3 PT, BPT LÔGARIT

PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT d Sử dụng tính đơn điệu của hàm số e Đưa về phương trình đặc biệt f Phương pháp đối lập Chú ý: • Khi giải phương trình logarit cần chú ý điều k

PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT

d) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số

e) Đưa về phương trình đặc biệt

f) Phương pháp đối lập

Chú ý:

• Khi giải phương trình logarit cần chú ý điều kiện để biểu thức có nghĩa

• Với a, b, c > 0 và a, b, c ≠ 1: alogb c =clogb a

II BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT

• Khi giải các bất phương trình logarit ta cần chú ý tính đơn điệu của hàm số logarit

1( ) ( ) 0log ( ) log ( )

log x+1 + =2 log 4− +x log 4+x

A 1 nghiệm B 2 nghiệm C 3 nghiệm D Vô nghiệm Câu 3: Phương trình ( 2 ) ( )

log x + + =x 1 x 2−x +log x có bao nhiêu nghiệm

A 1 nghiệm B 2 nghiệm C 3 nghiệm D Vô nghiệm Câu 4: Cho phương trình 2 log cotx3( )=log cos2( x Phương trình này có bao nhiêu nghiệm trên )

Câu 21: Xét các số nguyên dương ,a bsao cho phương trình aln2x b x+ ln + =5 0 có hai nghiệm

phân biệt x1, x và phương trình 2 5log2x b+ logx a+ =0 có hai nghiệm phân biệt x3, x 4

thỏa mãn x x1 2 >x x Tính giá trị nhỏ nhất 3 4 Smin của S=2a+3b.466666

A Smin =30 B Smin =25 C Smin =33 D Smin =17

Câu 22: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình

Câu 28: Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình 3 2( )

log x− −2 log x+ =1 m có ba nghiệm

phân biệt

A m>3 B m<2 C m>0 D m=2

Câu 29: Xét các số nguyên dương ,a b sao cho phương trình aln2x b+ lnx+ = có hai nghiệm 5 0

phân biệt x x1, 2 và phương trình 5log2x b+ logx a+ =0 có hai nghiệm phân việt x x3, 4 thỏa mãn x x1 2 >x x3 4 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S=2a+3b

Câu 30: Cho hai số thực a,b lớn hơn 1 thay đổi thỏa mãn a b+ =10 Gọi m,n là hai nghiệm của

phương trình (loga x)(logb x)−2loga x− =3 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S mn=

Câu 31: Cho hai số thực a,b lớn hơn 1 thay đổi thỏa mãn a b+ =10 Gọi m,n là hai nghiệm của

phương trình (loga x)(logb x)−2loga x−3logb x− =1 0 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

A. 16875

Câu 32: Biết rằng khi m n, là các số nguyên dương thay đổi và lớn hơn 1 thì phương trình

8logm x.logn x−7logm x−6logn x−2017 0= luôn có hai nghiệm phân biệt ,a b Tính

x là một nghiệm của bất phương trình 2 log 23a( x−23)>log a(x2+2x+15) (*)

Tập nghiệm T của bất phương trình (*) là:

Câu 39: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trìnhlog (52 x−1).log (2.52 x−2)≥m

có nghiệm với mọi x≥1?

A m≥6 B m>6 C m≤6 D m<6

Câu 40: Tập các giá trị của m để bất phương trình

2 2 2 2

loglog −1≥

30

x

có nghiệm khi

A m< −3 hoặc m≥6 B m≤ −3

C m< −3 D m≥6

Câu 47: Trong các nghiệm ( ; )x y thỏa mãn bất phương trình logx2+2y2(2x y+ ) 1≥ Giá trị lớn nhất

A minS=12 B minS=14 C minS=8 D minS=16

Câu 51: Cho x , y là các số thực thỏa mãn log4(x y+ )+log4(x y− )≥1 Tìm giá trị nhỏ nhất Pmin

Pt log 2 1 log log ( 1) log 4

log 2 1 log 4 log log ( 1) (1)

log x+1 + =2 log 4− +x log 4+x

A 1 nghiệm B 2 nghiệm C 3 nghiệm D Vô nghiệm Hướng dẫn giải:

x x

+ Với − < <1 x 4 ta có phương trình x2+4x−12 0 (3)= ;

2(3)

+ Với − < < −4 x 1 ta có phương trình x2−4x−20 0= (4); ( )

2 244

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x=2hoặc x=2 1( − 6), chọn B

Câu 3: Phương trình ( 2 ) ( )

log x + + =x 1 x 2−x +log x có bao nhiêu nghiệm

A 1 nghiệm B 2 nghiệm C 3 nghiệm D Vô nghiệm Chọn A

1log  + + =2 −

x x

Vì

2 2

2

coscot

1 cos

=

−

x x

x suy ra

( )

2 2

1 log+ x− 3log x =log x−1 ⇔ 1 log+ 9x− 3log9x =2 log9x−1

⇔ 1 2 log− 9x=(2 log9x−1) ( 1 log+ 9x+3 log9x ⇔ )

