chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử

Chương trình Toán bậc THCS có rất nhiều phần kiến thức cơ bản, trong đó chuyên đề “Phân tích đa thức thành nhân tử” là một trong những chuyên đề giữ một vai trò quan trọng, nó giúp cho h

Trang 1

PHẦN I: MỞ ĐẦU

1 LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI

1.1 Cơ sở pháp chế

Đào tạo bồi dưỡng học sinh trung bình yếu kém là một công tác thường xuyên của ngành giáo dục & đào tạo Trong xu thế phát triển hiện nay, tình trạng học sinh ở các vùng có điều kiện còn khó khăn bị mất gốc cũng như học yếu môn toán tương đối phổ biến Chính vì vậy, trong những năm gần đây, việc chống học sinh ngồi sai lớp diễn ra tích cực cho nên công tác cập nhật bổ trợ kiến thức cho học sinh luôn được ngành giáo dục hết sức chú trọng

1.2 Cơ sở lý luận

Toán học là môn học giữ vai trò quan trọng trong suốt bậc học phổ thông Là một môn học khó, đòi hỏi ở mỗi học sinh phải có một sự nỗ lực rất lớn để chiếm lĩnh những tri thức cho mình Chính vì vậy, việc tìm hiểu cấu trúc của chương trình, nội dung của SGK, nắm vững phương pháp dạy học, để từ đó tìm ra những biện pháp dạy học có hiệu quả là một công việc mà bản thân mỗi giáo viên đang trực tiếp giảng dạy

bộ môn toán thường xuyên phải làm

Trong công tác giảng dạy bộ môn Toán, việc kịp thời bổ trợ kiến thức cho các học sinh trung bình, yếu kém tạo điều kiện cho các em có cơ hội học tiếp lên các lớp trên Hàng năm nhà trường luôn tổ chức bồi dưỡng học sinh vào các thời điểm trong năm đặc biệt vào cuối năm đã chứng tỏ tầm quan trọng của nó

Chương trình Toán bậc THCS có rất nhiều phần kiến thức cơ bản, trong đó

chuyên đề “Phân tích đa thức thành nhân tử” là một trong những chuyên đề giữ một

vai trò quan trọng, nó giúp cho học sinh hình thành kỹ năng biến đổi đồng nhất trên các biểu thức đại số Chẳng hạn, để thực hiện rút gọn một biểu thức đại số thì không thể thiếu việc phân tích đa thức thành nhân tử, hay việc giải một phương trình sẽ gặp rất nhiều khó khăn nếu học sinh không thành thạo phân tích biểu thức vế trái thành nhân tử, thậm chí trong nhiều đề thi học kì, thi vào lớp 10, nhiều năm cũng có những bài toán về chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử, Chính vì vậy, việc bồi dưỡng cho học sinh chuyên đề về phân tích đa thức thành nhân tử là một trong những vấn đề mà bản thân tôi hết sức quan tâm

1.3 Cơ sở thực tiễn

Năm học này, bản thân tôi được Nhà trường và Phòng giáo dục giao cho nhiệm

vụ đào tạo bồi dưỡng học sinh môn toán 9 Đây là cơ hội để tôi đưa đề tài này áp dụng vào công tác bồi dưỡng học sinh

Với tất cả những lý do nêu trên, tôi quyết định chọn đề tài này

2 NHIỆM VỤ CỦA ĐỀ TÀI

Trang 2

- Nghiên cứu lí luận về phân tích đa thức thành nhân tử.

