1 Hãy viết phương trình mặt phẳng đi qua các hình chiếu M, N, P của điểm A trên các trục tọa độ.. Viết phương trình mặt phẳng P vuông góc AB và cách M1;-1;0 một khoảng bằng 3.. 2 Viết
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KON TUM
TÀI LIỆU
ÔN THI TN THPT
MÔN TOÁN
Biên soạn: Nguyễn Hữu Đôn - Phan Thanh Xuyên
Thẩm định: Nguyễn Ngọc Duyệt
Kon Tum, tháng 4 năm 2013
Trang 2CHỦ ĐỀ 4:
PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN
I Kiến thức cần nhớ:
1 Phương trình mặt phẳng.
- Phương trình dạng Ax By Cz D 0 A2B2C2 0 gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng
- Mặt phẳng quaM x y z có một véc tơ pháp tuyến 0( ; ; )0 0 0 n( ; ; )A B C có phương trình là:
0 0 0 0
A x x B y y C z z
- Mặt phẳng quaM a( ;0;0), (0; ;0), (0;0; ) ( N b P c a b c0) có phương trình theo đoạn chắn là: xy z 1
a b c
2 Vị trí tương đối của hai mặt phẳng:
Cho mp(P) qua M có VTPT n và mp(Q) qua N có VTPT '
n khi đó:
-(P), (Q) trùng nhau ( )' 0
n n
-(P), (Q) song song ( )' 0
n n
-(P), (Q) cắt nhau ' 0
n n
-(P), (Q) vuông góc n n ' 0
3 Khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng.
Cho M x y z mp P Ax By Cz D ( ; ; ),0 0 0 ( ) : 0 khi đó:
M P
Ax By Cz D d
A B C
II Kĩ năng cần đạt:
- Viết được phương trình mặt phẳng
- Xét được các vị trí tương đối của 2 mặt phẳng
- Tính được khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng
III Bài tập vận dụng:
Bài 1: Viết phương trình mặt phẳng trong những trường hợp sau:
1) Đi qua điểm M0(1; 3; -2) và song song với mặt phẳng 2x - y + 3z + 4=0
2) Đi qua ba điểm A(-1; 2; 3), B(2; 4; -3), C(4; 5; 6) Đáp số quá vớ vẫn!!!
Bài 2: Viết phương trình mặt phẳng trong những trường hợp sau:
1) Đi qua hai điểm D(1; 2 ;3), E(-1; 1; 2) và song song với trục Ox
2) Đi qua điểm M (2; -1; 2), song song với trục Oy đồng thời vuông góc với mặt phẳng
Trang 3Hướng dẫn:
1) Ox có 1 véc tơ chỉ phương là: i1;0;0, mp(P) qua D, E có một véc tơ pháp tuyến
n DE i suy ra phương trình mp(P)
2) Mặt phẳng 2x – y + 3z - 1 = 0 có 1 VTPT 12; 1;3
n , Oy có 1 VTCP j0;1;0, mp(P) qua M thỏa ycbt nhận VTPT là 2 1
n n j
3) Mặt phẳng 2x – y + 3z - 1 = 0 có 1 VTPT 12; 1;3
n , 1; 2;5
M thỏa ycbt nhận VTPT là 1
n n PQ
Bài 3: Cho điểm A(2; 3; 4).
1) Hãy viết phương trình mặt phẳng () đi qua các hình chiếu M, N, P của điểm A trên các trục tọa độ
2) Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O tới mặt phẳng () từ đó suy ra diện tích tam giác MNP
3) Lập phương trình mặt phẳng qua A đồng thời chứa trục Oy
Hướng dẫn:
1) Sử dụng phương trình đoạn chắn
2) Tính d( ;(O MNP)) vàVOMNP từ đó áp dụng công thức
;( )
1
.