(2 log9x−1) ( 1 log+ 9x+3 log9x+ =1) 0

⇔ 2 log9x=1 vì: 1 log+ 9x+ 3log9x+ >1 0⇔ x = 3

Vậy nghiệm phương trình đã cho: x = 3

1 1

1 1

1 1

+ +

+ +

x x

x x

x x

x x

x x

Đặt t=logx+1(2x−1), khi đó (3) viết thành:

( )

2

1 1

11

+ +



u u

t t

Để phương trình (1) có 2 nghiệm x x sao cho 1, 2 x x1 2=27

Thì phương trình (2) có 2 nghiệm t t thỏa mãn 1; 2 t1+ =t2 3

x x

x f

64

Câu 12: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình log 32 x − log 3 x2+ − = 2 m 0 có

nghiệm x∈[ ]1;9

A 0≤m≤1 B 1≤m≤2 C m≤1 D m≥2

Hướng dẫn giải:

Chọn B

Đặt: t=log3x Vì x ∈ [ ] 1;9 nên t ∈ [ ] 0; 2

Đặt h t( )=t2−2t+2 với t∈[0; 2]

( )

' =2 −2

h t t , h t'( )= ⇔ =0 t 1

( )1 =1 , ( )0 = ( )2 =2

( ) [0,2] ( )

[0,2]

Pt có nghiệm ⇔ ≤1 m≤2

Câu 13: Điều kiện cần và đủ của tham số m để phương trình 2

log x−(m−1) log x+ −4 m=0 có hai nghiệm phân biệt thuộc [ ]1; 4 là

A 3< ≤m 4 B 3 10

3

≤m≤ C 10 4

3 <m≤ D 3 10

3

<m≤

Hướng dẫn giải:

Chọn D

Đặt t=log2x Vì x∈[ ]1;4 nên t∈[ ]0; 2

1

+ +

+

t t

t

Xét hàm số ( ) 2 4

1

+ +

= +

t t

f t

t trên đoạn [ ]0; 2

Ta có ( )

2

2 2

1

2 3

3 1

=

 + −



t

t t

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy để phương trình có hai nghiệm phân biệt thuộc đoạn [ ]1; 4 thì

Từ Bảng biến thiên suy ra phương trình (2) có nghiệm t> ⇔1 m>3

Câu 15: Tập tất cả các giá trị của m để phương trình

66

( ) ( )

2 2

Phương trình ( )1 có đúng ba nghiệm phân biệt nếu xảy ra các trường hợp sau:

+) PT ( )3 có nghiệm kép khác hai nghiệm phân biệt của PT( )4

32

⇒ =m , thay vào PT ( )4 thỏa mãn

+) PT ( )4 có nghiệm kép khác hai nghiệm phân biệt của PT( )3

12

⇒ =m , thay vào PT ( )3 thỏa mãn

+) PT ( )4 có hai nghiệm phân biệt và PT ( )3 có hai nghiệm phân biệt, trong đó có một nghiệm của hai PT trùng nhau

Yêu cầu bài toán⇔ f x( )=x2+ + − =x m 5 0 có 2 nghiệm phân biệt ∈ −( 1;1)

Cách 1: Dùng định lí về dấu tam thức bậc hai

Để thỏa yêu cầu bài toán ta phải có phương trình f x( )=0 có hai nghiệm thỏa:

1 2

− <x <x <

( ) ( )

5 0 1 0

Sau khi đưa về phương trình x2+ + − =x m 5 0, ta nhập phương trình vào máy tính

* Giải khi m= −0, 2: không thỏa ⇒loại A, D

* Giải khi m=5: không thỏa ⇒loại B

Câu 17: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 2 2 ( 2 )

log x−2 log x− =3 m log x−3

Đặt: t=log2x , với x≥32⇒log2x≥log 32 5 hay 2 = t≥5

5 11

f t

t t với t∈ −[ 1;1] ( )

2 2 2

t t ∀ ∈ −t [ 1;1]⇒ Hàm số đồng biến trên đoạn [−1;1]

Để phương trình có nghiệm khi hai đồ thị g m( ) ( );f t cắt nhau ∀ ∈ −t [ 1;1]

Đây là dạng toán ứng dụng hàm số để giải bài toán chứa tham số Đối với bài toán biện luận

nghiệm mà chứa tham số thì phải tìm điều kiện đúng cho ẩn phụ sau đó cô lập m rồi tìm

(Với t1=log3 1x và t2 =log3x ) 2

Áp dụng hệ thức Vi-et cho phương trình ( )2

Câu 21: Xét các số nguyên dương ,a bsao cho phương trình aln2x b x+ ln + =5 0 có hai nghiệm

phân biệt x1, x và phương trình 2 5log2x b+ logx a+ =0 có hai nghiệm phân biệt x3, x 4

thỏa mãn x x1 2 >x x Tính giá trị nhỏ nhất 3 4 Smin của S=2a+3b.466666

A Smin =30 B Smin =25 C Smin =33 D Smin =17

Hướng dẫn giải:

Chọn A

Điều kiện x>0, điều kiện mỗi phương trình có 2 nghiệm phân biệt là b2>20a

Đặt t=lnx, u=logx khi đó ta được at2+bt+ =5 0(1), 5u2+bu a+ =0(2)

