Cùng với sự đổi mới chương trình và sách giáo khoa, tăng cường sử dụngthiết bị, đổi mới phương pháp dạy học nói chung và đổi mới phương pháp dạy và học toán nói riêng trong trường THCS h
Trang 1PHÒNG GD & ĐT BÌNH XUYÊN TRƯỜNG THCS ĐẠO ĐỨC
CHUYÊN ĐỀ RÈN KĨ NĂNG PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN
TỬ CHO HỌC SINH LỚP 8.
Người viết chuyên đề:
1 Nguyễn Thi Vân Anh
2 Nguyễn Thị Tuyết Thanh Tổ: Khoa học tự nhiên
Đạo Đức, tháng 5 năm 2020
Tên chuyên đề:
Trang 2RÈN KĨ NĂNG PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH
NHÂN TỬ CHO HỌC SINH LỚP 8.
A LÍ DO CHỌN CHUYÊN ĐỀ:
Một trong những mục tiêu cơ bản của giáo dục hiện nay là đào tạo và xây dựngthế hệ học sinh trở thành những người mới phát triển toàn diện, có đầy đủ phẩmchất đạo đức, năng lực, trí tuệ để đáp ứng với yêu cầu của thời đại
Là một giáo viên cấp trung học cơ sở, tôi luôn ý thức được trách nhiệm củabản thân cũng như tầm quan trọng của môn học mình đảm nhiệm Qua nhữngnăm giảng dạy bộ môn Toán, tôi nhận thấy đây là bộ môn khoa học có tác dụngphát triển tư duy, hình thành kĩ năng, kĩ xảo, phát huy tính tích cực trong học tậpcủa học sinh, giúp học sinh trở thành con người mới chủ nghĩa xã hội Ngoài ra,việc học tốt môn Toán còn giúp cho học sinh học tốt các môn học khác Vì vậy,dưới góc độ là một giáo viên dạy Toán tôi thấy việc hướng dẫn các em nắmvững đối với từng dạng toán là rất cần thiết
Toán học là bộ môn khoa học được coi là chủ lực, bởi trước hết Toán họchình thành cho các em tính chính xác, tính hệ thống, tính khoa học và tính logic,
… vì thế nếu chất lượng dạy và học toán được nâng cao thì có nghĩa là chúng tatiếp cận với nền kinh tế tri thức khoa học hiện đại, giàu tính nhân văn của nhânloại
Cùng với sự đổi mới chương trình và sách giáo khoa, tăng cường sử dụngthiết bị, đổi mới phương pháp dạy học nói chung và đổi mới phương pháp dạy
và học toán nói riêng trong trường THCS hiện nay là tích cực hoá hoạt động họctập, hoạt động tư duy, độc lập sáng tạo của học sinh, khơi dậy và phát triển khảnăng tự học, nhằm nâng cao năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề, rèn luyện
và hình thành kĩ năng vận dụng kiến thức một cách khoa học, sáng tạo vào thựctiễn
Trong chương trình Đại số lớp 8, dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử
là nội dung hết sức quan trọng, việc áp dụng của dạng toán này rất phong phú,
đa dạng cho việc học sau này như rút gọn phân thức, quy đồng mẫu thức nhiềuphân thức, giải phương trình, Qua thực tế giảng dạy của bản thân cũng nhưqua việc theo dõi kết quả bài kiểm tra, bài thi của học sinh lớp 8 (các lớp đanggiảng dạy), việc phân tích đa thức thành nhân tử là không khó, nhưng vẫn cònnhiều học sinh làm sai hoặc chưa thực hiện được, chưa nắm vững chắc cácphương pháp giải, chưa vận dụng kĩ năng biến đổi một cách linh hoạt, sáng tạovào từng bài toán cụ thể
Nhằm đáp ứng yêu cầu đổi mới phương pháp giảng dạy, giúp học sinh tháo
gỡ và giải quyết tốt những khó khăn, vướng mắc trong học tập đồng thời nângcao chất lượng bộ môn nên bản thân đã chọn đề tài: “ Rèn kĩ năng phân tíchđathức thành nhân tử cho học sinh lớp 8”
Trang 3Nội dung trong đề tài cung cấp một số công thức cơ bản và kĩ thuật áp dụngcác công thức đó vào các bài tập ví dụ minh họa.
