ĐỀ THI MINH HỌA MÔN TOÁN CÓ ĐÁP ÁN

Thể tích của khối lập phương cạnh 2 bằng Câu 5.. Thể tích của khối chóp đã cho bằng Câu 8.. Thể tích của khối nón đã cho bằng Câu 9.. Diện tích xung quanh của hình trụ có độ dài đường si

Trang 1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ THI THAM KHẢO

Lần 2

KỲ THI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA NĂM 2020

Bài thi: TOÁN

Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề

Câu 1 Có bao nhiêu cách chọn hai học sinh từ một nhóm gồm 10 học sinh?

2

Câu 2 Cho cấp số cộng ( )u với n u1 =3 và u2 =9 Công sai của cấp số cộng đã cho bằng

Câu 3 Nghiệm của phương trình 3x− 1=27 là

Câu 4 Thể tích của khối lập phương cạnh 2 bằng

Câu 5 Tập xác định của hàm số y=log2 x là

Câu 6 Hàm số F x là một nguyên hàm của hàm số ( ) f x trên khoảng K nếu( )

A F x′( ) = −f x( ),∀ ∈x K B f x′( ) =F x( ),∀ ∈x K

C F x′( ) = f x( ),∀ ∈x K D f x′( ) = −F x( ),∀ ∈x K

Câu 7 Cho khối chóp có diện tích đáy B=3 và chiều cao h=4 Thể tích của khối chóp đã cho bằng

Câu 8 Cho khối nón có chiều cao h=3 và bán kính đáy r=4 Thể tích của khối nón đã cho bằng

Câu 9 Cho mặt cầu có bán kính R=2 Diện tích của mặt cầu đã cho bằng

A 32

3

π

Câu 10 Cho hàm số f x có bảng biến thiên như sau:( )

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A (−∞ −; 1) B ( )0;1 C (−1;0) D (−∞;0)

Câu 11 Với a là số thực dương tùy ý, ( )3

2

log a bằng

Trang 2

A 3log2

3 a C 3 log+ 2a D 3log a 2

Câu 12 Diện tích xung quanh của hình trụ có độ dài đường sinh l và bán kính đáy r bằng

3πrl D 2πrl

Hàm số đã cho đạt cực đại tại

Câu 14 Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong

hình bên?

A y x= −3 3x B y= − +x3 3x

2

= − +

Câu 15 Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số 2

1

−

= +

x y

x là

Câu 16 Tập nghiệm của bất phương trình logx≥1 là

A (10;+∞) B (0;+∞) C [10;+∞) D (−∞;10)

Câu 17 Cho hàm số bậc bốn y= f x có đồ thị trong hình bên ( )

Số nghiệm của phương trình f x( ) = −1 là

Câu 18 Nếu 1 ( )

0

4

=

∫ f x dx thì 1 ( )

0 2

∫ f x dx bằng

Câu 19 Số phức liên hợp của số phức z= +2 i là

Câu 20 Cho hai số phức z1= +2 i và z2 = +1 3i Phần thực của số phức z1+z bằng2

Trang 3

Câu 21 Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phức z= − +1 2i là điểm nào dưới đây?

A Q( )1; 2 B P(−1; 2) C N(1; 2− ) D M(− −1; 2)

Câu 22 Trong không gian Oxyz , hình chiếu vuông góc của điểm M(2;1; 1− ) trên mặt phẳng (Ozx có)

tọa độ là

A (0;1;0 ) B (2;1;0 ) C (0;1; 1− ) D (2;0; 1− )

Câu 23 Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( ) ( ) (2 ) (2 )2

: −2 + +4 + −1 =9

S x y z Tâm của ( )S có tọa

độ là

A (−2; 4; 1− ) B (2; 4;1− ) C (2; 4;1 ) D (− − −2; 4; 1)

Câu 24 Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( )P : 2x+3y z+ + =2 0 Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của ( )P ?

A nr3 =(2;3; 2) B nr1=(2;3;0) C nr2 =(2;3;1) D nr4 =(2;0;3)

Câu 25 Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng : 1 2 1

−

d Điểm nào dưới đây thuộc d

?