Ta thấy với mỗi một nghiệm t thì có một nghiệm x , một u thì có một x

Vậy S=2a+3b≥2.3 3.8 30+ = , suy ra Smin =30 đạt được a=3,b=8

Câu 22: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình

Chúng ta có thể dùng hàm số để tìm max, min của hàm số y= t t−+13,t≥5

Câu 23: Tìm giá trị của tham số m để phương trình 2 2

Vậy phương trình có nghiệm khi: 1 2≤ m+ ≤ ⇔ − ≤5 5 2 m≤0

Câu 24: Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m để phương trình

Dựa vào BBT, PT(2) có nghiệm t≥2 khi và chỉ khi m≥3

Câu 25: Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m để phương trình

8

+ -

y

2 1

∞ x

( 1) 2 ( 5) 1 0

⇔ m− t + m− t m+ − =

2 2

5 11

− ≤ ≤m thì phương trình có nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài toán

Câu 26: Tìm tất cả các giá trị thực của m để phương trình 2 log2 x +log2 x+ =3 m có ba nghiệm

1 2

+ +

n n

m m

Dựa vào đồ thị, ta thấy để phương trình ( )* có ba nghiệm phân biệt khi

Câu 29: Xét các số nguyên dương ,a b sao cho phương trình aln2x b+ lnx+ = có hai nghiệm 5 0

phân biệt x x1, 2 và phương trình 5log2x b+ logx a+ =0 có hai nghiệm phân việt x x3, 4 thỏa mãn x x1 2 >x x3 4 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S=2a+3b

2 2

Khi đó theo Vi-ét, ta có

Vậy theo giả thiết, ta có

Câu 30: Cho hai số thực a,b lớn hơn 1 thay đổi thỏa mãn a b+ =10 Gọi m,n là hai nghiệm của

phương trình (loga x)(logb x)−2loga x− =3 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S mn=

Phương trình tương đương với

(loga x)(log logb a a x)−2 loga x−3logb x− = 1 0

Câu 31: Cho hai số thực a,b lớn hơn 1 thay đổi thỏa mãn a b+ =10 Gọi m,n là hai nghiệm của

phương trình (loga x)(logb x)−2loga x−3logb x− =1 0 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Phương trình tương đương với

(loga x)(log logb a a x) (− 2 3log+ b a)loga x− = 1 0

Câu 32: Biết rằng khi m n, là các số nguyên dương thay đổi và lớn hơn 1 thì phương trình

8logm x.logn x−7logm x−6logn x−2017 0= luôn có hai nghiệm phân biệt ,a b Tính

Ta có phương trình tương đương với:

8logm x.logn m.logm x−7logm x−6logn m.logm x−2017 0=

Nên thử với S nhỏ trước

Chọn đáp án cho kết quả F X( ) nguyên dương nhỏ nhất

Câu 33: Cho ba số thực , ,a b c thay đổi lớn hơn 1 thỏa mãn a b c+ + =100 Gọi m n, là hai nghiệm

Ta có phương trình tương đương với:

(1 log+ a x)(1 log+ b x)=2018⇔loga xlogb x+loga x+logb x+ =1 2018

Ta có phương trình tương đương với:

8logm x.logn m.logm x−7logm x−6logn m.logm x−2017 0=

8logn m logm x 7 6 logn m logm x 2017 0

′ = ⇔ = <

Lập bảng biến thiên suy ra hàm số g t giảm trên khoảng ( ) [1; +∞ )

Suy ra g t( )≤g( )1 =5ln 2 6 ln 3 0− < ⇒ f t′( )<0

Suy ra hàm số f t( ) luôn giảm trên khoảng [1; +∞)

Nên t=4 là nghiệm duy nhất của phương trình f t( )=0

x là một nghiệm của bất phương trình 2 log 23a( x−23)>log a(x2+2x+15) (*)

Tập nghiệm T của bất phương trình (*) là:

Câu 39: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trìnhlog (52 x−1).log (2.52 x −2)≥m

có nghiệm với mọi x≥1?

loglog −1≥

x m

x nghiệm đúng với mọi x>0 là:

A (−∞;1] B [1; +∞ ) C (−5; 2) D [0;3 )

m m

Bất phương trình nghiệm đúng với mọi x thuộc ℝ khi:

m

Từ (1) và (2) ta được 2<m≤3,m∈ ⇒ℤ m=3 Vậy có 1 giá trị m

022537

⇔2< ≤m 3

BÌNH LUẬN:

Sử dụng dấu tam thức bậc hai không đổi trên R :

( ) ( )

2 2

00

000

m m

m

m m

Câu 44: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho khoảng ( )2;3 thuộc tập nghiệm của bất

84

2

2 2

2 2

3 0;4

3

4 4 4 4 12 log 5 4 4 12log 5

GTLN g x m

Câu 46: Hệ bất phương trình

2 2

30

Vậy hệ có nghiệm khi m≥6

Câu 47: Trong các nghiệm ( ; )x y thỏa mãn bất phương trình logx2+2y2(2x y+ ) 1≥ Giá trị lớn nhất

= + ≥

−

x x P