Đường thẳng vuông góc với AC tại C cắt các đường thẳng AB, AD lần lượt tại E và F.. M là trung điểm của BC... Nếu kộo căng dõy ra thỡ đầu dõy chạm đất ở một khoảng cỏch là 15,5 m so với
Trang 1Giải toán trên máy tính casio dành cho lớp 9 (học hết kỳ 1) Bài 1: (5 điểm)
Cho phương trình 13 x 19 x 1 16x
a) Viết một quy trình ấn phím giải phương trình tìm x và cho biết x bằng bao nhiêu ? b) Chứng minh rằng phương trình đã cho có duy nhất một nghiệm ?
a)
(1,5đ
)
Quy trình ấn phím áp dụng cho máy fx - 570MS để giải phương trình :
13 ( ALPHA X 1 ) + 9 ( ALPHA X + 1 ) ALPHA
= 16 ALPHA X SHIFT SOVLE màn hình hiện X ? nhập một giá trị bất
kỳ lớn hơn 1 chẳng hạn 5 ấn tiếp = SHIFT SOLVE
1
b)
(3,5đ
)
Với điều kiện x ≥1, viết lại phương trình đã cho dưới dạng:
13 1 1 1 3 1 3 1 9 0
1
Hay ta có phương trình 13
1
Suy ra
1
2 3
2
x
x
1 1 2 3 1 2
x
x
1
Tìm được x = 1,25 thoả mãn điều kiện là nghiệm duy nhất của ph trình 0,5
Bài 2: (5 điểm)
Cho f(n) = 32n + 3 + 40n – 27 với n và n ≥ 1
a) Viết một quy trình ấn phím tính các giá trị f(1); f(2); f(3); f(4)
b) Chứng minh rằng f(n) chia hết cho 64
a)
(2,5đ)
Viết quy trình ấn phím tính f(n) áp dụng cho máy fx-570 MS:
3 ( 2 ALPHA X + 3 ) + 40 ALPHA X - 27 CALC
Màn hình hiện X ?
0,5
ấn tiếp CALC 2 = kết quả f(2) = 2240 0,5
ấn tiếp CALC 3 = kết quả f(3) = 19776 0,5
ấn tiếp CALC 4 = kết quả f(4) = 177280 0,5 b)
(2,5đ)
Theo tính toán ở phần a) thì f(1) = 256 chia hết cho 64
Giả sử f(n) chia hết cho 64 với n tự nhiên và n ≥ 1 Ta chứng minh f(n + 1)
chia hết cho 64 với n tự nhiên và n ≥ 1 bằng cách chứng minh f(n + 1) – f(n)
chia hết cho 64(vì f(n) đã chia hết cho 64 - giả thiết quy nạp)
0,5
Trang 2Phần Lời giải sơ lược Điểm
Xét f(n + 1) – f(n) = 32(n + 1) + 3 + 40(n + 1) – 32n + 3 – 40n
= 8 32n + 34 + 40 = 8(32n + 3 + 5) 0,5
Để chứng minh f(n + 1) – f(n) chia hết cho 64 ta chứng minh g(n) = 32n + 3 + 5
Lại có g(1) = 248 chia hết cho 8
Giả sử g(n) chia hết cho 8 với n tự nhiên và n ≥ 1 0,5 Xét g(n + 1) – g(n) = 32(n + 1) + 3 – 32n + 3 = 32n + 3(32 – 1) = 8.32n + 3 chia hết cho 8
Vậy g(n) = 32n + 3 + 5 chia hết cho 8 và suy ra đpcm 0,5
Bài 3: (5 điểm)
Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 40 cm, BC = 30 cm Đường thẳng vuông góc với AC tại C cắt các đường thẳng AB, AD lần lượt tại E và F Tính chính xác đến 0,0001 giá trị của biểu thức
BE CF DF CE biết rằng EF = 99cm
