chuyên đề “các phương pháp phân phân tích đa thức thành nhân tử

Phương pháp: - Dùng các hằng đẳng thức đáng nhớ để phân tích đa thức thành nhân tử.. - Áp dụng tiếp tục các phương pháp đặt nhân tử chung, hoặc dùng hằng đẳng thức... Ta thấy đa thức khô

CHUYÊN ĐỀ

“CÁC PHƯƠNG PHÁP PHÂN PHÂN TÍCH ĐA THỨC

THÀNH NHÂN TỬ”

BỘ MÔN: TOÁN

Giáo viên báo cáo: Phan Thị Huyền

I.CÁC PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN

1 Phương pháp đặt nhân tử chung.

a Phương pháp.

- Tìm nhân tử chung là những đơn thức, đa thức có mặt trong tất cả các hạng tử

- Phân tích mỗi hạng tử thành tích các nhân tử chung và một nhân tử khác

- Viết nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc, viết các nhân tử còn lại của mỗi hạng tử vào trong dấu ngoặc ( kể cả dấu của chúng)

b Ví dụ:

15a2b2 - 9a3b + 3a2b = 3a2b ( 5b - 3a + 1)

2x (y - z ) + 5y (z - y ) = 2 x (y -z ) - 5y(y -z ) = (y- z)(2x - 5y)

xm + 3 + xm( x3 + 1) = xm(2x3 + 1)

2.Phương pháp dùng hằng đẳng thức.

a Phương pháp:

- Dùng các hằng đẳng thức đáng nhớ để phân tích đa thức thành nhân tử

b Ví dụ:

9x2 - 4 = (3x)2 - 22 = (3x-2)(3x+2)

8 -27a3b6 = 23 - (3ab2)3 = (2-3ab2)(4+6ab2+9a2b4)

25x4 - 10x2y+y2 = (5x2-y)2

3.Phương pháp nhóm hạng tử.

a Phương pháp

- Kết hợp các hạng tử thích hợp thành từng nhóm.

- Áp dụng tiếp tục các phương pháp đặt nhân tử chung, hoặc dùng hằng đẳng thức

b VÝ dô : Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö:

A = 5a2 + 3(a + b)2 - 5b2

Ta thấy đa thức không có dạng hằng đẳng thức, các hạng tử cũng không có nhân tử chung, vậy làm gì để phân tích đợc Quan sát

kỹ ta thấy hai hạng tử 5a2 - 5b2 có nhân tử chung Vì vậy ta dùng

ph-ơng pháp nhóm các hạng tử đầu tiên:

A = (5a2 - 5b2) + 3(a + b)2

Sau đó đặt nhân tử chung của nhóm thứ nhất để làm xuất hiện hằng đẳng thức:

M3 = 5(a2 - b2) + 3 (a + b)2

Sử dụng hằng đẳng thức ở nhóm đầu làm xuất hiện nhân tử chung của cả hai nhóm là (a + b):

A = 5(a + b) (a - b) + 3 (a + b)2

A đã có nhân tử chung là: (a + b) Ta tiếp tục đặt nhân tử chung

A = (a + b)[5(a - b) + 3(a + b)]

A = (a + b)(8a – 2b)

Nh vậy A đã đợc phân tích thành tích của hai nhân tử (a + b)

và (8a - 2b)

4 Phối hợp nhiều phương phỏp.

a Phương phỏp: Chọn cỏc phương phỏp theo thứ tự ưu tiờn

+ Đặt nhõn tử chung

+ Dựng hằng đẳng thức

+ Nhúm nhiều hạng tử

b.Ví dụ : Phân tích đa thức thành nhân tử.

B = 3x3y - 6x2y - 3xy3 - 6xy2z - 3xyz2 + 3xy

Trớc hết hãy xác định xem dùng phơng pháp nào trớc ?

Ta thấy các hạng tử đều chứa nhân tử chung 3xy

+ Đặt nhân tử chung

B = 3xy (x2 - 2x - y2 - 2yz - z2 + 1)

Trong ngoặc có 6 hạng tử hãy xét xem có hằng đẳng thức nào không?

+ Nhóm hạng tử: B = 3 xy[(x2 - 2x + 1 ) - (y2 + 2y z + z2)]

+ Dùng hằng đẳng thức: B = 3xy [( x - 1)2 - ( y + z)2] xem xét hai hạng tử trong ngoặc có dạng hằng đẳng thức nào?

