Định lý cơ sở của Hilbert

Định lý Trong vành chính mọi phần tử khác 0 và khác khả nghịch đều phân tích được thành tích hữu hạn các nhân tử bất khả quy.. * Nhận xét : Không thể xây dựng một quan hệ thứ tự trong và

Lời cảm ơn

Trong thời gian học tập khoa Toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

được sự dạy dỗ, chỉ bảo tận tình của các thầy cô giáo em đã tiếp thu được nhiều tri thức khoa học, kinh nghiệm và phương pháp học tập mới, bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học

Qua đây, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới toàn thể các thầy các cô trong khoa Toán - những người đã dạy dỗ chúng em trưởng thành như ngày hôm nay

Đặc biệt, em xin chân thành cảm ơn thầy giáo ThS Nguyễn Huy Hưng người đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo tận tình và đóng góp nhiều ý kiến quý báu trong thời gian thực hiện khoá luận này

Với điều kiện hạn chế về thời gian cũng như kiến thức bản thân nên khoá luận khó tránh khỏi thiếu sót, kính mong sự chỉ bảo của thầy cô cũng như các bạn sinh viên

Em xin chân thành cảm ơn !

Hà Nội, ngày 06 tháng 05 năm 2010

Sinh viên

Vũ Thị Huyền

Lời cam đoan

Khoá luận của em được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của thầy giáo Nguyễn Huy Hưng cùng sự cố gắng của bản thân Trong quá trình nghiên cứu

và thực hiện khoá luận, em có tham khảo tài liệu của một số tác giả (đã nêu trong mục tài liệu tham khảo)

Em xin cam đoan những kết quả trong khoá luận là kết quả nghiên cứu của bản thân, không trùng với kết quả của các tác giả khác Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm

Hà Nội, ngày 06 tháng 05 năm 2010 Sinh viên

Vũ Thị Huyền

Mục lục

Mở đầu

Chương 1:Các kiến thức chuẩn bị 2

1.1: Vành và một số tính chất cơ bản 2

1.2: Miền nguyên và trường 3

1.3 Iđêan 4

1.4 Một số lớp vành đặc biệt 6

1.5 Vành đa thức 9

1.6 Tập đại số฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀10 Chương 2: Tập bất khả quy 11

2.1 Tập bất khả quy 11

2.2 Vành nhân tử hoá 14

2.3 Tiêu chuẩn để một siêu mặt bất khả quy 19

Chương 3 :Định lý cơ sở của Hilbert 21

3.1 Iđêan hữu hạn sinh, iđêan nguyên sơ, iđêan bất khả quy 21

3.2 Vành Noether 22

Kết luận 34

Tài liệu tham khảo 35

Mở Đầu

Ngày nay những tư tưởng, phương pháp và kết quả đại số đã thâm nhập vào hầu hết các lĩnh vực của toán học Đề tài “Định lý cơ sở của Hilbert” là một đề tài hay có nhiều ứng dụng trong đại số hiện đại Hơn nữa, việc nghiên cứu đề tài này còn giúp cho người học phát triển tư duy có tầm nhìn sâu rộng hơn về toán học

Thấy được tầm quan trọng của đề tài cùng sự giúp đỡ tận tình của thầy Nguyễn Huy Hưng em mạnh dạn thực hiện khoá luận tốt nghiệp với đề tài

“ Định lý cơ sở của Hilbert”

Đề tài này nghiên cứu tính chất đặc biệt của vành đa thức đó là tính Noether và tính nhân tử hoá Dùng tính Noether của vành đa thức để nghiên cứu các tập đại số

Nội dung của khoá luận gồm 3 chương :

