chuyend e to hop hay

* Phương pháp: Để giải phương trình, bất phương trình chứa các toán tử chỉnh hợp, ta có thể chọn một trong hai cách sau: Cách 1: Thực hiện việc đơn giản biểu thức để chuyển phương trình

11a1 thpt tien lu

Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức:

* Phương pháp: Để chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức chứa các toán tử chỉnh hợp ta cũng

thường sử dụng công thức khai triển của nó

Ví dụ minh hoạ:

Ví dụ 1: Chứng minh rằng: A n k n+2 A n k n+1 k A2 n k n

+ + + = +

Giải:

Ta có:

2

2

!

n k n k

n

n k

k n k

k A k

+

+

Vậy ta được điều phải chứng minh.

Ví dụ 2: Chứng minh rằng:

2 2 1

2

n n n

n P

+ +

− =

Giải:

Ta có: 2 2

n n

+ − Khi đó

2

2

1

( 1)!

n n

n

+

+

+

+ Vậy

2

2

1

.

2

n n

n

n P

+

+

− =

Ví dụ 3: Chứng minh rằng: k k1 k11

A A k A −

Giải:

Ta có:

( 1 )! ( 1 1)! ( 1)! ( )!

k n

A

−

Giải phương trình, bất phưong trình.

* Phương pháp: Để giải phương trình, bất phương trình chứa các toán tử chỉnh hợp, ta có thể

chọn một trong hai cách sau:

Cách 1: Thực hiện việc đơn giản biểu thức để chuyển phương trình, bất phương trình về dạng đại

số quen thuộc.

Cách 2: Đánh giá vế thông qua các giá trị cận trên và cận dưới của nó.

* Ví dụ minh hoạ:

Ví dụ 1: Tìm n nguyên dương thoả điều kiện:

2

Giải:

a) Điều kiện n≥3,n∈¥

Ta có:

3

2

!

( 3)!

6

3

n

n

n

n

n

−

=



Kết hợp điều kiện ta nhận n = 6

Vậy n = 6 thoả yêu cầu bài toán.

Ta có:

2

2

9

10

n

n

=



Kết hợp điều kiện ta nhận cả hai nghiệm trên.

Vậy n=9 hoặc n=10thoả yêu cầu bài toán.

c) Điều kiện n≥2, n∈¥

Ta có:

2 1

2

1

3

n n

n

n

= −



Kết hợp điều kiện ta nhận n=3

Vậy n=3 thoả yêu cầu bài toán

Ví dụ 2: Giải phương trình: 3 3x

x

P = A

Giải:

Điều kiện: 1 x *3

x

≤ ≤



 ∈

Ta có:

(3 )!

x x

x

− Với x = 1 thì (*)⇔1!(3 1)! 2− = (đúng)

Với x = 2 thì (*)⇔2!(3 2)! 2− = (đúng)

Với x = 3 thì (*)⇔3!(3 3)! 2− = (sai)

Kết luận:

Nghiệm của phương trình là: x = 1hoặc x = 2

Bai tap

Bài 1 Giả sử bạn muốn mua một áo sơ mi cỡ 39 hoặc 40 Áo cỡ 39 có 5 màu khác nhau, áo cỡ 40

có 4 màu khác nhau Hỏi bạn có bao nhiêu sự lựa chọn (về màu và cỡ áo) ?

Bài 2 Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số mà hai chữ số của nó đều chẵn ?

Bài 3 Trong một trường THPT, khối 11 có 280 học sinh nam và 325 học sinh nữ

a) Nhà trường cần chọn một học sinh ở khối 11 đi dự dạ hội của học sinh thành phố Hỏi nhà trường có bao nhiêu cách chọn ?

b) Nhà trường cần chọn hai học sinh trong đó một nam và một nữ đi dự trại hè của học sinh thành phố Hỏi nhà trường có bao nhiêu cách chọn ?

