Gv; Phan Công Trứ - Trường THPT Thanh Bình 2 – Đồng Tháp CHƯƠNG I : HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC BÀI 1 : CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Dạng 1 : Tìm tập xác định của hàm số lượng giác • Tập xác định của hàm số là tập hợp những giá trị của x sao cho f(x) có nghĩa. • Các hàm số y = sinx và y = cosx có tập xác định là R. • Hàm số y = tanx có tập xác định D = \ , 2 k k π π   + ∈     ¢¡ . • Hàm số y = cotx có tập xác định D = { } \ ,k k π ∈ ¢¡ . Bài 1 : Tìm tập xác định của các hàm số sau : a) y = 1 sin 2 cos x x + b) y = 2 sin3x− c) y = 3cos sinx.cos x x d) y = 2tan3 5 os6 sin3 x c x x − Giải : a) Hàm số được xác định khi cosx ≠ 0 ⇔ x ≠ π/2 + kπ. Vậy tập xác định của hàm số là D = \ , 2 k k π π   + ∈     ¢¡ . b) Ta có : 2 – sin3x > 0 , ∀x ∈ R. Do đó tập xác định là D = R. c) Hàm số được xác định khi : sinx.cosx ≠ 0 ⇔ sin2x ≠ 0 ⇔ 2x ≠ kπ ⇔ x ≠ kπ/2 Vậy tập xác định của hàm số là D = \ , 2 k k π   ∈     ¢¡ . d) Hàm số xác định khi : os6 0 os6 0 sin3 0 sin12 0 sin 6 0 12 os3 0 c x c x k x x x x c x ≠  ≠  π  ≠ ⇔ ⇔ ≠ ⇔ ≠   ≠   ≠  . Vậy tập xác định của hàm số là D = \ , 12 k k π   ∈     ¢¡ . Bài 2 : Tìm tập xác định của các hàm số : a) y = tan 3 4 x π   +  ÷   b) y = t 6 5 3 co x x π   − +  ÷   Giải: a) Hàm số xác định khi : 3 4 2 12 3 x k x k π π π π + ≠ + π ⇔ ≠ + Vậy tập xác định của hàm số là D = \ , 12 3 k k π π   + ∈     ¢¡ . b) Hàm số xác định khi : 6 3 18 6 x k x k π π π − ≠ π ⇔ ≠ − . Vậy tập xác định của hàm số là D = \ , 18 6 k k π π   − ∈     ¢¡ . Ôn tập Đại số và giải tích 11 Gv; Phan Công Trứ - Trường THPT Thanh Bình 2 – Đồng Tháp Dạng 2 : Xét tính chẵn, lẻ của hàm số lượng giác. Phương pháp: Tìm tập xác định D của hàm số Với mọi x ∈ D : + Nếu ( ) ( ) ( ) x D f x f x f x − ∈  ⇒  − =  là hàm số chẵn. + Nếu ( ) ( ) ( ) x D f x f x f x − ∈  ⇒  − = −  là hàm số lẻ. Chú ý : Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung là trục đối xứng, đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng. Hàm số y = cosx là hàm chẵn và các hàm số y = sinx, y = tanx, y = cotx là hàm lẻ. Bài tập : Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau : a) y = −4cos2x b) y = sin 3 4x – 3sinx c) y = tan cot 2 sin x x x + d) y = 3sinx + 2cosx – 1 Giải a) Hàm số y = −4cos2x có tập xác định D = R Với mọi x∈ D thì −x ∈D và f(−x) = −4cos(−2x) = −4cos2x = f(x). Vậy f(x) là hàm số chẵn. b) Là hàm số lẻ. c) Là hàm số chẵn. d) Tập xác định : D = R Với mọi x ∈D thì −x∈D. Ta có : f(−x) = 3sin(−x) + 2cos(−x) – 1 = −3sinx + 2cosx – 1. Suy ra f(−x) ≠ f(x) và f(−x) ≠ −f(x). Vậy f(x) không phải là hàm số chẵn cũng không phải là hàm số lẻ. Dạng 3: Xét chiều biến thiên của hàm số lượng giác : Phương pháp: Tìm tập xác định của hàm số Dựa vào chiều biến thiên của các