Hàm số liên tục toán 11

Vậy, không tồn tại a để hàm số liên tục trên.. Xét tính liên tục của hàm số Vậy hàm số đã cho gián đoạn tại x 8... Bài 2: Xét tính liên tục của hàm số trên đoạn đã chỉ ra:... Bài 3: Xé

CÁC CHUYÊN ĐỀ

HÀM SỐ LIÊN TỤC

LỚP 11 CHUYÊN ĐỀ 1: XÉT TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM

Dạng 1: Xét tính liên tục của hàm số   1 0

( ) khi( ) khi

  hàm số gián đoạn tại điểm x0 2

b Nếu thay 5 bằng 12 thì hàm số sẽ liên tục tại điểm x0 2

HDedu - Page 1

Bài 2 Xét tính liên tục của hàm số  

       thì hàm số gián đoạn tại điểm x0 1

Bài 3 Xét Tính liên tục của hàm số   sin 1 khi 1

  nên hàm số đã cho gián đoạn tại x2

Bài 5 Cho hàm số   sin 1 cos 2sin 2 2; \ 0 

Với     2sin2 2 sin

x x

 hàm số liên tục phải tại x0, không liên tục trái tại x0

Suy ra hàm số không liên tục tại x0

BÀI TẬP TỰ GIẢI

Bài 6 Xét Tính liên tục của hàm số  

2

2 khi 22

4 khi 22

1

14

x

khi x x

6

22

11

23

4   1 2 3 2

2

x khi x

sin1

khi 06

5 3 khi 5

x

x x

x 2

h x

1 khi x 1 x

Trước tiên, ta thấy hàm số liên tục với mọix1

Xét tính liên tục của hàm số tại điểm x0 1, ta có:

     hàm số liên tục tại điểmx1

Vậy, liên tục trên tập xác định của nó

a Tìm a để f x  liên tục trái tại điểm x1

b Tìm a để f x  liên tục phải tại điểm x1

c Tìm a để f x  liên tục trên

Hướng dẫn

HDedu - Page 5

Vậy, không tồn tại a để hàm số liên tục trên

Bài 4 Xét tính liên tục của hàm số

Vậy hàm số đã cho gián đoạn tại x 8

Bài 5 Xét tính liên tục của hàm số

3 2

1( )

   

2 2

3 2

3 2 lim lim lim

1 1 3 2

x x

1 1 khi 0

x khi x

7)  

3

khi 01

khi 06

x x

x

x x

2 khi 11

khi 1

x x

x

x x

1 khi 0 22

4 1 khi 2

x

x x

CHUYÊN ĐỀ 2: XÉT TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TRÊN MỘT KHOẢNG – TRÊN

ĐOẠN – TRÊN TXĐ- TRÊN

5 3 khi 5

x

x x

43

Vậy hàm số liên tục trên 3;5

2

  3) Hàm số xác định với mọi x

Vậy hàm số liên tục tại x 5

Vậy hàm số liên tục trên 10;10

Bài 2: Xét tính liên tục của hàm số trên đoạn đã chỉ ra:

32

 Hàm số f x  là hàm đa thức nên nó liên tục trên

 Hàm số g x  là hàm phân thức nên nó liên tục trên tập xác định (tức là trên )

Bài 4: Chứng minh rằng: Hàm số f x  2x1 liên tục trên nửa khoảng 1;

Hàm số f x  liên tục với mọix 0

Xét tính liên tục của f x  tại điểm x 0

Ta có : x.cos 12 x cos 12 x x x.cos 12 x

   hàm số liên tục tại điểm x0

Vậy hàm số liên tục trên toàn trục số thực

Bài 6: Xét tính liên tục của hàm số sau trên toàn trục số :   2 khi 1

f x  x  x nên hàm số liên tục với x1

2 Khix1 , ta có f x  ax1 nên hàm số liên tục với x 1

- Nếu a1, hàm số liên tục trên toàn trục số

- Nếu a1, hàm số liên tục trên ;1  1; và gián đoạn tại x0 1

Bài 7: Xét tính liên tục của hàm số   3 1 khi 1

Bài 8: Xét tính liên tục của hàm số  

2

33

   nên f x( ) liên tục tại điểm x0 3 (2)