A P(1; 2; 1− ) B M(− −1; 2;1) C N(2;3; 1− ) D Q(− −2; 3;1)

Câu 26 Cho hình chóp S ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC ,)

2

=

SA a , tam giác ABC vuông tại B và AC =2a (minh họa như hình

bên) Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC bằng)

Câu 27 Cho hàm số f x có bảng xét dấu của ( ) f x như sau:′( )

Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

Câu 28 Giá trị nhỏ nhất của hàm số f x( ) =x4−10x2+2 trên đoạn [−1; 2] bằng

Câu 29 Xét các số thực a và b thỏa mãn log 3 93( a b) =log 39

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A a+2b=2 B 4a+2b=1 C 4ab=1 D 2a+4b=1

Câu 30 Số giao điểm của đồ thị hàm số y x= − +3 3x 1 và trục hoành là

Trang 4

Câu 31 Tập nghiệm của bất phương trình 9x+2.3x− >3 0 là

A [0;+∞) B (0;+∞) C (1;+∞) D [1;+∞)

Câu 32 Trong không gian, cho tam giác ABC vuông tại A , AB a và = AC=2a Khi quay tam giác ABC xung quanh cạnh góc vuông AB thì đường gấp khúc ACB tạo thành một hình nón Diện tích xung

quanh của hình nón đó bằng

A 5πa 2 B 5πa 2 C 2 5πa 2 D 10πa 2

Câu 33 Xét 2

2

0

∫ x

xe dx , nếu đặt u x thì = 2 2

2

0

∫ x

xe dx bằng

A

2

0

2∫ u

4

0

2∫ u

2

0

1

2∫ u

4

0

1

2∫ u

e du

Câu 34 Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường 2

y x y x và x=1 được tính bởi công thức nào dưới đây?

0

1

2

C 1( 2 )2

0

Câu 35 Cho hai số phức z1 = −3 i và z2 = − +1 i Phần ảo của số phức z z bằng1 2

Câu 36 Gọi z là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình 0 z2−2z+ =5 0 Môđun của số phức

0+

z i bằng

Câu 37 Trong không gian Oxyz , cho điểm M(2;1;0) và đường thẳng : 3 1 1

−

Mặt

phẳng đi qua M và vuông góc với ∆ có phương trình là

A 3x y z+ − − =7 0 B x+4y−2z+ =6 0

C x+4y−2z− =6 0 D 3x y z+ − + =7 0

Câu 38 Trong không gian Oxyz , cho hai điểm M(1;0;1) và N(3; 2; 1− ) Đường thẳng MN có phương

trình tham số là

A

1 2

2

1

= +



 =



 = +



B

1 1

= +



 =



 = +



y t

C

1 1

= −



 =



 = +



y t

D

1 1

= +



 =



 = −



y t

Trang 5

Câu 39 Có 6 chiếc ghế được kê thành một hàng ngang Xếp ngẫu nhiên 6 học sinh, gồm 3 học sinh lớp

A, 2 học sinh lớp B và 1 học sinh lớp C, ngồi vào hàng ghế đó, sao cho mỗi ghế có đúng một học sinh Xác suất để học sinh lớp C chỉ ngồi cạnh học sinh lớp B bằng

A 1

3

2

1 5

Câu 40 Cho hình chóp .S ABC có đáy là tam giác vuông tại A ,

2 , 4 ,

AB a AC a SA vuông góc với mặt pahửng đáy và SA a=

(minh họa như hình bên) Gọi M là trung điểm của AB Khoảng

cách giữa hai đường thẳng SM và BC bằng

A 2

3

a

B 6

3

a

C 3

3

a

D

2

a

Câu 41 Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m sao cho hàm số ( ) 1 3 2

3

biến trên ¡ ?

Câu 42 Để quảng bá cho sản phẩm A, một công ty dự định tổ chức quảng cáo theo hình thức quảng cáo

trên truyền hình Nghiên cứu của công ty cho thấy: nếu sau n lần quảng cáo được phát thì tỉ lệ người xem

quảng cáo đó mua sản phẩm A tuân theo công thức ( ) 0,015

1

1 49 −

=

P n

e Hỏi cần phát ít nhất bao nhiêu

lần quảng cáo để tỉ lệ người xem mua sản phẩm đạt trên 30%?

Câu 43 Cho hàm số ( ) = +1( , , ∈ )

ax

bx c có bảng biến thiên như sau:

Trong các số ,a b và c có bao nhiêu số dương?