hàm số lượng giác cơ bản • Hàm số y = sinx đồng biến trên mỗi khoảng : 2 ; 2 2 2 k k   π π − + π + π  ÷   và nghịch biến trên mỗi khoảng 2 ; 2 2 2 k k   π 3π + π + π  ÷   . • Hàm số y = cosx đồng biến trên mỗi khoảng : ( ) (2 1) ; 2k k− π π và nghịch biến trên mỗi khoảng ( ) 2 ;(2 1)k kπ + π . • Hàm số y = tanx đồng biến trên mỗi khoảng ; 2 2 k k   π π − + π + π  ÷   • Hàm số y = cotx nghịch biến trên mỗi khoảng ( kπ ; (k +1)π). Bài 1 : Không sử dụng máy tính, hãy so sánh các giá trị lượng giác sau đây : a) 7 sin 24 − π và 5 sin 12 − π b) 17 cot 20 π và 4 cot 5 π Ôn tập Đại số và giải tích 11 Gv; Phan Công Trứ - Trường THPT Thanh Bình 2 – Đồng Tháp Giải a) Hàm số y = sinx đồng biến trên khoảng ; 2 2   π π −  ÷   Do đó từ : 5 7 2 12 24 2 π − π − π π − < < < suy ra, 7 sin 24 − π > 5 sin 12 − π . b) Hàm số y = cotx nghịch biến trên khoảng (0 ; π). Do đó từ 4 17 0 5 20 π π < < < π suy ra, 17 cot 20 π < 4 cot 5 π . Bài 2: Xét chiều biến thiên của các hàm số sau đây trên đoạn, khoảng đã chỉ ra : a) y = sin2x trên đoạn 3 ; 4 4   π π −     b) y = tan3x trên khoảng ; 12 6   π π −  ÷   Giải a) Với x ∈ 3 ; 4 4   π π −     thì 2x ∈ 3 ; 2 2   π π −     Với x ∈ ; 4 4   π π −     ⇔ 2 2 2 x π π − ≤ ≤ : Hàm số y = sin2x đồng biến. Với x ∈ ; 4 4   π 3π     ⇔ 2 2 2 x π 3π ≤ ≤ : Hàm số y = sin2x nghịch biến. Vậy hàm số đồng biến trên khoảng ; 4 4   π π −  ÷   và nghịch biến trên khoảng 3 ; 4 4   π π  ÷   . b) Với x∈ ; 12 6   π π −  ÷   thì 3x ∈ ; ; 4 2 2 2     π π π π − ⊂ −  ÷  ÷     Do đó hàm số y = tan3x đồng biến trên khoảng ; 12 6   π π −  ÷   . Dạng 4: Tìm GTLN, GTNN của hàm số lượng giác Phương pháp: + Dựa vào bảng biến thiên của hàm số lượng giác. + Dựa vào tính chất của hàm số lượng giác. ∀x∈R ta có −1 ≤ sinx ≤ 1 và −1 ≤ cosx ≤ 1. + Dựa vào các bất đẳng thức đã học. • Cô-si : a + b ≥ 2 ab (a, b ≥ 0), dấu “=” xảy ra khi a = b. • Bu-nhi-a-cốp-xki : (ax + by) 2 ≤ (a 2 + b 2 )(x 2 + y 2 ), dấu “=” xảy ra khi ay = bx. • Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối : a b a b a b− ≤ + ≤ + . Bài 1: Cho hàm số y = cosπx. Tìm GTLN và GTNN của hàm số trên 1 3 ; 4 2       . Giải Với x∈[1/4 ; 3/2] thì πx ∈[π/4 ; 3π/2]. Xét 2 trường hợp : Ôn tập Đại số và giải tích 11 Gv; Phan Công Trứ - Trường THPT Thanh Bình 2 – Đồng Tháp Xét π/4 ≤ πx ≤ π ⇔ ¼ ≤ x ≤ 1 : Hàm số y = cosπx nghịch biến. Xét π ≤ πx ≤ 3π/2 ⇔ 1 ≤ x ≤ 3/2 : Hàm số y = cosπx đồng biến. BBT : (trên đoạn [1/4 ; 3/2] x ¼ 1 3/2 2 2 0 y −1 Từ BBT ta có : Hàm số đạt GTNN tại x = 1 và miny = −1. Hàm số đạt GTLN tại x = ¼ và maxy = 2 2 . Bài 2 : Tìm GTLN và GTNN của các hàm số : a) y = 5sin(2x + π/4) + 8 b) y = 2 4 os 3 1c x− + c) y = cos 2 x – 2cosx + 3 Giải a) ∀x∈R, ta có : −1 ≤ sin(2x + π/4) ≤ 1 ⇔ −5 ≤ 5sin(2x + π/4) ≤ 5 ⇔ 3 ≤ 5sin(2x + π/4) + 8 ≤ 13 Do