MNP
S
3) Tương tự bài 2
Bài 4: Cho hai mặt phẳng x 3y mz 2 0 và2x ny 2z 1 0 Tìm m, n để hai mặt phẳng
đó song song song với nhau, khi đó tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng
Hướng dẫn: Hai mp trên song song nhau khi và chỉ khi
.2
k
k n
m k k
Bài 5: Cho A( 2;-2;0), B( 4; 2; -2) Viết phương trình mặt phẳng (P) vuông góc AB và cách
M(1;-1;0) một khoảng bằng 3
Bài 6: Cho mặt cầu (S): 2 2 2
x y z x y z 1) Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu (S)
2) Viết phương trình mặt phẳng () tiếp xúc (S) tại điểm A(-1;0;2)
Bài 7: Trong không gian Oxyz cho bốn điểm A(3;-2;-2), B(3;2,0), C(0;2;1), D(-1;1;2).
1) Viết phương trình mặt phẳng (BCD) Suy ra ABCD là một tứ diện.
2) Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (BCD).
3) Tìm toạ độ tiếp điểm của (S) và mặt phẳng (BCD).
Đáp số quá vớ vẫn!!!
Trang 4Bài 8: Cho(): x + y - z + 4 = 0;(): 3x - 2y + z -1 = 0 Lập phương trình mặt phẳng()qua giao tuyến d của(),()và qua A(2,1,-1)
Hướng dẫn:
Tìm hai điểm phân biệt MN trên d, mp()có 1 VTPT là
n AM AN
Bài 9:Viết phương trình mặt phẳng qua giao tuyến d của hai mp sau:(): y - 2z +4 = 0; (): 2x + y - 2 = 0 đồng thời:
1) Song song với(): x + 3y - z = 0 2) Vuông góc với( ) : 2x - 3y + z -1 = 0
Hướng dẫn:
Tọa độ các điểm nằm trên d thỏa hệ 2 4 0
y z
x y d đi qua M(1; -4; 0), N(0; -2; 1) ta có
1;2;1
MN
1) mp()có 1 VTPT 11;3; 1
n , ta có 1
n MN 0 do đó không tồn tại mp nào thỏa ycbt 2) mp( ) có 1 VTPT 22; 3;1
n , mp cần tìm có 1 VTPT là 2
n MN
Bài 10: Lập phương trình mặt phẳng di qua gốc toạ độ đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng :
(P): x - y + z - 7 = 0; (Q): 3x +2y -12z +5 = 0
Hướng dẫn:
- mp(P) có 1 VTPT 11;1; 1
n , mp(Q) có 1 VTPT 2 3; 2;1
n , mp() qua O thỏa ycbt nhận VTPT là 1 2
n n n
Trang 5
-CHỦ ĐỀ 5:
PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
I Kiến thức cần nhớ:
1 Phương trình đường thẳng Đường thẳng d quaM x y z0( ; ; )0 0 0 có một VTCP u( ; ; )a b c
- Có phương trình tham số là:
0 0 0
x x at
y y bt
z z ct
- Có phương trình chính tắc (nếu a.b.c 0) là: 0 0 0
x x y y z z
2 Vị trí tương đối của hai đường thẳng: Cho d qua M có VTCP là u và d’ qua N có VTCP là
v thì:
- d, d’ trùng nhau 0
0
u v
u MN
- d, d’ cắt nhau
0 0
u v
u v MN - d, d’ chéo nhau u v MN 0
3 Khoảng cách
- ,
M d
IM u d
, '
d d
u v MN d
u v
II Kĩ năng cần đạt:
- Viết được phương trình của đường thẳng: tham số, chính tắc
- Xét được vị trí tương đối của hai đường thẳng
- Xét được vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng, tìm tọa độ giao điểm
- Tính được khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
III Bài tập vận dụng:
Bài 1: Tìm phương trình tham số đường thẳng trong mỗi trường hợp sau:
1) Đi qua hai điểm A(-2; 1; 2) và B( 1; 2; 4)
2) Đi qua điểm C(1; 2; -1) và vuông góc với mặt phẳng (): - x + 2z - 3 = 0
3) Đi qua điểm D(0; 1; -1) vuông góc và cắt đường thẳng (d):
1 4
1 4
y t
Hướng dẫn (ý 3):
- d có 1 VTCP u 4;1; 4 Gọi M1 4 ; ; 1 4 t t t là điểm trên d.
