Luận văn sư phạm Các cấu trúc tự do và bài toán phân tích

Cho M là R- môđun... Ch ng minh:... Sinh viên Nguy n th Hà.

L i c m n

Trong quá trình nghiên c u th c hi n khóa lu n: “ Các c u trúc t do vƠ bài toán phân tích ” cùng v i s c g ng c a b n thân, em đã nh n đ c s

h ng d n,giúp đ t n tình c a th y giáo V ng Thông ng th i em c ng

nh n đ c s giúp đ , đ ng viên c a các th y, cô và c a các b n sinh viên trong khoa toán

Em xin g i l i c m n sâu s c t i th y V ng Thông đã giúp đ và h ng

d n t n tình đ em hoàn thành t t khóa lu n c a mình

Em xin chân thành c m n ban ch nhi m khoa toán các th y cô giáo và các b n sinh viên trong khoa đã t o đi u ki n, giúp đ em hoàn thành khóa lu n này

Em xin chân thành c m n !

Hà N i, tháng 5 n m 2009

Sinh viên

N guy n Th Hà

L i cam đoan

Khóa lu n này là k t qu c a b n thân em trong quá trình h c t p và nghiên c u bên c nh đó em đã nh n đ c s quan tâm giúp đ c a các th y cô giáo trong khoa toán đ c bi t là s h ng d n t n tình c a th y V ng Thông

Trong khi nghiên c u hoàn thành khóa lu n này em có tham kh o m t s tài li u đã ghi trong ph n tài li u tham kh o Vì v y em xin kh ng đ nh đ tài : “

các c u trúc t do vƠ bƠi toán phơn tích ”.không có s trùng l p v i đ tài c a

M c l c

Trang

L i nói đ u 5

Ch ng 1.nh ng ki n th c chu n b 6

1.1 phép toán đ i s 2-ngôi 6

1.2 Nhóm 6

1.3 Nhóm abel 6

1.4 Nhóm xyclic 7

1.5 C p c a nhóm,c p c a m t ph n t 8

1.6 Nhóm con 9

1.7 nh lý Lagrage 9

1.8 Nhóm con sylow 10

1.9 Nhóm con chu n t c 10

1.10 Tích tr c ti p, t ng tr c ti p 10

Ch ng 2 Các c u trúc t do 12

2.1 Nhóm t do 12

2.1.1 nh ngh a 12

2.1.2 Tính ch t 12

2.2 Nhóm abel t do 17

2.2.1 nh ngh a 17

2.2.2 Tính ch t 18

2.3 Nhóm abel h u h n sinh 22

2.3.1 nh ngh a 22

2.3.2 Tính ch t 22

2.4 Nhóm các đ ng c u nhóm 23

2.4.1 nh ngh a 23

2.4.2 Tính ch t 23

2.5 Nhóm gi i đ c 27

2.5.1 Chu i chu n t c 27

2.5.2 Chu i h p thành 27

2.5.3 nh ngh a nhóm gi i đ c 27

2.5.4 Tính ch t 27

2.6 Mô đun t do 29

2.6.1 Môđun sinh b i m t t p,t p sinh 29

2.6.2 T p đ c l p tuy n tính và ph thu c tuy n tính 29

2.6.3 C s c a Môđun 29

2.6.4 nh ngh a và ví d môđun t do 30

2.6.5 Các đi u ki n t ng đ ng 30

Ch ng 3.Bài toán phân tích 32

3.1 S phân tích nhóm 32

3.2 S phân tích c a các nhóm xyclic 33

3.2.1 S phân tích c a nhóm xyclic vô h n 33

3.2.2 S phân tích c a các nhóm xyclic h u h n 34

3.3 S phân tích nhóm abel 36

3.4 S phân tích nhóm abel h u h n sinh 39

K t lu n 45

Tài li u tham kh o 46

L i nói đ u

i s là m t nghành chi m v trí quan tr ng trong khoa h c toán h c Nó

là c s c a nhi u nghành toán h c khác nh : đ i s tuy n tính, gi i tích,

ph ng trình đ o hàm riêng…Tuy nhiên đ đi sâu nghiên c u v đ i s c n có

nh ng hi u bi t sâu s c v c u trúc đ i s

i t ng ch y u c a c u trúc đ i s là nhóm, vành, tr ng ,…trong đó

l p các c u trúc t do là m t trong nh ng khái ni m quan tr ng c a đ i s hi n

đ i nghiên c u sâu v l p c u trúc này ngoài các khái ni m thông th ng v nhóm, nhóm con,…còn có các khái ni m tích tr c ti p, t ng tr c ti p c a các nhóm, s phân tích c a nhóm, nhóm abel, nhóm abel h u h n sinh,…qua đó s cho ta m t cái nhìn t ng quát h n v c u trúc c a các l p c u trúc t do

