Luận văn sư phạm Các dạng hội tụ của dãy biến ngẫu nhiên và ứng dụng

Khi đó ta có dãy các bi n ng u nhiên... Ch ng minh... A trong dãy phép th Bernoulli.

L I C M N

Em xin chân thành c m n s quan tâm giúp đ t n tình c a các th y cô giáo trong khoa và các th y cô trong t toán ng d ng - khoa Toán tr ng HSPHN2 đã t o đi u ki n thu n l i giúp đ em trong su t quá trình h c t p

và th c hi n khóa lu n t t nghi p t i tr ng

c bi t, em xin g i l i c m n sâu s c đ n th y giáo Tr n M nh Ti n

đã giúp đ , h ng d n t n tình đ em hoàn thành khóa lu n t t nghi p này

Em xin chân thành c m n!

Hà N i, tháng 5 n m 2010

Sinh viên

Th Thu Hi n

Th Thu Hi n

M C L C

Ph n m đ u……… ……….1

Ch ng 1 S h i t c a dƣy các bi n ng u nhiên……… ……2

1.1 Các d ng h i t c a dãy bi n ng u nhiên ……… …2

1.2 Quan h gi a các d ng h i t c a dãy các bi n ng u nhiên ……….… 8

1.3 Dãy c b n và tiêu chu n Cauchy ……… ……….… 18

Ch ng 2 ng d ng c a các d ng h i t c a dƣy bi n ng u nhiên…….24

2.1 Hàm đ c tr ng ……… ……….….24

2.2 ng d ng c a các d ng h i t c a dãy bi n ng u nhiên ……… ….….28

2.2.1 M t s b t đ ng th c ……… ……….….28

2.2.2 Lu t s l n và ng d ng ……… ……….…30

2.2.3 nh lý gi i h n trung tâm và ng d ng ……… 40

K t lu n ……… ……… 52

Tài li u tham kh o ………53

PH N M U

Trong toán h c, lý thuy t xác su t nói chung và hàm ng u nhiên nói riêng là b môn có ng d ng r t r ng rãi trong các ngành khoa h c t nhiên, khoa h c xã h i và th c t cu c s ng Nó là công c đ gi i quy t các v n đ chuyên môn c a nhi u l nh v c nh v t lý, k thu t, sinh v t và nhi u ngành khoa h c khác

Chính vì v y em đã ch n đ tài: “Các d ng h i t c a dƣy bi n ng u nhiên vƠ ng d ng”

N i dung c a khóa lu n bao g m

CH NG 1

S H I T C A DẩY CÁC BI N NG U NHIÊN 1.1 CÁC D NG H I T C A DẩY BI N NG U NHIÊN

Cho  Xn n1 là dãy các bi n ng u nhiên và bi n ng u nhiên X cùng xác

đ nh trên không gian xác su t ,A,P

nh ngh a 1.2 (H i t theo xác su t hay h i t y u)

Dãy bi n ng u nhiên  Xn n1 đ c g i là h i t theo xác su t đ n bi n

ng u nhiên X khi n   n u v i   0 thì

Kí hi u

,

P n

nh ngh a 1.3 Dãy bi n ng u nhiên  X n n1 đ c g i là h i t theo xác su t

Kí hi u

,

d n

 là dãy các bi n ng u nhiên đ c l p có phân ph i U 0 , 1

X   X n   thì XnPX n,   ii) N u Xn L2 X n,   thì Xn PX n,  

n n

P n

n n

nó là d ng h i t chung nh t và có ích nh t c a các bi n ng u nhiên ây

c ng là khái ni m h i t đ c dùng trong đ nh lý gi i h n trung tâm và trong

lu t s l n

+) H i t h u ch c ch n là khái ni m đ c đ c p trong lu t s l n +) H i t theo xác su t là khái ni m h i t đ c p trong lu t y u s l n +) N u XnPX n,   thì XndX n,   nh ng ng c l i thì không đúng Th t v y ta xét ví d : Cho S1,2,3,4 và trong t p con c a S

l y hàm r i r c P Khi đó ta có dãy các bi n ng u nhiên

ii) T ng quát, n u v i j1, ,k ,Xn j ,n1 và X là dãy các bij n ng u nhiên và :g ฀ k ฀ là hàm liên tk c Khi đó

nh lỦ 1.7 i u ki n h i t theo phân ph i c a dãy vect ng u nhiên

Gi s XX1, ,Xk là vect ng u nhiên k chi u.Và

n X

NS

1.3.DÃY C B N VẨ TIÊU CHU N CAUCHY

nh ngh a 1.7 (Dƣy c b n theo h i t trung bình c p p)