đó : maxy = 13 và miny = 3. b) ∀x∈R, ta có : 0 ≤ cos 2 3x ≤ 1 ⇔ 3 ≤ 4 – cos 2 3x ≤ 4 ⇔ 3 ≤ 2 4 – cos 3x ≤ 2 ⇔ 3 + 1≤ 2 4 – cos 3x + 1 ≤ 3. Do đó : maxy = 3 và miny = 3 + 1. c) Ta có : y = cos 2 x – 2cosx + 3 = (cosx – 1) 2 + 2 ∀x∈R, ta có : −1 ≤ cosx ≤ 1 ⇔ −2 ≤ cosx – 1 ≤ 0 ⇔ 0 ≤ (cosx – 1) 2 ≤ 4 ⇔ 2 ≤ (cosx – 1) 2 + 2 ≤ 6 Do đó : maxy = 6 và miny = 2. Dạng 5: Xét tính tuần hoàn của hàm số lượng giác. Phương pháp. Tìm tập xác định của hàm số. Chứng minh tồn tại số T ≠ 0 sao cho với mọi x∈D, ta có : x ± T ∈D và f(x + T) = f(x). Nhận xét : Số T dương nhỏ nhất thỏa mãn các tính chất trên được gọi là chu kì của hàm số tuần hoàn . Các hàm số y = sin(ax + b) và y = cos(ax + b) tuần hoàn có chu kì T = 2 a π . Các hàm số y = tan(ax + b) và y = cot(ax + b) tuần hoàn có chu kì T = a π . Bài tập : Chứng minh rằng hàm số sau tuần hoàn và tìm chu kì của nó : y = f(x) = sin2x. Giải Tập xác định : D = R Ôn tập Đại số và giải tích 11 Gv; Phan Công Trứ - Trường THPT Thanh Bình 2 – Đồng Tháp Với mọi x∈D ta có : x ± π∈D và f(x + π) = sin2(x + π) = sin2x = f(x). Vậy hàm số y = sin2x tuần hoàn với chu kì là T = π. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN 1. Công thức nghiệm của các phương trình lượng giác cơ bản : • sinu = sinv ⇔ u = v + k2π hoặc u = π − v + k2π (k∈Z) • cosu = cosv ⇔ u = ±v + k2π ⇔ 2 2 u v k u v k  = + π  = − + π  • tanu = tanv ⇔ u = v + kπ • cotu = cotv ⇔ u = v + kπ • Với điều kiện m ∈ [−1 ; 1], ta có : sinx = m ⇔ x = arcsinm + k2π hoặc x = π − arcsinm + k2π (k∈Z) cosx = m ⇔ x = ±arccosm + k2π. • tanx = m ⇔ x = arctanm + kπ • cotx = m ⇔ x = arccotm + kπ 2. Chú ý : a. Chuyển đổi giữa sin và cos ; giữa tan và cot : sinx = cos 2 x   π −  ÷   ; cosx = sin 2 x   π −  ÷   tanx = cot 2 x   π −  ÷   ; cotx = tan 2 x   π −  ÷   b. Đổi dấu hàm số lượng giác : −sinx = sin(−x) ; −cosx = cos(π −x) −tanx = tan(−x) ; −cotx = cot(−x) c. Các trường hợp đặc biệt : sinx = 1 ⇔ x = π/2 + k2π. sinx = −1 ⇔ x = −π/2 + k2π. sinx = 0 ⇔ x = kπ ⇔ cosx = ±1. cosx = 0 ⇔ x = π/2 + kπ ⇔ sinx = ±1. cosx = 1 ⇔ x = k2π. cosx = −1 ⇔ x = π + k2π. d. Ghép nghiệm (gộp nghiệm) phương trình lượng giác : Một nghiệm của phương trình lượng giác thwongf là một họ cung và một phương trình lượng giác thường có các nghiệm gồm nhiều họ cung như thế ; các họ cung nhiều khi có các giá trị trùng lặp nhau nên ta thường ghép nghiệm. Để việc ghép nghiệm được nhanh và dễ dàng ta thường biểu diễn nghiệm trên đường tròn lượng giác và ghép các giá trị có điểm cuối (ngọn) của cung trùng nhau trên đường tròn lượng giác hoặc dựa vào hình vẽ tìm công thức chung cho các nghiệm. Ví dụ : 2 ( ) 4 4 2 x k x k k Z x l  π =  π ⇔ = ∈  π π  = +   Ôn tập Đại số và giải tích 11 y x A3 A4 A1 A2 O B3 B1 B4 B2 Gv; Phan Công Trứ - Trường THPT Thanh Bình 2 – Đồng Tháp 3. MỘT SỐ DẠNG TOÁN : Dạng 1: Giải phương trình lượng giác cơ bản Phương pháp : Áp dụng công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản. Bài 1: Giải các phương trình sau : a) sinx = 1 2 b) cosx = 3 2 − c) sin2x = sin 6 x   π +  ÷   d) cos(2x – 60 o ) = cos(x + 30 o ) e) sin4x = cos3x f) cos 2 x = sin 2 (3x – 15 o ) g) tan(2x + 3) + cot(x – 1) = 0 h) sin2x + 5 .cosx = 0 Giải a) Ta có : sinx = 1 2 ⇔ sinx = sin 6 π ⇔ 2 6 5 2 6 x k x k  π = + π   π  = + π   Vậy phương trình có nghiệm x = π/6 + k2π , x = 5π/6 + k2π. b) Ta có : cosx = 3 2 − = − 5 os os os 6 6 6 c c c   π π π = π − =  ÷   ⇔ x = ± 5π/6 + k2π Vậy phương trình có nghiệm x = ± 5π/6 + k2π. c) Ta có : sin2x = sin 6 x   π +  ÷   ⇔ 2 2 2 6 6 5 2 2 2 6 8 3 x x k x k x x k x k  π  π = + + π = + π    ⇔    π  π π  = π − + + π = +  ÷       Vậy phương trình có nghiệm x = π/6 + k2π , x = 5π/8 + k2π/3. d) Ta có : cos(2x – 60 o ) = cos(x + 30 o ) ⇔ 2 60 30 360 90 360 2 60 ( 30 ) 360 10 120 o o o o o o o o o o x x k x k x x k x k   − = + + = + ⇔   − = − + + = +     Vậy phương trình có nghiệm x = 90 o + k360 o , x = 10 o + k120 o . e) Ta có : sin4x = cos3x ⇔ sin4x = sin 2 14 7 3 2 2 2 k x x x k  π π = +    π − ⇔   ÷ π    = + π   f) cos 2 x = sin 2 (3x – 15 o ) ⇔ 1 os2 1 os(6 30 ) os(6 30 ) os2 os(180 ) 2 2 o o o c x c x c x c x c x + − − = ⇔ − = − = − ⇔ 105 45 4 150 90 4 o o o o x k x k  = +   −  = +   Ôn tập Đại số và giải tích 11 Gv; Phan Công Trứ - Trường THPT Thanh Bình 2 – Đồng Tháp g) tan(2x + 3) + cot(x – 1) = 0 ⇔ tan(2x + 3) = −cot(x − 1) = cot(1 − x) = tan 1 2 x   π + −  ÷   ⇔ x = 4 2 k π − + π h) sin2x + 5 .cosx = 0 ⇔ 2sinx.cosx + 5 .cosx = 0 ⇔ cosx(2sinx + 5 ) = 0 ⇔ cosx = 0 hoặc 2sinx + 5 = 0(VN) ⇔ cosx = 0 ⇔ x = π/2 + kπ. Dạng 2 : Giải phương trình lượng giác cơ bản thỏa mãn điều kiện cho trước. Bài 2: Giải các phương trình sau với điều kiện đã chỉ ra : a) 2sin2x = 1 với 0 < x < 2π. b) cos3x = 3 2 − với −π < x < π. Giải a) Ta có : 2sin2x = 1 ⇔ sin2x = ½ = sin 6 π ⇔ 12 5 12 x k x k  π = + π   π  = + π   (k∈Z) Xét : x = 12 k π + π . Vì 0 < x < 2π nên 0 < 12 k π + π < 2π ⇔ 1 23 0 2 12 12 12 12 k k π π − < π < π − ⇔ − < < Do k ∈Z suy ra k = 0, k = 1. ( chú ý ta có thể xét thêm họ nghiệm còn lại). Vậy ta được các nghiệm thỏa đề bài là : x = 12 π , x = 12 5π , x = 12 13π , x = 12 17π . b) Ta có : cos3x = 3 2 − = − 5 os os os 6 6 6 c c c   π π π = π − =  ÷   ⇔ x = ± 5 2 18 3 k π π + (k∈Z) Ôn tập Đại số và giải tích 11 . phương trình lượng giác cơ bản thỏa mãn i u kiện cho trước. B i 2: Gi i các phương trình sau v i i u kiện đã chỉ ra : a) 2sin2x = 1 v i 0 < x < 2π Gi i phương trình lượng giác cơ bản Phương pháp : Áp dụng công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản. B i 1: Gi i các phương trình sau : a) sinx