B THỰC TRẠNG.
Tồn tại nhiều học sinh yếu trong tính toán, kĩ năng quan sát nhận xét, biếnđổi và thực hành giải toán, phần lớn do mất kiến thức căn bản ở các lớp dưới,nhất là chưa chủ động học tập ngay từ đầu chương trình lớp 8, do học sinh cònlười trong học tập, ỷ lại, chưa nỗ lực tự học, tự rèn, ý thức học tập yếu kém
Đa số các em sử dụng các loại sách bài tập có đáp án để tham khảo, nên khigặp bài tập, các em thường lúng túng, chưa tìm được hướng giải thích hợp,không biết áp dụng phương pháp nào trước, phương pháp nào sau, phương phápnào là phù hợp nhất, hướng giải nào là tốt nhất
Nhận xét:
-Đa số học sinh chưa nắm được kỹ năng phân tích bài toán, các hằng đẳngthức đáng nhớ, quy tắc dấu, quy tắc dấu ngoặc, cách trình bày bài giải còn lúngtúng
Nguyên nhân:
- Do tư duy của học sinh còn hạn chế nên khả năng tiếp thu bài còn chậm,lúng túng từ đó không nắm chắc các kiến thức, kĩ năng cơ bản, do đó mà khógiải được bài tập về phân tich đa thức thành nhân tử
- Khả năng vận dụng các phương pháp phân tích thành nhân tử còn kém
- Kĩ năng giải toán của học sinh chưa được tốt
Một số nhược điểm của học sinh trong quá trình giải bài tập về phân tích
Giải pháp đã sử dụng trước đây:
Dựa vào đặc điểm của địa phương, tình hình chung của nhà trường và chấtlượng học tập của học sinh trong những năm qua Tôi đã tiến hành các giải phápsau:
- Sử dụng phương pháp vấn đáp gợi mở,đặt và giải quyết vấn đề kết hợp vớiviệc sử dụng các thiết bị dạy học
- Chấm điểm theo quy chế chuyên môn
- Tổ chức cho học sinh thảo luận theo nhóm để giải quyết vấn đề và cử đạidiện nhóm lên trình bày (đại diện thường là học sinh khá, giỏi )
Nguyên nhân
Trang 4- Ý thức học tập của học sinh chưa cao
- Giáo viên chưa biết cách phát huy tính tích cực, chủ động của học sinh
- Giáo viên chưa kịp thời bổ sung kiến thức cơ bản cho các em học sinh bịmất kiến thức cơ bản
- Học về nhà thiếu sự kèm cặp của phụ huynh do đó các em thường làm bàitập theo kiểu chống đối
Trong tất cả các nguyên nhân ở trên nguyên nhân chủ yếu dẫn đến kết quảmôn Toán còn hạn chế là giáo viên chưa phát huy được tính tích cực, chủ động,sáng tạo của học sinh trong học toán
C NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ:
1 Các biện pháp thực hiện
Đề tài đưa ra các giải pháp mới như sau:
- Sắp xếp bài toán theo các mức độ, những dạng toán cơ bản
- Xây dựng các phương pháp giải cơ bản về phân tích đa thức thành nhân tử
- Đối với học sinh yếu, kém: Củng cố kiến thức cơ bản
+ Phương pháp Đặt nhân tử chung
+ Phương pháp Dùng hằng đẳng thức
+ Phương pháp Nhóm nhiều hạng tử
- Đối với học sinh đại trà: Vận dụng và phát triển kỹ năng
+ Phối hợp nhiều phương pháp (các phương pháp trên)
+Chữa các sai lầm thường gặp của học sinh trong giải toán
