Nhân từng vế hai bất đẳng thức cùng chiều mà không có giả thiết các vế không âm.. Bình phương hai vế của bất đẳng thức mà không có giả thiết hai vế không âm.. Khử mẩu khi chưa biết
Trang 1CHUYÊN ĐỀ : BẤT ĐẲNG THỨC
I) Lý thuyết :
ĐN : Nếu a > 0 ; b > 0 ; và a > b thì a – b > 0 Tính chất :
Nếu a > b thì a + c > b + c Nếu a > b và b > c thì a > c Nếu a > b + c a – c > b Nếu a > b và c > d a + c > b + d Nếu a > b a.c b.ca c b c nếu c. . nếu c00
Nếu a > b > 0 và c > d > 0 ac > bd Nếu a > b, n nguyên dương an > bn
Nếu a > b, n nguyên dương n a n b
Nếu a b, 0 và a2 b2 a b a b
Nếu a > b , a.b > 0 1a 1b
Nếu a > 1 ; m và n nguyên dương m > n am > an
Nếu 0 < a < 1 ; m và n nguyên dương m > n am < an
* Bất đẳng thức Cauchy : Cho a1, a2, a3, …………,an là các số không âm Khi đó :
n
n
a a
a a
.
3 2 1 3
2 1
2) Dấu bằng xãy ra trong (1) khi a1 = a2 = a3 = ………= an
* Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-ski : Cho a1, a2, a3, …………,an và b1, b2, b3,…………bn là 2n số bất kỳ Khi đó ta có
2 2 1 1 2 2
2
2 1 2 2
2
2
1 a a n b b b n a b a b a n b n
2) Dấu bằng xãy ra khi :
n
n
b
a b
a b
a
2
2 1 1
* Bất đẳng thức Trê-bư-sep : Cho hai dãy tăng a1< a2 < a3 < …….< an và b1< b2 < ………< bn Khi đó ta có :
1) ( a1 + a2 + ………… + an) ( b1+ b2 +……… +bn) n(a1b1 a2b2 a n b n
2) dầu bằng xãy ra khi chỉ khi : a1 = a2 = ………… = an hoặc b1= b2 =……… =bn
Chú ý : Cần tránh các sai lầm sau :
Trừ từng vế hai bất đẳng thức cùng chiều.
Nhân từng vế hai bất đẳng thức cùng chiều mà không có giả thiết các vế không âm.
Bình phương hai vế của bất đẳng thức mà không có giả thiết hai vế không âm.
Khử mẩu khi chưa biết dấu của biểu thức dưới mẩu.
Nghịch đảo hai vế và đổi chiều bất đẳng thức khi chưa có giả thiết hai vế cùng vế.
Thừa nhận x m > x n với m , n nguyên dương và m > n khi chưa biết điều kiện của x.
Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức
Phương pháp : Dùng định nghĩa.
Trang 2 Phương pháp : Biến đổi tương tương.
Phương pháp : Làm trội.
Phương pháp : Phản chứng.
Muốn chứng minh một bất đẳng thức ta phải dựa vào những bất đẳng thức đúng dã biết.
Chú ý : ( Ghi nhớ )
2)
a
Dấu xảy ra a
Dấu xảy ra a
Bài 1 : Chứng minh rằng : (a + b)2 4ab Với mọi a,b R
HD : ( a + b )2 – 4ab 0
Bài 2 : Chứng minh rằng : V i moi a,b 0
2
a b ab ớ ï
Bài 3 : Chứng minh rằng : a b 2 2a2 b2
Bài 4 : Chứng minh rằng : x2 2y2 z2 2xy 2yz
Bài 5 : Chứng minh rằng : a2 b2 c2 3 2 a b c
4
Bài 7 : Chứng minh rằng : 4a4 5a2 8a3 2a 1
Bài 8 : Chứng minh rằng : a2 b2 c2 d2 e2 a b c d e
Bài 9 : Chứng minh rằng : a21b2 b21c2c21a2 6abc
Bài 10 : Chứng minh rằng : a4 34a
Bài 11 : Chứng minh rằng :
2 2
1
x x
Bài 12 : Cho a >2, b> 2 Chứng minh rằng : ab > a + b
HD : Do a >2 và b>0 nên 2a > ab , Tương tự 2b > ab , ta cộng từng vế ta được điều cần chứng
minh
Bài 13 : Với mọi a,bR Chứng minh rằng : (a 2b )2 ab
HD : (a 2b )2 ab ( a + b )2
4ab mở rộng thêm ta có thể CMR : (a3bc )3 abc Bài 14 : Cho x >0 , y >0 Chứng minh rằng : 1x 1y x4y
( dấu bằng xãy ra khi nào )
HD : ta chứng minh bất đẳng thức sau : 11(x y) 4
y
x ta dùng bất đẳng thức Cauchy x+y 2 xy ; 1x1y 2xy ( dấu bằng xãy ra khi x = y )
Bài 15 : Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác
Chứng minh : a2 + b2 + c2 < 2( ab+bc+ca)
HD : ta có : a < b + c => a2 < a( b+c) = ab + ac
b < a +c => b2 < b (a+c) = bc + ab
Trang 3c < b + a => c2 < c ( b+a) = cb +ca
Ta cộng từng vế ta có : a2 + b2 + c2 < 2( ab+bc+ca) Bài 16 : Chứng minh rằng : với mọi số thực a,b,c ta có các bất đẳng thức sau :
a) a2 + b2 + c2 ab + bc + ca b) a4 + b4 a3b + ab3 (*) với a>0, b>0
HD : a) a2 + b2 2ab ; a2 + c2 2ac ; b2 + c2 2bc ta cộng từng vế với nhau ( ĐPCM) b) (*) a4 + b4 - a3b - ab3 0
a4 + b4 - a3b - ab3 = (a4 – a3b) – (ab3 – b4) = a3(a – b) – b3(a – b) = (a –b) ( a3 – b3)
= (a-b)2 ( a2+ab+b2) 0 (Do ĐK)
Bài 17 : Cho x>0, y>0 Chứng minh rằng : x2+y2+1 xy+x+y
HD : Dùng Cauchy : x2+y2 2xy ; x2+ 1 x ; y2+1 y Ta cộng từng vế ( ĐPCM) Bài 18 : Chứng minh rằng : a4 + b4+c2 + 1 2a( ab2 – a + c +1)
HD : Tương tự như bài 7
Bài 19 : Cho ba số thực a, b, c sao cho: a2+b2+c2 = 1
2
1
HD : (a+b+c)2 0 2( ab + bc + ca) -( a2+b2+c2) = -1 ab + bc + ca 21 (1)
Do bài 6 ta CM : a2 + b2 + c2 ab + bc + ca 1 ab + bc + ca (2)
Từ (1) và (2) ĐPCM
Bài 20 : Cho p > 0 ; q > 0 Chứng minh rằng : (p+2) (q+2) (p+q) 16pq
HD : Dùng Cauchy cho từng cặp sau đó nhân từng cặp ra kết quả ( ĐPCM)
Bài 21 : Cho a, b, c là ba số không âm Chứng minh rằng : (a+b)(b+c)(c+a) 8abc
HD : Dùng Cauchy cho từng cặp sau đó nhân từng cặp ra kết quả ( ĐPCM)
Bài 22 : Cho a,b,c là ba số dương CMR : (a+b+c)(111) 9
c b a
HD : Dùng Cauchy cho từng cặp sau đó nhân từng cặp ra kết quả ( ĐPCM)
a+b+c 33 abc; (1 11) 3
c b
1
abc
Bài 23: Với a>0; b>0; c>0 Hãy chứng minh các bất đẳng thức sau:
a
bc c
ab
2
b
ca a
bc c
ab
a c
bc ab a
bc c
ab
2 2
.
.
b a
ca bc b
ca a
bc
2 2
.
.
b
ca c
ab
2
Bài 24 : Cho a>0 ; b>0 ; CMR : a3 +b3 a2b + ab2
a2b + ab2 a b
ab
b a
3
Bài 25: Cho a>0, b>0, c>0 Chứng minh rằng : a b c
ca
a c bc
c b ab
b a
2 2
2
3 3 3 3 3 3
HD : a32abb3 b32bcc3c32ca a3 = 21 (a3abb3b3bcc3 c3caa3 ) 21 (a+b)+(b+c)+(c+a)
Bài 26: Cho a, b, c thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 3 ; Chứng minh rằng : ab + bc + ca + a + b + c
6
HD : ta có 2( a2 + b2 + c2 ) 2 ( ab + bc + ca ) ( a2 + b2 + c2 ) ( ab + bc + ca )
ab + bc + ca 3 (*) ; Tương tự : a2 + 1 2a ; b2 + 1 2b ; c2 +1 2c
a2 + b2 + c2 + 3 2 ( a + b + c ) a + b + c 3 (**)
Từ (*) và (**) suy ra : ab + bc + ca + a + b + c 6
Trang 4Bài 27 : Chứng minh rằng : 2( a3 + b3 + c3 ) a2(b+c)+b2(c+a)+c2( a+b) a,b,cR
HD : a3 +b3 ab ( a+b) ; b3 + c3 bc(b+c) ; a3 + c3 ac( a+c) cộng từng vế với nhau ta suy ra được điều cần chứng minh
Bài 28 : Chứng minh rằng : a4 + b4+ c2 +1 2a ( ab2 – a + c + 1) a,b,cR ; “dấu bằng xãy ra khi nào”
HD : ta có (a2 + b2)2 = a4 + b4 – 2a2b2 0 dấu bằng xãy ra khi a=b
Bài 29 : Cho a, b >0 Chứng minh rằng a2 + b2 a + b - 21
HD :( a - 21 )2
0 a2
a - 41 ; Tương tự b2 b - 41 Bài 30 : Cho a, b, c > 0 chứng minh rằng : a2 + b2 + c2 + d2+1 a + b + c + d
HD : a2 + b2 + c2 + d2+1 –( a + b + c + d) 0
a2 + b2 + c2 + d2+1 –( a + b + c + d) ( a - 21 )2 + ( b -12 ) 2 + ( c -12 ) 2 + ( d -21 ) 2 0
Phương pháp làm trội :
n n n n ;
Tương tự ta có 1 1
2n1 1 2 1n
1 1
2n 2n Do đó suy ra điều cần chứng minh.
Bài 32 : : 1 1 1 1
1 2 3 n n Với n; n1
Bài 33 : :
2 1 3 2 4 3 n1 n Với n; n1
Phương pháp phản chứng :