Vì t t c nh ng ý ngh a trên,và nh có s đ ng viên, ch b o, h ng d n c a th y

V ng Thông em đã m nh d n ch n đ tài: “ các c u trúc t do vƠ bƠi toán phân tích ”

V i mong mu n đ c nghiên c u và tìm hi u sâu h n v b môn đ i s

và b c đ u làm quen v i công tác nghiên c u khoa h c

N i dung c a khóa lu n g m 3 ch ng:

Ch ng 1: Nh ng ki n th c chu n b

Ch ng 2: Các c u trúc t do

Ch ng 3 : bài toán phân tích

M c dù đã có nhi u c g ng song do đi u ki n v th i gian và kinh

nghi m nghiên c u c a b n thân còn nhi u h n ch nên khóa lu n c a em không

th tránh kh i nh ng thi u sót.vì v y em r t mong nh n đ c s đóng góp ý ki n

c a các th y cô giáo và các b n sinh viên đ khóa lu n c a em đ c hoàn thi n

h n

Hà N i, tháng 5 n m 2009

Cho X là m t t p khác r ng tùy ý Trên X ta xác đ nh m t phép toán đ i

s 2-ngôi kí hi u () X là m t nhóm khi và ch khi:

M t n a nhóm X là nhóm khi và ch khi ph ng trình ax  b và ya  b có nghi m trong X,  a b ,  X

+) Cho a là s t nhiên không chia h t cho 1 s nguyên t p thì

Theo đ nh ngh a trên thì khi nói đ n các l p ghép c a 1 nhóm con chu n

t c ta không c n phân bi t các l p ghép trái hay ph i

g: S  X , X là nhóm thì t n t i duy nh t đ ng c u nhóm h: F  X sao cho

hf = g, t c là s đ tam giác sau giao hoán

Ch ng minh:

*) f là đ n ánh:

Th t v y  b a,  S, a b ch n X là nhóm có nhi u h n m t ph n t Ch n

g : S  X sao cho g(a)  g(b)

theo đ nh ngh a nhóm t do thì ! đ ng c u h: F  X sao cho hf = g

 hf(a) = h[f(a)] = g(a)  g(b) =hf(b) = h[f(b)]

f(a)  f(b) vì h là ánh x v y f là đ n ánh

Gi s A F và A = < f(S) >, ánh x f sinh ra phép nhúng

g : S  A

đó t n t i đ ng c u j : F  F’ sao cho jf = f’ và t n t i đ ng c u k: F’  F sao

cho kf’ = f t c là 2 s đ tam giác sau giao hoán

J: F  F’ sao cho jf = f’ t c là s đ tam giác sau giao hoán

'

f j ! jk

) ( a2 

k ( )  =     1

 k = h

Nh n xét : Do f: S  X là m t đ n ánh, nên đ ng nh t S v i f(S)

 S  F và F = < S >

M i ánh x g: S  X đ u m r ng duy nhát thành đ ng c u

Gi s X là nhóm xyclic c p n sinh b i a  X khi đó X hoàn toàn xác

Cho S là m t t p h p, ta g i là nhóm abel t do trên t p S, m t nhóm abel

F cùng v i ánh x f: S  F sao cho v i m i ánh x g:S  X , X là nhóm abel thì t n t iduy nh t đ ng c u h: F  X âsao cho hf = g, t c là s đ tam giác sau giao hoán

Kí hi u (x) = < {aba-1b-1, a,b  X}> là nhóm con c a x đ c sinh b i t p các hoán t c a X , g i là nhóm con hoán t c a nhóm x

Ta c ng có nhóm th ng X  x là nhóm abel

Ta đi xây d ng nhóm abel F nh sau:

Cho S là t p h p b t kì, gi s (G, j)là nhóm t do xác đ nh trên S khi đó t n t i nhóm abel G G = F

a 2

2 n

a 2

2 n

a … n m

m

a ) =    1

1 n

a

2 n

a

m

a k

Vì ailà hoán t ai = aba-1b-1,  b a,  G

          1  1

 k ai k a k b k a k b =         1  1

b k b k a k a

x x



S s





 = h     h  ,  s  S

* s S  hf s hf s  f    s t g t g   s g s hf g

T t

s f s

s

s f h s s

f s h

=    s h f s      s g s h 

S s S

nh lý 2.8 :

M i nhóm abel đ u đ ng c u v i nhóm th ng c a nhóm abel t do T p sinh S đ c g i là c s , Kí hi u là FS

