GIẢI TÍCH 11 CHƯƠNG TỔ HỢP & XÁC SUẤT

Khi đó số cách thực hiện công việc A được cho bởi quy n 1 .... Khi đó số cách thực hiện công việc A được cho bởi 1.. Mỗi học sinh chỉ được chọn một đề tài.. a Nhà trường cần chọn một học

… TỔ HỢP & XÁC SUẤT …

§1 QUY TẮC ĐẾM.

1) QUY TẮC CỘNG:

 Giả sử công việc A được hoàn thành bởi một trong hai hành động Nếu hành động này có m cách thực

hiện, hành động kia có n cách thực hiện không trùng lập với hành động trước thì công việc A có m + n cách thực hiện

 Vd1 Có 10 quả cầu trắng, 8 quả cầu đen Hỏi nếu chọn một quả thì có bao nhiêu cách chọn ?

Giải:

Chọn 1 quả cầu trắng: 10 cách chọn

Chọn 1 quả cầu đen: 8 cách chọn

Vậy số cách chọn là 10 + 8 = 18 cách chọn

 Giả sử công việc A được hoàn thành bởi một trong n hành động Mỗi hành động A , A , , A1 2 n có số cách thực hiện theo thứ tự là x1, x2, , x cách Khi đó số cách thực hiện công việc A được cho bởi quy n

1

n

n i i



2) QUY TẮC NHÂN:

 Giả sử công việc A được hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp Nếu hành động thứ nhất có m cách

thực hiện và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện hành động thứ hai thì công việc A có m.n cách thực hiện

 Vd2 Từ các chữ số {1, 2, 3, 4} có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm:

Giải:

a) Gọi số có hai chữ số là ab Chọn a có 4 cách Ứng mỗi cách chọn a có 4 cách chọn b

Vậy có 4.4 = 16 số có 2 chữ số

b) Gọi số có hai chữ số là ab Chọn a có 4 cách Ứng với mỗi cách chọn a có 3 cách chọn b

Vậy có 4.3 = 12 số có 2 chữ số khác nhau

 Giả sử công việc A được hoàn thành bởi n hành động liên tiếp Ứng mỗi hành động A , A , , A1 2 n có

số cách thực hiện theo thứ tự là x x1, 2, , x n cách Khi đó số cách thực hiện công việc A được cho bởi

1

n

n i i



 Vd3 Từ các chữ số {0, 1, 2, 3, 4} có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên là:

d) Số chẵn có ba chữ số khác nhau ?

Giải:

a) Gọi số có ba chữ số là abc Chọn a có 4 cách Ứng mỗi cách chọn a có 5 cách chọn b Ứng mỗi cách

chọn b có 5 cách chọn c Vậy có 4.5.5 = 100 số có 3 chữ số

b) Gọi số có ba chữ số là abc Chọn a có 4 cách Ứng mỗi cách chọn a có 4 cách chọn b Ứng mỗi cách chọn b có 3 cách chọn c Vậy có 4.4.3 = 48 số có 3 chữ số khác nhau

c) Gọi số có ba chữ số là abc Chọn c chẵn khi c{0, 2, 4} có 3 cách Ứng mỗi cách chọn c có 5 cách chọn b Ứng mỗi cách chọn b có 4 cách chọn a Vậy có 3.5.4 = 60 số chẵn có 3 chữ số

d) Gọi số có ba chữ số là abc Chọn c chẵn khi c{0, 2, 4} có 3 cách Ứng mỗi cách chọn c có 4 cách chọn b Ứng mỗi cách chọn b có 3 cách chọn a trong đó có số 0 Do đó có 3.4.3 = 36 số

Số 0bc chẵn khi c{2, 4} có 2 cách Ứng mỗi cách chọn c có 3 cách chọn b

Vậy có 2.3 = 6 số chẵn có 2 chữ số

Loại trừ trường hợp trên, ta có 36 – 6 = 30 số chẵn có ba chữ số khác nhau

2

BÀI TẬP.

1) Nhà trường tổ chức cho học sinh nói chuyện chuyên đề Ban tổ chức công bố các đề tài bao gồm: 5 đề tài về tự nhiên, 7 đề tài về xã hội, 3 đề tài về môi trường Mỗi học sinh chỉ được chọn một đề tài Hỏi mỗi học sinh có bao nhiêu khả năng lựa chọn đề tài ?