+ Sử dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phơng ta có:

B = 3xy (x + y + z - 1) (x - y - z - 1)

Vậy: B đã đợc phân tích các đa thức thành nhân tử

Khi phân tích đa thức thành nhân tử ta cần chú ý quan sát đa thức, linh hoạt phối hợp sử dụng các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử đã học để các bớc phân tích đợc rõ ràng, mạch lạc

và triệt để (đa thức không thể phân tích đợc nữa)

5 Phương phỏp tỏch một hạng tử thành hai hay nhiều hạng tử

a Phương phỏp:

Tỏch một hạng tử thành hai hạng tử để đa thức cú nhiều hạng tử hơn rồi dựng phương phỏp nhúm hạng tử và đặt nhõn tử chung

b Vớ dụ :

Phõn tớch đa thức x2 - 6x + 8 thành nhõn tử

* cỏch 1: x2- 6x + 8 = x2 - 2x - 4x + 8

= x (x - 2) - 4(x -2) = (x - 2) (x - 4)

* Cỏch 2: x2 - 6x + 8 = x2 - 6x + 9 - 1

= ( x - 3)2 - 1

=( x -3 - 1)( x- 3 + 1)

= (x - 4)(x -2)

* Cỏch 3: x2 - 6x + 8 = x2 - 4 - 6x + 12

=(x - 2)(x+2) - 6(x - 2) = (x - 4)(x -2)

* Cỏch 4: x2 - 6x + 8 = x2 - 16 - 6x + 24 =( x - 4)(x + 4 ) - 6 (x - 4)

=(x - 4)(x + 4 - 6) = (x - 4)(x -2)

* Cách 5: x2 - 6x + 8 = x2 - 4x + 4 -2x + 4 = (x - 2)2 - (x - 2)

=( x -2)(x- 2- 2) = (x - 4)(x -2)

Có nhiều cách tách nhưng thông dụng nhất vẫn là hai cách sau:

Cách 1: Tách hạng tử bậc nhất thành hai hạng tử rồi dùng phương pháp nhóm hạng

tử và đặt nhân tử chung

Áp dụng trong khi phân tích tam thức bậc hai ax2 + bx + c thành nhân tử ta làm như sau:

- Tìm tích ac

- Phân tích tích ac thành tích của hai số nguyên khác bằng mọi cách

- Chọn hai thừ số có tổng bằng b

Khi đó hạng tử bx được tách thành hai hạng tử bậc nhất

Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhan tử : 4x2 - 4x - 3

- Tích ac là 4.(- 3) = - 12

- Phân tích ; -12 = -1 12 = 1.(-12) =-2 6 = -3 4 =3 (-4)

- Chọn 2 thừa số có tổng là : - 4 đó là 2 và (- 6)

4x2 - 4x - 3 = 4x2 + 2x - 6x - 3 = 2x( 2x+ 1) - 3 (2x + 1)

= (2x + 1)(2x - 3)

Cách 2 : Tách hạng tử không đổi thành hai hạng tử rồi đưa đa thức về dạng hiệu hai

bình phương

Ví dụ : 4x2 - 4x - 3 = 4x2 - 4x +1 - 4 = ( 2x - 1)2 - 22

= (2x - 1 - 2)(2x - 1 +2) = (2x + 1)(2x-3)

3x2 - 8x + 4 = 4x2- 8x + 4 - x2 = (2x - 2 )2 - x2

= ( 2x - 2 - x)(2x -2 + x ) = (x - 2 )(3x -2)

6 Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử

a Phương phỏp : Thờm bớt cựng một hạng tử để đưa đa thức về dạng hằng đẳng

thức hoặc nhúm nhiều hạng tử Thụng thường hay đưa về dạng a2- b2 sau khi thờm bớt

b Vớ dụ :

* Thờm, bớt cựng một số hạng tử để xuất hiện hiệu hai bỡnh phương:

Ví dụ a: 4x4 + 81 = 4x4 + 36x2 + 81 - 36x2 = (2x2 + 9)2 – 36x2

= (2x2 + 9)2 – (6x)2 = (2x2 + 9 + 6x)(2x2 + 9 – 6x)

= (2x2 + 6x + 9 )(2x2 – 6x + 9)