Câu 44 Cho hình trụ có chiều cao bằng 6a Biết rằng khi cắt hình trụ đã cho bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trục một khoảng bằng 3a, thiết diện thu được là một hình vuông Thể tích của khối trụ được giới hạn bởi hình trụ đã cho bằng

A 216πa 3 B 150πa 3 C 54πa 3 D 108πa 3

Trang 6

Câu 45 Cho hàm số f x có ( ) f ( )0 =0 và f x′( ) =cos cos 2 ,x 2 x x∀ ∈¡ Khi đó ( )

0

π

∫ f x dx bằng

A 1042

208

242

149 225

Số nghiệm thuộc đoạn 0;5

2

π

  của phương trình f (sinx) =1 là

Câu 47 Xét các số thực dương , , ,a b x y thỏa mãn a>1,b>1 và a x =b y = ab Giá trị nhỏ nhất của

biểu thức P x= +2y thuộc tập hợp nào dưới đây?

A ( )1; 2 B 2;5

2

÷

 

Câu 48 Cho hàm số ( ) = +1

+

x m

f x

x ( m là tham số thực) Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của m sao

cho max[ ]0;1 f x( ) +min[ ]0;1 f x( ) =2 Số phần tử của S là

Câu 49 Cho hình hộp ABCD A B C D ′ ′ ′ ′ có chiều cao bằng 8 và diện tích đáy bằng 9 Gọi M N P và Q, , lần lượt là tâm của các mặt bên ABB A BCC B , CDD C và ′ ′, ′ ′ ′ ′ DAA D Thể tích của khối đa diện lồi có′ ′

các đỉnh là các điểm , , , ,A B C D M N P và Q bằng, ,

Câu 50 Có bao nhiêu số nguyên x sao cho tồn tại số thực y thỏa mãn ( ) ( 2 2)

log x y+ =log x +y ?

Trang 7

ĐÁP ÁN

LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Đáp án A

Mỗi cách chọn hai học sinh từ một nhóm gồm 10 học sinh là một tổ hợp chập 2 của 10 phần tử Số cách chọn là C 102

Câu 2: Đáp án A

Ta có d u= − =2 u1 6

Câu 4: Đáp án B

Ta có V =a3 =23 =8

Câu 5: Đáp án C

Hàm số xác định khi x>0 Tập xác định D=(0;+∞)

Theo định nghĩa, hàm số F x là một nguyên hàm của hàm số ( ) f x trên khoảng K nếu( ) ( ) ( ),

F x′ = f x ∀ ∈x ¡

Câu 7: Đáp án D

Ta có 1 1.3.4 4

.4 3 16

V = Bh= πr h= π = π

Ta có S= π = π4 R2 4 22 = π16

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số nghịch biến trên (−1;0)

Ta có ( )3

log a =3log a

Trang 8

Ta có S xq = π2 rl.

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đạt cực đại tại x= −1

Dựa vào dáng điệu đồ thị, ta nhận thấy đây là đồ thị hàm số bậc 3 có hệ số a>0

Ta có lim 2 1; lim 2 1

+ + Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y=1.

Điều kiện x>0 Ta có logx≥ ⇔1 logx≥log10⇔ ≥x 10

Số nghiệm của phương trình f x( ) = −1 là số giao điểm của đồ thị hàm số y= f x( ) và đường thẳng 1

x= − Dựa vào đồ thị ta thấy đồ thị hàm số y= f x( ) cắt đường thẳng x= −1 tại bốn điểm phân biệt

Ta có 1 ( ) 1 ( )

2f x dx=2 f x dx=2.4 8=

Số phức liên hợp của số phức z= +2 i là z= −2 i

Ta có z1+ = + + +z2 (2 i) (1 3i) = +3 4i Phần thực của z1+z2 là 3

Vì mặt cầu có phương trình ( ) (2 ) (2 )2 2

x a− + y b− + −z c =R có tâm I a b c nên tâm của mặt cầu ( ; ; ) ( )S

có tọa độ là (2; 4;1− )

Mặt phẳng ( )P : 2x+3y z+ + =2 0 sẽ nhận vectơ nr=(2;3;1) làm một vectơ pháp tuyến

Ta có 1 1 2 2 1 1

− nên P(1; 2; 1− ) là một điểm thuộc đường thẳng d

Vì SA vuông góc với (ABC nên góc giữa ) SB và mặt phẳng (ABC bằng góc ·SBA.)