Theo định lý Ta let ta có BE CE
AE EF (1) và
DF CF
Cộng từng vế các đẳng thức (1) và (2) được BE DF 1
Nhân cả hai vế của đẳng thức (3) AE.AF được BE.AF + DF.AE = AE.AF 0,5
Do AE AF = 2dtAEF = AC.EF nên BE.AF + DF.AE = AC.EF 0,5 Mặt khác AF2 = CF.EF và AE2 = CE.EF nên AF CF EF ; AE CE EF
nên suy ra BE CF EF + DF CE EF = AC.EF hay suy ra
1,0
Theo pitago, ta có AC = AB2BC2 402302 0,5
F
E
B A
Trang 3Ấn phím: ( 40 x2 + 30 x2 ) = Kết quả AC = 50 0,5 Nên từ (4) cho BE CF DF CE = 50 99 497,4937 (cm) 0,5
Bài 4: (5 điểm)
Tìm tất cả các cặp số tự nhiên (m ; n) thoả mãn hệ thức m2 + n2 = m + n + 8
Ta có m2 + n2 = m + n + 8 4m2 + 4n2 = 4m + 4n + 32
4m2 – 4m + 1 + 4n2 – 4n + 1 = 34
(2m – 1)2 + (2n – 1)2 = 34
2,0
Số 34 chỉ có một cách phân tích thành tổng hai số chính phương 34 = 32 + 52 1,0 Suy ra 2m – 1 = 3 ; 2n – 1 = 5 cho m = 2 và n = 3 1,0 Hoặc 2m – 1 = 5 ; 2n – 1 = 3 cho m = 3 và n = 2
Vậy chỉ có các cặp (3 ; 2) và (2 ; 3) thoả mãn đề bài 1,0
Bài 5: (5 điểm)
Cho tam giác ABC có 0
A 120 , AB = 4, AC = 6 M là trung điểm của BC Tính độ dài đoạn thẳng AM chính xác đến 0,0001
Vẽ BH AC và MK AC Áp dụng định lí Pi ta go cho tam giác vuông ABH:
BH2 = AB2 - AH2 BH = AB2 AH2
1,0
Do A 120 0 nên HAB 600và suy ra AH = 2
2
AB
Do MK là đường trung bình của tam giác BHC nên
HK = 1
2HC =
1
2(AC + AH) = 4
0,5
Lại có MK = 1
2BH = 3 nên AM
2 = AK2 + MK2 = 4 + 3 = 7 AM = 7 1,0
Bài 6: (5 điểm)
H
K
B
A
Trang 4Tính giá trị bằng độ, phút, giây của góc nhọn x thoả mãn cosx =
1
1 6 2 3 2
Để máy tính ở chế độ tính bằng độ: ấn MODE MODE MODE MODE 1
Ấn riếp SHIFT cos- 1 ( 1 ( 1 ( 6 + 2 - 3 -
2 ) x2 ) =
3
Kết quả x = 7, 5 ấn tiếp SHIFT cho KQ x = 70 30’ 2
Bài 7: (5 điểm)
Tìm các nghiệm nguyên dương x, y của phương trình 3x2 + 14y2 + 13xy = 330
Phương trình đã cho tương đương với (3x2 + 7xy) + (6xy + 14y2) = 330
x(3x + 7y) + 2y(3x + 7y) = 330 (x + 2y)(3x + 7y) = 330 (1) 1,0
Do x, y nguyên dương nên
(x + 2y)(3x + 6y) < (x + 2y)(3x + 7y) < (x + 2y)(4x + 8y)
3(x + 2y)2 < 330 < 4(x + 2y)2 (2)
1,0
Từ 3(x + 2y)2 < 330 x + 2y < 110 ; 330 < 4(x + 2y)2 x + 2y > 165
2
Nên từ (2) 165
2 < x + 2y < 110
1,0
Do x, y nguyên dương và 165
2 9,08 còn 110 10,49 nên suy ra
x + 2y = 10 (3)
1
Từ (1) và (3) suy ra
2 10
x y
x y
0,5
Bài 8: (5 điểm)
T×m c¸c sè nguyªn x vµ y tho¶ m·n 1 3
x y
TÝnh to¸n trªn m¸y và ghi được sè liÖu vào b¶ng :
4
Cã 8 cÆp sè (x ; y) = (- 5 ; - 1); (11; 1); (4; 8) 0,5
