CMR nếu một tứ giác ngoại tiếp có dộ dài các cạnh là a,b,c,d và diện tích S = abcd thì tứ giác đó là tứ giác nội tiếp... Gọi , , lần lượt là góc giữa các mặt ABD, ABC, ACD với mặt
Trang 1HÌNH HSG 12 BÌNH ĐỊNH 2018-2019
1 CMR nếu một tứ giác ngoại tiếp có dộ dài các cạnh là a,b,c,d và diện tích S = abcd
thì tứ giác đó là tứ giác nội tiếp.
Bổ đề: Tứ giác ABCD ngoại tiếp thì AB+CD = AD+BC
HD: Theo tính chất tiếp tuyến
AB+CD = (AM+MB) + (CP+DP)
= (AN+QB) + (CQ+DN)
= (AN+DN) + (CQ+QB)
= AD + BC
Trở lại bài toán:
Ta có abcd = SABD + SCBD =
2
1
absinA +
2
1
cdsinC
ab
cd
= sinA +
ab
cd
sinC (*) Mặt khác a2 + b2 -2abcosA = c2 + d2 -2cdcosC (=BD2)
a2 + b2 -2ab(1-2sin2 2
A
) = c2 + d2 -2cd(1-2sin2 2
C
)
(a-b)2 + 4ab sin2 2
A
= (c-d)2 + 4cd sin2 2
C
(a – b – c - d)(a - b + c - d) = 4cd sin2 2
C
- 4ab sin2 2
A
cd sin2 2
C
= ab sin2 2
A
(Vì ABCD là tứ giác ngoại tiếp nên a - b + c – d = 0)
ab
cd
=
2 sin
2 sin
2
2
C
A
, Thế vào (*)
2
2
sin
2
sin
C
A
= sinA +
2 sin 2 sin
2
2
C
A
.sinC
2 sin
2
C = 2.cos2
A
+
2 sin 2 sin
2C
A
sinC
2 = 2.cos2
A
.sin 2
C
+ 2.sin 2
A
.cos 2
C
sin(2
A
+ 2
C
) = 1 A + C = đpcm
A
B
C
D
a b
c
d
P N
Trang 22 Cho tứ diện ABCD có AB=CD, AC=BD, AD=BC Gọi , , lần lượt là góc giữa các mặt ABD, ABC, ACD với mặt BCD và hình chiếu của A trên (BCD) thuộc miền tam giác BCD.
Tìm GTLN của T = cos + cos cos + 3 cos cos cos
(Trùng với đề HSG Toán 11 Bình Định năm học 2009-2010)
Bổ đề: Tứ diện ABCD có AB=CD, AC=BD, AD=BC đgl tứ diện gần đều
với , , lần lượt là góc giữa các mặt ABD, ABC, ACD với mặt BCD thì
cos + cos + cos = 1
HD:
Từ giả thiết 4 mặt của tứ diện là 4 tam giác bằng nhau
ADCT diện tích hình chiếu, ta có
S = SBCD = SHBD + SHBC + SHCD
= SABD.cos + SABC.cos + SACD.cos
= S(cos + cos + cos) (vì 4 mặt diện tích bằng nhau)
Từ đó cos + cos + cos = 1
Trở lại bài toán:
Đặt x = cos ; y = cos ; z = cos, hiển nhiên x,y,z >0 và x+y+z=1
T = x + xy + 3 xyz
= x +
2
1
y
x 4. +
4
1 3
16 4
x x +
2
1 2
4y
x
+
4
1
3
16
x
=
3
4
(x+y+z) =
3 4
Vậy maxT =
3
4
khi x = 4y và 4y = 16z và x+y+z = 1 và x>0,y>0,z>0
khi đó x = cos =
21
16
; y = cos =
21
4
và z = cos =
21 1
Good luck!
A
B
C
D E
K