10 ĐỀ THI HSG TOÁN 7

Mà AB cũng là phân giác ngoài tại đỉnh L của tam giác LDK Hay CL vuông góc với AB tại L Chứng minh tương tự : BK vuông góc với AC tại K d Chứng minh được IAJ  2BAC không đổi *AIJcân tạ

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO

THANH OAI

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI OLYMPIC LỚP 7 Năm học 2014-2015

Môn thi: Toán

Thời gian làm bài: 120 phút

(không kể thời gian giao đề)

Câu 1: (6,0 điểm) Tìm x biết

ĐÁP ÁN HSG 7 THANH OAI 2014-2015 Câu 1

Xét khoảng x 4, ta có (1) trở thành:  2x    7 x 3,5(không thuộc khoảng đang xét)

3

x có giá trị nhỏ nhất bằng 5 tại x2Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của B bằng – 6 tại x 2

Câu 4

a) Do AB; AC là trung trực của AB

Nên AI = AD; AD=AJAI AJ AIJ cân tại A

   là tia phân giác của LDK

c) Chứng minh được KC là phân giác ngoài tại đỉnh K của tam giác DLK Chứng minh được DC là phân giác ngoài tại đỉnh D của tam giác DLK Suy ra LClà tia phân giác trong tại đỉnh L của tam giác DLK

2

2 1 1

K L

J

I

D A

Mà AB cũng là phân giác ngoài tại đỉnh L của tam giác LDK

Hay CL vuông góc với AB tại L

Chứng minh tương tự : BK vuông góc với AC tại K

d) Chứng minh được IAJ  2BAC (không đổi)

*AIJcân tại A có IAJ không đổi nên cạnh đáy IJ nhỏ nhất nến cạnh bên AI nhỏ nhất Ta có AI ADAH(AH là đường vuông góc kẻ từ A đến BC) Xảy ra dấu đẳng thức khi và chỉ khi DH

Vậy khi D là chân đường vuông góc hạ từ A xuống BC thi IJ nhỏ nhất

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

VIỆT YÊN

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

NĂM HỌC 2012-2013 MÔN THI: TOÁN

Thời gian làm bài: 120 phút

xAy có tia phân giác Az Từ điểm B trên Ax kẻ BH vuông góc với Ay tại

H, kẻ BK vuông góc với Az và Bt song song với Ay, Bt cắt Az tại C Từ C kẻ CM vuông góc với Ay tại M Chứng minh:

a) K là trung điểm của AC

b) KMClà tam giác đều

ĐÁP ÁN HSG TOÁN 7 VIỆT YÊN 2012-2013 Câu 1

2) Gọi tổng số gói tăm 3 lớp cùng mua là x (x là số tự nhiên khác 0)

Số gói tăm dự định chia cho 3 lớp 7A, 7B, 7C lúc đầu là a, b, c

nên lớp 7C nhận nhiều hơn lúc

đầu , Vậy c c ' 4hay

B

ĐÁP ÁN HSG TOÁN 7 HẠ HÒA NĂM 2010-2011 Bài 1

  với mọi x, y nên A2010.

Dấu “=” xảy ra khi 2; 20

5

x y 

Vậy GTNN của A là Amin  2010 khi 2; 20

K

B

C A

PHÒNG GD & ĐT

TRƯỜNG THCS ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2014-2015

MÔN: TOÁN 7 (Thời gian làm bài: 120 phút) Bài 1 (4 điểm)

x





 Tìm số nguyên x để M đạt giá trị nhỏ nhất b) Tìm x sao cho

a) K là trung điểm của OC

b) KMClà tam giác đều



 nhỏ nhất Xét x  15 0thì 27 0

15

Xét x  15 0thì 27 0.

