t a đ  ít nh t 5 đi m, trong đó có t a đ  c a đi m th p nh t (a > 0) ho c ả ị ọ ộ ấ ể ọ ộ ủ ể ấ ấ ặ  

đi m cao nh t (a < 0) ể ấ

d)  V  đ  th  và nh n xét: đ  th  c a hàm s  y = ax ẽ ồ ị ậ ồ ị ủ ố 2 (a ≠ 0) là m t đ ộ ườ ng cong parabol (nh ư  

ph n II) ầ

2 Các ví dụ    :

Ví d  1 ụ : Xác đ nh m đ  đ  th  hàm s   ị ể ồ ị ố (P)  

a) Đ ng bi n khi x > 0 và nghich bi n khi x < 0 ồ ế ế

b) Đi qua đi m . Hãy  ể kh o sát s  bi n thiên và  ả ự ế v  đ  th  hàm s  v i m v a tìm đ ẽ ồ ị ố ớ ừ ượ c.

L i gi i: ờ ả

a) Đ  hàm s  đ ng bi n khi x > 0 và ngh ch bi n khi x < 0 thì ề ố ồ ế ị ế

ho c   ặ

b) Đ  th  hàm s   ồ ị ố đi qua đi m  nên t a đ  đi m A th a mãn ph ể ọ ộ ể ỏ ươ ng trình

V i m = 2 ta đ ớ ượ c: (P) y = 2x 2

+ Có đ nh O là đi m th p nh t ỉ ể ấ ấ

Ví d  2: ụ   

a) Kh o sát s  bi n thiên và v  đ  th  c a hàm s  y = ax ả ự ế ẽ ồ ị ủ ố 2 , bi t đ  th  c a nó đi qua đi m A(2; ế ồ ị ủ ể   1).

b) Các đi m nào sau đây thu c đ  th  hàm s  v a tìm đ ể ộ ồ ị ố ừ ượ c: M(–8 ; –16) và N(–6 ; 9)

c) Xác đ nh t a đ  các đi m R, Q thu c đ  th  hàm s  bi t đi m R có hoành đ  là , đi m Q có ị ọ ộ ể ộ ồ ị ố ế ể ộ ể   tung đ  b ng 3 ộ ằ

V y có 2 đi m Q th a đ  bài:  ậ ể ỏ ề

Ví d  3 ụ : Hàm s  y = x ố 2  đ ng bi n khi x > 0 n u: ồ ế ế

A. m <  B. m >  C. m >  D. m = 0

    Đáp án: B

Ví d  4 ụ : Trong m t ph ng xOy, đ  th  hàm s  nào nh n tr c Oy làm tr c đ i x ng? ặ ẳ ồ ị ố ậ ụ ụ ố ứ

A. y = 2x + 1 B. y = x C. y = 3 D. x = y 2

 : Ph ươ ng trinh co hai nghiêm phân biêt:̀ ́ ̣ ̣

D ng 3.ạ Gi i ph ả ươ ng trình quy v  ph ề ươ ng trình b c hai ậ

a.1) Ph ươ ng pháp chung:

a) Ph ươ ng trình trùng ph ươ  :  ng

Đ t t = x ặ 2 () đ a v  d ng :  ư ề ạ

CHUYÊN Đ  HÀM S  B C HAI Ề Ố Ậ

Thay gí tri v a tìm đ ừ ượ ồ c r i suy ra x

b) Ph ươ ng trình ch a  n   m u :  ứ ẩ ở ẫ

B ướ c 1. Tìm đi u ki n xác đ nh c a ph ề ệ ị ủ ươ ng trình.

B ướ c 2. Quy đ ng m u th c hai v  r i kh  m u ồ ẫ ứ ế ồ ử ẫ

B ướ c 3. Gi i ph ả ươ ng trình v a nh n đ ừ ậ ượ c.

B ướ c 4. Trong các giá tr  tìm đ ị ượ c c a  n, lo i các giá tr  không th a mãn đi u ki n xác ủ ẩ ạ ị ỏ ề ệ  

đ nh, các giá tr  th a mãn đi u ki n xác đ nh là nghi m c a ph ị ị ỏ ề ệ ị ệ ủ ươ ng trình đã cho.

c) Ph ươ ng trình tích.

Đ a ph ư ươ ng trình v  d ng tích r i áp d ng tính ch t: A.B = 0  ề ạ ồ ụ ấ  A = 0 ho c B = 0ặ

Gi i hai ph ả ươ ng trình A = 0 và B = 0 r i suy ra nghi m  ồ ệ

     V y ph ậ ươ ng trình (3) có nghi m x ệ 1  = ;   x 2  = 

Ví d  2 ụ : Gi i các ph ng trình sau ả ươ

  V y ph ậ ươ ng trình (2) có nghi m x = 8 ệ

b)  Gi i ph ng trình 3(x ả ươ 2  + x) – 2 (x 2 + x) – 1 = 0  (4)