Ví dụ b: x8 + 98x4 + 1 = (x8 + 2x4 + 1 ) + 96x4

= (x4 + 1)2 + 16x2(x4 + 1) + 64x4 - 16x2(x4 + 1) + 32x4

= (x4 + 1 + 8x2)2 – 16x2(x4 + 1 – 2x2) = (x4 + 8x2 + 1)2 - 16x2(x2 – 1)2

= (x4 + 8x2 + 1)2 - (4x3 – 4x )2

= (x4 + 4x3 + 8x2 – 4x + 1)(x4 - 4x3 + 8x2 + 4x + 1)

Ví dụ c: Phân tích đa thức P1 = x4 + 4 thành nhân tử

P1 = x4 + 4

= x4 + 4x2 + 4 - 4x2 (thêm 4x2, bớt 4x2)

= (x4 + 4x2 + 4) - 4x2 (nhóm hạng tử)

= (x2 + 2)2 - (2x)2 (dùng hằng đẳng thức)

= (x2 + 2x + 2) (x2 - 2x + 2)

Ví dụ d: Phân tích đa thức : P2 = a4 + 64 thành nhân tử

P2 = (a4 + 16a2 +64) - 16a2 (thêm 16a2, bớt 16a2)

= (a2 + 8)2 - (4a)2

= (a2 + 4a + 8) (a2 - 4a + 8)

Nh vây việc thêm bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện hằng

đẳng thức rất tiện lợi, song ta cần xem xét thêm, bớt hạng tử

nào? để xuất hiện hằng đẳng thức nào? bình phơng của 1 tổng hay hiệu hai bình phơng thì mới phân tích triệt để đ-ợc

* Thờm, bớt cựng một số hạng tử để xuất hiện nhõn tử chung

Ví dụ a: x7 + x2 + 1 = (x7 – x) + (x2 + x + 1 ) = x(x6 – 1) + (x2 + x + 1 )

= x(x3 - 1)(x3 + 1) + (x2 + x + 1 ) = x(x – 1)(x2 + x + 1 ) (x3 + 1) + (x2 + x + 1)

= (x2 + x + 1)[x(x – 1)(x3 + 1) + 1] = (x2 + x + 1)(x5 – x4 + x2 - x + 1)

Ví dụ b: x7 + x5 + 1 = (x7 – x ) + (x5 – x2 ) + (x2 + x + 1)

= x(x3 – 1)(x3 + 1) + x2(x3 – 1) + (x2 + x + 1)

= (x2 + x + 1)(x – 1)(x4 + x) + x2 (x – 1)(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1)

= (x2 + x + 1)[(x5 – x4 + x2 – x) + (x3 – x2 ) + 1] = (x2 + x + 1)(x5 – x4 + x3 – x + 1)

II.CÁC PHƯƠNG PHÁP KHÁC:

1 Phương phỏp đổi biến ( Đặt ẩn phụ )

a Phương phỏp:

Đặt ẩn phụ đua về dạng tam thức bậc hai rồi sử dụng cỏc phương phỏp cơ bản

b Vớ dụ: Phõn tớch đa thức 6x4 - 11x2 + 3 thành nhõn tử

Đặt x2 = y ta được 6y2 - 11y + 3 = ( 3y + 1)(2y + 3)

Vậy: 6x4 - 11x2 + 3 = ( 3x2 - 1 )(2x2 - 3)

* Phõn tớch đa thức (x2 + x)2 + 3(x2 + x) +2 thành nhõn tử

Đặtt x2 + x = y ta được y2 + 4y + 2 = (y +1)(y+2)

Vậy: (x2 + x)2 + 3(x2 + x) +2 = ( x2 + x + 1)( x2 + x +2)

2.) Ph ương ph ỏp hệ số bất định :

a Phương phỏp:

+ Đa thức f(x) cú nghiệm hữu tỉ thỡ cú dạng p/q trong đú p là ước của hệ số tự do, q

là ước dương của hệ số cao nhất

+ Nếu f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì f(x) có một nhân tử là x – 1

+ Nếu f(x) có tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các hạng tử bậc lẻ thì f(x) có một nhân tử là x + 1

+ Nếu a là nghiệm nguyên của f(x) và f(1); f(- 1) khác 0 thì

f(1)

a - 1

và

f(-1)

a + 1 đều là

số nguyên Để nhanh chóng loại trừ nghiệm là ước của hệ số tự do

b VÝ dô : Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö

a) x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3

Nhận xét: các số ±

1, ±

3 không là nghiệm của đa thức, đa thức không có nghiệm nguyên cũng không có nghiệm hữu tỉ

