Tài liêu ôn HKI lớp 12 cả 3 ban./.

Ý nghĩa hình học: Nếu hàm số f có đạo hàm tại x0 và đạt cực trị tại x0 thì tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại x0; fx0 song song hay trùng với trục hoành 3... CÁC DẠNG BÀI TẬP: Dạng 1: Tìm

Trang 1

PHẦN I: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM

1.TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ.TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ.TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ.

A.TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:

I Định nghĩa

Cho hàm số y=f(x) xác định trên K

1) f đồng biến (tăng) trên K nếu với mọi x1, x2 K mà x1<x2 thì f(x1)<f(x2)

2) f nghịch biến(giảm) trên K nếu với mọi x1, x2 (a,b) mà x1<x2 thì f(x1)>f(x2)

II Định lý:

1) Cho hàm số f có đạo hàm trên khoảng I

 Nếu f x '( ) 0 xI thì hàm số f đồng biến trên I

 Nếu f x '( ) 0 xI thì hàm số f nghịch biến trên I

(Nếu f’(x) =0 tại một số hữu hạn điểm trên khoảng I thì định lý vẫn còn đúng).

B.TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ CÁC DẠNG BÀI TẬP :

Dạng 1: Xét chiều biến thiên cửa một hàm số cụ thể

Dạng 2: Chứng minh một hàm số có chứa tham số m đồng biến ( nghịch biến) trên tập xác định của nó

Dạng 3: Tìm tham số m để một hàm số đồng biến ( nghịch biến) trên tập xác định của nó Dạng 4: Tìm tham số m để một hàm số đồng biến( nghịch biến) trên một khỏang

Dạng 5: Dùng tính đơn điệu của hàm số để chứng minh bất đẳng thức

2.TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ CỰC ĐẠI VÀ CỰC TIỂU A.TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:

điểm x0 sao cho (a;b) D và f(x) < f(x0)  x ( ; )a b (x ≠ x0)

điểm x0 sao cho (a;b) D và f(x) > f(x0)  x ( ; )a b (x ≠ x0)

 f(x0) được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) hay cực trị của hàm số; x0 được gọi là điểm cực trị

2 Điều kiện cần để hàm số có cực trị:

Định lí 1:Nếu hàm số f có đạo hàm tại x0 và đạt cực trị tại điểm đó thì f’(x) = 0

Ý nghĩa hình học: Nếu hàm số f có đạo hàm tại x0 và đạt cực trị tại x0 thì tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại (x0; f(x0)) song song hay trùng với trục hoành

3 Điều kiện đủ để hàm số có cực trị:

Định lí 2:

(a;x0);(x0;b) khi đó

a) Nếu f’(x) > 0  x ( ; )a x0 và f’(x) < 0  x ( ; )x b0 thì hàm số đạt cực đại tại x0

b) Nếu f’(x) < 0  x ( ; )a x0 và f’(x) > 0  x ( ; )x b0 thì hàm số đạt cực tiểu tại x0

Nói một cách vắn tắt:

Tóm tắt lý thuyết

các dạng bài tập

Trang 2

a) Nếu khi x đi qua x0, đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm thì điểm x0 là điểm cực đại

đại

QUI TẮC 1 TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ

Định lí 3 Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp 1 trên khoảng (a;b) chứa điểm x0 ; f’(x0) = 0, f''(xo)  0 thì xo là một điểm cực trị của hàm số Hơn nữa

1) Nếu f”(x0) > 0 thì x0 là điểm cực tiểu

2) Nếu f”(x0) < 0 thì x0 là điểm cực đại

Nói cách khác:

1) f’(x0) = 0, f”(x0) > 0  x0 là điểm cực tiểu

2) f’(x0) = 0, f”(x0) < 0 x0 là điểm cực đại

QUI TẮC 2 TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ

B.TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ CÁC DẠNG BÀI TẬP:

Dạng 1: Tìm cực trị của một hàm số cụ thể

Dạng 2: Tìm tham số m để hàm số có cực trị

Dạng 4: Tìm tham số m để một hàm số đạt cực trị thoả mãn điều kiện cho trước

3.TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT –GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT

A.TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ.CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN.TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ.