Trang 5Bài 9: (5 điểm)
Tìm một số có 4 chữ số abcd biết rằng nó là một số chính phơng chia hết cho 9 và d là một số nguyên tố
Do abcd là số chính phơng nên d chỉ có thể bằng 0 ; 1 ; 4 ; 5 ; 6; 9 1,25
Do d là số nguyên tố nên d chỉ có thể bằng 5 0,25 Khi đó abcd = x52 với x tự nhiên và 1 x ≤ 9 0,5
Do abcd 9 nên x52 9 và suy ra x5 3 0,5 Suy ra 5 3
x x
suy ra x + 5 chỉ có thể là 6, 9 hoặc 12
hay x chỉ có thể là 1, 4 hoặc 7
0,75
Khi đó x52 có thể là 225, 2025 hoặc 5625 0,75 Dùng máy tính thử lại chỉ có 2025 = 452 và 5625 = 752 thoả mãn 1,0
Bài 10: (5 điểm)
Từ đỉnh của một cỏi cõy cú treo một cỏi dõy thả xuống đất thỡ thừa một đoạn cú độ dài là 12,5
m Nếu kộo căng dõy ra thỡ đầu dõy chạm đất ở một khoảng cỏch là 15,5 m so với gốc cõy Hóy tớnh độ dài của dõy (chớnh xỏc đến cm)
Gọi a là độ cao của cõy thỡ độ dài của dõy là c - cạnh huyền của tam giỏc
vuụng cú hai cạnh gúc vuụng là a = c – 12,5 và 15,5 1,0
Áp dụng định lý Pitago: (c – 12,5)2 + 15,52 = c2 1,0 Tỡm được c =
15,5 12,5 2.12,5
1,0
Bài 11: (5 điểm)
Cho hỡnh thang ABCD (AB < CD, AB //CD) E và F lần lượt là trung điểm của AD, BC Gọi giao điểm của AD và BC là K , giao điểm của AC và BD là O, giao điểm của KO với CD là H, giao điểm của KO với AB là I Cho biết EF = 12,1234 (cm), tớnh tổng cỏc độ dài cỏc đoạn thẳng IA và DH (chớnh xỏc đến 0,0001)
O I
H
K
B A
Trang 6Phần Lời giải sơ lược Điểm
Theo định lí Ta let: IA IB
Do tam giác IOA đồng dạng với tam giác HOC nên: IA OI
HC OH (2)
Tam giác IOB đồng dạng với tam giác HOD nên: IB OI
HD OH (3)
1,0
Từ (2) và (3) suy ra IA IB
Chia từng vế của (1) và (4) với nhau cho
HC HD
HD HC hay HC
2 = HD2 HC = HD (5) 1,0
Từ (5) và (6) và do tính chất đường trung bình của hình thang suy ra
IA + DH = 1
2(AB + CD) = EF = 12,1234 3,1817.
1,0
Bài 12: (5 điểm)
Cho tam giác ABC vuông ở A Đường phân giác trong của góc B cắt AC tại D Biết BD = 7,
CD = 15 Tính độ dài đoạn thẳng AD
Vẽ DE BC và lấy K đối xứng với D qua H là giao điểm của AE và BD
Do ABD = EBD (BD chung, ABD EBD nên DA = DE, BA = BE 0,5 Suy ra tứ giác AKED là hình thoi Đặt KE = ED = AD = AK = x, HD = HK = y 0,5
y y x
x
H
E
D
K
C B
A
Trang 7Từ tam giác vuông EBD: ED2 = DH.DB hay x2 = 7y (1) 1
Do EK //AC nên ta có: EK BK
CD BD
7 2
x y
Từ (1) và (2) suy ra được 30x2 + 49x – 735 = 0 (3) 1 Giải được phương trình (3) cho x = 41
5 ; x = -5
5
6 (loại do x > 0).