Bài 4 Từ các chữ số 1, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên

a) Có 4 chữ số (không nhất thiết khác nhau) ?

b) Có 4 chữ số khác nhau ?

Bài 5 Có bao nhiêu khả năng có thể xảy ra đối với thứ tự giữa các đội trong một giải bóng đá có 5

Bài 6 Giả sử có 8 vận động viên tham gia chạy thi Nếu không kể trường hợp có hai vận động

viên về đích cùng một lúc thì có bao nhiêu kết quả có thể xảy ra đối với các vị trí thứ nhất, thứ nhì và thứ ba ?

Bài 7 Trong một Ban chấp hành đoàn gồm 7 người, cần chọn 3 người vào ban thường vụ.

a) Nếu không có sự phân biệt về chức vụ của 3 người trong ban thường vụ thì có bao nhiêu cách chọn ?

b) Nếu cần chọn 3 người vào ban thường vụ với các chức vụ : Bí thư, Phó Bí Thư, Uỷ viên thường vụ thì có bao nhiêu cách chọn ?

Bài 8 Một cuộc thi có 15 người tham dự, giả thiết rằng không có hai người nào có điểm bằng

nhau.

a) Nếu kết quả của cuộc thi là việc chọn ra 4 người điểm cao nhất thì có bao nhiêu kết quả có thể? b) Nếu kết quả của cuộc thi là việc chọn ra các giải nhất, nhì, ba thì có bao nhiêu kết quả có thể?

Bài 9 Một tổ có 8 em nam và 2 em nữ Người ta cần chọn ra 5 em trong tổ tham gia cuộc thi học

sinh thanh lịch của trường Yêu cầu trong các em được chọn phải có ít nhất một em nữ Hỏi có bao nhiêu cách chọn?

Bài 10 Một nhóm học sinh có 7 em nam và 3 em nữ Người ta cần chọn ra 5 em trong nhóm tham

gia đồng diễn thể dục Trong 5 em được chọn, yêu cầu không quá 1 em nữ Hỏi có bao nhiêu cách chọn?

Bài 11 Từ 10 nam và 5 nữ người ta chọn ra một ban đại diện gồm 5 người trong đó có ít nhất hai

nam và 2 nữ , hỏi có bao nhiêu cách chọn Nếu :

a) Mọi người đều vui vẽ tham gia

b) Cậu Tánh và cô Nguyệt từ chối tham gia

Bài 12 một lớp học gồm 30 học sinh nam và 15 học sinh nữ , chọn 6 học sinh để lập một đội tốp

ca Hỏi có bao nhiêu cách chọn

a) Nếu ít nhất hai nữ

b) Nếu chọn tuỳ ý

Bài 13 Tìm hệ số của x y101 99 trong khai triển (2x−3 )y 200

Bài 14 Tính hệ số của x y5 8 trong khai triển (x y+ )13

Bài 15 Tính hệ số của x7 trong khai triển (1+x)11

Bài 16 Tính hệ số của x9 trong khai triển (2−x)19

Bài 17 Khai triển (3x+1)10 cho tới x3

Bài 18 Tìm hệ số của 7

x trong khai triển của (3 2 )− x 15

Bài 19 Tìm hệ số của x y25 10 trong khai triển của (x3+xy) 15

Bài 20 Khai triển (3x−1)16

Bài 21 Chứng minh:

Bài 22 Tìm số nguyên dương n sao cho:

0 2 1 4 2 2n n 243

C + C + C + + C =

Bài 23 Tỡm hệ số của x3 trong nhị thức sau :

6 3

2

1

x x

9

2 1

x x

9 2

3

1

x x

Bài 24 Tỡm hệ số của x5 trong nhị thức sau :

15

4 1

x x

10 3

2

1

x x

20 2

1

x x

Bài 25 Tỡm hệ số của x3 trong nhị thức sau :

15

2 2

x x

8

3 2

x x

Bài 26 Biết hệ số của x2 trong khai triển (1-3x) n là 90 Tỡm n ?