1)Định nghĩa : Cho hàm số f xác định trên D ( D R)

a) Nếu  x0 D f x: ( )f x( ),0  x D thì số M=f(x0) được gọi là GTLN của hàm số f trên D

Ký hiệu M maxf(x)x D

b) Nếu  x0 D f x: ( )f x( ),0  x D thì số M=f(x0) được gọi là GTNN của hàm số f trên D

Ký hiệu mmin f(x)x D

2) Cách tìm GTLN-GTNN trên D

- Lập bảng biến thiên của hàm số trên D Dựa vào BBT để kết luận

( Nếu trên bảng biến thiên có một cực trị duy nhất là cực đại( cực tiểu) thì giá trị cực đại (cực tiểu) là GTLN(GTNN) của hàm số trên D)

3) Cách tìm GTLN-GTNN của hàm số f liên tục trên đoạn [a,b]

1 Tìm f’(x)

không có đạo hàm

3 Xét dấu f’(x) dựa vào định lí 2 để kết luận

1 Tìm f’(x)

3 Tìm f’’(x) và tính f’’(xi) và dựa vào định lí 3 để kết luận

Trang 3

+ Tìm các điểm x1,x2, , xn thuộc (a;b) tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm

+ Tính f(x1), f(x2), , f(xn), f(a )và f(b)

+ Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên

[ , ] [ , ]

max ( ) ; min ( )

a b

B.TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ CÁC DẠNG BÀI TẬP:

Dạng 1: Tìm GTLN, GTNN của một hàm số cụ thể

Dạng 2: Tìm GTLN,GTNN cho một đại lượng theo một đại lượng biến thiên khác: Thiết lập hàm số cho đại lượng đó, rồi tìm GTLN,GTNN cho hàm số đó

4.TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỒ THỊ HÀM SỐ VÀ PHÉP TỊNH TIẾN HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ

A.TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:

1 Phép tịnh tiến hệ toạ độ và công thức chuyển hệ toạ độ

Trong mp(Oxy) cho điểm I(x0;y0) Gọi IXY là hệ toạ

vectơ đơn vị ,i j với hai trục Ox, Oy M là điểm bất kì của mp, giả sử M(x;y)/(Oxy) và M(X;Y)/(IXY) Tacó:

0

x X x





 



Giả sử (C) là đồ thị hàm số y = f(x) đối với hệ Oxy Tịnh tiến hệ trục Oxy theo vec tơ OI

0

x X x





 

IXY là:

Y = (X+x 0 ) – y 0

B.TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ DẠNG BÀI TẬP:

Viết phương trình của đường cong trong hệ tạo độ mới

5.TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ TIỆM CẬN A.TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ.CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:

1) Tiệm cận ngang:

0

lim ( )

    2) Tiệm cận đứng: Đường thẳng x=x0 được gọi là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

( )

3) Tiệm cận xiên:

x

y

X

Y

Y X M

1 y

x

Trang 4

Đuờng thẳng y= ax+b (a0) được gọi là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số ( )

y= f x nếu

lim [ ( ) (ax+b)] 0

hoặc xlim [ ( ) (ax+b)] 0   f x  

Cách tìm các hệ số a, b của tiệm cận xiên y=ax+b

x

( ) lim b= lim[ ( ) ax]

x

f x

x

(Để tìm tiệm cận xiên của hàm số hữu tỉ b2/b1 ta thực hiện phép chia để viết lại hàm số)

B.TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ DẠNG BÀI TẬP:

Tìm đường tiệm cận của đồ thị hàm số

PHẦN II: ÔN TẬP KHẢO SÁT HÀM SỐ

Các bước khảo sát hàm số :