V y ph ậ ươ ng trình đã cho có hai nghi m: x ệ 1  = ;  x 2  =

Ví d  3 ụ :  S  nghi m c a ph ng trình ố ệ ủ ươ : (2x + 1)4 – 8(2x + 1)2 – 9 = 0

 x và y là hai nghi m c a phệ ủ ươ ng trình: X 2  + 12X – 35 = 0 (*)

Gi i ph ả ươ ng trình (*) ta đ ượ c X 1  =  ; X 2  = 

V y x =  ; y =  ho c  x =  ; y =   ậ ặ

Ví d  2 ụ

   :   Tìm hai s  x, y trong các tr ng h p sau: ố ườ ợ

­  ng v i tr Ứ ớ ườ ng h p x + y = – 4  và  xy =32. Ta có:  ợ

    x; y là nghi m c a ph ệ ủ ươ ng trình  (*)

  Gi i ph ả ươ ng trình (*) ta đ ượ c X 1  = 4 ; X 2  = – 8   

  V y x = 4 ; y = – 8 ho c x = – 8 ; y = 4 ậ ặ

­  ng v i tr Ứ ớ ườ ng h p x + y =  4  và  xy =32. Ta có:  ợ

    x; y là nghi m c a ph ệ ủ ươ ng trình  (*)

  Gi i ph ả ươ ng trình (*) ta đ ượ c X 1  = – 4 ; X 2  =  8   

D ng 5.ạ  Tìm đi u ki n c a tham s  m đ  ph ề ệ ủ ố ể ươ ng trình    có nghi m, có nghi m kép, vô nghi m ệ ệ ệ

a.1) Ph ươ ng pháp chung:

Xét tr ườ ng h p  a = 0, ph ợ ươ ng trình tr  thành  (*) ở

N u b = 0 và c = 0  ế  Phươ ng trình (*) có vô s  nghi m ố ệ

N u b = 0 và c  0  ế  Phươ ng trình (*) có vô nghi m ệ

N u b  0  ế  Phươ ng trình (*) có m t nghi m nghi m ộ ệ ệ

Xét tr ườ ng h p a  0, l p bi t th c  ợ ậ ệ ứ  ho c  ặ ’

Ph ươ ng trình có nghi m (có hai nghi m )  ệ ệ      0 ho c  ặ ’   0  m

Vô nghi m  ệ    < 0 ho c  ặ ’ < 0  m

Nghi m duy nh t (nghi m kép, hai nghi m b ng nhau)  ệ ấ ệ ệ ằ    = 0 ho c  ặ ’ = 0  m

Có hai nghi m phân bi t (khác nhau)  ệ ệ    > 0 ho c  ặ ’ > 0  m

K t lu n:  ế ậ

a.2) Các ví dụ

Ví d  1 ụ :  Gi i ph ng trình (gi i và bi n lu n):   x ả ươ ả ệ ậ 2  – 2x + k = 0  (tham s  k) ố

L i gi i ờ ả

Ta có:  ’  = (–1) 2  – 1.k = 1 – k

      N u  ế ’ < 0   1 – k < 0    k > 1   ph ươ ng trình vô nghi m ệ

      N u  ế ’ = 0   1 –  k = 0    k = 1   ph ươ ng trình có nghi m kép x ệ 1 = x 2 =1

      N u  ế ’ > 0   1 –  k > 0    k < 1   ph ươ ng trình có hai nghi m phân bi t ệ ệ

      x 1  = 1– ;   x 2  = 1+

      K t lu n:  ế ậ

      N u k > 1 thì ph ế ươ ng trình vô nghi m ệ

      N u k = 1 thì ph ế ươ ng trình có nghi m x=1 ệ

    N u k < 1 thì ph ế ươ ng trình có nghi m x ệ 1  = 1 –; x 2  = 1+      

Ví d  2 ụ :  Cho ph ng trình  (m – 1)x ươ 2  + 2x – 3 = 0   (1) (tham s  m) ố

a) Tìm m đ  (1) có  nghi m ể ệ

b) Tìm m đ  (1) có nghi m duy nh t? tìm nghi m duy nh t đó? ể ệ ấ ệ ấ

c) Tìm m đ  (1) có 1 nghi m b ng 2? khi đó hãy tìm nghi m còn l i (n u có)? ể ệ ằ ệ ạ ế

L i gi i ờ ả

a) + N u m – 1 = 0  ế  m = 1 thì (1) có d ng  2x – 3 = 0  ạ  x =  (là nghi m)  ệ          + N u m ≠ 1. Khi đó (1) là ph ế ươ ng trình b c hai có:  ậ ’ =1 2 – (–3)(m – 1) = 3m – 2              (1) có nghi m  ệ   ’  = 3m – 2   0   m   

         + K t h p hai tr ế ợ ườ ng h p trên ta có: V i m  ợ ớ   thì ph ươ ng trình có nghi m ệ

b) + N u m – 1 = 0  ế  m = 1 thì (1) có d ng  2x – 3 = 0  ạ  x =  (là nghi m)  ệ

          + N u m ≠ 1. Khi đó (1) là ph ế ươ ng trình b c hai có:  ậ ’  = 1– (– 3)(m – 1) = 3m – 2        (1) có nghi m duy nh t  ệ ấ   ’  = 3m – 2 = 0   m =  (tho  mãn m ≠ 1) ả