Bài 27 Tỡm hệ số khụng chứa x trong khai triển

20 3

2

2

x x

Bài 28 Tỡm hệ số khồng chứa x trong khai triển :

12 3 3

x x

Bài 29 Tỡm số hạng khụng chưa x trong khai triển sau :

15

2 3 3

x x

Bài 30 Tỡm hệ số của x31 trong khai triển nhị thức

40 2

1

x x

II Khai triển với giả thiết có điều kiện

1/ Biết khai triển

n

x









 2+1 Tổng các hệ số của số hạng thứ nhất, hai, ba là 46 Tìm số hạng không chứa x?

2/Cho biết tổng ba hệ số của ba số hạng đầu tiên trong khai triển  =









 − n

x

x2 2 là 97 Tìm hạng tử của khai triển chứa x4.

n n n n

n n

n

n

C x

C x

C x

3

1 ) 1 (

3

1 3

− +

−

=











thứ ba trong khai triểnlà 5 Tìm số hạng chính giữa??

4/ Cho khai triển n n

n

n n n

x C x

C x

x 2) ( ) ( 2 )

2

3 + = + + Biết tổng ba hệ số đầu là 33.Tìm hệ số của x2

5/ Tìm số hạng chứa x8 trong khai triển

n

x









3

1

Biết rằng 1 3 7 ( 3 )

+

n

n

6/ Tìm hệ số của x7 trong khai triển (2-3x)n trong đó n thoả mãn hệ thức sau

1024 2 1

1 2

3 1 2

1

1

+ +

C

1 2 2 2007 2

4 2

2

n n

C

8/ Tìm hệ số của số hạng chứa x26 trong khai triển

n

x









4

1

biết n thoả mãn hệ thức

1 2 2 1 20

1 2

3 1 2

2 1 2

1

1

+ +

+

9/ Tìm hệ số của số hạng chứa x10 khi khai triển (2+x)n biết

2048 )

1 (

3 3

n

n n

n n

n n

10/Cho n n 1 n 2 79

C +C − +C − =

Trong khai trieồn nhũ thửực

28

3 15

n

x x x

−

+

  haừy tỡm soỏ haùng khoõng phuù thuoọc vaứo x.

11/Tỡm heọ soỏ cuỷa soỏ haùng chửựa x26trong khai trieồn nhũ thửực Niutụn cuỷa 7

4

x x

bieỏt raống 1 2 20

2 +1+ 2 +1+ + 2n+1=2 −1

12/.Tỡm heọ soỏ cuỷa x4trong khai trieồn bieồu thửực A= − −(1 x 3x2)nthaứnh ủa thửực Trong ủoự n laứ soỏ nguyeõn dửụng thoỷa maừn: ( 2 2 2 2) 2

2 C +C +C + + C n =3A n+

13/ Tỡm heọ soỏ cuỷa soỏ haùng chửựa x10 trong khai trieồn nhũ Niu tụn cuỷa (2+x)n bieỏt:

( )

3n 3n 3n 3n 1 n n 2048

14.Quy taộc toồng quaựt :Toồng caực heọ soỏ trong bieồu dieón chớnh taộc cuỷa ủa thửực f(x) chớnh

laứ f(1)

a)Tớnh a97

b)S a= + + + +0 a1 a2 a100

c)M=1.a1+2.a2+ + 100.a100

III Chứng minh hoặc tính tổng biểu thức tổ hợp:

1/ Khai triển (3x-1)16 Từ đó chứng minh

16 16 16

1 16 15 0

16

2/ Chứng minh:

n n

n

C0 + 1 + 2 + + = 2

n n

n

n n n

2

2 2

0 2 1 2 2

3 2

1

2 + + + − = + + +

3/ Chứng minh rằng:

n n n n n

n n

3

1

3

1 3

1

3 1



4/ Tính tổng

n n

2

2 2

0

2 + + +

2

3 2

1

2 + + + n−

n n

C

5/ Chứng minh rằng:

a 2004 1002

2004

2 2004

0

2004 +C + +C = 2

C

b

2

1 3 2

2 2

2004 2004

2004 2004 4

2004 4 2 2004 2 0

2004

+

= +

+

C

6/Chứng minh rằng : 1 1000 1001

2001k 2001k 2001 2001 , 0 k 2000

7/Chứng minh rằng: ( )2

2n 2n 2n , 0,

C − C + ≤ C ∀ =k n

8/Chứng minh rằng : 0 1 1 1 2 1 1

n

+ −

9/Chứng minh rằng: 1 2 2 ( )1n n 0

10/k và n là hai số tự nhiên sao cho 4 k n≤ ≤ chứng minh rằng:

4

C + C − + C − + C − +C − =C +

11/ CMR: 0 2 1 3 2 2n 2n 2n 1( 2n )

C +3 C +3 C + + 3 C =2 − 2 +1

12/ CMR: 0 2 2 4 2 2000 2000 2000( 2001 )

2001+3 2001+3 2001+ + 3 2001 =2 2 −1

13/ Chứng minh rằng: 1

+ + + = .Từ đó suy ra đẳng thức sau:

C +C + +C + + +C + −− =C +−

CÁC BÀI TOÁN VỀ PHÉP ĐẾM:

Bài 1:Từ 7 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể thành lập được bao nhiêu số chẵn , mổi số

gồm 5

chữ số khác nhau từng đôi KQ: 1260

Bài 2: Một tổ gồm 8 nam và 6 nữ Cần lấy một nhóm 5 người trong đó có 2 nữ Hỏi có

bao

nhiêu cách chọn KQ: 840

Bài 3: Cho hai đường thẳng song song (d1) , (d2) Trên (d1) lấy 17 điểm phân biệt , trên (d2)

lấy 20 điểm phân biệt Tính số tam giác có các đỉnh là 3 điểm trong số 37 điểm đã

chọn trên (d1) và (d2) KQ:5950

Bài 4: Từ một tập thể gồm 12 học sinh ưu tú , người ta cần cử một đoàn đi dự trại hè

quốc tế

trong đó có một trưởng đoàn , 1 phó đoàn và 3 đoàn viên Hỏi có bao nhiêu cách cử ?

KQ: 15840

Bài 5: Xét dãy gồm 7 chữ số , mổi chữ số được chọn từ các số 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 thoả

mãn

- Chữ số vị trí số 3 là số chẵn

- Chữ số cuối cùng không chia hết cho 5

- Các chữ số ở vị trí 4,5,6 đôi một khác nhau

Hỏi có bao nhiêu cách chọn

KQ:2.880.000

Bài 6: Người ta viết các số có 6 chữ số bằng các chữ số 1,2,3,4,5 như sau: Trong mỗi số

được

viết có một chữ số xuất hiện hai lần còn các chữ số còn lại xuất hiện một lần Hỏi có

bao nhiêu số như vậy

KQ:1800

Bài 7: Cho tập hợp A={1,2,3,4,5,6,7,8}

a) Có bao nhiêu tập hợp con X của tập A thoả điều kiện chứa một và không chứa 2 ?

b) Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số đôi một khác nhau lấy từ tập A và

không bắt đầu bởi 123? KQ: a)

64 b) 3348

Bài 8: Với 6 chữ số phân biệt 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số có các chữ số

phân

biệt trong đó mỗi số điều phải có mặt số 6 KQ: 1630

Bài 9: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau từng đôi sao cho tất cả các

chử số

đều khác không và có mặt đồng thời các chữ số 2, 4, 5 KQ: 1800

Bài 10: Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số gồm 10 chữ số

được

chọn từ 8 chữ số trên , trong đó chữ số 6 có mặt đúng 3 lần , các chữ số khác có mặt

đúng 1 lần KQ: 544.320