1 Tập xác định

2 Sự biến thiên

- Giới hạn tại vô cực

- Chiều biến thiên, cực trị

- Bảng biến thiên

3 Đồ thị

- Điểm uốn

- Điểm đặc biệt

- Đồ thị

1 Tập xác định

2 Sự biến thiên

- Giới hạn, tiệm cận

- Chiều biến thiên, cực trị

- Bảng biến thiên

3 Đồ thị

- Tâm đối xứng

- Giá trị đặc biệt

- Đồ thị

Sự khác biệt : Hàm đa thức không có tiệm cận, hàm hữu tỉ không cần xét đaọ hàm cấp

hai.Các dạng đồ thị hàm số:

 Hàm số bậc 3: y = ax 3 + bx 2 + cx + d (a  0))

Pt y’ = 0 có

hai nghiệm

phân biệt

2

-2

O

2

-2

Trang 5

Pt y’ = 0 có

2

Pt y’ = 0 vô

nghiệm

2

4

2

 Hàm số trùng phương: y = ax 4 + bx 2 + c (a  0))

Pt y’ = 0 có

ba nghiệm

phân biệt

-2

2

Pt y’ = 0 có

một nghiệm

2

-2

Trang 6

Hàm số y = (  0 ,   0 )



bc ad c

d cx

b ax

D = ad – bc > 0 D = ad – bc < 0

4

2

4

2

-2

' ' '

'

2









r a a b x a

r q px b

x a

c bx ax

Trang 7

a.a’ > 0 a.a’ < 0

Pt y’ = 0 có hai

nghiệm phân

biệt

2

-2

-4

O

2

-2

-4 O

Pt y’ = 0 vô

nghiệm

2

-2

O

2

-2 O

Phần III: ÔN TẬP CÁC BÀI TOÁN CÓ LIÊN QUAN Dạng 1: Biện luận số giao điểm của 2 đường (C): y = f(x) và (C’): y = g(x)

Số giao điểm của hai đường (C 1 ) y= f(x) và (C 2 ) y=g(x) là số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm của (C 1 ), (C 2 ): f(x) = g(x) (1)

Sự tiếp xúc của hai đường cong:

Hai đường cong (C1), (C2) tiếp xúc với nhau khi chỉ khi hệ sau có nghiệm:

( ) ( )











Dạng 2: Dùng đồ thị biện luận phương trình: h(x,m) = 0)

Đưa phương trình về dạng:

f(x) = m hoặc f(x) = g(m) hoặc f(x) = f(m) (1)

+ Với đồ thị (C) của hàm số y = f(x) đã được khảo sát

+ Đường thẳng (d): y = m hoặc y = g(m) hoặc y = f(m) là một đường thẳng thay đổi luôn cùng phương với trục Ox

Tuỳ theo m số giao điểm của (C) và d là số nghiệm pt (1)

Sự tiếp xúc của hai đường cong:

Hai đường cong (C1), (C2) tiếp xúc với nhau khi chỉ khi hệ sau có nghiệm:

f x f x( )'( )g x g x( )'( )





Trang 8

Dạng 3: Viết PTTT của đồ thị (C) hàm số y =f(x)

Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y = f(x) tại M0(x0;y0)  (C)

 Bước 1: Nêu dạng pttt : y – y0 = f’(x0)x x 0 (*)

 Bước 2: Tìm các thành phần chưa có x0, y0, f’(x0) thay vào (*)

Rút gọn ta có kết quả

Bài toán 2: Viết pttt của (C): y = f(x) biết hệ số góc k của tiếp tuyến.

(hay: biết tiếp tuyến song song, vuông góc với 1 đường thẳng (D) )

Bài toán 3: Viết pttt của (C): y = f(x) biết tiếp tuyến đi qua hay xuất phát từ A(xA;yA)

 Bước 1: Viết pt đường thẳng (d) đi qua A và có hệ số góc k:

y – yA = k(x – xA) (1)

 Bước 2: (d) là tiếp tuyến của (C) khi chỉ khi hệ sau có nghiệm:

'( ) (*)









 Bước 3: Giải pt f x( )f x x x'( )(  A)y Atìm x và thay vào (*) tìm k , thay vào (1) ta có kết quả