                Khi đó x = 

         + V y v i m = 1 thì ph ậ ớ ươ ng trình có nghi m duy nh t  x =  ệ ấ

           v i m =  thì ph ớ ươ ng trình có nghi m duy nh t  x = 3 ệ ấ

c)  Do ph ng trình có nghi m x ươ ệ 1  = 2 nên ta có:

a) Ph ng trình (1) có b n nghi m phân bi t  ph ng trình (2) có hai nghi m d ng phân bi t ươ ố ệ ệ ươ ệ ươ ệ

b) Ph ng trình (1) có ba nghi m phân bi t  ph ng trình (2) có m t nghi m d ng và m t ươ ệ ệ ươ ộ ệ ươ ộ   nghi m b ng 0 ệ ằ

c) Ph ng trình (1) có hai nghi m phân bi t  ph ng trình (2) có nghi m kép d ng ho c hai ươ ệ ệ ươ ệ ươ ặ   nghi m trái d u ệ ấ

  ho c P < 0     ho c  ặ ặ

d) Ph ng trình (1) có m t nghi m  ph ng trình (2) có nghi m kép b ng 0 ho c hai nghi m ươ ộ ệ ươ ệ ằ ặ ệ  

g m m t nghi m b ng 0 và m t nghi m âm ồ ộ ệ ằ ộ ệ

 ho c   ho c   m =  ặ ặ

e) Ph ng trình (1) có vô nghi m  ph ng trình (2) vô nghi m ho c có hai nghi m đ u âm ươ ệ ươ ệ ặ ệ ề

 ho c   ho c  ho c  ặ ặ ặ

Ví d  4 ụ :  Ph ng trình mx ươ 2  – 4x – 5 = 0 ( m ≠ 0) có nghi m khi và ch  khi ệ ỉ

D ng 6.ạ  Tìm tham s  m khi bi t d u c a nghi m (hai nghi m trái d u, cùng d u, cùng d ố ế ấ ủ ệ ệ ấ ấ ươ ng  

ho c cùng âm, hai nghi m đ i nhau, hai nghi m ngh ch đ o nhau) ặ ệ ố ệ ị ả  

a.1) Ph ươ ng pháp chung:

L p bi t th c  ậ ệ ứ  ho c  ặ ’

D a vào đ nh lý Vi­et tính t ng và tích c a hai nghi m ( ự ị ổ ủ ệ S = x 1 + x 2  = ; P = x 1 x 2  =) 

T  ĐK đã cho và h  th c Vi­ét tìm ra tham s  m  ừ ệ ứ ố

 Ph ươ ng trình có hai nghi m cùng d u  ệ ấ    0 và P > 0  m

 Ph ươ ng trình hai nghi m trái d u  ệ ấ    > 0 và P < 0   a.c < 0  m

 Ph ươ ng trình hai nghi m d ệ ươ ng (l n h n 0)  ớ ơ    0; S > 0 và P > 0  m

 Ph ươ ng trình hai nghi m âm (nh  h n 0)  ệ ỏ ơ    0; S < 0 và P > 0  m

a) Ch ng t  r ng ph ng trình có nghi m x ứ ỏ ằ ươ ệ 1 , x 2  v i m i m ớ ọ

b) Tìm m đ  ph ng trình có hai nghi m trái d u ể ươ ệ ấ

c) Tìm m đ  ph ng trình có hai nghi m cùng âm ể ươ ệ

L i gi i ờ ả

a) Ta có:  ’  = (m – 1) 2  – (– 3 – m ) = (m – 1) 2  + 3 + m =  

        Do  v i m i m;   ớ ọ    > 0 v i m i m ớ ọ

           Ph ươ ng trình luôn có hai nghi m phân bi t  ệ ệ

         Hay ph ươ ng trình luôn có nghi m (đpcm) ệ

b) Ph ng trình có hai nghi m trái d u   ươ ệ ấ  a.c < 0   – 3 – m < 0   m > – 3 

Ví d  2 ụ : Cho ph ươ ng trình:  x 2  + 2x + m – 1= 0  ( m là tham s ) ố

a) Tìm m đ  ph ng trình có hai nghi m là ngh ch đ o c a nhau  ể ươ ệ ị ả ủ

b) Tìm m đ  ph ng trình có hai nghi m trái d u ể ươ ệ ấ

B ướ c  1: Áp d ng h  th c Vi­ét ta tính đ c : ụ ệ ứ ượ

B ướ c  2: Bi n đ i bi u th c ế ổ ể ứ đã cho thành bi u th c có ch a và  t  đó thay các giá tr  a, b và  ể ứ ứ ừ ị tính giá tr  bi u th c v a tìm đ ị ể ứ ừ ượ c.