15

27 15

x nhỏ nhất khi x 15 0Phân số 27

M  O MKC    KMCđều c) OMCvuông tại MMCOnhọnOCPtù (Hai góc MCO OCP; bù nhau)

Xét trong OCPcó OCPtù nên OP > OC

M

H

C

PHÒNG GD & ĐT THANH OAI

Năm học 2013-2014

Môn thi: TOÁN

Bài 1 (5 điểm) Cho dãy tỉ số bằng nhau:

Bài 3 (3 điểm) Tìm xbiết:

Bài 5 (7 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A (AB > AC) Tia phân giác góc B

cắt AC ở D Kẻ DH vuông góc với BC Trên tia AC lấy điểm E sao cho AE = AB Đường thẳng vuông góc với AE tại E cắt tia DH ở K Chứng minh rằng:

ĐÁP ÁN HSG 7 THANH OAI NĂM 2013-2014 Bài 1

C B

TRƯỜNG THCS XUÂN DƯƠNG

ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN CẤP HUYỆN

Năm học : 2013-2014 Môn: Toán 7 Câu 1 (6 điểm)

Cho tam giác ABC vuông ở A có góc C bằng 0

30 Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho góc BCM bằng 2

3góc ACB, trên cạnh AC lấy điểm N sao cho góc CBN bằng 2

3góc ABC Gọi giao điểm của CM và BN là K

ĐÁP ÁN HSG TOÁN 7 XUÂN DƯƠNG 2013-2014 Câu 1

a) Trong dãy số có

6 3

81 0

9   do đó tích bằng 0 b) Ta có x  2 1

5 x

 mà

10

5 xcó tử không đổi nên phương trình có giá trị lớn nhất

khi mẫu nhỏ nhất 5 x là số nguyên dương nhỏ nhất khi 5    x 1 x 4

DCE ABC  DCEđều

3) Xét tam giác vuông ANB có 0 0 0 0

F

K

N M

B

A

C

PHÒNG GD&ĐT TAM DƯƠNG ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI

NĂM HỌC 2016-2017 MÔN: TOÁN 7 Câu 1 (2,0 điểm)

CBx , trên tia Bx lấy điểm A sao cho độ dài đoạn thẳng BM và BA tỉ lệ với

1 và 2 Lấy điểm D bất kỳ thuộc đoạn thẳng BM Gọi H và I lần lượt là hình chiếu của B và C trên đường thẳng AD Đường thẳng AM cắt CI tại N Chứng minh rằng: a) DN vuông góc với AC

b) 2 2

BH CI có giá trị không đổi khi D di chuyển trên đoạn thẳng BM

c) Tia phân giác của góc HIC luôn đi qua một điểm cố định

Câu 5 (1,5 điểm)

a) Tìm các số nguyên tố p thỏa mãn 2

2p p là các số nguyên tố b) Trong một bảng ô vuông gồm có 5 5  ô vuông, người ta viết vào mỗi ô vuông chir một trong 3 số 1;0; 1  Chứng minh rằng trong các tổng của 5 số theo mỗi cột, mỗi hàng, mỗi đường chéo phải có ít nhất hai tổng số bằng nhau

ĐÁP ÁN ĐỀ HSG TOÁN 7 TAM DƯƠNG 2016-2017 Câu 1

3x 2lớn nhất khi 3x2nhỏ nhất Mà xnguyên, 3x2dương và 3x 2chia 3 dư

b) Ta thấy đa thức f x( )nếu có nghiệm xa(a khác 0) thì x acũng là một nghiệm của f x( )nên f x( )có 2m nghiệm

Mà đa thức f x( )có đúng ba nghiệm phân biệt nên một trong ba nghiệm sẽ bằng

0 Thay x 0vào đa thức đã cho ta được: 2

Câu 4

a) Từ M kẻ tia My vuông góc với BC và cắt tia Bx tại A’

Tam giác BMA’ vuông cân tại M nên MB BA: ' 1: 2 

Suy ra AA'nên AM vuông góc với BC

Tam giác ADC có AM và CI là đường cao nên N là trực tâm của tam giác ADC Suy ra DN vuông góc với AC

b) Ta có AMB AMC c g c( )nên AB = AC và góc 0

45

ACBTam giác ABC vuông cân tại A và có 0

90

BAH ACI  CAH

H, I là hình chiếu của B và C trên AD nên H=I=900

Suy ra AIC BHA c h g n(  ) BH AI

HIC HIM MIC IMlà tia phân giác HIC

Vậy tia phân giác của HICluôn đi qua điểm M cố định

Câu 5

a) Với p 2thì 2

2p p    4 4 8không là số nguyên tố Với p 3thì 2

2p p    8 9 17là số nguyên tố Vơi p 3thì p là số nguyên tố nên p lẻ nên 2 1

2p  2 k  2(mod 3)