Phần tử đơn vị của phép cộng trong vành được gọi là phần tử 0

Phần tử đơn vị của phép nhân trong vành thường kí hiệu là 1

1.1.2 Ví dụ

a ฀ ฀ ฀ ฀, , , là vành giao hoán có đơn vị với phép cộng và phép nhân các số thông thường

b Cho X   là một vành giao hoán, có đơn vị và n  là một số tự nhiên 2

c Tập các ma trận vuông cấp n với các phần tử thuộc X và phép (+), (.) ma trận lập thành một vành có đơn vị nhưng không giao hoán

d Tập hợp ฀ / n฀ các số nguyên modn cùng với hai phép toán (+),(.) các số nguyên modn được xác định bởi:

iv/ NếuX có đơn vị có ít nhất 2 phần tử thì 0 1

v/ Bằng quy nạp ta dễ dàng chứng minh

y1  y x y xn  1   y xn

1 1

1, 1,

1.1.4 Khái niệm ước của phần tử

Cho X là vành giao hoán, ,a b X Ta nói a là một ước của b nếu tồn tại phần tử c X a c b :  Kí hiệu |a b

Khi đó, b cũng gọi là bội của a

1.1.5 Một số tính chất số học trên miền nguyên

1.2 Miền nguyên và trường

1.2.1 Ước của không

X là vành giao hoán, a X a ,  Ta gọi 0 a là ước của không nếu tồn tại phần

tử b X b , 0:ab 0

Khi đó, b cũng gọi là ước của không

Nhận xét: Vành giao hoánX được gọi là không có ước của không khi và chỉ

+ ฀ là miền nguyên p  là số nguyên tố p

+ Vành ma trận Mat X không là miền nguyên với n  n 1

Ví dụ : + Mọi vànhX đều có 2 iđêan tầm thường là  0 và X

+ n฀ (n là số tự nhiên )là các iđêan của vành ฀

+Tập các hàm số liên tục trên đoạn  a b triệt tiêu tại , x0 a b,

a/ Giao của một họ bất kì các vành con của X là vành con của X

b/ ChoX là vành U  Khi đó giao của tất cả các vành con của X X chứa

U cũng là vành con của X chứa U Đó là vành con bé nhất của X chứa U gọi là vành con sinh bởi U

Kí hiệu U hoặc  U

1.3.4 Iđêan sinh bởi n phần tử

Định nghĩa : Cho X là vành giao hoán có đơn vị 1 và U a1, ,an Iđêan sinh bởi n phần tử a1, ,a là iđêan n

a Phần tử bất khả quy và phần tử nguyên tố

+ Ước thực sự : ChoX là miền nguyên, ,a b X a , gọi là ước thực sự của

+ Phần tử nguyên tố: X là miền nguyên, p X , p , 0 p khác khả nghịch,

p là phần tử nguyên tố nếu |p ab thì |p a hoặc |p b

* Nhận xét: Mọi phần tử nguyên tố đều là phần tử bất khả quy điều ngược lại chưa chắc đúng Trong vành chính thì phần tử bất khả quy chính là phần tử nguyên tố và ngược lại

b Ước chung lớn nhất, bội chung nhỏ nhất

Cho X - miền nguyên

+¦íc chung lín nhÊt: PhÇn tö d ®­îc gäi lµ ­íc chung lín nhÊt cña

1, , 2 n

| , 1,

i i

d Định lý

Trong vành chính mọi phần tử khác 0 và khác khả nghịch đều phân tích được

thành tích hữu hạn các nhân tử bất khả quy Sự phân tích này là duy nhất nếu

không kể đến thứ tự và sự sai khác các nhân tử khả nghịch

e Định lý: Nếu m n p q là các nhân tử của vành chính thoả mãn , , , m np q 

thì m n,    n q,

1.4.3 Vành sắp thứ tự

a Định nghĩa: Một vành giao hoán A có đơn vị 1 khác 0 được gọi là vành

sắp thứ tự nếu trên A có quan hệ thứ tự toàn phần, kí hiệu " " thoả mãn các

điều kiện sau:

i/ Nếu a b thì a c b c   với a b c A, , 

ii/ Nếu a0, b thì 0 a b  0

Quy ước : Viết a b có nghĩa a b và a b

Phần tử a gọi là dương nếu a  và gọi là âm nếu 0 a  Ta có: 0

(h) Một vành sắp thứ tự X có tính chất ab  với 0  a 0, b thì 0 X là miền nguyên

* Nhận xét : Không thể xây dựng một quan hệ thứ tự trong vành số phức (kế thừa từ ฀ ) để vành số phức ฀ là vành sắp thứ tự vì nếu làm được như vậy thì phần tử i có tính chất i   (không thoả mãn tính chất (d)) của vành sắp thứ 2 1

tự

c Bổ đề Zorn

* Xích: ChoX là tập hợp được sắp thứ tự ( X có một quan hệ thứ tự) Một tậpA của X được gọi là một xích của X nếu A cùng với quan hệ thứ tự bộ phận của X lập thành một tập hợp sắp thứ tự toàn phần (với 2 phần tử ,a b A đều

so sánh được với nhau với quan hệ thứ tự đã cho)

Ví dụ : Cho ฀ trang bị quan hệ S như sau : a b, ฀ , aSb a b| Khi đó

฀ là tập sắp thứ tự với quan hệ thứ tự chia hết

Ví dụ : A2,4,8,16 , A là xích của N

* Khái niệm cận trên : Cho X là tập sắp thứ tự , A là một xích của X ,

x X được gọi là cận trên của A nếu a x ,   a A

x x trong đó  1, ,  n

n

  ฀ được gọi là một bộ số mũ của đơn thức

Nếu 1  n  thì đơn thức được kí hiệu là l 0

Phép nhân trên tập các đơn thức được định nghĩa :

* Có thể dễ dàng kiểm tra tập các đa thức n biến cùng với 2 phép toán cộng

2 đa thức và nhân 2 đa thức định nghĩa ở trên lập thành một vành giao hoán với phần tử đơn vị là đơn thức 1 Tập này được kí hiệu là R x 1, ,x hay viết n

gọn là R x Và   R x 1, ,x được gọi là vành đa thức n biến trong đó R n

được gọi là vành cơ sở

Nhận xét : Có một cách xây dựng vành đa thức nhiều biến đó là xây dựng vành nhiều biến từ vành một biến theo quy nạp, ban đầu người ta xây dựng

vành đa thức một biến sau đó coi vành đa thức một biến là cơ sở

1.5.2 Mệnh đề: Nếu R là miền nguyên thì vành đa thức R x cũng là miền  

i/ Cho S K x   Khi đó V S   vì phương trình 1 0   vô nghiệm

ii/ Cho S   Khi đó V S  K

Tập chỉ gồm một điểm là tập bất khả quy

2.1.3 Khái niệm đại số tương ứng với tập bất khả quy

a Khái niệm iđêan nguyên tố:

Cho I là iđêan thực sự của vành A.Ta gọi I là iđêan nguyên tố nếu từ điều kiện fg I ta suy ra được f I hay g I

Ví dụ: Iđêan 0 trong k X là iđêan nguyên tố vì tích hai đa thức ,  f g  0không thể là 0

+ Ta cũng có thể định nghĩa cách khác:

Ta gọi I là iđêan nguyên tố nếu từ điều kiện J J1 2  ta suy ra được I J  I 1hay J2  I

b Khái niệm iđêan cực đại

Iđêan thực sự A của X được gọi là iđêan cực đại nếu tồn tại iđêan B củaX mà

A B thì B X

Nhận xét : Trong một trường thì iđêan nguyên tố cũng là iđêan cực đại

Ví dụ : Iđêan nZ của Z (với n là nguyên tố) vừa là iđêan nguyên tố vừa là iđêan cực đại

c Khái niệm iđêan căn: ChoA là iđêan của X tập Rad A là tập hợp ( )

x X n| :xn A

   ฀  được gọi là căn của A (RadA là iđêan của X )

Đặc biệt căn của iđêan  0 được gọi là căn luỹ linh của X và kí hiệu

 