Như vậy nếu đa thức phân tích được thành nhân tử thì phải có dạng

(x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 + (a + c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd

đồng nhất đa thức này với đa thức đã cho ta có:

6 12 14 3

a c

ac b d

ad bc bd

+ = −



 + + =



 + = −



 =



Xét bd = 3 với b, d ∈ Z, b ∈ {± ± 1, 3}

với b = 3 thì d = 1 hệ điều kiện trên trở thành

6

3

a c

bd

+ = −





 =



Vậy: x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3 = (x2 - 2x + 3)(x2 - 4x + 1)

b) 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + 8

Nhận xét: đa thức có 1 nghiệm là x = 2 nên có thừa số là x - 2 do đó ta có:

2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + 8 = (x - 2)(2x3 + ax2 + bx + c)

= 2x4 + (a - 4)x3 + (b - 2a)x2 + (c - 2b)x - 2c ⇒

4 3

1

5

2 6

4

2 8

a

a

b a

b

c b

c c

− = −



 − = −

− =



Suy ra: 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + 8 = (x - 2)(2x3 + x2 - 5x - 4)

Ta lại cú 2x3 + x2 - 5x - 4 là đa thức cú tổng hệ số của cỏc hạng tử bậc lẻ và bậc chẵn bằng nhau nờn cú 1 nhõn tử là x + 1 nờn

2x3 + x2 - 5x - 4 = (x + 1)(2x2 - x - 4)

Vậy: 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + 8 = (x - 2)(x + 1)(2x2 - x - 4)

c) 12x2 + 5x - 12y2 + 12y - 10xy - 3 = (a x + by + 3)(cx + dy - 1)

= acx2 + (3c - a)x + bdy2 + (3d - b)y + (bc + ad)xy – 3

⇒

12

4 10

3

6 12

2

ac

a

bc ad

c

c a

b bd

d

d b

=



− =



⇒

12x2 + 5x - 12y2 + 12y - 10xy - 3 = (4 x - 6y + 3)(3x + 2y - 1)

3 Phương pháp tìm nghiệm của đa thức.

a Ph ương phỏp:

Nguyên tắc: Nếu đa thức ax3 + bx2 + cx+ d (1) có nghiệm thì theo định lý Bơ du ta có: Nếu m là nghiệm của (1) thì m chứa nhân tử (x - m), khi đó dùng phép chia đa thức ta có:

ax3 + bx2 + cx + d = (x - m) (a'x2 + b'x + c'), nhân tử bậc hai có thể phân tích tiếp đợc dựa vào các phơng pháp nêu ở trên

Các phơng pháp tìm nghiệm của đa thức bậc 3:

+ Nếu tổng các hệ số: a + b + c + d = 0 đa thức có nghiệm x

= 1

⇒ đa thức chứa nhân tử chung (x - 1)

+ Nếu tổng các hệ số bậc chẵn bằng tổng hệ số bậc lẻ tức là a - c

= b +d đa thức có x =-1

⇒ đa thức chứa nhân tử chung (x + 1)

+ Nếu không xét đợc tổng các hệ số nh trên thì ta xét các ớc của hệ số tự do d (hệ số không đổi) Nếu ớc nào của d làm cho

đa thức có giá trị bằng 0 thì ớc đó là nghiệ

b Vớ dụ :

Vớ dụ 1 Phõn tớch đa thức thành nhõn tử: x3 – x2 - 4

Ta nhõn thấy nghiệm của f(x) nếu cú thỡ x = ± ± ±1; 2; 4

, chỉ cú f(2) = 0 nờn x = 2 là nghiệm của f(x) nờn f(x) cú một nhõn tử là x – 2 Do đú ta tỏch f(x) thành cỏc nhúm cú xuất hiện một nhõn tử là x – 2

Cỏch 1:

x3 – x2 – 4 = (x3−2x2) (+ x2−2x)+(2x− =4) x x2( − +2) x x( − +2) 2(x−2)

=

(x−2) (x2+ +x 2)

Cỏch 2:

( ) ( )

x −x − = x − −x + = x − − x − = −x x + + − −x x x+

=

(x 2)(x2 2x 4) (x 2) (x 2)(x2 x 2)