Dãy bi n ng u nhiên   Xn n1 đ c g i là dãy c b n theo h i t trung bình c p p n u E Xn  Xm p 0 , m n,  

Ch ng minh Ta ch n dãy 1  n0    n1 nk  b ng quy n p nh sau

t n0 1 Gi s đã ch n đ c nk Khi đó tìm đ c nk1  nk sao cho

1.3.2 Tiêu chu n Cauchy

nh lỦ 1.6 (Tiêu chu n Cauchy v s h i t theo xác su t)

i u ki n c n và đ đ dãy các bi n ng u nhiên   Xn n1 h i t theo xác su t là   Xn n1 là dãy c b n theo xác su t

Cho m n ,   ta có P X  n  Xm      0   Xn là dãy c b n theo

CH NG 2

NG D NG C A CÁC D NG H I T C A DẩY BI N

NG U NHIÊN 2.1 H ẨM C TR NG

n it

itX itk X

k

k it n

e k

2 1

2

x itX x

X

x x

it Z t it

t it

2.2 NG D NG C A CÁC D NG H I T C A DẩY BI N NG U NHIÊN

B t đ ng th c Chebyshev có nhi u ng d ng, tr c h t nó cho phép ta đánh giá c n trên ho c c n d i c a xác su t đ đ i l ng ng u nhiên X nh n giá tr sai l ch so v i k v ng EX không quá  , t đó lý gi i chocác sai s trong đo l ng v t lý

Ví d 1

M t c a hàng v i mu n c l ng nhanh chóng s v i bán ra trong m t tháng c a mình S v i c a m i khách hàng đ c làm tròn b i s nguyên m

g n nh t ( Thí d trong s ghi 195,6m thì làm tròn là 196m) Kí hi u X là sai i

s gi a s mét v i th c bán và s mét v i đã tính tròn c a khách hàng th i

L i gi i

Các sai s X1, ,X là các n đ i l ng ng u nhiên đ c l p có phân b

đ u trên đo n 0,5;0,5 Khi đó EX 0, 1

n i i n i i

 

Ví d 2.

xác đ nh giá tr c a m t đ i l ng v t lý nào đó, ng i ta th ng

ti n hành đo n l n m t cách đ c l p và l y trung bình c ng các k t qu đo y làm giá tr th c c a đ i l ng c n đo Gi s k t qu n l n đó là X1, ,X nChúng là các đ i l ng ng u nhiên đ c l p v i nhau và có cùng phân b

Cho tr c sai s đ c phép  Bài toán đ t ra là c n ti n hành bao nhiêu phép

đo đ v i xác su t 0,09 sai s c a trung bình c ng so v i giá tr th c không

v t quá  T đánh giá trên suy ra đ

1

1

0,01

n i i

A trong dãy phép th Bernoulli

“ n đ nh” c a trung bình s h c c a các bi n ng u nhiên đ c l p cùng phân

DXn

Bài 5 Các dãy bi n ng u nhiên đ c l p sau có tuân theo lu t s l n không? Vì sao?

2.2.3 nh lý gi i h n trung tâm và ng d ng

Khi nghiên c u lu t s l n ta xét các đi u ki n đ có s h i t theo xác su t,

đ i v i di nh lý gi i h n trung tâm ta s d ng s h i t theo phân ph i

(Do chúng đ c l p và có cùng phân ph i)

Khai tri n Taylor c a Zi

tn

20,1

nt

1

d n

n n

n n

k n

Ví d 2 Gi s xác su t đ làm ra m t đinh c không đúng quy cách là 0,015

p Ng i ta x p đinh c vào t ng h p, m i h p 100 chi c

a) Tính t l ch a toàn đinh c đúng quy cách

b) C n ph i x p bao nhiêu đinh c trong m i h p đ t l h p ch a 100 đinh

b) Gi s m i h p ch a 100 k đinh c, trong đó k là s nguyên d ng G i

X là s đinh c không đúng quy cách trong h p ch a 100 k đinh c Khi đó

X có phân ph i nh th c v i tham s n100k, p0,015.Ta ph i xác đ nh

V y ta tìm k nh nh t đ

2 1,5

ho c npq l n h n 20

Ngoài ra, và chúng x p x m t phân ph i r i r c b ng m t phân ph i liên t c nên ta c n m t s “hi u ch nh” đ sai s gi m đi C th nh sau: +) N u k฀ thì