 Hướng dẫn:

Có 5 cách chọn đề tài tự nhiên Có 7 cách chọn đề tài xã hội Có 3 cách chọn đề tài môi trường Vậy mỗi học sinh có 5 + 7 + 3 = 15 khả năng lựa chọn đề tài

2) Ban thường vụ đoàn trường có 10 người Để bầu ra một Bí thư, một Phó bí thư và một ủy viên thì có bao nhiêu cách chọn, biết rằng một người chỉ đảm nhiệm một chức vụ

 Hướng dẫn:

Bầu bí thư có 10 cách chọn Sau khi bầu Bí thư, có 9 cách chọn Phó bí thư và chọn Ủy viên có 8 cách chọn Vậy có 10.9.8 = 720 cách chọn

3) An muốn mua áo sơ mi cở 39 hoặc cở 40 Cở 39 có 5 màu sọc khác nhau, cở 40 có 4 màu sọc khác nhau Hỏi để mua một áo sơ mi như trên, An có bao nhiêu lựa chọn ?

 Hướng dẫn:

Chọn cở 39 có 5 cách, chọn cở 40 có 4 cách chọn Vậy cả thảy có 5 + 4 = 9 cách chọn

4) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên bé hơn 100 ?

 Hướng dẫn:

Số bé hơn 100 gồm số có một hoặc hai chữ số Số có một chữ số có 6 số

Số có hai chữ số ab Hàng chục a{1, 2, 3, 4, 5, 6} có 6 cách chọn Hàng đơn vị b{1, 2, 3, 4, 5, 6} có

6 cách chọn Do đó có 6.6 = 36 cách chọn

Vậy có tất cả là 6 + 36 = 42 số tự nhiên bé hơn 100

5) Có ba kiểu mặt đồng hồ đeo tay (vuông, tròn, elip) và bốn kiểu dây (kim loại, da, vải và nhựa) Hỏi có bao nhiêu cách chọn một chiếc đồng hồ gồm một mặt và một dây ?

 Hướng dẫn:

Chọn mặt đồng hồ có 3 cách chọn Ứng với mỗi mặt có 4 cách chọn dây đồng hồ

Vậy có cả thảy là 3.4 = 12 cách chọn một chiếc đồng hồ

6) Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số mà hai chữ số của nó đều chẵn ?

 Hướng dẫn:

Số có hai chữ số chẵn ab Chọn b{0, 2, 4, 6, 8} có 5 cách chọn Sau khi chọn b, chọn a{2, 4, 6, 8}

có 4 cách chọn Vậy có cả thảy 5.4 = 20 số tự nhiên có hai chữ số mà hai chữ số của nó đều chẵn 7) Trong một trường THPT, khối 11 có 280 học sinh nam và 325 học sinh nữ

a) Nhà trường cần chọn một học sinh khối 11 đi dự đại hội của học sinh thành phố Hỏi nhà trường có bao nhiêu cách chọn ?

b) Nhà trường cần chọn hai học sinh trong đó có một nam và một nữ đi dự trại hè của học sinh thành phố Hỏi nhà trường có bao nhiêu cách chọn ?

 Hướng dẫn:

a) Theo quy tắc cộng có 280 + 325 = 605 cách chọn

b) Chọn nam có 280 cách Ứng nam có 325 cách chọn một nữ Vậy có 280.325 = 91000 cách chọn 8) Từ các chữ số {1, 3, 4, 6, 7} có thể lập bao nhiêu số tự nhiên:

a) Chọn a có 5 cách Chọn b có 5 cách Chọn c có 5 cách Vậy có 5.5.5 = 125 số tự nhiên có 3 chữ số b) Chọn a có 5 cách Sau khi chọn a có 4 cách chọn b Sau khi chọn b có 3 cách chọn c

Vậy có 5.4.3 = 60 số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau

9) Từ các chữ số {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} có thể lập bao nhiêu số tự nhiên:

d) Lẻ có 4 chữ số khác nhau ?

a) Chọn a có 9 cách Chọn b có 10 cách Chọn c có 10 cách Chọn d có 10 cách

Vậy có 9.10.10.10 = 9000 số có 4 chữ số

b) Chọn a có 9 cách Sau đó có 9 cách chọn b, 8 cách chọn c và 7 cách chọn d

Vậy có 9.9.8.7 = 4536 số có 4 chữ số khác nhau

c) Chữ số hàng đơn vị d{0, 2, 4, 6, 8} có 5 cách chọn Sau đó, có 9 cách chọn c, 8 cách chọn b, 7 cách chọn a trong đó có số 0 nên có 5.9.8.7 = 2520 số