2) Các ví d : ụ

Ví d  1: ụ    Cho ph ươ ng trình  x 2  + x –  = 0 có hai nghi m x ệ 1  và x 2  

       Không gi i ph ả ươ ng trình hãy tính giá tr  c a bi u th c sau: ị ủ ể ứ

Thay  x 1  + x 2  =  ;      x 1 x 2  = 2 vào (*) ta đ ượ   c:

Ví d  3 ụ : G i x ọ 1 ; x 2  là nghi m c a ph ệ ủ ươ ng trình x 2  + x – 1 = 0. Khi đó bi u th c x ể ứ 1  + x 2  có giá tr  là: ị

B ướ c 1 ­ Tìm đi u ki n đ   ph ề ệ ể ươ ng trình có nghi m x ệ 1 ;x 2  :   (*)

B ướ c 2  ­ Áp d ng đ nh lý Vi­ét ta đ ụ ị ượ c: 

B ướ c 3  ­  T  ĐK (T) đã cho và h  th c Vi­ét tìm ra tham s  m. Đ i chi u  m v i đi u ki n  ừ ệ ứ ố ố ế ớ ề ệ

(*) và k t lu n ế ậ

c.2) Các ví d : ụ

Ví d  1 ụ : Cho ph ng trình:  x ươ 2  + 2x + m – 1= 0  ( m là tham s ) ố

a) Tìm m đ  ph ể ươ ng trình có hai nghi m x ệ 1 ; x 2  tho  mãn 3x ả 1  + 2x 2  = 1

b) L p ph ậ ươ ng trình  n y tho  mãn ;  v i x ẩ ả ớ 1 ; x 2  là nghi m c a ph ệ ủ ươ ng trình   trên ở

       y 1 ; y 2  là nghi m c a ph ệ ủ ươ ng trình: y 2  – .y +  = 0  (m ≠ 1)

     Ph ươ ng trình  n y c n l p là:  (m – 1)y ẩ ầ ậ 2  + 2my + m 2  = 0

Ví d  2 ụ : Cho ph ươ ng trình:  (m là tham s )   (1) ố

   Đi u ki n đ  ph ề ệ ể ươ ng trình (1) có hai nghi m phân bi t khi  > 0   4m 1 > 0  m >          ệ ệ

Theo h  th c Vi ệ ứ ét ta có      và  

Ta có:   = 

V y m đ t giá tr  nh  nh t là  khi   m 1 = 0  m = 1 ( th a mãn đi u ki n m >) ậ ạ ị ỏ ấ ỏ ề ệ

Ví d  3 ụ : Cho ph ươ ng trình 

a)  Gi i ph ả ươ ng trình khi m = 0.

b) Tìm m đ   ph ể ươ ng trình có 3 nghi m phân bi t ệ ệ

c) G i x ọ 1 , x 2 , x 3  là ba nghi m c a ph ệ ủ ươ ng trình đã cho. Tìm giá tr  l n nh t c a bi u ị ớ ấ ủ ể  

th c: ứ

L i gi i: ờ ả

a) Thay m = 0 và ph ng trình (1) ta đ c: ươ ượ

V y ph ậ ươ ng trình đã cho có m t nghi m x = 1 ộ ệ

b) Thay x = 1 vào v  trái c a ph ng trình (1) ta đ c:  ế ủ ươ ượ

nên (1) có nghi m x = 1 ệ

Do đó (1)  

      x = 1 ho c  (2) ặ

Đ  (1) có ba nghi m phân bi t thì (2) có hai nghi m phân bi t khác 1 ể ệ ệ ệ ệ

Ph ươ ng trình (2) có hai nghi m phân bi t  ệ ệ  

 x = 1 không là nghi m c a (2)  2 + 2m + 2 + m ệ ủ 2  + 4m + 3 0  

   m 2  + 6m + 7  0     

V y ph ậ ươ ng trình (1) có ba nghi m phân bi t khi   ệ ệ 5 < m < 1 và 

c) Do ph ng trình (1) có  m t nghi m là 1 và vai trò c a x ươ ộ ệ ủ 1 , x 2 , x 3  trong bi u th c  ể ứ A là như  nhau, nên gi  s  x ả ử 1  = 1 và x 2 , x 3   là hai nghi m c a ph ệ ủ ươ ng trình (2). Theo h  th c Vi ệ ứ ét ta có: 

Thay vào  ta đ ượ c:

Bư c 1: ớ §i u ki n đ  ph ề ệ ể ươ ng trình có hai nghi m x ệ 1 ; x 2 :

B ướ c 2:  Áp d ng h  th c Vi­ét ta tính đ ụ ệ ứ ượ c :

B ướ c 3:   Kh  m t  b ử ừ ướ c 2 b ng ph ằ ươ ng phép th  (Rút m theo x th  vào S ho c P) ho c  ế ế ặ ặ

c ng đ i s  ta s  đ ộ ạ ố ẽ ượ c bi u th c c n tìm ể ứ ầ

2)  Các ví d : ụ

Ví d  1 ụ :   Gi  s  x ả ử 1 ;x 2  là nghi m c a ph ệ ủ ươ ng trình: x 2  – 2 (m – 1 ) x + m  2  –  1= 0