Từ (1) và (2) suy ra f x( ) liên tục trên

2

11

4

13

khi x x

3 10

24

Bài 3: Xét tính liên tục của các hàm số sau trên

1)  

3

1 khi 11

1

khi 13

x

x x

khi 2

x

x x

CHUYÊN ĐỀ 3: TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA THAM SỐ ĐỂ HÀM SỐ LIÊN TỤC

Phương pháp:

Sử dụng lý thuyết liên tục của chuyên đề 2 và chuyên đề 3 để tìm điều kiện tham số:

Điểm gián đoạn: x0 là điểm gián đoạn của hàm số f x  nếu tại điểm x0 hàm số không liên tục:

khi 11

Bài 3: Tìm các giá trị của tham số m để hàm số  

khi x x

f x

khi x m

Bài 5: Tìm a để hàm số liên tục trên với   3 2

khi 11

x x

, 9

x

x x

x x

Bài 7: Cho hàm số:  

2

11

1

khikhi

x x

a) Tìm a để f x  liên tục tại trái điểm x1

b) Tìm a để f x  liên tục tại phải điểm x1

Vậy điều kiện là a1

b) Để f x  liên tục phải tại điểm x1

Vậy điều kiện là a 1

c) Hàm số liên tục trên trước hết phải có:    

x x

nÕu nÕu nÕu

b và với mọi a thì điểm gián đoạn của hàm số là x0

Bài 10: Tìm các giá trị của a và b để hàm số  

liên tục tại điểm x1 và

gián đoạn tai x2

Với ta có hàm số liên tục

Để hàm số liên tục trên thì hàm số phải liên tục trên khoảng và liên tục tại

Hàm số liên tục trên khi và chỉ khi tam thức

TH 1:

TH 2:

Hướng dẫn

Với ta có nên hàm số liên tục trên

Với ta có nên hàm số liên tục trên

Do đó hàm số liên tục trên khi và chỉ khi hàm số liên tục tại

2 1

2' 2

26

3 17

62

Vậy thì hàm số liên tục trên

11

02

khi x x

2

01

6  

33 2 2

22

1

24

x

khi x x

x

x x

Đáp số: với a1,b bất kì thì hàm số liên tục trên

Bài 7 Tìm điều kiện của các tham số để hàm số liên tục tại điểm chỉ ra

1 khi 0

1 x khi 0

x x

nÕu nÕu

CHUYÊN ĐỀ 4: SỬ DỤNG TÍNH LIÊN TỤC CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH CÓ

( ) ( ) 0

Dạng 1: Phương trình không chứa tham số

Bài 1 Chứng minh rằng phương trình 5

Vậy phương trình có ít nhất một nghiệm trong khoảng 1;1

Bài 2 Chứng minh rằng phương trình 2

cos sin 1 0

x x x x  có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0; )

Vậy phương trình có ít nhất một nghiệm trong khoảng (0; )

Bài 3 Chứng minh rằng phương trình 3

Vậy, phương trình có ít nhất một nghiệm trong khoảng1; 0 , do đó nó có ít nhất một nghiệm

Vậy, phương trình có ba nghiệm trên khoảng 7;9

Bài 5 Chứng minh rằng phương trình 3

f x  x  x là hàm đa thức nên liên tục trên 1; 0 và  0;3

Suy ra, phương trình 3

2x 10x 7 0 có ít nhất một nghiệm x0  1; 0 và x1 0;3 Vậy phương trình 3

2x 10x 7 0 có ít nhất hai nghiệm

Bài 6 Chứng minh rằng phương trình 3 2

4x 8x  1 0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng

Vậy phương trình 3 2

4x 8x  1 0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng 1; 2 nên phương trình có nghiệm trong khoảng 1; 2