+Củng cố các phép biến đổi cơ bản và hoàn thiện các kĩ năng thực hành.+Tìm tòi những cách giải hay, khai thác bài toán
- Đối với học sinh khá, giỏi: Phát triển tư duy (giới thiệu bốn phương pháp)+ Phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử khác
Củng cố lại các phép tính, các phép biến đổi, quy tắc đổidấu và quy tắc dấungoặc ở các lớp 6, 7
Ngay từ đầu chương trình Đại số 8 giáo viên cần chú ý dạy tốt cho học sinhnắm vững chắc kiến thức về nhân đơn thức với đa thức, đa thức với đa thức, cáchằng thức đáng nhớ, việc vận dụng thành thạo cả hai chiều của các hằng đẳngthức
Trang 5Khi gặp bài toán phân tích đa thức thành nhân tử, học sinh cần chúý:
-Nhận xét quan hệ giữa các hạng tử trong bài toán (về các hệ số, các biến)-Nhận dạng bài toán:
Xét xem bài toán đã cho thuộc dạng nào?Áp dụng phương pháp nào trước,phương pháp nào sau (đặt nhân tử chung hoặc dùng hằng đẳng thức hoặc nhómnhiều hạng tử, hay dạng phối hợp các phương pháp)
-Chọn lựa phương pháp giải thích hợp:
Từ những cơ sở trên mà ta chọn lựa phương pháp cho phù hợp với bài toán
* Lưu ý: Kinh nghiệm khi phân tích một bài toán thành nhân tử
Trong một bài toán phân tích đa thức thành nhân tử
- Nếu ở bước 1, đã sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung thì bước tiếptheo đối với biểu thức còn lại trong ngoặc, thường là thu gọn, hoặc sử dụngphương pháp nhóm hoặc dùng phương pháp hằng đẳng thức
- Nếu ở bước 1, đã sử dụng phương pháp nhóm các hạng tử thì bước tiếptheo đối với các biểu thức đã nhóm thường sử dụng phương pháp đặt nhân tửchung hoặc dùng phương pháp hằng đẳng thức
- Nếu ở bước 1, đã sử dụng phương pháp dùng hằng đẳng thức thì bước tiếptheo của bài toán thường sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung hoặc dùnghằng đẳng thức
* Chú ý:
- Phương pháp đặt nhân tử chung không thể sử dụng liên tiếp nhau ở haibước liền
- Phương pháp nhóm không thể sử dụng liên tiếp nhau ở hai bước liền
-Phương pháp dùng hằng đẳng thức có thể sử dụng liên tiếp nhau ở hai bướcliền
- Trong phương pháp đặt nhân tử chung học sinh thường hay bỏ sót hạng tử
- Trong phương pháp nhóm học sinh thường đặt dấu sai
Vì vậy, giáo viên nhắc nhở học sinh cẩn thận trong khi thực hiện các phépbiến đổi, cách đặt nhân tử chung, cách nhóm các hạng tử, sau mỗi bước giải phải
có sự kiểm tra Phải có sự đánh giá bài toán chính xác theo một lộ trình nhấtđịnh, từ đó lựa chọn và sử dụng các phương pháp phân tích cho phù hợp
Xây dựng học sinh thói quen học tập, biết quan sát, nhận dạng bài toán, nhậnxét đánh giá bài toán theo quy trình nhất định, biết lựa chọn phương pháp thíchhợp vận dụng vào từng bài toán, sử dụng thành thạo kỹ năng giải toán trong thựchành, rèn luyện khả năng tự học, tự tìm tòi sáng tạo Khuyến khích học sinhtham gia học tổ, nhóm, học sáng tạo, tìm những cách giải hay, cách giải khác