    Tìm h  th c gi a x ệ ứ ữ 1 ; x 2  không ph  thu c vào m ụ ộ

a) Tìm h  th c liên h  gi a x ệ ứ ệ ữ 1  và x 2  không ph  thu c vào m ụ ộ

b)  Hãy bi u th  x ể ị 1  qua x 2

L i gi i  ờ ả

CHUYÊN Đ  HÀM S  B C HAI Ề Ố Ậ

a)  Ta có:  ’  = (m – 1) 2  – (– 3 – m ) = 

        Do  v i m i m;   ớ ọ    > 0 v i m i m ớ ọ

         Ph ươ ng trình luôn có hai nghi m phân bi t  ệ ệ

a) Tìm giao đi m c a hai đ  th  (P): y = ax ể ủ ồ ị 2  (a0) và (D): y = ax + b

 Lâp ph ̣ ươ ng trinh hoanh đô giao điêm cua (P) va (D): cho 2 vê phai cua 2 ham̀ ̀ ̣ ̉ ̉ ̀ ́ ̉ ̉ ̀  

sô băng  nhau đ a vê pt bâc hai dang ax́ ̀ ư ̀ ̣ ̣ 2  + bx  + c = 0.

 Giai pt hoanh đô giao điêm: ̉ ̀ ̣ ̉ + Nêu  > 0  pt co 2 nghiêm phân biêt (D) căt (P) tai 2 điêm phân biêt.́ ́ ̣ ̣ ́ ̣ ̉ ̣

+ Nêu  = 0  pt co nghiêm kep  (D) va (P) tiêp xuc nhau.́ ́ ̣ ́ ̀ ́ ́

+ Nêu  < 0  pt vô nghiêm (D) va (P) không giao nhau.́ ̣ ̀

b)  Xac đinh sô giao điêm c a hai đ  th  :(P): y = ax́ ̣ ́ ̉ ủ ồ ị 2 (a0) và (D m ) theo tham sô m:́

Lâp ph ̣ ươ ng trinh hoanh đô giao điêm cua (P) va (D̀ ̀ ̣ ̉ ̉ ̀ m ): cho 2 vê phai cua 2 ham sô bănǵ ̉ ̉ ̀ ́ ̀   nhau  đ a vê pt bâc hai dang ax ư ̀ ̣ ̣ 2  + bx  + c = 0.

Lâp  (hoăc) cua pt hoanh đô giao điêm ̣ ̣ ̉ ̀ ̣ ̉

Biên luân: ̣ ̣

+ (D m ) căt (P) tai 2 điêm phân biêt khi  > 0 giai bât pt  tim m.́ ̣ ̉ ̣ ̉ ́ ̀

+ (D m ) tiêp xuc (P) tai 1 điêm  = 0 giai  pt  tim m.́ ́ ̣ ̉ ̉ ̀

+ (D m ) va (P) khụng giao nhau  khi  < 0 giai bõt pt  tim m.̀ ̉ ́ ̀

Vớ d  1 ụ : Cho parabol (P) : y =   x 2  và đ ườ ng th ng (d) : y = mx  ẳ  1

a) Ch ng minh r ng v i m i giỏ tr  c a m thỡ đ ứ ằ ớ ọ ị ủ ườ ng th ng (d) luụn c t parabol (P) t i ẳ ắ ạ   hai đi m phõn bi t ể ệ

b)  G i x ọ 1 , x 2  l n l ầ ượ t là hoành đ  cỏc giao đi m c a đ ộ ể ủ ườ ng th ng (d) và parabol (P) ẳ   Tỡm giỏ tr  c a m đ  :   ị ủ ể

L i gi i ờ ả

a) Ph ươ ng trỡnh hoành đ  giao đi m c a (P) và (d) là: ộ ể ủ

– x 2  = mx – 1   x 2  + mx – 1 = 0 (1),  ph ươ ng trỡnh (1) cú a.c = –1 < 0 v i m i m ớ ọ

 (1) cú 2 nghi m phõn bi t trỏi d u v i m i m  ệ ệ ấ ớ ọ  (d) luụn c t (P) t i 2 đi m phõn bi t ắ ạ ể ệ

b) Ta cú x 1 , x 2  là nghi m c a (1) nờn theo h  th c Viột ta cú:  x ệ ủ ệ ứ 1  + x 2  = – m và  x 1.  x 2  = – 1 Theo gi  thi t:     ả ế   

           m + 1 = 3   m = 2

V y v i m = 2 thỡ hoành đ  giao đi m c a (d) và (P) th a món đ ng th c trờn ậ ớ ộ ể ủ ỏ ẳ ứ

Vớ d  2 ụ : Cho hàm s  y = x ố 2  và y = x + m ( m là tham s  ) ố

a) Tỡm m sao cho đ  th  (P) c a y = x ồ ị ủ 2  và đ  th  (D) c t y = x + m cú hai giao đi m phõn ồ ị ắ ể  

bi t A và B ệ

b) Tỡm ph ươ ng trỡnh c a đ ủ ườ ng th ng (d) vuụng gúc v i (D) và (d) ti p xỳc v i (P) ẳ ớ ế ớ