Do tam giác ABC vuông cân ở B nên AB CB a= = 2

Trang 9

Tam giác ABC vuông ở A nên tan· 2 tan· 1 · 45

2

SA a

AB a

Từ bảng xét dấu của f x′( ) ta có bảng biến thiên của hàm số như hình sau

Suy ra hàm số f x có 2 điểm cực trị.( )

0

5

x

=





 =



Chỉ có x= ∈ −0 ( 1; 2)

Ta có f ( )− = −1 7, f ( )2 = −22, f ( )0 =2

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [−1; 2] bằng 22−

2a 4b 1

Ta có y′ =3x3− = ⇔ = ±3 0 x 1 Hàm số có hai cực trị

Mặt khác y( ) ( )−1 1y = − <3 0 nên hai điểm cực trị của đồ thị hàm số nằm về phía phải của trục hoành. Nên đồ thị hàm số đã cho cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt

Đặt t =3 ,x t>0

Khi đó, ta có: 9 2.3 3 0 2 2 3 0 1

3

t

>



Do t >0 nên ta có: t> ⇔1 3x> ⇔ >1 x 0

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S =(0;+∞)

Trang 10

Khi quay tam giác ABC xung quanh cạnh góc vuông AB thì đường gấp khúc ACB tạo thành một hình nón với h AB a r= = , = AC=2a và 2 ( )2

l BC= = a + a =a

Do đó, ta có: S xq = π = πrl 2 a a 5 2 5= πa2

2

u x= ⇒du= xdx⇒xdx= du

= ⇒ =



 = ⇒ =

Vậy 2

1 2

xe dx= e du

S=∫ x − − dx=∫ x + dx=∫ x + dx

z z = −i − + = − + + − = − +i i i i i nên phần ảo của số phức z z bằng 4.1 2

Ta có 2

Suy ra z0 = − ⇒ + = − ⇒1 2i z0 i 1 i z0+ =i 2

Đường thẳng ∆ có vectơ chỉ phương ur =(1; 4; 2− )

Gọi ( )α là mặt phẳng cần tìm

Ta có ( )α ⊥ ∆ nên ( )α nhận ur làm vectơ pháp tuyến

Vậy ( ) (α :1 x− +2) (4 y− −1) (2 z− = ⇔ +0) 0 x 4y−2z− =6 0.

Ta có MNuuuur=(2; 2; 2− )

Trang 11

Đường thẳng MN đi qua M(1;0;1) và có vectơ chỉ phương 1 (1;1; 1)

2

ur= MNuuuur= −

Suy ra

1 :

1

= +



 =



 = −



Số phần tử không gian mẫu: n( )Ω = =6! 720

Gọi A là biến cố: “học sinh lớp C chỉ ngồi cạnh học sinh lớp B”.

+ Trường hợp 1: Học sinh lớp C ngồi ở hai đầu hàng ghế

Xếp học sinh lớp C, có 2 cách

Chọn 1 học sinh lớp B ngồi cạnh học sinh lớp C, có 2 cách

Xếp 4 học sinh còn lại, có 4! Cách

Do đó, có 2.2.4! 96= cách

+ Trường hợp 2: Học sinh lớp C ngồi ở giữa

Xếp học sinh lớp C, có 4 cách

Xếp 2 học sinh lớp B ngồi cạnh học sinh lớp C, có 2 cách

Xếp 3 học sinh lớp A, có 3! Cách

Do đó, có 4.2.3! 48= cách

Suy ra ( ) 96 48 144 ( ) ( ) ( ) 144 1

720 5

n A

n

Gọi N là trung điểm của AC Ta có BC // MN⇒BC // SMN( ).