- Xây dựng hệ thống bài tập phân tích đa thức thành nhân tử với các phương pháp giải bài tập thích hợp cho từng bài với mức độ từ thấp đén cao

- Thực nghiệm việc sử dụng các phương pháp giải bài tập phân tích đa thức thành nhân tử trong giảng dạy

- Đề xuất một số bài học kinh nghiệm trong quá trình nghiên cứu

3 GIỚI HẠN CỦA ĐỀ TÀI

Đề tài này tôi chỉ đem ra áp dụng tại trường: Trường THCS Lê Lợi, huyện EaH’leo, tỉnh Đăk Lăk và dành cho đối tượng là học sinh bộ môn Toán lớp 9

4 ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU

Học sinh giỏi lớp 9 của Trường THCS Lê Lợi, huyện EaH’leo, tỉnh Đăk Lăk

5 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

Để thực hiện đề tài này, tôi sử dụng những phương pháp sau đây:

a) Phương pháp nghiên cứu lý luận

b) Phương pháp khảo sát thực tiễn

c) Phương pháp quan sát

d) Phương pháp phân tích, tổng hợp, khái quát hóa

e) Phương pháp tổng kết kinh nghiệm

PHẦN II : NỘI DUNG NGHIÊN CỨU

1 NỘI DUNG THỰC HIỆN

1.1 Cơ sở lí luận

1.1.1 Định nghĩa phân tích đa thức thành nhân tử

a) Định nghĩa 1

+ Nếu một đa thức được viết dưới dạng tích của hai hay nhiều đa thức thì ta nói rằng đa thức đã cho được phân tích thành nhân tử

+ Với bất kì đa thức ( khác 0 ) nào ta cũng có thể biểu diễn thành tích của một nhân tử khác 0 với một đa thức khác Thật vậy:

anxn + an-1xn-1 + … + a0 = c(

c

a n

xn +

c

a n 1

xn – 1 + … +

c

a0

) ( với c0, c1 )

b) Định nghĩa 2

Giả sử P(x)P x là đa thức có bậc lớn hơn 0 Ta nói P(x) là bất khả quy trên trường P nếu nó không thể phân tích được thành tích của hai đa thức bậc khác 0 và nhỏ hơn bậc của P(x) Trường hợp trái lại thì P(x) được gọi là khả quy hoặc phân tích được trên P

Trang 3

1.1.2 Các định lý cơ bản về phân tích đa thức thành nhân tử

a)Định lý 1

Mỗi đa thức f(x) trên trường P đều phân tích được thành tích các đa thức bất khả quy, và sự phân tích đó là duy nhất sai khác thứ tự các nhân tử và các nhân tử bậc 0.”

b) Định lý 2

Trên trường số thực R, một đa thức là bất khả quy khi và chỉ khi nó là bậc nhất hoặc bậc hai với biệt thức  < 0 Vậy mọi đa thức trên R có bậc lớn hơn 0 đều phân tích được thành tích của các đa thức bậc nhất hoặc bậc hai với < 0”

c) Định lý 3( Tiêu chuẩn Eisenten )

Giả sử f(x) = a0 + a1x + … + anxn , n > 1, an 0, là một đa thức hệ số nguyên Nếu tồn tại một số nguyên tố p sao cho p không phải là ước của an nhưng p là ước của các hệ số còn lại và p2 không phải là ước của các số hạng tự do a0 Thế thì đa thức f(x)

là bất khả quy trên Q

1.2 Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

Qua các định lý trên, ta đã chứng tỏ rằng mọi đa thức đều phân tích được thành tích các đa thức trên trường số thực R Song đó là mặt lí thuyết , còn trong thực hành thì khó khăn hơn nhiều , và đòi hỏi những “kĩ thuật” , những thói quen và kĩ năng “ sơ cấp” Dưới đây qua các ví dụ ta xem xét một số phương pháp thường dùng để phân tích một đa thức thành nhân tử

1.2.1 Phương pháp đặt nhân tử chung

Phương pháp này vận dụng trực tiếp tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng (theo chiều ngược).Sau đây là một số ví dụ :

Chuự yự a > 0, a  ( a) 2

Phân tích đa thức sau thành nhân tử: (Các bài này đơn giản nên chỉ giải tóm tắt hoặc ghi kết quả)

1) 5x – 5y = 5(x – y) ; 2) 2x2y + xy2 = xy(2x + y) ;

3) 12x2y2 – 18xy2 + 30y = 6y(2x2y – 3xy + 5) ;

4) x(y – 1) + 2(1 – y) = (x-2)(y-1)

