Học sinh Giỏi (Bình Định)

Chứng minh rằng với các số dương a, b phân biệt thỏa mãn ab = ba thì fa.. Chứng minh rằng các mặt phẳng, mỗi mặt đi qua trọng tâm của tam giác có các đỉnh là 3 trong 5 điểm nói trên và v

SỞ GD – ĐT BÌNH ĐỊNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT

……… CẤP TỈNH, NĂM HỌC 2005-2006

Đề chính thức Môn : TOÁN ( Vòng 2 )

( Bảng A ) Thời gian làm bài :180 phút ( Không kể thời gian phát đề)

Ngày thi : 19 – 11 – 2005

-Câu 1 : (5 điểm).

Xét dãy số thực a1, a2, a3 , …… thỏa mãn các điều kiện: 0 < an < 1 và

an+1(1 – an) ≥41 với mọi n = 1, 2, 3, ……

Chứng minh rằng

2

1

-

n

2

1 < an ≤ 21 với mọi n = 1, 2, 3, ……

Câu 2 : (5 điểm).

Tìm tất cả các hàm số thực f(x), g(x) thỏa mãn:

f(x) – f(y) = cos(x – y) g(x – y) với mọi số thực x , y

Câu 3 : (5 điểm).

Cho hai đa thức f(x) = x4 – (1 + e2)x2 + e2 và g(x) = x4 – 1 ( e là cơ số của lôgarit tự nhiên)

Chứng minh rằng với các số dương a, b phân biệt thỏa mãn ab = ba thì

f(a) f(b) < 0 và g(a) g(b) > 0

Câu 4 : (5 điểm).

Cho 5 điểm phân biệt A1, A2, A3, A4, A5 không đồng phẳng nhưng cùng nằm trên một mặt cầu Chứng minh rằng các mặt phẳng, mỗi mặt đi qua trọng tâm của tam giác có các đỉnh là 3 trong 5 điểm nói trên và vuông góc với đường thẳng nối hai điểm còn lại, thì đồng quy