Cho a = 0 Số bcd chẵn khi d{2, 4, 6, 8} có 4 cách Sau đó có 8 cách chọn c, 7 cách chọn b nên có 4.8.7 = 224 số

Vậy có 2520 – 224 = 2296 số chẵn có 4 chữ số khác nhau

d) Chữ số hàng đơn vị d{1, 3, 5, 7, 9} có 5 cách chọn Sau đó, có 9 cách chọn c, 8 cách chọn b, 7 cách chọn a trong đó có số 0 nên có 5.9.8.7 = 2520 số

Cho a = 0 Số bcd lẻ khi d{1, 3, 5, 7, 9} có 5 cách Sau đó có 8 cách chọn c, 7 cách chọn b nên có 5.8.7 = 280 số Vậy có 2520 – 280 = 2240 số lẻ có 4 chữ số khác nhau

10) Từ các chữ số {0, 1, 3, 5, 7} có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm bốn chữ số khác nhau và không chia hết cho 5

 Hướng dẫn:

 Số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau abcd : Chọn a{1, 3, 5, 7} có 4 cách chọn Ứng mỗi cách chọn a

có 4 cách chọn b, 3 cách chọn c và 2 cách chọn d

Vậy có cả thảy 4.4.3.2 = 96 số có 4 chữ số khác nhau

 Số chia hết cho 5 abcd : Chọn d = 0 thì có 4.3.2 = 24 số Chọn d = 5 thì có 3.3.2 = 18 số

Vậy có cả thảy 24 + 18 = 42 số có 4 chữ số khác nhau chia hết cho 5

 Kết luận: Có 96 – 42 = 54 số tự nhiên gồm bốn chữ số khác nhau và không chia hết cho 5

11) Từ các chữ số {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm năm chữ số và các chữ số khác nhau

 Hướng dẫn:

Số chẵn có năm chữ số khác nhau là abcde Chọn e{0, 2, 4, 6} có 4 cách chọn Ứng với e chọn d có 7 cách, chọn c có 6 cách, chọn b có 5 cách, chọn a có 4 cách có cả số 0 Vậy có 4.7.6.5.4 = 3360 số Chữ số đầu số 0 là 0bcde Chọn e{2, 4, 6} có 3 cách chọn Ứng với e chọn d có 6 cách, chọn c có 5 cách, chọn b có 4 cách Vậy có 3.6.5.4 = 360

Kết luận: Có cả thảy 3360 – 360 = 3000 số chẵn có năm chữ số và các chữ số khác nhau

12) Có bao nhiêu cách sắp xếp năm bạn học sinh A, B, C, D, E vào chiếc ghế dài sao cho:

 Hướng dẫn:

a) C ngồi vị trí chính giữa có 1 cách Sau khi chọn C, chọn A có 4 cách, chọn B có 3 cách, chọn D có 2 cách, chọn E có 1 cách Vậy có cả thảy 1.4.3.2.1 = 24 cách sắp xếp

b) A và E ngồi hai đầu ghế có 2 cách chọn Sau khi chọn A và E, chọn B có 3 cách chọn, chọn C có 2 cách, chọn D có 1 cách chọn Vậy cả thảy có 2.3.2.1 = 12 cách sắp xếp

13) Từ các chữ số {0, 1, 2, 3, 4, 5} có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên:

a) Chẵn có bốn chữ số và đôi một khác nhau;

b) Chia hết cho 5 có ba chữ số và đôi một khác nhau;

c) Chia hết cho 9 có ba chữ số và đôi một khác nhau

 Hướng dẫn:

a) Chẵn có bốn chữ số đôi một khác nhau abcd Chọn d{0, 2, 4} có 3 cách Ứng mỗi d có 5 cách chọn

c, 4 cách chọn b, 3 cách chọn a có cả số 0 Vậy có 3.5.4.3 = 180 số

Số 0bcd Chọn d{2, 4} có 2 cách Ứng mỗi d có 4 cách chọn c, 3 cách chọn b Vậy có 2.4.3 = 24 số Kết luận: Có cả thảy 180 – 24 = 156 số chẵn có bốn chữ số và đôi một khác nhau

b) Chia hết cho 5 có ba chữ số và đôi một khác nhau abc Chọn c = 0 có 1 cách Ứng mỗi c có 5 cách chọn b và 4 cách chọn a Vậy có 1.5.4 = 20 số