5) 3 + 3 = 3( 3 + 1) ; 6) x - 3 x = x( x - 3) ; 7) 14  7 = 7( 2 1)  ; 8) 15  6= 3( 5  2) ; 9) ab  a = a( b 1);

10) 33  22 ; 11) 10 – 2 5 ; 12) ab a2  b2 ;

13) ax by  bx ay vụựi a,b,x,y dửụng

14) 3x - 3x + 6 - 2 3 ; 15) a + a  ab ; 16) 8 x + 4x ; 17) x y  y x ; 18) xm+2 - xm = xm(x2 – 1)

Phân tích đa thức sau thành nhân tử: (các bài này khó hơn nên giải chi tiết)

Bài 19:A = 2ax3 + 4bx2y + 2x2(ax - by)

Trang 4

Giải: Ta có : A = 2ax3 + 4bx2y + 2x2(ax –by)

= 2x2 (ax + 2by + ax – by)

=2x2(2ax + by)

Bài 20: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

P = (2a2 – 3ax)(5y + 2b) – (6a2 – 4ax)(5y + 2b)

Giải: Ta có: P = (2a2 – 3ax)(5y +2b) – (6a2 – 4ax)(5y + 2b)

= (5y+2b)((2a2 – 3ax) – (6a2 – 4ax))

= (5y + 2b)(- 4a2 + ax)

= (5y + 2b)(x – 4a)a

Bài 21: Phân tích đa thức thành nhân tử

B = 3x2(y – 2z ) – 15x(y – 2z)2

Giải: Ta thấy các hạng tử có nhân tử chung là y – 2z

Do đó : B = 3x2(y – 2z) – 15x(y – 2z)2

= 3x(y – 2z)((x – 5(y – 2z))

=3x(y – 2z)(x – 5y + 10z)

Bài 22 : phân tích đa thức sau thành nhân tử

C = (2a2 – 3ax)(5c + 2d) – (6a2 – 4ax)(5c +2d)

Giải: Ta có: C = (2a2 – 3ax)(5c + 2d) – (6a2 – 4ax)(5c + 2d) = (5c + 2d)(2a2 – 3ax – 6a2 + 4ax)

= (5c + 2d)(ax – 4a2)

= a(5c + 2d)(x – 4a)

Bài 23: phân tích đa thức sau thành nhân tử

Q = 3x3y – 6x2y – 3xy3 – 6xy2z – xyz2 + 3xy

Giải: Ta có: Q = 3x3y – 6x2y – 3xy3 – 6xy2z – xyz2 + 3xy

= 3xy(x2 – 2x –y2 – 2yz – z2 + 1) = 3xy((x2 – 2x + 1) – (y2 + 2yz + z2))

= 3xy((x – 1)2 – (y + z)2)

= 3xy((x – 1) –(y + z))((x – 1) + 9 y+ z))

= 3xy(x - y –z –1)(x + y + z – 1)

Bài 24 : Phân tích đa thức thành nhân tử:

A = 16x2(y – 2z) – 10y( y – 2z)

Giải: Ta có : A = 16x2(y – 2z) – 10y( y – 2z)

= (y – 2z)(16x2 – 10y)

Trang 5

Bài 25 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử

B = x3 + 3x2 + 2x + 6

Giải: Ta có : B = x3 + 3x2 + 2x + 6

= x2(x + 3) + 2( x + 3)

= (x2 + 2)(x + 3)

Bài 26 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử

A = 6z3 + 3z2 + 2z +1

Giải: Ta có : A = 6z3 + 3z2 + 2z +1

= 3z2(2z + 1) + (2z + 1)

= (2z + 1)(3z2 + 1)

1.2.2 Phương pháp nhóm các hạng tử

Phương pháp này vận dụng một cách thích hợp tính chất giao hoán, tính chất kết hợp của phép cộng, để làm xuất hiện từng nhóm các hạng tử có nhân tử chung, rồi sau đó vận dụng tính chất phân phối của phép nhân với phép cộng Sau đây là một số ví dụ : Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

1) x (x – y) + x – y = (x – y)(x + 1) ; 2) 2x + 2y –x (x + y) = (x + y)(2 – x) ;