- Tính
DM
d DM u từ đó ta tìm được t, suy ra phương trình đường thẳng DM cần tìm
Bài 2: Cho A(1;4;2) và mặt phẳng (P): x + y + z - 1= 0
1) Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng (P)
2) Tìm tọa độ điểm M’ đối xứng với M qua (P)
3) Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua A và song song với đường thẳng là giao tuyến của (P) và (Oxy)
Trang 6Hướng dẫn (ý 3):
- (P) có 1 VTPT n1;1;1 , mp(Oxy) có 1 VTPT k0;0;1
- D có 1 VTCP là u n k từ đó suy ra PTTS của d.
Bài 3: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng (d):
1 2 2 3
y t
z t
và mặt phẳng : 2x y z 0
1) Tìm toạ độ giao điểm A của (d) và ()
2) Viết phương trình mặt phẳng () đi qua A và vuông góc với (d)
3) Viết phương trình đường thẳng (d’) là hình chiếu của (d) trên mặt phẳng ()
Hướng dẫn (ý 3):
- Tìm giao điểm I giữa d và
Đáp số quá vớ vẫn!!!
- Viết phương trình IN, đường thẳng cần tìm chính là IN
Bài 4: Trong không gian Oxyz cho A(1; -1; 2) và 2 đt: 1
1 2 :
3
d y t
z t
; 2
:
d
1) Chứng tỏ hai đường thẳng d và 1 d chéo nhau.2
2) Viết phương trình đường thẳng qua A và cắt cả d và 1 d 2
Hướng dẫn (ý 2):
- Đưa d2 về dạng tham số t’
- Gọi M, N tương ứng nằm trên d và 1 d Khi đó (1 2 ; ;3 ); ( 22 M t t t N t';3 2 '; ') t t
- Thiết lập điều kiện cùng phương của hai véc tơ ;
AM AN tìm t, t’.
- Đường thẳng cần tìm chính là đường thẳng AM
Bài 5:Viết phương trình đường thẳng đi qua M(0;1;1) vuông góc đường thẳng : 1 2
x y z
d
và cắt đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng (P): x + 1 = 0 và (Q): x y z 2 0
Hướng dẫn:
- Viết phương trình tham số của , giả sử đường thẳng cần tìm cắt tại H,đưa H về dạng tham số
- Lập véctơ MH và VTCP u của d, khi đó MH u . 0
tìm ra t suy ra phương trình MH
Bài 6: Tìm m để hai đường thẳng d :
2 3 1
x t
y t
z mt
và d’ : 1 5
x y z
cắt nhau
Hướng dẫn:
Cách 1: - Tìm M, N tương ứng d, d’ đi qua.
- d, d’ cắt nhau khi và chỉ khi
' '
0 0
d d
d d
u u
u u MN
Trang 7Cách 2: Xét hệ
mt t
- d và d’ cắt nhau khi và chỉ khi hệ trên có nghiệm duy nhất
Bài 7: Cho hai đường thẳng: d: 7 3 9
x y z
1) Chứng minh d và d’ chéo nhau.
2) Lập phương trình đường thẳng đi qua các giao điểm của d và d’ với mặt phẳng (P): x + y + z = 0
Đáp số quá vớ vẫn!!!