Chọn c = 5 có 1 cách Ứng mỗi c có 4 cách chọn a và có 4 cách chọn b Vậy có 1.4.4 = 16 số

Kết luận: Có 20 + 16 = 36 số chia hết cho 5 có ba chữ số và đôi một khác nhau

c) Số chia hết cho 9 có ba chữ số và đôi một khác nhau là abc với {a, b, c} chỉ có thể là các chữ số sau:

{0, 4, 5}, {1, 3, 5}, {2, 3, 4}

Với các chữ số {0, 4, 5} thì abc có 2 2.1 = 4 số

Với các chữ số {1, 3, 5} thì abc có 3 2.1 = 6 số

Với các chữ số {2, 3, 4} thì abc có 3 2.1 = 6 số

Vậy có cả thảy 4 + 6 + 6 = 16 số hết cho 9 có ba chữ số và đôi một khác nhau

§2 HOÁN VỊ, CHỈNH HỢP VÀ TỔ HỢP.

1) HOÁN VỊ:

 Hoán vị là gì ? Cho tập hợp A có n phần tử Khi sắp xếp n phần tử này theo một thứ tự ta được một hoán vị các phần tử của tập A (Gọi tắt là một hoán vị của A)

 Số các hoán vị: Cho số nguyên dương n Số các hoán vị của một tập hợp có n phần tử là

n

P n n n n

 Vd1 Trong giờ học môn Giáo dục quốc phòng, một tiểu đội học sinh gồm 10 người được xếp thành một hàng dọc Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp ?

Giải: Mỗi cách sắp xếp là một hoán vị của một tập hợp gồm 10 phần tử Số các hoán vị là

10 10! 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1 3628800

2) CHỈNH HỢP:

 Chỉnh hợp là gì ? Cho tập hợp A có n phần tử và số nguyên k với 1  k  n Khi lấy ra k phần tử của A

và sắp xếp chúng theo một thứ tự, ta được một chỉnh hợp chập k của n phần tử của A (Gọi tắt là một chỉnh hợp chập k của A)

 Số các chỉnh hợp: Cho các số nguyên n và k với 1  k  n Khi đó số các chỉnh hợp chập k của một tập

k n

n

n k

n

A n và 0! 1

 Vd2 Từ các chữ số {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau ? Giải: Mỗi số tự nhiên có năm chữ số khác nhau được lập bằng cách lấy ra năm chữ số khác nhau từ chín chữ số đã cho và sắp xếp chúng theo một thứ tự Mỗi số là một chỉnh hợp chập 5 của 9 Số các chỉnh hợp chập 5 của 9 là 5

9

9!

4!

3) TỔ HỢP:

 Tổ hợp là gì ? Cho tập hợp A có n phần tử và số nguyên k với 1  k  n Mỗi tập con của A có k phần tử được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của A (Gọi tắt là một tổ hợp chập k của A)

 Số các tổ hợp: Cho các số nguyên n và k với 1  k  n Khi đó số các tổ hợp chập k của một tập hợp có

k

k n n

C

n n

C  A 

 Vd3 Một tổ có 10 người gồm 6 nam và 4 nữ Cần lập một đoàn gồm 5 người Hỏi:

a) Có tất cả bao nhiêu cách lập?

b) Có bao nhiêu cách lập đoàn gồm có 3 nam và 2 nữ ?

Giải:

a) Chọn ra 5 người từ 10 người, mỗi cách chọn là một tổ hợp chập 5 của 10

5!5!

b) Chọn ra 3 nam từ 6 nam Có 3

6 20

Chọn 2 nữ từ 4 nữ Có 2

4 6

C  cách chọn

Vậy có 20.6 = 120 cách lập đoàn gồm có 3 nam và 2 nữ

n

C :

n n

3!4!

1

k k k

n n n



7 7 8

8!

70 4!4!

C C C  

BÀI TẬP.

1) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 lập các số tự nhiên gồm sáu chữ số khác nhau Hỏi:

a) Có tất cả bao nhiêu số ?

b) Có bao nhiêu số chẵn, bao nhiêu số lẻ ?

c) Có bao nhiêu số bé hơn 432000 ?