3) 5x2 – 5xy – 10x + 10y = 5(x – y)(x – 2)

4) 4x2 + 8xy – 3x – 6y ;

5) 2x2 + 2y2 – x2z + z – y2z – 2 ;

6) ab + b a a  1

7) x3  y3  x2y xy2 ;

8) a3b ab3  (ab) 2 ;

9) bc(b + c) + ca( c – a) – ab(a + b)

10) 2a2b + 4ab2 – a2c + ac2 – 4b2c + 2bc2 – 4abc

B = xy2 – xz2 + yz2 – yx2 + zx2 – zy2

Giải: Ta có : B = xy2 – xz2 + yz2 – yx2 + zx2 – zy2

= (xy2 – xz2) + (yz2 - zy2) + (zx2 – yx2)

= x(y2 – z2) + yz(z – y) + x2(z – y)

= x(y – z)(y + z) – yz(y – z) – x2(y – z)

= (y – z)((x(y + z) – yz – x2))

= (y – z)((xy – x2) + (xz – yz)

= (y – z)(x(y – x) + z(x – y))

Trang 6

= (y – z)(x – y)(z – x) Bài 12 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử

A= 4x5 +6x3 +6x2 +9

Giải: Ta có : A= 4x5 +6x3 +6x2 +9

= 2x3(2x2 + 3) + 3(2x3 + 3)

= (2x3 + 3)(2x2 + 3)

Bài 13: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

B = x6 + x4 + x2 + 1

Giả: Ta có : B = x6 + x4 + x2 + 1

= x4(x2 + 1) + ( x2 + 1)

= (x2 + 1)(x4 + 1)

B = x2 + 2x + 1 – y2

Giải: Ta có: B = x2 + 2x + 1 – y2

= (x2 + 2x + 1) – y2

= (x + 1)2 – y2

=(x +1 – y)(x + 1 + y )

Bài 15 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử

A = x2 + 2xy + y2 – xz - yz

Giải: Ta có : A = x2 + 2xy + y2 – xz - yz

= (x2 + 2xy + y2) – (xz + yz)

= (x + y)2 – z(x + y)

= (x + y)(x + y – z)

P = 2xy + z + 2x + yz

Giải: Ta có : P = 2xy + z + 2x + yz

= (2xy + 2x) + (z + yz)

= 2x(y + 1) + z(y + 1)

= (y + 1)(2x + z)

1.2.3 Phương pháp dùng hằng đẳng thức đáng nhớ

Phương pháp này dùng hằng đẳng thức để đưa một đa thức về dạng tích, hoặc luỹ thừa bậc hai, bậc ba của một đa thức khác

Các hằng đẳng thức thường dùng là :

A2 + 2AB + B2 = (A + B)2

Trang 7

A2 - 2AB + B2 = (A - B)2

A2 - B2 = (A + B) (A - B)

(A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3

(A - B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3

A3 - B3 = (A - B)( A2 + AB + B2)

A3 + B3 = (A + B)( A2 - AB + B2)

Sau đây là một số bài tập cụ thể:

Phân tích đa thức sau thành nhân tử

1) x2 + 2x + 1 = (x + 1)2 ; 2) 1 – 2y + y2 = (1 – y)2 ;

3) x3 – 3x2 + 3x – 1 = (x – 1)3 ; 4) 27 + 27x + 9x2 + x3 ;

5) 8 – 125x3 = (2 – 5x)(4 + 10x + 25x2 ; 6) 64x3 +

8

1

; 7) 1 – x2y4 ; 8) (x – y)2 – 4 = (x – y – 2)(x – y + 2) ; 9) 16x2 – 9(x + y)2 ; 10) x + 2 x + 1 11) x – 2 xy + y = ( x y) 2 ; 12) 1 - x x ; 13) a a - 1 ;

14) x x - 8 ; 15) x x + y y

16) (x + y)3 – x3 – y3 = 3xy(x + y); 17) (x – y + 4)2 – (2x + 3y – 1)2

A = x4 + x2y2 + y4

Giải: Ta có : A = x4 + x2y2 + y4

= (x4 + 2x2y2 + y4) - x2y2

= (x2 + y2)2 - x2y2

= (x2 + y2 + xy)(x2 + y2 – xy)