3)* Lập phương trình đường vuông góc chung của d và d’
Hướng dẫn (ý 3):
- Tìm M, N ở dạng tham số mà tương ứng d, d’ đi qua
- MN là đường vuông góc chung của d, d’ khi và chỉ khi
'
d
d
MN u
MN u
Bài 8*: Cho A( 3; 1; 1), B( 7; 3; 9) và mặt phẳng (): x y z 3 0 Tìm điểm M trên ()
để MA MB
đạt giá trị nhỏ nhất
Hướng dẫn:
- Chứng minh A, B cùng phía so với mp() Tìm A’ đối xứng với A qua mp()
- Tìm giao điểm I của AA’ với ()
- Vị trí của M cần tìm chính là I
Bài 9*: Cho mp():x y z 1 0 và đường thẳng : 1 2
Viết phương trình của đường thẳng qua giao điểm của () và , nằm trong măt phẳng () và vuông góc với
Hướng dẫn:
- Gọi (P) là mp chứa và vuông góc với () khi đó (P) có 1 VTPT
d
n n u
- Tìm giao điểm I của d với ()
- Đường thẳng cần tìm chính là đường thẳng qua I nhận n làm véc tơ chỉ phương.
Bài 10*: Cho tam giác ABC với A(1; 0; 1), B(2; -1; 0), C(0; 0; 1).
1) Viết phương trình mặt cầu (S) tâm A, tiếp xúc với BC.
2) Viết phương trình mặt phẳng () đi qua hai
2 .
Đáp số quá vớ vẫn!!!
Trang 8Hướng dẫn
Ý 1: Viết phương trình BC, tìm hình chiếu H của A lên BC, Mặt cầu cần tìm nhận A làm tâm có bán kính OH
Ý 2: - Phương trình mp() dạng: ax by cz d 0 a2 b2c2 0
- () qua A, B nên ta tìm được c, d theo a, b
- Tính khoảng cách từ C tới () tìm ra quan hệ a theo b Thế lại PT() và rút gọn
_
Trang 9CHỦ ĐỀ 6:
ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ VÀO GIẢI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN.
(Dành cho chương trình nâng cao)
-Thiết lập mối quan hệ giữa hình học không
gian (HHKG) và hình học giải tích
(HHGT).
- Gắn được hệ trục Oxyz.
- Chuyển bài toán HHKG về bài toán HHGT.
- Giải các bài toán hình học giải tích vừa thiết lập.
Bài tập:
Bài 1: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a
1) Chứng minh A'C vuông góc với mặt phẳng (AB'D')
2) Chứng minh giao điểm A'C với mặt phẳng (AB'D') là trọng tâm tam giác AB'D'
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a., cạnh bên SA (ABCD) và
SA = 2a Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SD
1) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCM) và khoảng cách giữa hai đường thẳng
SB, CN
2) Tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (SBC)
Bài 3: Hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật AB = a, AD = 2a, SA = 3a, SA vuông góc
với đáy của hình chóp, mp(P) qua AC vuông góc với (SCD) cắt SD tại E Tính S ACE
Bài 4: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a ,chiều cao bằng 2a
1) Tính góc tạo bởi SA với mặt phẳng (SCD)
2) Mặt phẳng( ) chứa CD và vuông góc với (SAB) cắt SA, SB lần lượt tại E, F Tính thể tích khối chóp S.CDEF
Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi AC = a, BD = 2a Gọi H là tâm đáy ,
SH (ABCD), góc tạo bởi (SCD) và (SAD) là 600
1) Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC
2) Kẻ AI SD (ISD) Tính diện tích tam giác ACI
_
PHẦN III : MỘT SỐ ĐỀ THI TN THPT MÔN TOÁN
Trang 10( Từ năm 2006 đến 2012 )
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2006 Môn thi : TOÁN – Trung học phổ thông phân ban
ĐỀ THI CHÍNH THỨC Thời gian làm bài:150 phút, không kể thời gian giao đề.