Nên AD = 4.2
1
Bài 13: (5 điểm)
Cho F(n) = 16n – 15n – 1 với n và n ≥ 1
a) Tính các giá trị F(1) ; F(2) ; F(3) ; F(4)
b) Chứng minh rằng với mọi giá trị n và n ≥ 1 thì F(n) chia hết cho 125
a)
2,5 đ
Viết quy trình ấn phím áp dụng cho máy casio fx 570MS:
16 ALPHA X ─ 15 ALPHA X ─ 1 ấn tiếp CALC màn hình hiện X ?
ấn tiếp 1 = cho F(1) = 0, ấn tiếp CALC 2 = cho F(2) = 225 ấn tiếp CALC
3 = cho F(3) = 4050 và ấn tiếp CALC 4 = cho F(4) = 65475
2,0
b)
2,5 đ
Chứng minh bằng quy nạp: Ta có F(1) = 0 chia hết cho 125 0,5 Giả sử F(n) chia hết cho 125 với n và n ≥ 1 Ta chỉ cần chứng minh
Thật vậy, F(n + 1) – F(n) = 15.16n– 15 = 15(16n – 1) 0,5
Do 16n – 1 = (16 – 1).M với M + nên 16n – 1 chia hết cho 15 0,5 Suy ra F(n + 1) – F(n) chia hết cho 125 (đpcm) 0,5
Bài 14: (5 điểm)
Cho biểu thức A = 22 3
x y
a) Tính giá trị của A khi x = 0,01 và y = 1,05; x = 1,09 và y = 2,01; x = 2,19 và y = 0,18 (chính xác tới 0,0001)
b) Chứng minh rằng với x, y là hai số thực dương thì luôn tồn tại 1 trong 3 số x ; y ; A có giá trị không nhỏ hơn 2
a)
1,5đ
Kết quả tính toán cho trong bảng
1,5
Trang 8Phần Lời giải sơ lược Điểm
A 20002,857
1
3,1759 17,0837
b)
3,5đ
Gọi M là giá trị lớn nhất trong 3 số x ; y ; A Giả sử M < 2 1,0
Do M là số lớn nhất trong 3 số x ; y ; A nên 0 < x M < 2 (1), 0 < y M < 2 (2) 1,0 Lại do M là số lớn nhất trong 3 số x ; y ; A nên
M ≥ A = 22 3
x y>
2 3
2
4 2 (theo (1) và theo (2)
1,0
M > 2 mâu thuẩn với giả thiết phản chứng là M < 2 Do đó M ≥ 2 0,5
Bài 15: (5 điểm)
Hình tròn tâm O và tâm I có bán kính lần lượt là 16 cm và 4 cm tiếp xúc ngoài với nhau tại K và cùng tiếp xúc với đường thẳng d theo thứ tự tại M và tại N Tính diện tích của hình giới hạn bởi cung KM của đường tròn tâm O, cung KN của đường tròn tâm I và đường thẳng d (chính xác đến 0,0001)
Vẽ IZ Omta có MZ = NI = 4; OZ = 12 và OI = 16 + 4 = 20 0,5
Áp dụng định lý Pitago cho tam giác OIZ: IZ = OI2 OZ2 202 122 0,5 Viết quy trình ấn phím tính được IZ = 16 (cm) 0,25 sinIOZ= 16 4
20 5
IZ
Trong hình thang OIMN: sđOIN = - sin-1 4
5
0,5
K
d
N M
O
Trang 9Phần Lời giải sơ lược Điểm
Diện tích của hình thang OINM = 20.16
OM IN IZ
Viết quy trình ấn phím tính được diện tích của hình thang OIMN bằng 160 cm2 0,25
Diện tích hình quạt OKM: S1 =
2
4
16 sin
118,6938
Viết quy trình ấn phím và tính được S1 118,6938 (cm2) (để máy tính bằng
Diện tích hình quạt IKN: S2 =