N I

H

A

M B

C D

2p p là hợp số Vậy với p 3thì 2

2p p là số nguyên tố

b) Ta có 5 cột, 5 hàng và 2 đường chéo nên sẽ có 12 tổng

Mỗi ô vuông chỉ nhận một trong 3 số 1;0 hoặc – 1 nên mỗi tổng chỉ nhận các giá trị từ - 5 đến 5 Ta có 11 số nguyên từ - 5 đến 5 là – 5; - 4 ; ….;0;1;….5

Vậy theo nguyên lý Dirichle phải có ít nhất hai tổng bằng nhau (đpcm)

PHÒNG GD & ĐT TÂN LẠC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

NĂM HỌC 2015-2016 MÔN: TOÁN LỚP 7 Bài 1 (4 điểm)

ĐÁP ÁN HSG TOÁN 7 TÂN LẠC 2015-2016 Bài 1

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x 2014 2016 x 0, suy ra 2014  x 2016(2)

Từ (1) và (2) suy ra A 2 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x 2015

Bài 3

4x   3 29  4x  32 x    8 x 2Thay vào tỉ lệ thức ta được: 2 16 25 49 25 49 2

Mặt khác AEFcó AN vừa là đường cao, vừa là đường phân giác nên cân tại A, suy ra EMFA Mà BDEMFA(đồng vị) nên BDEE, Do đó BDE cân tại B, suy ra BD = BE (2)

E  A EBA do đó CBEcân tại CCBCE

Gọi F là trung điểm CDCBCECFFD

1

2 1

2 1

2

1

3 2 1

Tam giác CEF cân tại C, lại có 0 0

THCS Tam Hưng ĐỀ THI OLYMPIC

Bài 5 (5 điểm)

a) Cho tam giác ABC, vẽ đường cao AH Vẽ ra phía ngoài của tam giác

ABD ACE ABDACE

1) Qua C vẽ đường thẳng vuông góc với BE cắt đường thẳng AH tại

K Chứng minh CD vuông góc với BK 2) Chứng minh ba đường thẳng AH BE CD, , đồng quy b) Cho hai điểm B và C nằm trên đoạn thẳng AD sao cho AB = CD Lấy điểm M tùy ý trong mặt phẳng Chứng minh rằng MA MD MB MC

ĐÁP ÁN HỌC SINH GIỎI 7 TAM HƯNG 2013-2014 Bài 1

a) Chỉ rõ được x  5 0;1; 2, chỉ rõ từng trường hợp và kết luận đúng

- Trường hợp có 1 số âm tính được x  4

- Trường hợp có 3 số âm tính được x  3





b) Biến đổi được 3 n m  4 4

Xác định được tích 2 số nguyên bằng 4 có 6 trường hợp

Suy ra điều phải chứng minh

b) Cộng vế theo vế suy được điều cần chứng minh

*Trường hợp MAD, Gọi I là trung điểm của BC

Trên tia đối của tia IM lấy điểm N sao cho IMINvà ta có IBIC

AB IB IC CD

*Chứng minh được IMA IND c g c( ) MAND

- Điểm C nằm trong MDNchứng minh được ND MD NCMC

- Chứng minh IBM  ICN c g c( )suy ra MA MD MB MC

TRƯỜNG THCS BÍCH HÒA

ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN 7 Năm học: 2013-2014 Câu 1 (5 điểm) Cho a c

C , đường cao AH Trên đoạn HC lấy điểm

D sao cho HDHB Từ C kẻ CE vuông góc với AD Chứng minh:

a) Tam giác ABD là tam giác đều

b) AH CE

c) EH song song với AC

ĐÁP ÁN HSG TOÁN 7 BÍCH HÒA 2013-2014 Câu 1

A

C

Suy ra DE = DH Tam giác DEH cân ở D

Hai tam giác cân ADC và DEH có : ADCEDH(hai góc đối đỉnh ) do đó

ACDDHEở vị trí so le trong , suy ra EH/ /AC