M = x4 + x2 + 1 + (x2 – x + 1)2

Giải: Ta có : M = x4 + x2 + 1 + (x2 – x + 1)2

= (x4 + 2x2 + 1) – x2 + (x2 – x + 1)2

= (x2 + 1)2 – x2 + (x2 – x + 1)2

= (x2 – x + 1) (x2 + x + 1) + (x2 – x + 1)2

= (x2 – x + 1) (x2 + x + 1 + x2 – x + 1)

= 2(x2 – x + 1)(x2 + 1)

Trang 8

A = (x + y)3 +(x - y)3

Giải: Dựa vào đặc điểm của vế trái và áp dụng hằng đẳng thức ta sẽ có cách khác

giải như sau :

Cách 1: A = (x + y)3 +(x - y)3

= ((x + y) +(x - y))3 – 3((x + y) +(x - y)) (x + y)(x - y)

= 8x3 – 3.2x(x2 – y2)

= 2x(4x2 – 3(x2 – y2))

= 2x(x2 + 3y2)

Cách 2: A = (x + y)3 +(x - y)3

= ((x + y) +(x - y))((x + y)2 – (x + y)(x – y) + (x – y)2

= 2x(2(x2 + y2) - (x2 – y2))

= 2x(x2 + 3y2)

A = 16x2 + 40x + 25

Giải: Ta có: A = 16x2 + 40x + 25

= (4x)2 + 2.4.5.x + 52

B = (x - y)3 +(y - z)3 +(z - x)3

Giải: Dễ thấy : x – y =(x – z) + (z – y)

Từ đó ta có : (x - y)3 = (x – z)3 + (z – y)3 + 3(x – z)(z – y)((x – z) + (z – y))

= - (z - x)3 - (y - z)3 + 3(z – x)(y – z)(x – y)

A = (a + b+ c)3 – (a3 + b3+ c3)

Giải: Ta có: A = (a + b+ c)3 –(a3 + b3+ c3)

= a3 + 3a2(b + c) + 3a(b + c)2 + (b + c)3 - (a3 + b3+ c3)

= a3 + 3a2(b + c) + 3a(b + c)2 + b3 + 3b2c + c3 - (a3 + b3+ c3) = 3a2(b + c) + 3a(b + c)2 + 3bc(b + c)

= 3(b + c)(a2 + ab + ac + bc)

P = x8 – 28

Trang 9

Giải: Ta có : P = x8 – 28

= (x4 + 24) (x4 - 24)

= (x4 + 24)((x2)2 – (22)2 )

= (x4 + 24)(x2 – 22)(x2 + 22)

= (x4 + 24)(x2 + 22)(x – 2)(x + 2)

Q = (x3 – 1) + (5x2 – 5) + (3x – 3)

Giải: Ta có: Q = (x3 – 1) + (5x2 – 5) + (3x – 3)

= (x – 1)(x2 + x + 1) + 5(x – 1) (x + 1) + 3(x – 1)

= (x – 1)( x2 + x + 1 + 5x + 5 + 3)

1.2.5 Phương pháp đặt ẩn phụ

Bằng phương pháp đặt ẩn phụ (hay phương pháp đổi biến) ta có thể đưa một đa thức với ẩn số cồng kềnh , phức tạp về một đa thức có biến mới, mà đa thức này sẽ

dễ dàng phân tích được thành nhân tử Sau đây là một số bài toán dùng phương pháp đặt ẩn phụ

A = (x2 + x) + 4(x2 + x) - 12

Giải: Đặt : y = x2 + x , đa thức đã cho trở thành :

A = y2 + 4y – 12

= y2 – 2y + 6y – 12

= y(y – 2) + 6(y – 2)

= (y – 2)(y + 6) (1)

Thay : y = x2 + x vào (1) ta được :

A = (x2 + x – 2)(x2 + x – 6)