Vớ dụ 2 Phõn tớch đa thức thành nhõn tử:f(x) = 3x3 – 7x2 + 17x – 5

Nhận xột: ± ±1, 5

khụng là nghiệm của f(x), như vậy f(x) khụng cú nghiệm nguyờn Nờn f(x) nếu cú nghiệm thỡ là nghiệm hữu tỉ

Ta nhận thấy x =

1 3

là nghiệm của f(x) do đú f(x) cú một nhõn tử là 3x – 1 Nờn

f(x) = 3x3 – 7x2 + 17x – 5 =

3x −x −6x + +2x 15x− =5 3x −x − 6x −2x + 15x−5

=

2(3 1) 2 (3 1) 5(3 1) (3 1)( 2 2 5)

x x− − x x− + x− = x− x − +x

Vỡ

2 2 5 ( 2 2 1) 4 ( 1)2 4 0

x − + =x x − + + = −x x + >

với mọi x nờn khụng phõn tớch được thành nhõn tử nữa

Vớ dụ 3 Phõn tớch đa thức thành nhõn tử: x3 + 5x2 + 8x + 4

Nhận xột: Tổng cỏc hệ số của cỏc hạng tử bậc chẵn bằng tổng cỏc hệ số của cỏc hạng tử bậc lẻ nờn đa thức cú một nhõn tử là x + 1

x3 + 5x2 + 8x + 4 = (x3 + x2 ) + (4x2 + 4x) + (4x + 4) = x2(x + 1) + 4x(x + 1) + 4(x + 1)

= (x + 1)(x2 + 4x + 4) = (x + 1)(x + 2)2

Vớ dụ 4 Phõn tớch đa thức thành nhõn tử:f(x) = x5 – 2x4 + 3x3 – 4x2 + 2

Tổng cỏc hệ số bằng 0 thỡ nờn đa thức cú một nhõn tử là x – 1, chia f(x) cho (x – 1)

ta cú:

x5 – 2x4 + 3x3 – 4x2 + 2 = (x – 1)(x4 - x3 + 2x2 - 2x - 2)

Vỡ x4 - x3 + 2x2 - 2x - 2 khụng cú nghiệm nguyờn cũng khụng cú nghiệm hữu tỉ nờn khụng phõn tớch được nữa

Ví dụ 5: Phân tích đa thức thành nhân tử.

E1 = x3 + 3x2 - 4 xét tổng các hệ số ta thấy

a + b + c = 1 + 3 + (-4) = 0 ⇒ x1 = 1

E1 = (x - 1) (x2 + 4x + 4) (chia E1 Cho (x - 1) )

Sau đó dùng các phơng pháp đã học để phân tích tiếp

E1 = (x - 1) (x + 2)2

Ví dụ 6: Phân tích đa thức thành nhân tử.

E2 = x3 - 3x + 2

Ta thấy tổng và hiệu các hệ số của E2 ≠ 0 do đó loại x = ± 1

Xét các Ư(2) = ± 2 có x = -2 là nghiệm của E2

⇒ E2 = (x + 2)(x2 - 2x + 1) (Chia E2 cho(x - 2))

E2 = (x + 2) (x -1)2

Các ví dụ trên đây là một số phơng pháp để phối kết hợp với các phơng pháp thông thờng giúp học sinh phân tích đợc các bài toán khó thành nhân tử giúp cho quá trình rút gọn phân thức cũng nh giải phơng trình

3 Phương phỏp xột giỏ trị riờng

a Phương phỏp:

Xỏc định dạng cỏc thừa số chứ biến của đa thức, rồi gỏn cho cỏc biến cú giỏ trị cụ thể xỏc định thừ số cũn lại

b Vớ dụ:

P = x2(y - z) + y2(z - x) + z(x - y) thay x bởi y thỡ thấy

P = y2 ( y- z) + y2 (z - y) = 0 như vậy P chứa thừa số (x -y)

Vậy nếu thay x bởi y, thay y bởi z, thay z bởi x thỡ P khụng đổi ( đa thức P cú thể hoỏn vị vũng quanh) Do đú nếu P cú chứ thừ số (x - y) thỡ P củng chứa thừa số (y - z), (z - x ) Vậy P cú dạng k(x - y)(y - z)(z - x)