 Hướng dẫn:

a) Mỗi một hoán vị 6 chữ số trên ta được một số có 6 chữ số Vậy có 6! = 720 số

b) abcdef chẵn khi {2, 4, 6} có 3 cách chọn Sau khi chọn , các chữ số còn lại là hoán vị của 5 phần

tử là 5! = 120 cách Vậy có 3.120 = 360 số chẵn Tương tự cũng có 360 số lẻ

c) 123456  abcdef  431652

431def các chữ số d, e,  là hoán vị của các phần tử {6, 5, 2} nên có 3! = 6 số

42cdef các chữ số c, d, e,  là hoán vị của các phần tử {1, 3, 6, 5} nên có 4! = 24 số

41cdef các chữ số c, d, e,  là hoán vị của các phần tử {2, 3, 6, 5} nên có 4! = 24 số

abcdef chữ số a{1, 2, 3} có 3 cách và các chữ số còn lại có 5! = 120 cách nên có 3.120 = 360 số

Vậy có cả thảy 6 + 24 + 24 + 360 = 414 số bé hơn 432000

2) Giả sử có 7 bông hoa có màu sắc khác nhau và 3 lọ hoa khác nhau Hỏi có bao nhiêu cách cắm ba bông hoa vào 3 lọ đã cho (mỗi lọ cắm một bông) ?

 Hướng dẫn:

Lấy 3 bông hoa từ 7 bông và sắp xếp vào 3 lọ nên mỗi cách là chỉnh hợp chập 3 của 7

4!

3) Có bao nhiêu cách mắc nối tiếp 4 bóng đèn được chọn từ 6 bóng đèn khác nhau ?

 Hướng dẫn:

Lấy 4 từ 6 bóng đèn khác nhau và sắp xếp chúng nên mỗi cách sắp xếp là một chỉnh hợp chập 4 của 6

2!

4) Có bao nhiêu cách cắm 3 bông hoa vào 5 lọ khác nhau (mỗi lọ cắm không quá một bông) nếu:

 Hướng dẫn:

a) 3 bông hoa khác nhau được cắm vào 5 lọ khác nhau Mỗi cách cắm là một chỉnh hợp chập 3 của 5

2!

b) 3 bông hoa như nhau được cắm vào 5 lọ hay nói cách khác là chọn ra 3 từ 5 lọ để cắm hoa nên mỗi cách chọn là một tổ hợp chập 3 của 5 Do đó có 3

5

5!

10 2!3!

5) Trong Ban chấp hành đoàn gồm 7 người, cần chọn 3 người vào ban thường vụ

a) Nếu không có sự phân biệt chức vụ của 3 người trong ban thường vụ thì có bao nhiêu cách chọn ? b) Nếu cần chọn 3 người vào ban thường vụ với các chức vụ: Bí thư, Phó bí thư, Ủy viên thì có bao nhiêu cách chọn ?

 Hướng dẫn:

a) Chọn 3 từ 7 người Mỗi cách chọn là một tổ hợp chập 3 của 7 nên có 3

7 35

b) Chọn 3 từ 7 người và sắp xếp 3 người đó Mỗi cách chọn là một chỉnh hợp chập 3 của 7 nên có

3

7 210

6) Một tổ có 8 nam và 2 nữ Người ta cần chọn ra 5 em trong tổ tham dự cuộc thi học sinh thanh lịch của trường Yêu cầu trong các em được chọn phải có ít nhất một em nữ Hỏi có bao nhiêu cách chọn ?

 Hướng dẫn:

Số cách chọn 5 em trong 10 em là 5

10 252

8 56

cách chọn có ít nhất một nữ là 252 – 56 = 196 cách

7) Một nhóm học sinh có 7 em nam và 3 em nữ Người ta cần chọn ra 5 em trong nhóm tham gia đồng diễn thể dục Trong 5 em được chọn, yêu cầu không có quá một em nữ Hỏi có bao nhiêu cách chọn ?

 Hướng dẫn:

Số cách chọn tồn nam là 5

7 21

7 3 105

C C  cách

Vậy cĩ cả thảy 21 + 105 = 126 cách chọn

8) Trong lớp cĩ 42 học sinh gồm 27 nam và 15 nữ Cĩ mấy cách chọn học sinh đi dự lễ ngày Nhà giáo Việt Nam khi chọn:

a) 3 học sinh trong đĩ cĩ ít nhất một học sinh nam ?

b) 3 học sinh trong đĩ cĩ 1 nam và 2 nữ ?