I PHẦN CHUNG CHO THÍ SINH CẢ 2 BAN (8,0 điểm)
Câu 1 (4,0 điểm)
1 Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số yx33 x2
2 Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình 3 2
x x m
3 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành
Câu 2 (2,0 điểm)
1 Giải phương trình: 22x 2 9.2x 2 0
2 Giải phương trình 2x2 5x 4 0 trên tập số phức
Câu 3 (2,0 điểm)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy, cạnh bên SB bằng a 3
1 Tính thể tích của khối chóp S.ABCD
2 Chứng minh trung điểm của cạnh SC là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD
II PHẦN DÀNH CHO THÍ SINH TỪNG BAN (2,0 điểm)
A Thí sinh Ban KHTN chọn câu 4a hoặc câu 4b
Câu 4a (2,0 điểm)
1 Tính tích phân :
ln 5
ln 2
( 1)
1
x
e e
e
2 Viết phương trình các tiếp tuyến của đồ thị hàm số
2
x x y
x
, biết các tiếp tuyến đó song song với đường thẳng y3x2006.
Câu 4b (2,0 điểm)
Trong không gian tọa độ Oxyz cho ba điểm A(2;0;0); B(0;3;0); C(0;0;6)
1 Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A,B,C Tính diện tích tam giác ABC
2 Gọi G là trọng tâm tam giác ABC Viết phương trình mặt cầu đường kính OG
B Thí sinh Ban KHXH-NV chọn câu 5a hoặc câu 5b
Câu 5a (2,0 điểm)
1 Tính tích phân
1
0 (2 1) x
J x e dx
2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 2 3
1
x y x
tại điểm thuộc đồ thị có hoành độ
0 3
x
Câu 5b (2,0 điểm)
Trong không gian Oxyz cho ba điểm A( 1;1;2), (0;1;1), (1;0;4). B C
1 Chứng minh tam giác ABC vuông Viết phương trình tham số của đường thẳng AB
2 Gọi M là điểm sao cho MB 2MC
Viết phương trình mặt phẳng đi qua M và vuông góc với đường thẳng BC
Trang 11BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2007 Môn thi : TOÁN – Trung học phổ thông phân ban
ĐỀ THI CHÍNH THỨC Thời gian làm bài:150 phút, không kể thời gian giao đề.
I PHẦN CHUNG CHO THÍ SINH CẢ 2 BAN (8,0 điểm)
Câu 1 (3,5 điểm)
Cho hàm số y x 4 2x21, gọi đồ thị của hàm số là (C)
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
2 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm cực đại của (C)
Câu 2 (1,5 điểm)
1 Giải phương trình: log4xlog (4 ) 5.2 x
Câu 3 (1,5 điểm)
Giải phương trình x2 4x 7 0 trên tập số phức
Câu 4 (1,5 điểm)
Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại đỉnh B, cạnh bên SA vuông góc với đáy Biết SA = AB = BC = a Tính thể tích của khối chóp S.ABC
II PHẦN DÀNH CHO THÍ SINH TỪNG BAN (2,0 điểm)
A Thí sinh Ban KHTN chọn câu 5a hoặc câu 5b
Câu 5a (2,0 điểm)
1 Tính tích phân :
2
2 1
2 1
xdx J
x
2 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 3 2
f x x x x trên đoạn 1;3
Câu 5b (2,0 điểm)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M ( 1; 1;0) và mặt phẳng (P) có phương trình x y 2z 4 0.
1 Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua M và song song với mặt phẳng (P)
2 Viết phương trình tham số của đường thẳng (d) đi qua M và vuông góc với mặt phẳng (P) Tìm tọa độ giao điểm H của đường thẳng (d) với mặt phẳng (P)
B Thí sinh Ban KHXH-NV chọn câu 6a hoặc câu 6b
Câu 6a (2,0 điểm)
1 Tính tích phân
3
1
2 ln
K x xdx
2 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f x( )x3 3x1 trên đoạn 0;2
Câu 6b (2,0 điểm)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm E(1; 2;3) và mặt phẳng ( ) có phương trình x2y 2z 6 0
1 Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là gốc tọa độ O và tiếp xúc với mặt phẳng ( )
2 Viết phương trình tham số của đường thẳng ( ) đi qua E và vuông góc với mặt phẳng ( )
Hết