Ta thấy k phải là hằng số vỡ p cú bậc ba đối với tập hợp cỏc biến x, y, z

cũn tớch (x - y)(y - z)(z - x) củng cú bậc ba đối với tập hợp cỏc biến x, y,z

Vỡ đẳng thức x2(y - z) + y2(z - c) + z(x - y) = k(x - y)(y - z)(z - x)

đỳng với mọi x, y, z Nờn ta gỏn cho cỏc biến x, y, z cỏc giỏ trị riờng chẳng hạn:

x = 2, y = 1, z = 0

ta được: 4.1 + 1.(-2) + 0 = k.1.1.(-2)

⇒

k =-1

Vậy P = - (x - y)(y - z)(z - x) = (x - y)(y - z)(x - z)

c)Ngoài ra ta còn có nhận xét : Giả sử phải phân tích biểu thức F(a,b,c) thành nhân tử , trong đó a,b,c có vai trò như nhau trong biểu thức Nếu F(a,b,c) = 0 khi a=b thì F(a,b,c) sẽ chứ nhân tử a-b,b-c,c-a Nếu F(a,b,c) là biểu thức đối xứng của a,b,c nhưng F(a,b,c) ≠ 0 khi a = b thì ta thử xem khi a= -b, F(a,b,c)

có triệt tiêu không , nếu thỏa mãn thì F(a,b,c) chứa nhân tử a+b và từ đó chứa các nhân tử b+c, c+a.

* Ví dụ 1: Phân tích đa thức thành nhân tử

F(a,b,c) = a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b)

- Khi a= b ta có F(a,b,c) = a2(a-c)+a2(c-a) = 0,do đó F(a,b,c) có chứa nhân tử (a-b)

Tương tự F(a,b,c) chứa các nhân tử (b-c) và (c-a) Vì F(a,b,c) là biểu thức bậc ba

do đó F(a,b,c) = k(a-b)(b-c)(c-a) Cho a= 1,b=0,c= -1 ta có

1+1 = k.1.1.(-2) ⇒ k = -1

Vậy F(a,b,c) = -(a-b)(b-c)(c-a)

* Ví dụ 2:Phân tích đa thức thành nhân tử

F(x,y,z) = (xy+xz+yz)(x+y+z) - xyz

- Khi x = -y thì F(x,y,z)= -y2z + y2z = 0 nên F(x,y,z) chứa nhân tử x+y

Lập luận tương tự ví dụ 1,ta có : F(x,y,z) = (x+y)(y+z)(z+x).

III Giải các bài toán phân tích đa thức

1 Bài toán rút gọn biểu thức

a §ường lèi gi¶i :

Dựa trên cơ sở tính chất cơ bản của phân thức đại số Phân tích tử thức và mẫu thức thành nhân tử nhằm xuất hiện nhân tử chung rồi rút gọn , đồng thời tìm tập xác định của biểu thức thông qua các nhân tử nằm dưới mẫu

Với học sinh : Rốn luyện kĩ năng vận dụng cỏc phương phỏp phõn tớch đa thức thành nhõn tử vào loại bài toỏn rỳt gọn, giỳp học sinh thấy được sự liờn hệ chặt chẽ giữa cỏc kiến thức phỏt triển trớ thụng minh

b Ví dụ :

- Bài toán 1: Rút gọn và tính giá trị của biểu thức

4 4

3

2 3

− +

−

+

−

−

a a

a

a a a

với a = 102

* Gợi ý :

+ Phân tích tử thức a3 - 4a2 - a+ 4 bằng phơng pháp nhóm hằng

đẳng thức đa tử thành nhân tử

+ Phân tích mẫu thức thành nhân tử bằng cách dùng hằng

đẳng thức, đặt nhân tử chung, tách hạng tử

+ Rút gọn nhân tử chung của tử thứcvà mẫu thức

+ Thay a = 102 vào M đã rút gọn

c Cỏc bài toỏn tương tự : Rỳt gọn biểu thức :

A =

4 3

1

x x x

x x x x

+ + +

B =

a b c b c a c a b

ab ac b bc

C =

3 3 3

3

x y z xyz

x y y z z x

- Đường lối giải : Để rỳt gọn cỏc biểu thức trờn:

- Bước 1: Ta phải phõn tớch cả tử thức và mẫu thức thành nhõn tử

- Bước 2: chia cả tử thức và mẫu thức cho nhõn tử chung

2 Bài toán chứng minh chia hết