2 Nội dung.
2.1:Các phương pháp cơ bản:
Trang 62.1.1:Phương pháp đặt nhân tử chung
Để học sinh áp dụng tốt phương pháp nay giáo viên cần cho học sinh ôntâp,vận dụng linh hoạt các kiến thức : nhân đa thức với đơn thưc, nhân đa thứcvới đa thức, chia đa thức cho đơn thức Đặc biệt giáo viên cần nhắc lại cho họcsinh các kiến thức từ lớp 6 như: ước chung, bội chung, ước chung lớn nhất, bộichung nhỏ nhât…
Ví dụ 1: Phân tích đa thức 3x2 y – 21xy2 + 27x2 y2 -12xy thành nhân tử
Giáo viên gợi ý:
- Tìm nhân tử chung của các hê số 3, -21,27, -12 trong các hạng tử trên ?
- Tìm nhân tử chung của các biến x2 y, xy2 , x2 y2 ,xy ?
- Nhân tử chung của các hạng tử trong đa thức đã cho là gì?(nếu học sinh trảlời sai giáo viên gợi ý nhân tử chung là 3xy )
-Hãy đặt nhân tử chung đó:Áp dụng A.B + A.C + A.D + A.E =A ( B +C +D+E)
Giải:
3x2 y – 21xy2 + 27x2 y2 - 12xy = 3xy.x – 3xy.7y + 3xy.9xy -3xy.4
= 3xy.(x – 7y + 9xy - 4)
Ví dụ 2: Phân tích đa thức 15x(x – y) – 5y(y – x) thành nhân tử.
Giáo viên gợi ý:
- Tìm nhân tử chung của các hệ số 15 và -5 ?
- Tìm nhân tử chung của x(x – y) và y(y – x) ?
- Hãy thực hiện đổi dấu tích 15x(x – y) hoặc tích – 5y(y – x) để có nhân
tử chung (y – x) hoặc (x – y)?
Cách 1: Đổi dấu tích – 5y(y – x) = 5y(x – y)
Cách 2: Đổi dấu tích 15x(x – y) = –15x(y – x)
Giải:
Cách 1 : 15x(x – y) – 5y(y – x) = 15x(x – y) + 5y(x – y)
= 5(x – y).3x + 5(x – y).y
= 5(x – y)(3x + y)Cách 2: : 15x(x – y) – 5y(y – x) = –15x(y – x) – 5y(y – x)
= –5 (y – x ).3x – 5( y– x).y
= –5 (y – x )(3x + y)
= 5(x – y)(3x + y)Qua ví dụ này giáo viên cần chỉ cho học sinh thấy được mối quan hệ giữa (x –y )
và ( y – x ) đó là hai biểu thức đối nhau,biến đổi chúng để xuất hiện nhân tửchung
Tổng quát: A = - (- A )
Trang 7Ví dụ 3: Phân tích đa thức 9x(x – y) – 10(y – x)2 thành nhân tử.
Giáo viên cần chỉ ra cho học sinh thấy : A2 = ( -A)2 (Với A và –A là hai biểuthức đối nhau)
-Cách tìm nhân tử chung của các hạng tử (tìm nhân tử chung của các hệ số
và nhân tử chung của các biến, mỗi biến chung lấy số mũ nhỏ nhất)
-Quy tắc đổi dấu và cách đổi dấu của các nhân tử trong một tích
Ví dụ 4: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
tử chung ở đây là một đa thức (x – 1) Riêng đối với ví dụ d, học sinh dễ mắc sailầm khi chọn nhân tử chung là (x – 3) Vì thế, trong việc hướng dẫn cho học sinhtìm nhân tử chung thì giáo viên cần hướng dẫn thật kĩ và lưu ý những trườnghợp thường mắc sai sót này
Để tránh sai sót ở trường hợp d, cần hướng dẫn học sinh sử dụng tính chấtđổi dấu A = -(-A)
Bài tập áp dụng:Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
Trang 8Ví dụ 5: Phân tích đa thức (x + y)2 – (x – y)2 thành nhân tử.