2
4
5
Viết quy trình ấn phím và tính được S2 17,7144(cm2) (để máy tính bằng rad) 0,25 Suy ra diện tích của hình cần tính là:
S = diện tích OIMN – S1 – S2 160 - 118,6938 - 17,7144 23,5918 (cm2) 0,5
Bài 16: (5 điểm)
Cho phương trình 2
x x x (1) a) Viết một quy trình ấn phím giải phương trình (1) và viết kết quả chính xác đến 0,0001 b) Chứng minh rằng nghiệm tìm được ở phần a) là duy nhất
a)
2 đ
Quy trình ấn phím áp dụng cho máy fx - 570MS để giải phương trình :
2 ( 27 ALPHA X x2 + 24 ALPHA X + 28 ab/c 3 ) 0,25 = 1
+ ( 27 ab/c 2 ALPHA X + 6 ) ấn tiếp SHIFT SOLVE màn hình
xuất hiện X ? nhập một giá trị bất kỳ lớn hơn 4
9
chẳng hạn 1 ấn tiếp = SHIFT SOLVE kết quả x = 0,2222
2,0
b)
3,0 đ Điều kiện x ≥
4 9
Viết lại phương trình dưới dạng
24 9 42 3(9 4)
4 1
0,5
đặt y = 9x + 4 ≥ 0 ta có phương trình
4 1
y
0,5
Trang 10Theo bất đẳng thức côsi: 6 6
2
y
y do đó
4
2
3
y
1 + 3 6
y y
= 2y + 4
0,5
2
2
3
y
y
0,5
62
0 2
y
9x + 4 = 6 x = 2
9
Bài 17: (5 điểm)
Cho phương trình 6 8 6
3 x 2 x (2) a) Viết một quy trình ấn phím giải phương trình (2) và cho biết kết quả
c) Chứng minh rằng nghiệm tìm được ở phần a) là duy nhất
a)
2,0 đ
Quy trình ấn phím áp dụng cho máy fx - 570MS để giải phương trình :
( 6 ( 3 - ALPHA X ) ) + ( 8 ( 2 - ALPHA X )
) ALPHA = 6 SHIFT SOLVE màn hình hiện X ? nhập một giá trị bất kì
nhỏ hơn 2 chẳng hạn 1 ấn tiếp = SHIFT SOLE cho kết quả x = 1,5
2,0
b)
3,0 đ
Với x < 3
2 thì 6 2
3 x và 8 4
0,5
3 x 2 x phương trình đã cho không có nghiệm x < 3
Với 3
2 < x < 2 thì 6 2
3 x và 8 4
3 x 2 x phương trình đã cho không có nghiệm x > 3
2
Do đó phươnbg trình có nghiệm duy nhất x = 3
2
0,5
Bài 18: (5 điểm)
Trang 11Cho tam giác ABC có 0
135
A , BC = 5, đường cao AH = 1 Tính độ dài các cạnh AB và AC (chính xác đến 0,0001)
Vẽ CK AB ta có 0 0 0
180 135 45
CAK nên tam giác CAK vuông cân tại K 1,0 Đặt AB = x > 0, AK = CK = y > 0 HBA đồng dạng với KBC (gg) nên
AH AB
KC BC
1
5 5
x xy
Áp dụng pitago cho tam giác vuông BKC:
BK2 + KC2 = BC2 (x + y)2 + y2 = 25 x2 + 2xy + 2y2 = 25 (2) 1,0
Từ (1) và (2) tìm được (x ;y) = 5 ; 5 hoặc (x ; y) = 10 ; 10
2
1,0
Từ đó suy ra AB = 5 2,2361 ; AC = 10 3,1623
hoặc AB = 10 3,1623 ; AC = 5 2,2361 1,0
Bài 19: (5 điểm)
Cho biểu thức P(x) = 8
12 12 3
x x x Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình
x2 – x – 1 = 0
a) Tính các giá trị P(x1) và P(x2)