L i gi i:  ờ ả

a) Ph ng trỡnh hoành đ  giao đi m c a (P) và (D) là : x ươ ộ ể ủ 2  = m + x x 2   x + m = 0 (*)

  (P) và (D) c t nhau t i hai đi m phõn bi t:(*) cú hai nghi m phõn bi t  ắ ạ ể ệ ệ ệ

     = 1 + 4m > 0  m > 

b) Ph ng trỡnh c a đ ng th ng (d) vuụng gúc v i (D) và (d) ti p xỳc v i (P) cú d ng :  ươ ủ ườ ẳ ớ ế ớ ạ         (d)  (D) nờn a.1 =  1  a = 1 . Ta cú (d) : y =  x + b

  Ph ươ ng trỡnh hoành đ  giao đi m c a (d) và (P) là : x ộ ể ủ 2  =  x + b  x 2 x + b = 0

 (d) ti p xỳc v i (P)  x ế ớ 2   x + b = 0 cú nghi m kộp ệ

         = 1 + 4b = 0  b = .

 Ph ươ ng trỡnh  đ ườ ng th ng (d) c n tỡm là : y = – x – ẳ ầ        

Vớ d  3 ụ : Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, đồ thị các hàm số y = x 2  và y = 4x + m cắt nhau tại hai điểm  phân biệt khi và chỉ khi

A. m > 1 B. m < 4 C. m < 1 D. m >4

Đỏp ỏn:  D

Vớ d  3 ụ : Cho đ ườ ng th ng (d): y = 2x + 3 và (P): y = x ẳ 2  Khi đú s  đi m chung c a (d) và (P) là:  ố ể ủ

ch a bi t theo các  n và đ i l ư ế ẩ ạ ượ ng đã bi t ế

di n m i quan h  gi a các đ i l ễ ố ệ ữ ạ ượ ng

B ướ c 2:  Gi i h  hai ph ả ệ ươ ng trình nói trên

B ướ c 3:  Tr  l i: Ki m tra xem trong các nghi m c a h  ph ả ờ ể ệ ủ ệ ươ ng trình, nghi m nào thích  ệ

h p v i vài toán và k t lu n ợ ớ ế ậ

2) Các ví dụ

Ví d  1 ụ :  M t tàu th y ch y trên khúc sông dài 80 km, c  đi l n v  m t 8h20’. Tính v n t c c a tàu ộ ủ ạ ả ẫ ề ấ ậ ố ủ  

th y khi n ủ ướ c yên l ng, bi t r ng v n t c c a dòng n ặ ế ằ ậ ố ủ ướ c là 4 km/h.

V n t c c a tàu th y  khi ng ậ ố ủ ủ ượ c dòng:  (km/h)

Th i gian c a tàu th y khi xuôi dòng:  (km/h) ờ ủ ủ

Th i gian c a tàu th y khi ng ờ ủ ủ ượ c dòng:  (km/h)

Vì th i gian c  đi l n v  là  nên ta có ph ờ ả ẫ ề ươ ng trình:  (1)

Gi i ph ả ươ ng trình (*) ta đ ượ c  (lo i) ạ

V y v n t c c a tàu th y là:  ậ ậ ố ủ ủ

Ví d  2 ụ :  M t ca nô đi xuôi dòng n ộ ướ ừ ế c t  b n A đ n b n B, cùng lúc đó m t ng ế ế ộ ườ i đi b  đi t  b n A ộ ừ ế  

d c theo b  sông v  h ọ ờ ề ướ ng B. Sau khi ch y đ ạ ượ c 24 km, ca nô quay tr  l i và g p ng ở ạ ặ ườ i đi b  t i ộ ạ  

đ a đi m C cách b n A 18km. Tính v n t c c a ca nô khi n ị ể ế ậ ố ủ ướ c yên l ng, bi t v n t c c a ng ặ ế ậ ố ủ ườ i đi  

Th i gian c a cano khi ng ờ ủ ượ c dòng:  (km/h)

Theo đ  ta có ph ề ươ ng trình:  (1)

Gi i ph ả ươ ng trình (*) ta đ ượ c   (lo i) ạ

V y v n t c c a tàu th y là:  ậ ậ ố ủ ủ

Ví d  3 ụ : M t khu v n hình ch  nh t có chi u dài g p 3 l n chi u r ng, đ c bao b c b ng x mét ộ ườ ữ ậ ề ấ ầ ề ộ ượ ọ ằ   hàng rào. Di n tích khu v ệ ườ n tính theo x là: 

       Đáp án:  D

Ví d  4 ụ : Hai đ a đi m A và B cách nhau 200km. Cùng m t lúc m t xe máy đi t  A và m t ôtô đi t  B.  ị ể ộ ộ ừ ộ ừ

Xe máy và ôtô c p nhau t i đi m C cách A 120km. N u xe máy kh i hành sau ôtô 1h thì s  g p nhau  ặ ạ ể ế ở ẽ ặ