BÀI TẬP

I.TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐƠN ĐIỆU ,CỰC TRỊ, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT ,GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, TIỆM CẬN

Bài 1: Tìm khoảng đơn điệu , cực trị hàm số; khoảng lồi lõm, điểm uốn của đồ thị hàm số











y











y

Bài 2: Tìm khoảng đơn điệu , cực trị hàm số; viết phương trình các đường tiệm cận của đồ

thị hàm số:

a)

1

3 3

2





x

x x y







 1

1

2

c)

) 1 ( 2

3 3

2









x

x x y

Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất hàm số :

4 ) 2

d)

1

2





x

y trên đoạn  1 ; 2 e)

x

x y

2

ln

 trên đoạn 1 e; 3

3

4 sin

 trên đoạn 0 ;   h)y 2 os2x+4sinxc trên đoạn [0,π/2]

y x  x  trên [-2;-1/2] ; [1,3)

3









Tìm m để

a) Hàm số nghịch biến trên R

b) Hàm số đồng biến trên R

c) Hàm số có cực đại ,cực tiểu

d) Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1

Trang 9

Bài 5: Cho hàm số :

1

1 2

2









x

m mx x

Tìm m để

a) Hàm số có cực đại , cực tiểu

b) Hàm số đạt cực đại tại x = -2

c) Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định

d)Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số qua điểm A(1;2)

II.TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KSHS

Sự tương giao của hai đường:

Bài 6 Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị:

Bài 7: Tìm m để đồ thị hàm số y = (x – 1) (x2 + mx + m) cắt trục hòanh tại ba điểm phân biệt

Bài 8: Tìm m để đồ thị hàm số y = x3  xm

3

1

cắt trục hòanh tại ba điểm phân biệt

Bài 9: Tìm m để đồ thị hàm số y = x4 – 2(m + 1)x2 + 2m + 1 không cắt trục hòanh

Bài 10: Tìm m để đồ thị hàm số y = x4 – 2x2 – (m + 3) cắt trục hòanh tại 4 điểm phân biệt

Bài 11: Tìm m để đường thẳng y = mx + 2m + 2 cắt đồ thị hàm số y = 2 11





x x

a) Tại hai điểm phân biệt

b) Tại hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị

Bài 12: Tìm m để đường thẳng y = mx + m + 3 cắt đồ thị hàm số y =

1

3 3

2 2



x

x x

b) Tại hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị

Bài 13: Tìm m để đường thẳng đi qua điểm A( -1 ; -1) và có hệ số góc là m cắt đồ thị hàm

số

y = 2 21



x x

b) Tại hai điểm thuộc cùng một nhánh

Bài 14: Chứng minh rằng (P) : y = x2 -3x – 1 tiếp xúc với (C) :

1

3 2

2







x

x x

Bài 15: Tìm m sao cho (Cm) : y =

1

2





x

m x

tiếp xúc với đường thẳng y = -x + 7

Bài 16: Tìm m để đồ thị hàm số y = x3 – 3mx + m + 1 tiếp xúc với trục hòanh

Bài 17: Tìm m để đồ thị hàm số y = x4 – 2x2 + 1 tiếp xúc với đồ thị hàm số y = mx2 – 3

III.TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ DÙNG ĐỒ THỊ BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH

Bài 18: Biện luận số nghiệm phương trình:

1

y

x

=

Trang 10

2 ( 1) 1 0

1

y

x

=

1

y

x

=

-Bài 21: a) Vẽ đồ thị hàm số y= - x3 +3x2- 2 suy ra đồ thị hàm số

Bài 22: a ) Vẽ đồ thị hàm số y =

) 1 x ( 2

3 x

x2



 b) Tìm m để pt : 2x2 – 4x – 3 + 2mx - 1 = 0 có 2 nghiệm phân biệt

IV.TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Phương trình tiếp tuyến của đường cong:

Bài 23: Cho (C) : y = x3 – 6x2 + 9x – 1.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) :

a) Tại điểm uốn của (C)

b) Tại điểm có tung độ bằng -1

Bài 24: Cho (C) : y = 22





x

Viết phương trình tiếp tuyến của (C):

a) Tại giao điểm của (C ) với trục Ox

d) Tại giao điểm của hai tiệm cận

Bài 25:Cho (C ) : y =

1

2





x

x x

.Viết phương trình tiếp tuyến của (C ):

a) Tại điểm có hòanh độ x = 2

b) Song song với đường thẳng d : -3x + 4y + 1 = 0

c) Vuông góc với tiệm cận xiên

Bài 26: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C).

a) y = x3 – 3x + 2 đi qua điểm A(1 ; 0)

b) y =

2

3 3 2



 x

2

3

c) y = 22





x

đi qua điểm A(-6 ; 5) d) y =

2

5 4

2







x

x x

đi qua điểm A(2 ; 1)

IV.TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ CÁC BÀI TOÁN TỔNG HỢP:

Bài 27: Cho hàm số y = x3 + 3x2 – 4

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M0(-1; -2)

c) Chứng minh rằng điểm uốn của (C) là tâm đối xứng của nó

Bài 28: Cho hàm số y = -x3 + 3x + 1

b) Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình

x3 – 3x + m = 0

Trang 11

c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hòanh độ x0 = 1.

Bài 29: Cho hàm số y = x3 – 6x2 + 9x + 1

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đó vuông góc với đường

24

c) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số

Bài 30: Cho hàm số y = - x3 + 3x2 – 2

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng

y = - 9x + 1

c) Tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt

3

1 3 2



 x x

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(1 ; 0)

3

1 3 2



 x x x

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục hòanh

Bài 33: Cho hàm số y = x3 + x

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục tung

Bài 34: Cho hàm số y=x4- 2x2+1

Bài 35: Cho hàm số: y= - x4+2x2+2

c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm cực tiểu của đồ thị hàm số

Bài 36: Cho hàm số y =

2

3 3 2

2 4



 x x

2 3

Bài 37: Cho hàm số y= - x4+6x2- 5

b) Tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ thị (C) tại 4 điểm phân biệt

c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M0(1 ; 0)

4



 x x

Trang 12

b) Tìm m để phương trình : x4- 8x2- 4+m=0có 4 nghiệm phân biệt.

c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục tung

Bài 39 Cho hàm số y = 11





x

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (H) tại điểm M0(2 ; 3)

c) Viết phương trình tiếp tuyến của (H) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng

y = -2x + 1

Bài 40: Cho hàm số y = 2 11



x

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (H) tại điểm có hòanh độ x = -2

c) Viết phương trình tiếp tuyến của (H) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng

y = -x + 2

x

 1

2

b) Tìm trên (H) những điểm có tọa độ là các số nguyên

c) Viết phương trình tiếp tuyến của (H) tại giao điểm của (H) với trục tung

Bài 42 Cho hàm số y =

x

x 1

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (H) tại giao điểm của (H) với trục hòanh

c) Tìm m để đường thẳng y = x + m cắt (H) tại hai điểm phân biệt

Bài 43: Cho hàm số y = 44



x

b) Một đường thẳng (d) đi qua A(-4 ; 0) có hệ số góc là m Tìm m để (d) cắt (H) tại hai điểm phân biệt

c) Viết phương trình tiếp tuyến của (H) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(4 ; 4)

1

3 3

2



x

x x

c) Tìm điểm trên (C) cách đều hai trục tọa độ

x

x x



 1

1

2

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M0(0, -1)

c) Chứng minh rằng không có tiếp tuyến nào của (C) song song với tiệm cận xiên của (C)

1

) 2



x x

Tiêu đề	Đề cương ôn tập Giải Tích 12 Ban KHTN
Người hướng dẫn	Đặng Ngọc Liên, GV.
Chuyên ngành	Toán Học
Thể loại	Đề cương ôn tập

Định dạng
Số trang	18
Dung lượng	750,5 KB