b) Chứng minh rằng P(x1) = P(x2)
a)
2 đ
Ta có x2 – x – 1 = 0
2
0
x
2
x
x1,2 = 1 5
2
Quy ttrình ấn phím tính P(x1) và P(x2) áp dụng cho máy fx - 570 MS:
( ALPHA X 8 + 12 ALPHA X + 12 ) - 3 ALPHA X ấn
CALC màn hình hiện X ? ấn tiếp ( 1 - 5 ) 2 = cho P(x1) = 4
Ấn tiếp CALC màn hình hiện X ? ấn tiếp ( 1 + 5 ) 2 = cho
P(x2) = 4
1
y
y
x
K
B
A
Trang 123 đ
Gọi x0 là một nghiệm của phương trình x2 – x – 1 = 0 thì x0 x01 và ta có
x x x
1
Và do 2
x x 4
x x 8 2 2
Do đó P(x0) = 2
9x 24x 16 3x = 3x042 3x0 0,25
Do 3x0 + 4 = 3(x0 + 1) + 1 = 3 2
0
x + 1> 0 nên P(x0) = 3x04 3x0= 4 0,25
Bài 20: (5 điểm)
Cho 2 số a = 5
8 và b =
10
389 401
a) Viết một quy trình ấn phím so sánh a và b và cho biết kết quả số nào lớn hơn
b) Bằng phép toán, hãy chứng minh kết quả ở phần a)
a)
1, 0 đ
5 ab/c 8 ─ ( 389 ab/c 401 ) 10 = - 0,112993075 < 0 nên a < b
1
b)
4,0 đ
Trước hết ta chứng minh tính chất:
Với các số a, b, m thoả mãn 0 < a < b và 0 < m < b ta luôn có a a m
b b m
a b m b a m m b a
a a m
1
Cho a = 389 ; b = 401; m = 1, ta có 389 388 97
Cho a = 389 ; b = 401; m = 3 ta có
401 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100
1
> 97
100
94
97
91
94
88
91
85
88
82
85
79
82
76
82
73
76
70
73 = 7
Lại do 7.8 > 10.5 nên 7 5
10 8 Do đó a > b (đpcm) 0,5
Bài 21: (5 điểm)
Cho tam giác ABC cân tại A có 0
36
A Tính giá trị của tỉ số AB
BC (chính xác đến 0,0001)
D
C B
A
1
2 1
Trang 13Phần Lời giải sơ lược Điểm
Vẽ tia phân giác trong BD Ta có
0 0 1
72 36 2
B A, 0
D A B Cnên tam giác ABD cân tại D, tam giác CBD cân tại B suy ra DA = DB = BC
1
Theo tính chất của đường phân giác: DA DC AC
AB BC ABBC DC AB BC.
AB BC
mặt khác DC = AC – AD = AB – BC = AB – BC (AB = BC ; AD = BD = BC) 0,5 Nên DC AB BC AB BC.
AB BC
AB.BC = AB2 – BC2 (*) 0,5 Đặt x = AB
BC > 0 từ (*) ta có x2 – x – 1 = 0 0,5 Tìm được x = 1 5
2
và x = 1 5
2
Do x > 0 nên lấy x = 1 5
2
Viết quy trình ấn phím tính được x 1,6180 0,5
Bài 22: (5 điểm)
Cho dãy số 2, 6, 30, 210, … được xác định như sau: Số hạng thứ k bằng tích của k số nguyên tố đầu tiên (k = 1, 2, 3,…) Biết rằng có hai số hạng của dãy có hiệu bằng 30000 Tìm hai số đó
Gọi hai số của dãy là a và b thoả mãn a – b = 30000 (*) Theo định nghĩa của
Suy ra a – b chia hết cho b hay 30000 chia hết cho b 1 Phân tích 30000 thành thừa số nguyên tố cho 30000 = 24.3.54 1 Nên theo cách xác định b thì b chỉ có thể là 2 hoặc 2.3 hoặc 2.3.5 1