Rad X

Rad X x X n | ฀ :xn 0

Một phần tử của Rad X được gọi là phần tử luỹ linh của X  

Ví dụ: Phần tử 0 là luỹ linh củaX vì 0 Rad X  

2.1.4 Tiêu chuẩn để iđêan căn là iđêan nguyên tố

Ta thấy rằng : Mọi iđêan nguyên tố đều là iđêan căn Ta có tiêu chuẩn sau để iđêan căn là iđêan nguyên tố

        

h  I f I g I I f I g  fg I   Vì vậy h I J1J2 I (2)

Từ (1) ,(2)    với I J1 J2 J J là những iđêan căn lớn thực sự hơn I 1, 2 Nhận xét: Từ định lý cho thấy mọi iđêan lớn nhất trong tập các iđêan thực sự của A đều là iđêan nguyên tố và các iđêan này là các iđêan cực đại của A

Từ đó ta có thể phát biểu thành định lý sau:

b Định lý :

Trong vành giao hoán X luôn tồn tại ít nhất một iđêan cực đại

Chứng minh

Đặt B{ |A A là iđêan của X A X,  } thì B là tập sắp thứ tự với quan hệ thứ

tự bao hàm B   vì  0 là iđêan của X ,  0  X  0  Giả sử B B /

 tồn tại ít nhất một iđêan cực đại I

A là iđêan của X A ( A là phần tử không của / X A mà iđêan không là /iđêan của X A) /  A I

( Mâu thuẫn giả thiết )

Đảo lại, giả sử I là iđêan nguyên tố Nếu V không là tập bất khả quy thì V

( mâu thuẫn với giả thiết)

Ví dụ: k là tập bất khả quy vì n I  là iđêan nguyên tố k n 0

Nhận xét: Như ta đã thấy, mọi iđêan vô nghiệm đều không là iđêan của một tập đại số Từ đây suy ra mọi iđêan nguyên tố vô nghiệm đều không thể là iđêan của tập bất khả quy

Bây giờ ta sẽ xét xem khi nào một siêu mặt Z f là tập bất khả quy  

Điều này liên quan chặt chẽ đến vấn đề khi nào  f là iđêan nguyên tố Để giải quyết vấn đề này ta cần đến những khái niệm sau

2.2 Vành nhân tử hoá

2.2.1 Khái niệm

Miền nguyên A được gọi là vành nhân tử hóa nếu mọi phần tử thuộc A

đều là tích của những phần tử bất khả quy và nếu

f g g 1 r h h1 s (1)

là hai tích như vậy thì r s và sau một phép hoán vị các chỉ số ta có g c hi  i ivới c khả nghịch 1, ,i i r

2.2.2 Ví dụ

a Vành đa thức một biến K x là vành nhân tử hoá Xét hai phân tích  

của một đa thức f K x   thành tích các đa thức bất khả quy như trên Giả sử

i

g không chia hết cho hi  i 1, r Do h bất khả quy nên 1 g và i h không 1

có ước chung Suy ra tồn tại các đa thức u v sao cho i, i 1u g v hi i  i 1. Do g 1bất khả quy nên c K Suy ra (1) trở thành cg g2 r h h2 s

Dùng quy nạp theo s ta có thể giả thiết r s và g c hi  i i với

Cho A là vành nhân tử hoá và f A tuỳ ý Iđêan  f là iđêan nguyên tố khi

và chỉ khi f là phần tử bất khả quy

Chứng minh

Giả sử f là phần tử bất khả quy Nếu gh f thì từ tính duy nhất của

sự phân tích gh thành tích các phần tử bất khả quy ta suy ra được f là ước

Vậy  f là iđêan nguyên tố

Đảo lại, giả sử f không phải là phần tử bất khả quy Khi đó f gh là tích hai phần tử không khả nghịch Nếu  f là iđêan nguyên tố thì g f