Khi đó d BC SM( , ) =d BC SMN( ,( ) ) =d B SMN( ,( ) ) =d A SMN( ,( ) )

Kẻ AI ⊥MN I MN AH( ∈ ), ⊥SI H( ∈SI) Suy ra d A SMN( ,( ) ) =AH

Trang 12

Hàm số đã cho đồng biến trên ¡ ⇔b2−3ac≤ ⇔0 m2− ≤ ⇔ − ≤ ≤ 4 0 2 m 2 m∈ ¢→ ∈ − −m { 2; 1;0;1;2}

0,015

n

e

−

+

n

Tiệm cận đứng: x 2 0 c 0 bc 0

b

Tiệm cận ngang: y 1 0 a 0 ab 0

b

Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm x 2 0 1 0 a 0 b 0 c 0

a

> > ⇒ − > ⇒ < ⇒ < ⇒ >

Xét thiết diện là hình vuông ABCD có I là trung điểm BC

Ta có AB BC= =6 ,a OI =3a⇒ ∆OBC vuông tại 2 3

cos cos 2

Do đó f x( ) = f x dx′( ) = cos2x+cos34 x+cos54 xdx

( ) sin2x sin 312x sin 520x

⇒ = + + + , vì f( )0 =0 nên C =0

( )

0

242 225

I f x dx

π

Trang 13

Từ bảng biến thiên của hàm số y= f x( ) Ta thấy phương trình f x( ) =1 có bốn nghiệm phân biệt lần lượt là: t1 < − < < < < <1 t2 0 t3 1 t4

Do đó ( )

( )

1 2 3 4

sin

sin 1

sin

x t l

x t t m

x t l

=





=





Xét hàm số t =sinx trên 0;5

2

π

  Khi đó:

2 3 cos 0

2 5 2

x

π

 =



 =



Ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên của hàm số t=sinx, ta thấy phương trình:

+ sinx t= ∈ −2 ( 1;0) có hai nghiệm phân biệt trên 0;5

2

π

+ sinx t= ∈1 ( )0;1 có ba nghiệm phân biệt trên 0;5

2

π

Theo bài ra ta có:

1 1 log

2 2

x

y y

b

−



Đặt t =loga b Vì ,a b>1 nên loga b>log 1 0a =

Khi đó 3 1 1 3 2 1 1 3 2

Trang 14

Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất là 3 2

2+ khi t = 2 hay b a= 2

Ta có: ( ) ( )2

1 1

m

f x

x

−

+ Nếu m=1 thì ( ) 1 1, 1

1

x

+

+ Khi đó max[ ]0;1 f x( ) +min[ ]0;1 f x( ) =2 (thỏa mãn).

Do đó m=1 thỏa mãn bài toán

+ Nếu m≠1 thì hàm số f x đơn điệu trên ( ) [ ]0;1

2

m

+

  thì min[ ]0;1 ( ) 0, max[ ]0;1 ( ) max 1;

2

m

Do đó:

2

( ) ( ) ( )

1

3







(so với điều kiện TH1)

2

m

+

  thì min[ ]0;1 ( ) min 1; , max[ ]0;1 ( ) max 1;

Do đó

1

3

m

=



 = −



(t/m)

Vậy 1; 5

3

S =  − 

Trang 15

Gọi , , ,E F G H lần lượt là trung điểm của AA BB CC DD′, ′, ′, ′.

.9.8 36

V = V ′ ′ ′ ′ = =

Gọi V là thể tích khối tứ diện lồi cần tính, khi đó V V= ABCD.EFGH −V E AMQ. −V F BMN. −V G CNP. −V H DPQ.

EQ EM

EH EF

3

36 4 30

2

V

3

4

t

x y

 + =





Trang 16

Do đó (x y là tọa độ giao điểm của đường thẳng ; ) ( )d :x y+ − =3t 0 và đường tròn tâm O bán kính

2t

R=

2

2 2

t t

t

d O d ≤ ⇔R ≤ ⇔  ≤ ⇔ ≤t

 ÷

 

Dễ thấy hoành độ giao điểm x luôn thỏa mãn − ≤ ≤ ⇔ − ≤ ≤R x R 2t x 2t Mà 3

2 log 2

3

2

log 2

0 2< ≤t 2 < ⇒ − < <2 2 x 2.

Mà x∈ ⇒ ∈ −¢ x { 1;0;1} .

Ta đi thử lại

- Với x= −1ta có hệ ( )2

2

1 3

4 1

t

y y

 = +



= −

Nếu t<0 thì 2 4− >t 0, còn t≥0 thì 9t ≥4t Do đó f t( ) = +9t 2.3t+ − > ∀2 4t 0 t, hay phương trình vô nghiệm

3

4

t

y

 =



=

- Với x=1 ta có hệ 2 3 1 0 0

4 1

t

y

 = −



= −

Vậy x=0 hoặc x=1

Định dạng
Số trang	16
Dung lượng	1,52 MB