 Hướng dẫn:

a) Số cách chọn 3 em trong 42 em là C 423 11480 cách Số cách chọn 3 em tồn nữ là C 153 455 Do đĩ

số cách chọn cĩ ít nhất một nam là 11480 – 455 = 22505 cách

b) Số cách chọn 3 em trong đĩ cĩ 1 nam và 2 nữ là 1 2

27 15 2835

C C  cách chọn

9) Một đội thanh niên tình nguyện cĩ 15 người gồm 12 nam và 3 nữ Hỏi cĩ bao nhiêu cách phân cơng đội thanh niên tình nguyện đĩ về giúp đỡ 3 tỉnh miềm núi sao cho mỗi tỉnh cĩ 4 nam và 1 nữ

 Hướng dẫn:

Phân cơng về tỉnh thứ nhất cĩ C C 124 13 1485 cách Sau khi phân cơng về tỉnh thứ nhất cĩ C C 84 21 140 cách phân cơng về tỉnh thứ hai và cĩ C C 44 11 1 Vậy cĩ cả thảy 1485.140.1=207900 cách phân cơng 10) Một đội văn nghệ cĩ 15 người gồm 10 nam và 5 nữ Hỏi cĩ bao nhiêu cách lập một nhĩm đồng ca gồm

8 người, biết rằng nhĩm đĩ cĩ ít nhất 3 nữ

 Hướng dẫn:

Chọn 3 nữ và 5 nam cĩ C C 53 105 2520; Chọn 4 nữ và 4 nam cĩ C C 54 104 1050; Chọn 5 nữ và 3 nam cĩ

5 3

5 10 120

11) Giải phương trình:

a) 2

6

x

2

2

1

x    ;

3

x x x

14x 14x 2 14x

C C   C  ;

 Hướng dẫn:

2(

x

x

x





 

( 1)! (2 2)! ( 1)! (2 2)!

x x

4 loại

2

2 2 2 1 ( 2) 4(2 1) 4 0 0, 4

x x x

1 (4x x)! ! (5x)(4x)!3.(6x)(5x)(4x)! 5x(5x)(6x) 

2

(5x)(6x)5(6x) 40 x 6x400x10(loại),x 4(loại)  PT vơ nghiệm

x

x

x



(14 )! ! (12 )!( 2)! (13 )!( 1)!

x x x

( 1)( 2) (14 )(13 ) 2( 2)(14 ) (14x)(13x)(x2)(x1)(13x x)( 1) x x  x x  x x 

2

x  x  x x

§3 NHỊ THỨC NEWTON.

1) CÔNG THỨC NHỊ THỨC:

0

n

n k n k k n n n n n n

k

a b C a  b C a C a b C ab  C b



 Nhận xét: Công thức nhị thức Newton có:

 (n + 1) số hạng

 Số hạng thứ k + 1 là k n k k

n

C a  b

 Các hệ số có tính đối xứng theo tính chất k n k

n n

C C 

 Tổng số mũ của a và b luôn bằng n



0

2

n

n k

n k

C







0

n

n k k

n k



 Vd1 Khai triển biểu thức (xy)6

Giải: Ta có

6

6 6 0 6 1 5 2 4 2 3 3 3 4 2 4 5 5 6 6

0

k

x y C x  y C x C x y C x y C x y C x y C xy C y



6 6 5 15 4 2 20 3 3 15 2 4 6 5 6

 Vd2 Tìm hệ số của 2 4

x y trong khai triển biểu thức (xy)6

Giải: Ta có

6

6 0

k



 

Nên hệ số của x y ứng với k = 4 là 2 4 4

6

C = 15

 Vd3 Khai triển biểu thức (x 2)6

Giải: Ta có

6

0

k



6 ( 2) 6( 2) 12 60 160 240 192 64

 Vd4 Tìm hệ số của x9 trong khai triển biểu thức (2x)19

Giải: Ta có

Nên hệ số của x9 ứng với k = 9 là ( 1)9C199219 9

2) TAM GIÁC PASCAL:

(a b ) , (a b ) , (a b ) , (a b ) , có thể xếp thành một tam giác gọi là tam giác Pascal

 Các ô trong tam giác Pascal được tính theo công thức

 Vd5 1 + 2 + 3 + 4 = [( 0

2

C + 1 2

C ) + 2

3

C ] + 3

4

C = ( 1

3

C + 2 3

C ) + 3

4

C = 2 4

C + 3

4

C = 3 5

C = 10

BÀI TẬP.