0,50,5

Ví d 1 M t kí túc xá có 650 sinh viên, xác su t đ m t sinh viên đ n xem

phim t i câu l c b vào t i th 7 là 0,7

a) Tính xác su t đ s sinh viên đ n xem phim ít h n 440

b) C n ph i chu n b bao nhiêu gh đ v i xác su t 0,99 ta có th đ m b o

đ gh cho sinh viên đ n xem

L i gi i G i X là s sinh viên đ n xem phim vào t i th 7

Theo gi thi t ta có X฀B650; 0,7 Teo đ nh Moivre – Laplace thì X đ c

454,5

2,32611,68

Ví d 2 T l h c sinh gi i trong m t tr ng ph thông b ng 0,25

a) Tìm xác su t đ khi ch n ng u nhiên 100 em, s h c sinh gi i dao đ ng

0000172,

014917,

0

58,304

,1

75,0.25,0.100

100.25,05,975

,0.25,0.100

100.25,05,205

,2020

~5,920

25,0.5005

,1195

,119

~120

Ví d 3 T l g p h t thóc không n y m m khi ch n gi ng là 0,06 Tìm xác

su t sao cho khi ch n ng u nhiên 1000 h t ta g p ph i:

a) Không quá 15 h t không n y m m

006,0.10005

,155

,15

6.10

10 6





XP

Ví d 4 M t máy tính g m 10000 bóng bán d n ho t đ ng đ c l p nhau

Trong đó có 1000 bóng lo i 1 có xác su t h ng trong th i h n b o hành 0,005;

3000 bóng lo i 2 có xác su t h ng 0,002 và 6000 bóng lo i 3 có xác su t h ng 0,001

Máy tính s ng ng ho t đ ng n u ít nh t có 2 bóng h ng Tìm xác su t đ máy ng ng ho t đ ng

PX

PX

PX

PX

P

XPX

PX

P

Vì các pi 0,ni đ l n nên ta tính PXi  k b i công th c x p x Poisson,

6.1

002179,

0

!0

6.0

66000.001,0

013173,

0

!1

6.1

002179,

0

!0

6.0

63000.002,0

003390,

0

!1

5.1

006738,

0

!0

5.0

51000.005,0

1 6 3

0 6 3

3

1 6 2

0 6 2

2

1 5 1

0 5 1

Pvà

eX

Pnên

eX

Pvà

eX

Pnên

eX

Pvà

eX

Pnên

0

013173,

0.002179,

0.006738,

0002179,

0.013173,

0.006738,

0

002179,

0.002179,

0.00339,

0002179,

0.002179,

0.006738,

012

Gi i G i X là s n t xu t hi n l n gieo th i (i=1,2,…,30) Khi đó

5,0.301201

1201

S

P

 1,62 1 0,94521

359,9

Ta có

0,04 0,98

50

959,1.50

288,004,0.180

1086

,0.180

Theo đ nh lý gi i h n trung tâm U ฀N108;0,288 ; V฀N95;0,98

Vì U, V đ c l p nên U+V c ng có phân ph i x p x chu n v i

776,11268

,1

203205

1205

NgoƠi ra đ nh lỦ gi i h n trung tơm còn ng d ng nhi u trong th ng kê

Ví d 6 Tr ng l ng trung bình c a đàn ông m t n c nào đó là 78,5kg, v i

đ l ch tiêu chu n 11,2kg Ch n ng u nhiên 20 ng i và X là tr ng l ng trung bình m u Tìm xác su t đ X l n h n 82kg

L i gi i

11, 278,5;

202

,11

5,78821

K T LU N

Trong khóa lu n này em đã nghiên c u m t s v n đ c b n sau đây: Các d ng h i t c a dãy bi n ng u nhiên, m i quan h gi a chúng, tiêu chu n Cauchy v các d ng h i t , m t s đ nh lý gi i h n và ng d ng c a chúng

Tuy nhiên do đi u ki n th i gian có h n và ch a có kinh nghi m trong công tác làm nghiên c u khoa h c nên khóa lu n c a em không tránh kh i

nh ng thi u sót Em r t mong nh n đ c s góp ý ki n c a th y cô và các b n

đ c

Em xin g i l i c m n chân thành nh t t i các th y trong t Toán ng

d ng, các th y cô trong khoa và đ c bi t là th y Tr n M nh Ti n – ng i đã

t n tình ch b o, giúp đ em trong su t th i gian qua đ có th hoàn thành khóa lu n này

Hà N i, tháng 5 n m 2010

Sinh viên

Th Thu Hi n