Gợi ý: Đa thức trên có dạng hằng đẳng thức nào? (HS: có dạng A2 – B2 )
Giáo viên yêu cầu học sinh viết hằng đẳng thức và chỉ ra các biểu thức A và B
Các sai lầm học sinh dễ mắc phải:
- Quy tắc bỏ dấu ngoặc, lấy dấu ngoặc và quy tắc dấu (ví dụ học sinh có thểsai lầm như sau):
(x + y)2 – (x – y)2 = (x + y – x – y)(x + y + x – y) (thiếu dấu ngoặc)
= 0.(2x) = 0 (kết quả sai)Giáo viên cần khắc sâu cho học sinh quy tắc dấu ngoăc: đặt dấu ngoặc chínhxác trong mọi trường hợp, quy tắc phá ngoặc (đặc biệt khi phá dấu ngoặc đằngtrước có dấu trừ)
- Phép biến đổi, kĩ năng nhận dạng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương,bình phương của một hiệu (Cần cho học sinh chỉ rõ đâu là biểu thức A,B tronghằng đẳng thức đó)
Khai thác bài toán: Đối với học sinh khá giỏi, giáo viên có thể cho các em làmbài tập dưới dạng phức tạp hơn
- Nếu thay mũ “2” bởi mũ “3” ta có bài toán
Trang 9Ví dụ 7: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a/ x2 + 6x + 9 = x2 + 2.3.x + 32 = (x + 3)2
b/ x2 – 5 = (x + 5)(x - 5)
c/ 1 – 27x3 = 13 – (3x)3 = (1 – 3x)[12 + 1.3x + (3x)2] = (1 – 3x)(1 + 3x + 9x2)d/ (x – y)2 – 2(x – y)(x + y) + (x + y)2 = [(x – y) – (x + y)]2=
= (x – y – x – y)2 = (-2y)2 = 4y2
Ở ví dụ trên các hằng đẳng thức đã được khai triển, việc phân tích chỉ làcách viết theo chiều ngược lại của các hằng đẳng thức các em học sinh dễ dàngthực hiện được nếu như các em thuộc và biết cách vận dụng các hằng đẳng thức.Thế như, nếu chủ quan thì học sinh sẽ dễ bị mắc sai lầm, chẳng hạn: ở ví dụ b,học sinh sẽ gặp khó khăn khi nhận dạng hằng đẳng thức, vì hạng tử thứ hai (5)chưa có dạng bình phương, để có dạng hằng đẳng thức thì giáo viên phải nhắclại khái niệm căn bậc hai của một số (5 =( 5)2), ở ví dụ c học sinh thường gặpkhó khăn khi viết 27x3 = (3x)3 Riêng đối với ví dụ d, học sinh sẽ khó nhận dạngđược hằng đẳng thức, bởi vì thông thường các bài tập hay cho dưới dạng cáchạng tử là những đơn thức, gặp các hạng tử là những đa thức thì học sinh chưahình dung nhận diện được
Ví dụ 8: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a/ 4x(a2 – b2) + 8(a + b) = 4x(a – b)(a + b) + 8(a + b)
= 4(a + b) [x(a – b) + 2]
= 4(a + b) (ax – bx + 2)b/ x2– 2xy + y2– z2 = (x2– 2xy + y2) – z2
= (x – y)2 – z2
= (x – y – z)(x – y + z)
Ở những ví dụ này, khi phân tích đa thức thành nhân tử không chỉ riêngdùng hằng đẳng thức là đủ mà phải có sự phối hợp tốt giữa các phương pháp :đặt nhân tử chung và nhóm hạng tử Do đó việc nhóm những hạng tử thích hợpcũng góp phần thuận lợi cho chúng ta phân tích đa thức thành nhân tử
