Đề thi tỉnh lớp 12 (22/10/2010) Bài 1. Giải hệ phương trình: , Giải : Biến đổi hệ : (x+y) 2 -z(x+y)+z 2 -3=0 (1) , (x-y) 2 -z(x-y)+1=0 (1) Hệ có nghiệm x,y  z 2 -4(z 2 -3) ≥ 0 , z 2 -4 ≥ 0  z=2,z=-2 i) z=2 ta có x+y=1 , x-y=1  x=1,y=0 ii) z=-2 , ta có x+y=- 1 , x-y =-1  x=-1,y=0 Hệ có hai nghiệm (1,0,2) , (-1,0,-2) Bài 2. Tìm a để phương trình sau có nghiệm Giải : Ta có x=0 , x=-1 không phải là nghiệm của phương trình Biến đổi phương trình về dạng : x 6 +3x 5 +6x 4 +7x 3 +6x 2 +3x+1=a(x 4 +2x 3 +x 2 )  a= 3 2 6 5 4 3 2 3 2 4 3 2 1 1 1 3 6( ) 7 3x 6x 7x 6x 3x 1 1 2x 2 x x x x x x x x x x x     + + + + + +  ÷  ÷ + + + + + +     = + + + + Đặt t= 1 x x + , 2, 2t t< − ≥ . Phương trình trở thành a = 3 2 3 3 1 2 t t t t + + + + = 3 ( 1) 2 t t + + Đặt f(t)= 3 ( 1) 2 t t + + , 2, 2t t< − ≥ f’(t)= ( ) ( ) 2 3 2 2 2 3( 1) ( 2) ( 1) ( 1) (2 5) 2 2 t t t t t t t + + − + + + = + + , f’(t)=0  t = 5 2 − <-2 Lập bảng biến thiên , kết luận 27 4 a ≥ Bài 3. Chứng minh rằng với và nguyên dương thì Giải : Xét hàm số f(x)=x 2n (1-x), x thuộc (0,1) f’(x)=2nx 2n-1 -(2n+1)x 2n =x 2n-1 [2n-(2n+1)x] f’(x)=0 x= 2 2 1 n n + thuộc (01) lập bảng biến thiên trên (0,1) => 2 2 2 2 2 2 1 ( ) ( ) 1 . 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 n n n n n n f x f n n n n n       ≤ = − =  ÷  ÷  ÷ + + + + +       Áp dụng định lý lagrang cho f(t)=lnt liên tục trên [2n,2n+1]  tồn tại số c thuộc (2n , 2n+1) sao cho f(2n+1)-f(2n)= 1 1 2 1c n > +  1 ln(2 1) ln 2 2 1 n n n + − > + => (2 1)(ln 2 ln(2 1)) 1n n n+ − + < − => 2 1 2 1 2 1 n n n e +   <  ÷ +    2 2 1 1 . 2 1 2 1 2 n n n n ne   <  ÷ + +   =>đpcm Bài 4. Cho tứ giác lồi ABCD có AB=BC=CD=a. Chứng minh . Giải : S ABCD =S ABC +S ACD Hạ BH vuông góc với AC , vì AB=BC=a nên AC=2AH Đặt góc BAC =x nhọn S ABC =AH.BH =x 2 sinxcosx , S ACD ≤ AH.CD=x 2 cosx  S ABCD ≤ x 2 (cosx +sinxcosx) Xét f(x) =cosx +sinxcosx , x nhọn f’(x) =-sinx +cos2x =-2sin 2 x-sinx+1 , f’(x)=0  sinx=-1 , sinx =1/2 Vì x nhọn nên ta có x=30 0 Giá trị lớn nhất của f(x) là 3 3 4 S ABCD ≤ 2 3 3 4 a => đpcm http://totoanpc2.blogspot.com/2010/10/danh-sach-giao-vien-to-toan-tin-truong.html