 đi m D cách C 24km. Khi đó v n t c c a xe máy và ô tô l n l t là:

A 40 km/h và 60 km/h B. 60 km/h và 40 km/h 

C 50 km/h và 60km/h D. 50 km/h và 40 km/h

c) Tìm các đi m trên đ  th  có tung đ  b ng 4 ể ồ ị ộ ằ

d) Tìm các đi m trên đ  th  và cách đ u hai tr c to  đ ể ồ ị ề ụ ạ ộ  

TL 2.1  Gi i các ph ng trình ả ươ

TL 3.1  Cho ph ng trình b c hai: x ươ ậ 2   2(m +2)x + 2m + 3 = 0   ( m là tham s ) ố

a) Ch ng minh r ng ph ng trình luôn có nghi m v i m i m ứ ằ ươ ệ ớ ọ

b) G i  là các nghi m c a ph ng trình. Ch ng minh r ng:  ọ ệ ủ ươ ứ ằ

TL 3.2  Cho ph ng trình b c hai:   (1)  ươ ậ (v i m là tham s ) ớ ố

a) Gi i ph ả ươ ng trình (1) v i  ớ

b) Ch ng minh r ng ph ứ ằ ươ ng trình (1) luôn có hai nghi m phân bi t v i m i giá tr  c a ệ ệ ớ ọ ị ủ   m.

c) Tìm m đ  ph ể ươ ng trình (1) có hai nghi m  tho  mãn h  th c:  ệ ả ệ ứ

TL 3.3  Cho ph ng trình  (1) (x là  n) ươ ẩ

a) Gi i ph ng trình (1) khi  ả ươ

b) Tìm các giá tr  m đ  ph ng trình (1) có hai nghi m phân bi t  th a mãn ị ể ươ ệ ệ ỏ

     .

TL 3.4  Cho ph ng trình : x2 + nx – 4 = 0 (1) (v i n là tham s ) ươ ớ ố

a) Gi i ph ả ươ ng trình (1) khi n = 3

b) Gi  s  x1,x2 là nghi m c a ph ả ử ệ ủ ươ ng trình (1), tìm n đ ể: 

TL 3.5  Cho ph ng trình: x ươ 2  2(n 1)x + 2n 3 = 0 (1) n là tham s ố

a) Gi i ph ả ươ ng trình khi n = 3

b) Ch ng minh ph ứ ươ ng trình (1) có nghi m v i m i n ệ ớ ọ

c) G i x ọ 1 , x 2  là 2 ngi m c a ph ệ ủ ươ ng trình (1). Tìm giá tr  nh  nh t c a bi u th c P = x ị ỏ ấ ủ ể ứ 1   + x 2  

TL 4.1  Trong cùng m t ph ng to  đ  cho parabol (P) : y = và đ ng th ng (D) đi qua đi m  ặ ẳ ạ ộ ườ ẳ ể

a) Xác đ nh hàm s  y = ax ị ố 2  bi t đ  th  c a nó đi qua A ( 2; 2 ) ế ồ ị ủ

b) V i giá tr  nào c a m thì đ ng th ng y = 2x + m c t đ  th  hàm s  v a tìm t i hai đi m   ớ ị ủ ườ ẳ ắ ồ ị ố ừ ạ ể c) V i giá tr  nào c a m thì đ ng th ng y = 2x + m ti p xúc v i  đ  th  hàm s  v a tìm đ c ớ ị ủ ườ ẳ ế ớ ồ ị ố ừ ượ   Hãy tìm ti p đi m đó ế ể

TL 4.4   Cho parabol (P) :  và đ ng th ng (d):  ườ ẳ

a) Ch ng minh r ng v i m i m, (d) luôn đi qua m t đi m c   đ nh ứ ằ ớ ọ ộ ể ố ị

b) Ch ng minh r ng v i m i m, (d) luôn c t (P) t i hai đi m phân bi t M, N ứ ằ ớ ọ ắ ạ ể ệ

Tìm t p h p trung đi m I c a đo n th ng MN khi m thay đ i ậ ợ ể ủ ạ ẳ ổ

TL 5.1  M t ng i đi xe máy t  A đ n B cách nhau 120 km v i v n t c d  đ nh tr c. Sau khi đ c ộ ườ ừ ế ớ ậ ố ự ị ướ ượ  

quãng đ ườ ng AB ng ườ i đó tăng v n t c thêm 10 km/h trên quãng đ ậ ố ườ ng còn l i. Tìm v n t c ạ ậ ố  

d  đ nh và th i gian xe lăn bánh trên đ ự ị ờ ườ ng, bi t r ng ng ế ằ ườ i đó đ n B s m h n d  đ nh 24 ế ớ ơ ự ị   phút.