1) Khai triển biểu thức theo cơng thức nhị thức Newton:

13

1

x x



 Hướng dẫn:

a) a510a b4 40a b3 280a b2 380ab432b5; b) 6 5 4 3 2

c)

13

13 2 13 0

( 1)k k k

k







2) Tìm hệ số của x7 trong khai triển biểu thức:

 Hướng dẫn: a) C 117 330 b) C1573 28 7

3) Tìm hệ số của x y5 8 trong khai triển biểu thức xy13

13 1287

C 

4) Tìm hệ số của 3

x trong khai triển biểu thức

6 2

2

x x



6

2C 12 5) Tìm hệ số của x y25 10 trong khai triển biểu thức x3xy15

 Hướng dẫn: x y25 10 x3 5 xy 10 cĩ hệ số là 10

15 3003

6) Biết hệ số của x2 trong khai triển của (1 3 ) x n là 90 Tìm n

 Hướng dẫn: Ta cĩ

(1 3 ) ( 3 ) ( 3)

n k n k n k k n k

( 3)n k n k 90

n k C









! 20 ( 2)!

n n

 ( 1) 20 4(loại), 5

7) Biết hệ số của x n2 trong khai triển của 1

4

n

x



 Hướng dẫn:

0

n n k

k n k n k



2 2

n C

n



2

8) Tìm số hạng khơng chứa x trong khai triển

8

3 1

x x



8

Do đĩ số hạng khơng chứa x trong khai triển là 6

8 28

C 

(3x 4) thành đa thức, hãy tính tổng các hệ số của đa thức nhận được

 Hướng dẫn:

(3 4) k(3 ) k( 4)k k3 k( 4)k k

Tổng các hệ số là

17

17 0

k k k k



10) Chứng minh rằng:

 Hướng dẫn:

a)

10

0

11 1 (1 10) 1 k10 k 10 10 10 1 1 10 10

k



              chia hết cho 100

§4 PHÉP THỬ & BIẾN CỐ.

1) PHÉP THỬ, KHÔNG GIAN MẪU:

 Phép thử ngẫu nhiên là phép thử mà ta không đoán trước được kết quả của nó, mặc dù đã biết dược tập hợp tất cả các kết quả có thể có của phép thử đó

 Tập hợp các kết quả có thể xảy ra của một phép thử được gọi là không gian mẫu của phép thử và ký hiệu là  (ô mê ga)

 Vd1 Không gian mẫu của phép thử “Gieo một con súc sắc” là tập hợp  = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

2) BIẾN CỐ:

 Biến cố A là một tập con của không gian mẫu 

 Tập  được gọi là biến cố không thể (gọi tắt là biến cố không) Tập  được gọi là biến cố chắc chắn

 Vd2 Xét biến cố B: “Số chấm trên mặt xuất hiện là số lẻ khi gieo 1 con súc sắc” và biến cố C: “Số chấm trên mặt xuất hiện là số 0 khi gieo 1 con súc sắc” Hãy viết tập B và C mô tả hai biến cố trên Giải: B = {1, 3, 5}, C =  là biến cố không hề xảy ra

3) PHÉP TOÁN TRÊN BIẾN CỐ:

 Giả sử A là biến cố liên quan đến một phép thử Tập  \ A được gọi là biến cố đối của biến cố A, ký hiệu là A

 Vd3 Xét biến cố A: “Số chấm trên mặt xuất hiện là số lẻ khi gieo 1 con súc sắc” và biến cố B: “Số chấm trên mặt xuất hiện là số chẵn khi gieo 1 con súc sắc”

Ta có A và B là hai biến cố đối nhau và viết AB hoặc B A

 Nếu C = A  B thì C là biến cố “A hoặc B” Nếu C = A  B (còn viết A.B) thì C là biến cố “A và B”

 A  B =  thì ta nói A và B xung khắc

 Vd4 Xét phép thử gieo một đồng tiền hai lần với các biến cố:

A: “Kết quả của hai lần gieo là như nhau”;

B: “Có ít nhất một lần xuất hiện mặt sấp”;

C: “Lần thứ hai mới xuất hiện mặt sấp”;

D: “Lần đầu xuất hiện mặt sấp”

A = {SS, NN}; B = {SN, NS, SS}; C = {NS}; D = {SN, SS}

C  D = {SN, NS, SS}= B;

A  D = {SS} là biến cố “Cả hai lần đều xuất hiện mặt sấp”

BÀI TẬP.