2.2.6 Tính chất của vành nhân tử hoá

a Định lý

Trong vành nhân tử hoá luôn tồn tại ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ

d p p ta có d có ước chung lớn nhất của ,a b

* ý nghĩa : Trong vành nhân tử hoá mỗi phần tử khác không đều phân tích

được một cách duy nhất thành tích của những phần tử bất khả quy Đề tài đa thức bất khả quy liên quan chặt chẽ đến vấn đề nghiệm của đa thức và nhu cầu

mở rộng trường cơ sở đề tìm nghiệm cho đa thức Trước hết ta đi đến khái niệm trường các thương

Giả sửA là một miền nguyên Ký hiệu Q A là tập các iđêan thương  

Có thể kiểm tra thấy Q A là một trường Trường này được gọi là trường các  

thương của A Ta có thể đồng nhất A với vành các thương dạng /1f trong

b Định lý

Nếu A là vành nhân tử hoá thì A x là vành nhân tử hoá  

Chứng minh

Cho f là một đa thức tuỳ ý trong A x Ta xét 2 trường hợp sau:  

+ Nếu deg f    Do0 f A A là miền nguyên nên tích hai đa thức bậc dương là một đa thức bậc dương Suy ra mọi phần tử trong A chỉ phân tích

K Q A Do K x là vành nhân tử hoá nên f có sự phân tích duy nhất  

thành tích những phần tử bất khả quy f g g 1 s trong K x Ta có thể viết  

v v f u u h h1 s  1 s 1 s

Theo bổ đề trên, các ước bất khả quy của v v sinh ra các iđêan nguyên tố 1, strong A x Do các hệ số của   h không có ước chung nên i h không chia hết icho các ước này Vì vậy u u không chia hết 1 s v v và do đó ta có đẳng 1 sthức dạng:

f uh h 1 s , u A

Các đa thức h1, ,h được xác định một cách duy nhất từ s g1, ,g Vì vậy u scũng được xác định một cách duy nhất Từ sự phân tích duy nhất u thành tích

các phần tử bất khả quy trong A ta suy ra f cũng có sự phân tích duy nhất thành tích các phần tử bất khả quy trong A x  

+ Hệ quả: K X là vành nhân tử hoá  

2.3 Tiêu chuẩn để một siêu mặt bất khả quy

Việc mọi đa thức f K X   đều là tích các đa thức bất khả quy cho phép

ta quy việc nghiên cứu các siêu mặt Z f về trường hợp f là đa thức bất khả  

quy Khi đó,  f là iđêan nguyên tố Vì vậy ta có tiêu chuẩn sau cho một siêu mặt bất khả quy

Nhận xét: Điều kiện IZ f   f không phải lúc nào cũng thoả mãn với mọi

đa thức bất khả quy f Chẳng hạn: Đa thức 2

Bài tập

Bài 1: Kiểm tra vành A=Z  3 a b 3 | ,a b฀฀ có là vành

nhân tử hoá không ?

Ta có 4 2.2 1    3 1   trong đó 2, 13   bất khả quy.Suy 3

ra 4 có hai sự phân tích thành tích các nhân tử bất khả quy Vậy A không là vành nhân tử hoá

Bài 2 : Chứng minh rằng mọi iđêan căn đều là giao của các iđêan nguyên tố chứa nó

Gọi S là tập các iđêan căn không phải là giao của các iđêan nguyên tố chứa nó Ta chỉ cần chứng minh S  

Giả sử S   Cho I1   là chuỗi các iđêan trong Ij S Ta thấy ngay Ij cũng là một iđêan căn Theo bổ đề Zorn thì tập S phải có những iđêan lớn nhất Cho I S là một iđêan như vậy Do I không phải là iđêan nguyên tố nên tồn tại các phần tử f g I,  thoả mãn điều kiện fg I Ta có I f I g,  , I2If Ig  fg  I

Từ đây suy ra I  I f,   I g, Vì vậy, mọi iđêan nguyên tố chứaI cũng phải chứa I f hay ,   I g Do , I f và,   I g là những iđêan ,căn lớn hơn I nên chúng là giao của các iđêan nguyên tố chứa chúng Từ đây,

ta suy ra I là giao của các iđêan nguyên tố chứa I (mâu thuẫn với cách chọn

I S )