Bài tập áp dụng:
1/ Chứng minh rằng ( 2n + 5 )2 – 25 chia hết cho 4 với mọi số tự nhiên n2/ Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a/ ( x + y )3 + ( x – y )3
Trang 10b/ 8x3 + 12x2y + 6xy2 + y3
2.1.3 Phương pháp nhóm nhiều hạng tử
Để có thể phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm nhiềuhạng tử ta cần phải lựa chọn các hạng tử “thích hợp” để thành lập nhóm nhằmlàm xuất hiện một trong hai dạng sau hoặc là đặt nhân tử chung, hoặc là dùnghằng đẳng thức
Thông thường ta dựa vào các mối quan hệ :Quan hệ giữa các hệ số, giữacác biến của các hạng tử trong bài toán
Thành lập nhóm dựa theo mối quan hệ đó, phải thoả mãn:
- Mỗi nhóm đều phân tích được
- Sau khi phân tích đa thức thành nhân tử ở mỗi nhóm thì quá trình phântích thành nhân tử phải tiếp tục thực hiện được nữa
Nhóm nhằm xuất hiện phương pháp đặt nhân tử chung:
Ví dụ 9: Phân tích đa thức x2 – xy + x – y thành nhân tử
Giáo viên có thể hướng dẫn học sinh cách nhóm để xuất hiện nhân tử chung(khi nhóm chú ý đặc biệt đến quy tắc dấu ngoặc)
Nhóm nhằm xuất hiện phương pháp dùng hằng đẳng thức:
Ví dụ 11: Phân tích đa thức x2 – 2x + 1 – 4y2 thành nhân tử
Trang 11Giáo viên có thể gợi ý những hạng tử nào nhóm được với nhau thì xuất hiệnhằng đẳng thức (Đối với học sinh yếu kém cần chỉ rõ x2 – 2x +1 có dạng hằngđẳng thức nào? )
Giải:
x2 – 2x + 1 – 4y2 = (x2 – 2x + 1) – (2y)2
= (x – 1)2 – (2y)2
= (x – 1 – 2y)(x – 1 + 2y)
Ví dụ 12: Phân tích đa thức x2 – 2xy + y2 –z2 + 2zt – t2 thành nhân tử
Giáo viên cần hướng dẫn học sinh nhóm các hạng tử để xuất hiện hằng đẳngthức đặc biệt là ba hạng tử cuối (chú ý quy tắc dấu ngoặc )
Giải:
x2 – 2xy + y2 –z2 + 2zt – t2 = ( x2 – 2xy + y2) – ( z2 - 2zt + t2 )
= ( x – y )2 – ( z – t )2
= ( x – y + z – t )( x – y – z + t )Bước 2 giáo viên chỉ cho học sinh thấy sử dụng hằng đẳng thức:
A2 – B2(học sinh cần chỉ ra được biểu thức A =( x – y ); B = ( z – t ))
Nhóm nhằm sử dụng hai phương pháp trên:
Ví dụ 13: Phân tích đa thức x2 – 2x – 4y2 – 4y thành nhân tử
Ví dụ 14: Phân tích đa thức 2x – 2y – x2 + 2xy – y2 thành nhân tử
Giải :
2x – 2y – x2 + 2xy – y2 =( 2x – 2y ) – (x2 - 2xy + y2 )
= 2( x – y ) – ( x – y )2
= ( x – y )( 2 – x + y )Qua các ví dụ trên, giáo viên lưu ý cho học sinh:
Cách nhóm các hạng tử và đặt dấu trừ “ – ” hoặc dấu cộng “ + ” ở trước dấungoặc, phải kiểm tra lại cách đặt dấu khi thực hiện nhóm
Trong phương pháp nhóm thường dẫn đến sự sai dấu, vì vậy học sinh cầnchú ý cách nhóm và kiểm tra lại kết quả sau khi nhóm