TL 5.2  Quãng đ ng t  A đ n B dài 90 km. M t ng i đi xe máy t  A đ n B. Khi đ n B, ng i đó ườ ừ ế ộ ườ ừ ế ế ườ  

ngh  30 phút r i quay tr  v  A v i v n t c l n h n v n t c lúc đi là 9 km/h. Th i gian k  t ỉ ồ ở ề ớ ậ ố ớ ơ ậ ố ờ ể ừ   lúc b t đ u đi t  A đ n lúc tr  v  đ n A là 5 gi  Tính v n t c xe máy lúc đi t  A đ n B ắ ầ ừ ế ở ề ế ờ ậ ố ừ ế

TL 5.3  M t ng i d  đ nh đi xe đ p t  đ a đi m A t i đ a đi m B cách nhau 36km trong m t th i ộ ườ ự ị ạ ừ ị ể ớ ị ể ộ ờ  

gian nh t đ nh. Sau khi đi đ ấ ị ượ c n a quãng đ ử ườ ng, ng ườ i đó d ng l i ngh  18 phút. Do đó ừ ạ ỉ  

đ  đ n B đúng h n, ng ể ế ạ ườ i đó đã tăng thêm v n t c 2km trên quãng đ ậ ố ườ ng còn l i. Tính v n ạ ậ  

t c ban đ u và th i gian xe lăn bánh trên đ ố ầ ờ ườ ng.

TL 5.4  M t ô tô d  đ nh đi t  t nh A đ n t nh B cách nhau 120km trong m t th i gian quy đ nh . Sau ộ ự ị ừ ỉ ế ỉ ộ ờ ị  

khi đi đ ượ c m t gi  ô tô b  ch n đ ộ ờ ị ắ ườ ng b i xe ho  10 phút. Do đó, đ  đ n t nh B đúng h n, ở ả ể ế ỉ ạ  

xe ph i tăng v n t c thêm 6km/h. Tính v n t c ô tô lúc đ u ả ậ ố ậ ố ầ

TL 5.

   5    M t ng i đi xe máy t  A đ n B cách nhau 120km v i v n t c d  đ nh. Khi đi đ c  quãng ộ ườ ừ ế ớ ậ ố ự ị ượ  

đ ườ ng AB, ng ườ i đó d ng xe ngh  12 phút. Đ  đ m b o đ n B đúng th i gian d  đ nh, ừ ỉ ể ả ả ế ờ ự ị  

ng ườ i đó đã tăng v n t c thêm 10 km/h trên quãng đ ậ ố ườ ng còn l i. Tính v n t c d  đ nh c a ạ ậ ố ự ị ủ  

ng ườ i đi xe máy đó.

BÀI T P TR C NGHI M Ậ Ắ Ệ

CHUYÊN Đ  HÀM S  B C HAI Ề Ố Ậ

TN 1.1  Cho hàm s  y = (–m ố 2  – 1)x 2  V i x < 0 thì hàm s  trên: ớ ố

A. Luơn ngh ch bi n v i m i m thu c R ị ế ớ ọ ộ B. Luơn đ ng bi n v i m i m thu c R ồ ế ớ ọ ộ

C. Ngh ch bi n khi m < –1 ị ế D. Đ ng bi n khi m > –1 ồ ế

TN 1.2  : Với x > 0 . Hàm số y = (m 2  +3) x 2  đồng biến khi m :

A. m > 0   B. m 0    C. m < 0     D. Với mọi m 

TN 2.1  Cho ph ng trình x ươ 2  – (a + 1)x + a = 0. Khi đĩ ph ươ ng trình cĩ 2 nghi m là: ệ

A. x 1  = 1; x 2  = – a  B. x 1  = –1; x 2  = – a    C. x 1  = –1; x 2  =  a     D. x 1  = 1; x 2  =  a

TN 3.1  Cho hai s  u và v th a mãn đi u ki n u + v = 5; u.v = 6. Khi đĩ u, v là hai nghi m c a  ố ỏ ề ệ ệ ủ

TN 4.2  Cho ph ng trình x ươ 2  – 3ax + 2a 2  – a – 1=0 (a là tham s ). Kh ng đ nh nào sau đây là sai? ố ẳ ị

a.A Ph ng trình cĩ nghi m v i m i giá tr  c a a ươ ệ ớ ọ ị ủ

a.B Ph ng trình vơ nghi m n u a + 2 < 0 ươ ệ ế

a.C Ph ng trình cĩ hai nghi m là 2a  + 1 và a – 1 n u a –2 ươ ệ ế

a.D Ph ng trình cĩ nghi m kép là –3 khi và ch  khi a = – 2 ươ ệ ỉ

TN 5.1  Ph ng trình nào sau đây cĩ hai nghi m d ng? ươ ệ ươ

V y t p nghi m c a ph ậ ậ ệ ủ ươ ng trình đã cho là: S = {2  ;}

TL 3.1  Cho ph ng trình b c hai: x ươ ậ 2   2(m +2)x + 2m + 3 = 0   ( m là tham s ) ố

L i gi i ờ ả

a) Ta có Δ’  = (m + 2) 2   (2m + 3)

      = m 2  + 4m + 4  2m  3

    = m 2  + 2m +1     = (m + 1) 2  ≥ 0 v i m i m     ớ ọ

V y ph ậ ươ ng trình đã cho luôn có nghi m v i m i m.   ệ ớ ọ