1) Gieo một đồng tiền ba lần

a) Mô tả không gian mẫu

b) Xác định các biến cố:

A: “Lần đầu xuất hiện mặt sấp”;

B: “Mặt sấp xảy ra đúng một lần”;

C: “Mặt ngửa xảy ra ít nhất một lần”

 Hướng dẫn:

a)  = {SSS, SSN, NSS, SNS, NNS, NSN, SNN, NNN};

b) A = {SSS, SSN, SNS, SNN};

B = {SNN, NSN, NNS};

C = {NNN, NNS, SNN, NSN, NSS, SSN, SNS} =  \ {SSS}

2) Gieo một con súc sắc hai lần

a) Mô tả không gian mẫu

b) Phát biểu biến cố sau dưới dạng mệnh đề:

A = {(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)};

B = {(2, 6), (6, 2), (3, 5), (5, 3), (4, 4)};

C = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)}

 Hướng dẫn:

a)  = {(i, j)| 1  i, j  6}

b) A: “Lần gieo đầu xuất hiện mặt sáu”;

B: “Tổng số chấm hai lần gieo là 8”; C: “Kết quả của hai lần gieo như nhau”

3) Một hộp chứa bốn cái thẻ được đánh số 1, 2, 3, 4 Lấy ngẫu nhiên hai thẻ

a) Mô tả không gian mẫu

b) Xác định các biến cố sau:

A: “Tổng các số trên hai thẻ là số chẵn”;

B: “Tích của các số trên hai thẻ là số chẵn”

 Hướng dẫn:

a)  = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4)}

b) A = {(1, 3), (2, 4)};

B = {(2,1), (2, 3), (2, 4), (4, 1), (4, 3)} =  \ {(1, 3)}

4) Hai xạ thủ cùng bắn vào bia Ký hiệu A k là biến cố: “Người thứ k bắn trúng”, k = 1, 2

a) Hãy biểu diễn các biến cố sau qua các biến cố A A 1, 2

A: “Không ai bắn trúng”;

B: “Cả hai đều bắn trúng”;

C: “Có đúng một người bắn trúng”;

D: “Có ít nhất một người bắn trúng”

b) Chứng tỏ rằng A = D ; B và C xung khắc

 Hướng dẫn:

a) AA1A2; B = A1A2; C = (A1A2)(A1A2); D = A1A2

b) D là biến cố “Cả hai đều bắn trượt”, còn AA1A2 nên A = D; Ta có B  C =  nên xung khắc 5) Một hộp chứa 10 cái thẻ, trong đó các thẻ đánh số 1, 2, 3, 4, 5 màu đỏ, thẻ đánh số 6 màu xanh và thẻ đánh số 7, 8, 9, 10 màu trắng Lấy ngẫu nhiên một thẻ

a) Mô tả không gian mẫu

b) Ký hiệu A, B, C là các biến cố sau:

A: “Lấy được thẻ màu đỏ”;

B: “Lấy được thẻ màu trắng”;

C: “Lấy được thẻ ghi số chẵn”

Hãy biểu diễn các biến cố A, B, C bởi các tập con tương ứng của không gian mẫu

 Hướng dẫn:

a)  = {1, 2, 3, … , 10}

6) Gieo một đồng tiền liên tiếp cho đến khi lần đầu tiên xuất hiện mặt sấp hoặc bốn lần ngửa thì dừng lại a) Mô tả không gian mẫu

b) Xác định biến cố:

A: “Số lần gieo không vượt quá ba”;

B: “Số lần gieo là bốn”

 Hướng dẫn:

a)  = {S, NS, NNS, NNNS, NNNN}

b) A = {S, NS, NNS}

B = {NNNS, NNNN}

7) Từ một hộp chứa 5 quả cầu được đánh số 1, 2, 3, 4, 5, lấy ngẫu nhiên liên tiếp hai lần, mỗi lần một quả

và xếp theo thứ tự từ trái sang phải

a) Mô tả không gian mẫu

b) Xác định các biến cố sau:

A: “Chữ số sau lớn hơn chữ số trước”;

B: “Chữ số trước gấp đôi chữ số sau”;

C: “Hai chữ số bằng nhau”

 Hướng dẫn:

a)  = {12, 21, 13, 31, 14, 41, 15, 51, 23, 32, 24, 42, 25, 52, 34, 43, 35, 53, 45, 54}

b) A = {12, 13, 14, 15, 23, 24, 25, 34, 35, 45}

B = (21, 42}

C = 