F h S

N u (k+ k’) > n – 1, gi s (k + k’ ) = n+ l v i  l  n   k  k '  l

2 0

Khi đó f   k  k '  f k  k '  f l  lx  x  lx  nx  lx n  lx

k  k'x  kx  k'x  f k  f k'  f  HomZn, X

V y  là đ ng c u

    '   '   '      ' '  '

a f gh a

ghf a

f h g a f h



 '  '

a f gh ghf 

Hom(1A, 1B)(h) = 1Ah1B = h = 1Hom(A, B)(h) Hom1A, 1B 1HomA,B

* ta có Hom(ff’, gg’) : Hom(A, B)  hom(A’’, B’’)

Hom(ff’, gg’) = Hom(f’, g’)Hom(f,g)

Ta có th minh ho k t qu này b ng s đ sau:

Cho m t nhóm G b t kì, th nào c ng t n t i nhóm con chuân t c G1c a

nó, đ n l t nó l i t n t i nhóm con chu n t c G2c a G1, c nh v y s có {e} =

E = Gs là nhóm con chu n t c c a Gs-1, t đó d n đ n kháI ni m chu i chu n t c

Ta g i là chu i chu n t c c a nhóm G , m t chu i chu n t c

G = G0  G1   Gs  E sao cho Gi+1  Gi  i  0 , s  1

Chú ý: V i nhóm G đã cho có th có nhièu chu i chu n t c khác nhau

2.5.2 Chu i h p thành

Ta g i là chu i h p thành c a nhóm G m t chu i chu n t c

G = G0  G1   Gs  E sao cho Gi+1 là nhóm con chu n t c t i đ i c aGi

1 ,

G

G G

G là nhóm xyclic

2) Các nhóm đ i x ng S2, S3, S4 là nhóm gi I đ c

Th t v y: S2 là nhóm xyclic c p 2  VD  1

S2là nhóm gi I đ c Xét S3: S3  A3  e

        

  

, 12 3424

13 , 23 14

Gi s M là R – Môđun, S  M, giao c a t t c các môđun con c a M

ch a S đ c g i là môđun con c a M sinh b i t p S

kí hi u là R(S) hay (S) ta nói S là m t t p sinh c a R(S), hay S sinh ra R(S), R(S) chính là môđun con nh nh t c a M ch a S, n u (S) = M thì S là t p sinh

i i i I

J i

i i I

Ví d 2 M i Z- môđun t do đ c g i là nhóm abel t do

Gi s M là nhóm xyclic b t kì, v i phép toán c ng thì M là Z- môđun

Gi s M = (a) = {na | n } thì M là Z- môđun t do v i c s {a}, c th Z là nhóm abel t do v i c s là {1} ho c {-1}

Ví d 3 Nhóm c ng các s h u t Q không là Z- môđun t do Th t v y

Cho M là R- môđun M là môđun t do v i c s U các phàn t x c a

M bi u di n duy nh t d i d ng x = a r ai U ri R

m i i





, ,

i

i x u x

i

R u a R

u R

u a

¹

¹

, ,

, x x R x

u x

u

j i i i j

i x u x u

Do U là đ c l p tuy n tính nên xi = 0, xj = 0

T đó A = uiR uiR R

I i







,

ii  Gi s A = Ai Ai R

I i

: R Ai i I



Khi đó {i 1 | i I} là c s c a A th t v y, do  i là đ ng c u nên  i là Toàn c u nên  i R  A imà A A i R

I i i I i

i i J

N u X phân tích đ c thành tích tr c ti p c a 2 nhóm con chu n t c A và

B đ 1

Gi s p là s nguyên t ,m   Khi đó nhóm c ng m

p

 các s nguyên mod m

Nh n xét: M i nhóm xyclic nguyên s c p m

p đ u đ ng c u v i  p m  m i nhóm xyclic nguyên s đ u không phân tích đ c

  thì    n pm1   r 1 đ nh lý đúng

Gi s đ nh lý đúng v i r-1 s nguyên t r  1 ta đi ch ng minh đ nh lý đúng

3.3 S phơn tích c a nhóm abel

nh ngh a1

Gi s A là nhóm abel và B,C là các nhóm con c a nó N u B C   A và 0

B   C thì ánh x B C   A cho b i  x y ,  x  y là m t đ ng c u thay cho cách vi t A B C   ta có th vi t A   B C và nói r ng A là t ng tr c ti p c a B