= (x – 1)(x + 2)(x2 + x – 6)

A = (x2 + x + 1)( x2 + x + 2) - 12

Giải: A = (x2 + x + 1)( x2 + x + 2) - 12

Đặt y = (x2 + x + 1) Đa thức đã cho trở thành :

A = y(y + 1) – 12

= y2 + y – 12

= y2 – 3y + 4y – 12

Trang 10

= y(y – 3) + 4(y – 3)

= (y – 3)(y + 4) (*)

Thay: y = (x2 + x + 1) vào (*) ta được :

A = (x2 + x + 1 - 3)(x2 + x + 1 + 4)

= (x2 + x – 2) (x2 + x + 6)

= (x – 1)(x + 2)(x2 + x + 6)

B = x12 – 3x6 + 1

Giải: B = x12 – 3x6 + 1

Đặt y = x6 (y  0)

Đa thức đã cho trở thành :

B = y2 – 3y + 1

= y2 – 2y + 1 – y

= (y – 1)2 – y

= (y – 1 - y )(y + 1 + y ) (*)

Thay : y = x6 vào (*) được :

B = (x6 – 1 - x6 )(y 1  x6 )

= (x6 – 1 – x3)(x6 + 1 + x3)

A = x2 + 2xy + y2 – x – y - 12

Giải: Ta có: A = x2 + 2xy + y2 – x – y – 12 = (x + y)2 – (x + y) – 12

- Đặt X = x + y, đa thức trên trở thành :

A = X2 – X – 12

= X2 - 16 – X + 4

= (X + 4)(X - 4) - (X - 4)

= (X - 4)(X + 4 - 1)

= (X - 4)(X + 3) (1)

- Thay X = x + y vào (1) ta được :

A = (x + y – 4)( x + y + 3)

Trang 11

1.2.6 Phương pháp đề xuất bình phương đủ ( tách số hạng)

Phương pháp đề xuất bình phương đủ là phương pháp thêm, bớt các hạng tử trong đa thức để làm xuất hiện các đa thức có thể đưa về hằng đẳng thức đáng nhớ Sau đây là một số ví dụ :

Phân tích đa thức sau thành nhân tử

1) x3 – 7x – 6

Caựch giaỷi 1: Taựch -7x = - x – 6x ủửụùc (x + 1)(x2 – x – 6) roài taựch tieỏp 6 =

-2 – 4

ẹaựp soỏ: (x + 1)(x + 2)(x – 3)

Caựch giaỷi 2:Taựch –7x = - 4x –3x ủửụùc (x + 2)(x2 – 2x – 3) roài taựch tieỏp – 3

= -1 – 2

Caựch giaỷi 3: Taựch – 6 = 8 – 14

2) x3 – x – 6

Caựch giaỷi 1: Taựch - 6 = -4 -2 ủửụùc (x2 – 4) – (x + 2) =

ẹaựp soỏ: (x + 2)(x – 3)

Caựch giaỷi 2: Taựch - 6 = - 9 + 3 ủửụùc x 2 – 9 – (x – 3) = …

Caựch giaỷi 3: Taựch - x = 2x – 3x ủửụùc (x2 + 2x) – ( 3x + 6) = …

3) x4 + 4x2 – 5 = (x4 + 4x2 + 4) – 9 = (x2 + 2)2 – 32 = …

A = x2 – 6x + 5

Giải: Ta có thể giải bài toán trên đây bằng một số cách như sau:

Cách 1: A = x2 – 6x + 5

= x2 – x – 5x + 5

= x(x – 1) – 5(x – 1)

= (x – 1)(x – 5)

Cách 2 : A = x2 – 6x + 5

= (x2 - 2x + 1) – 4x + 4

= (x – 1)2 – 4(x – 1)

= (x – 1)(x – 1 - 4)

= (x – 1)(x – 5)

Cách 3 : A = x2 – 6x + 5

= (x2 – 6x + 9) – 4

= (x – 3)2 – 4

= (x – 3 – 2) (x – 3 + 2)

Định dạng
Số trang	18
Dung lượng	138 KB