Bài 7 Chứng minh rằng phương trình 4 2

4x  2x   x 3 0có ít nhất 2 nghiệm trong khoảng

Vì f   1 f 0 0 nên phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng 1;0

Vì f   0 f 1 0nên phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng  0;1

Mà 1;0và  0;1 là hai khoảng phân biệt

Vậy phương trình 4 2

4x  2x   x 3 0 có ít nhất hai nghiệm trong khoảng 1;1

Bài 8 Chứng minh rằng phương trình 5 3

  

11;

 ;  1;3 không giao nhau nên phương trình có

ít nhất 5 nghiệm

Mà phương trình đã cho là phương trình bậc 5 có không quá 5 nghiệm

Vậy phương trình đã cho có đúng 5 nghiệm

Bài 9 Chứng minh rằng phương trình 3

ta chứng minh được hàm f x  đồng biến trên  1; 2 nên phương trình 5

2 0

x   x có nghiệm duy nhất x0 1; 2

c) Tương tự câu b)

Bài 12 Chứng minh phương trình

b) cos 2x2sinx2 có ít nhất 2 nghiệm trong khoảng ;

Bài 13 Chứng minh phương trình sau có nghiệm:

c) 2x2 3x 4 0 có ít nhất hai nghiệm thuộc 3;1

Bài 5 Chứng minh rằng phương trình:

a x33x2 3 0 có 3 nghiệm trong khoảng 1;3 

m x x  x  có ít nhất một nghiệm trong khoảng  1; 2

Bài 4 Chứng minh rằng phương trình: m2 m 1x4 2x 2 0 luôn có nghiệm

Vì f    3 f 0 0 nên phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng 3;0

Vì f    0 f 1 0 nên phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng  0;1

Vì f    1 f 2 0 nên phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng  1; 2

Vậy phương trình m21x32m x2 2 4x m 2 1 0 có ít nhất 3 nghiệm trong khoảng 3; 2,

mà phương trình đã cho là bậc 3 nên phương trình có đúng 3 nghiệm

sinxcosx a luôn có nghiệm trong khoảng ;

a) Giải phương trình với m1

b) Chứng minh rằng với mọi m phương trình luôn có ít nhất hai nghiệm phân biệt

Hướng dẫn

Đặt t x t, 0, ta được 3 2  

t mt  m t  a) x 1

Vậy, với mọi m phương trình luôn có ít nhất hai nghiệm phân biệt

Bài 8 Chứng minh rằng với mọi m phương trình:  3

x mx m luôn có một nghiệm lớn hơn 1

Vậy với mọi m phương trình luôn có một nghiệm lớn hơn 1

Bài 9 Cho a, b, c là ba số dương phân biệt Chứng minh rằng phương trình:

Bài 10 Chứng minh rằng với mọi m phương trình x3 mx2  1 0 luôn có một nghiệm dương

 lim

  , vậy tồn tại x để 1 f x 1 0 ,

 lim

(HD: xét a 0 và a0 rồi dùng chú ý ở phần bài mẫu để giải)

Dạng 3: Phương trình cho mối liên hệ giữa các tham số

Bài 2 Chứng minh ax4 bx3 cx2 dx e 0 luôn có ít nhất 1 nghiệm với a e0

Vậy phương trình 2

0

ax bx c luôn có nghiệm

Bài 4 Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn a b c 

Chứng minh phương trình x a x b  x b x c  x c x a 0 luôn có hai nghiệm phân biệt

Hướng dẫn

Xét hàm số f x   x a x b  x b x c  x c x a  là tam thức bậc hai có hệ số A3nên phương trình f x 0 có nhiều nhất hai nghiệm

Ta có: f a 0; f b 0; f c 0

Vậy f a f b    0 và f b f c    0

Mặt khác f x là hàm đa thức nên nó liên tục trên    a b và ;  b c ;

Suy ra, phương trình f x 0 có nghiệm x1 a b; và x2 b c;

Vậy phương trình luôn có hai nghiệm

HDedu - Page 35

Bài 5 Cho phương trình 2  

a x b x c  thỏa mãn 2a3b6c0 Chứng minh phương

trình có ít nhất một nghiệm trong khoảng ; ,

+ khi a0 thì 2

3

b a