A1 là nhóm xyclic sinh b i a 1

B c 1: S t n t i c a phân tích

Ch ng minh b ng quy n p theo A

Gi s a 1 là ph n t có c p c c đ i, kí hi u r 1

p trong A t A 1  a 1 theo gi thi t quy n p A A 1nh n đ c m t s bi u di n d i d ng tích

A A1  A2  As,

Trong đó A i là nhóm xyclic c p s i

p Gi s  a 1 là m t ph n t sinh c a A i ( i = 2,3,…,s )

B c 2: S duy nh t c a phân tích ( sai khác th t )

Gi s có hai phân tích c a p-nhóm abel h u h n A:

v  t u i  m t là các s nguyên d ng và tichia h t ti+1 ,i = 1,2, ,m-1

G i C i là nhóm xyclic sinh b i ai, Ci   ai , i  1, 2, , n trong đó i  m C , i là nhóm xyclic c p tiv i i  m C , i là nhóm xyclic c p 

nh lý 1: ( S t n t i phân tích nhóm abel h u h n sinh)

M i nhóm abel h u h n sinh đ u phân tích đ c thành t ng tr c ti p c a

m t só h u h n nhóm xyclic không phân tích đ c

Ch ng minh:

Gi s h sinh S đã ch n trên là ph n t cuwucj ti u trong t p h p đ c

s p th t  khi đó ta s ch ng minh r ng G là t ng tr c ti p c a các nhóm con xyclic

1 , , n

Ng c l i, gi s G không ph i là t ng tr c ti p c a nh ng nhóm xyclic trên do đó theo đ nh ngh a nhóm phân tích đ c t n t i nh n só nguyên m 1 , , mnSao cho: m a 1 1  m a 2 2   m an n  0

Mà có ít nh t m t h ng t trong t ng trên khác không Gi s j là m t s sao cho

1 1 2 2 j 1 j 1 0

m a  m a   m a   nh ng m aj j  0

Ta có th gi thi t r ng 0  mj  o a j

G i m là c s chung l n nh t c a các só mj, , mn t c là t n t i nh ng s

nguyên kj, , kn có c s chung l n nh t là 1sao cho mi  mk ii,  j , , n

Ti p theo ta s đi ch ng minh b ng quy n p tho đ i l ng k  kj   kn r ng luôn có th tìm đ c các ph n t bj, , bn Gsao cho:

1 , 2 , , j 1 , j, , n

G  a a a  b b trong đó bj  k aj j k aj1 j1   k an n

 

Bây gi ta xét m t phân tích tùy ý cho tr c: G  G 1  G 2   Gn

C a m t nhóm abel h u h n sinh G thành t ng tr c ti p c a nh ng nhóm xyclic không phân tích đ c ngh a là m t s trong các nhóm xyclic đó có c p vô h n,

s

Còn l i là nh ng nhóm xyclic nguyên s

B ng cách đánh s l i th t c a các nhóm xyclic Gi, ta luôn có th gi thi t phân tích trên th a mãn đi u ki n sau: c p c a G1là l y th a cao nh t c a s nguyên t nh nh t p, r i c p c a G2ti p theo là l y th a cao nh t c a p trong

ta s ch ng minh tính duy nh t c a phân tích này

Do đó chúng ta s ch ng minh tính duy nh t c a ( n n 1 , 2 , , ns) v i gi thi t nhóm G đ ng c u v i t ng tr c ti p 1 2

tr c ti p c a các nhóm xyclic nguyên s , ta ch có m t cách duy nh t tr v phân

p

 trong bi u di n nào đó c a nhóm G d i d ng t ng tr c ti p c a các nhóm xyclic nguyên s chi ph thu c vào nhóm G

V y v i 0   r n t ng ch ph thu c vào nhóm G l n l t cho r nh n các giá tr

t n-1 đ n o, ta suy ra r ng các s p n ,  ,  p n ,  1 , ,  p ,1 ch ph thu c vào nhóm G ta có đi u ph i ch ng minh

K t lu n.

Trên đây là toàn b n i dung khóa lu n( các c u trúc t do vƠ bƠi toán phân tích) Qua quá trình tìm hi u, nghiên c u đã giúp em th y đ c vai trò quan tr ng c a các c u trúc t do trong lý thuy t đ i s

M c dù đã có nhi u c g ng song v i th i gian chu n b ch a nhi u và

b c đ u làm quen v i công tác nghiên c u khoa h c nên khóa lu n c a em ch c

ch n không tránh kh i nh ng thi u sót Em r t mong nh n đ c s góp ý c a các

th y, cô giáo và các b n sinh viên đ khóa lu n c a em th c s có ý ngh a h n

Em xin chân thành c m n!

Hà N i, tháng 5 n m 2009

Sinh viên

Nguy n th Hà