dãy số viết theo qui luật

an 1 Bằng cách nào đó ta biết đợc kết quả dự đoán , hoặc bài toán chứng minh khi đã cho biết kết quả.. Thì ta nên sử dụng phơng pháp này và hầu nh thế nào cũng chứng minh đợc.

Dãy Số Viết theo quy luật

B i toán 1 à : Tính các tổng sau

1 A = 1 + 2 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 + 28 + 29 + 210

2 B = 1 + 3 + 32 + 33 + 34 + + 3100

Giải :

1 2A = 2 + 22 + 23 + + 210 + 211 Khi đó : 2A – A = 211 – 1

2 3B = 3 + 32 + 33 + + 3100 + 3101 Khi đó : 3B – B = 2B = 3101 – 1

Vậy B =

Ta nghĩ tới bài toán tổng quát là :

Tính tổng S = 1 + a + a 2 + a 3 + + a n , a ∈ Z + , a > 1 và n ∈ Z +

Nhân 2 vế của S với a ta có aS = a + a 2 + a 3 + a 4 + + a n + a n+1 Rồi trừ cho S ta đợc :

aS – S = ( a – 1)S = a n+1 – 1 Vậy : 1 + a + a 2 + a 3 + + a n =

Từ đó ta có công thức : a n+1 – 1 = ( a – 1)( 1 + a + a 2 + a 3 + + a n )

B i tập áp dụng à : Tớnh cỏc tổng sau:

a A

b B

c) Chứng minh rằng : 1414 – 1 chia hết cho 3

d) Chứng minh rằng : 20092009 – 1 chia hết cho 2008

Bài toán 2 : Tính các tổng sau

1) A = 1 + 32 + 34 + 36 + 38 + + 3100

2) B = 7 + 73 + 75 + 77 + 79 + + 799

Giải :

1) A = 1 + 32 + 34 + 36 + 38 + + 3100 Vấn đề đặt ra là nhân hai vế của A với số nào để khi trừ cho A thì một loạt các lũy thừa bị triệt tiêu ?.Ta thấy các số mũ liền nhau cách nhau 2

đơn vị nên ta nhân hai vế với 32 , rồi trừ cho A ta đợc :

32A = 32 + 34 + 36 + 38 + + 3100 + 3102

A = 1 + 32 + 34 + 36 + 38 + + 3100

32A – A = 3102 – 1 Hay A( 32 – 1) = 3102 – 1 Vậy A = ( 3102 – 1): 8

Từ kết quả này suy ra 3102 chia hết cho 8

2 ) Tơng tự nh trên ta nhân hai vế của B với 72 rồi trừ cho B , ta đợc :

72B = 73 + 75 + 77 + 79 + + 799 + 7101

B = 7 + 73 + 75 + 77 + 79 + + 799

72B – B = 7101 – 7 , hay B( 72 – 1) = 7101 – 7 Vậy B = ( 7101 – 7) : 48 Tơng tự nh trên ta cũng suy ra 7101 – 7 chia hết cho 48 ; 7100- 1 chia hết cho 48

Trong một số trờng hợp khi gặp bài toán tính tổng hữu hạn Sn = a1 + a2 + an (1)

Bằng cách nào đó ta biết đợc kết quả (dự đoán , hoặc bài toán chứng minh khi đã cho biết kết quả) Thì ta nên sử dụng phơng pháp này và hầu nh thế nào cũng chứng minh đợc

Ví dụ 1 : Tính tổng Sn =1+3+5 + + (2n -1 )

Thử trực tiếp ta thấy : S1 = 1

S2 = 1 + 3 =22

S3 = 1+ 3+ 5 = 9 = 32

Ta dự đoán Sn = n2

Với n = 1;2;3 ta thấy kết quả đúng

giả sử với n= k ( k ≥ 1) ta có Sk = k 2 (2)

ta cần phải chứng minh Sk + 1 = ( k +1 ) 2 ( 3)

Thật vậy cộng 2 vế của ( 2) với 2k +1 ta có

1+3+5 + + (2k – 1) + ( 2k +1) = k2 + (2k +1)

vì k2 + ( 2k +1) = ( k +1) 2 nên ta có (3) tức là Sk+1 = ( k +1) 2

theo nguyên lý quy nạp bài toán đợc chứng minh

vậy Sn = 1+3=5 + + ( 2n -1) = n2

Tơng tự ta có thể chứng minh các kết quả sau đây bằng phơng pháp quy nạp toán học

1, 1 + 2+3 + + n =

2

) 1 (n+

n

2, 12 + 2 2 + + n 2 =

6

) 1 2 )(

1 (n+ n+

n

3, 13+23 + + n3 = 2

2

) 1 (







n n+

4, 15 + 25 + + n5 = 121 n2 (n + 1) 2 ( 2n2 + 2n – 1 )

Bài tập có HD

Bài1- Tớnh A = 1.2+2.3+3.4+ +99.100

HD: 3A = 1.2.3+2.3(4-1)+3.4.(5-2)+ +99.100.(101-98)

3A = 1.2.3+2.3.4-1.2.3+3.4.5-2.3.4+ +99.100.101-98.99.100

3A = 99.100.101

Bài 2- Tớnh A = 1.3+2.4+3.5+ +99.101

A = 1(2+1)+2(3+1)+3(4+1)+ +99(100+1)

A = 1.2+1+2.3+2+3.4+3+ +99.100+99

A = (1.2+2.3+3.4+ +99.100)+(1+2+3+ +99)

Bài 3- Tớnh A = 1.4+2.5+3.6+ +99.102

HD: A = 1(2+2)+2(3+2)+3(4+2)+ +99(100+2)

A = 1.2+1.2+2.3+2.2+3.4+3.2+ +99.100+99.2

A = (1.2+2.3+3.4+ +99.100)+2(1+2+3+ +99)

Bài 4 Tớnh:

A = 1.2.3+2.3.4+3.4.5+ +98.99.100

HD: 4A = 1.2.3.4+2.3.4(5-1)+3.4.5.(6-2)+ +98.99.100.(101-97)

4A = 1.2.3.4+2.3.4.5-1.2.3.4+3.4.5.6-2.3.4.5+ +98.99.100.101-97.98.99.100

4A = 98.99.100.101

Bài 5- Tớnh A = 12+22+32+ +992+1002

HD: A = 1+2(1+1)+3(2+1)+ +99(98+1)+100(99+1)

A = 1+1.2+2+2.3+3+ +98.99+99+99.100+100

A = (1.2+2.3+3.4+ +99.100)+(1+2+3+ +99+100)

Bài 6- Tớnh A = 22+42+62+ +982+1002

HD: A = 22(12+22+32+ +492+502)

Bài 7- Tớnh A = 12+32+52+ +972+992

HD: A = (12+22+32+ +992+1002)-(22+42+62+ +982+1002)

A = (12+22+32+ +992+1002)-22(12+22+32+ +492+502)

Bài 8- Tớnh A = 12-22+32-42+ +992-1002

A = (12+22+32+ +992+1002)-2(22+42+62+ +982+1002)

Bài 9- Tớnh A = 1.22+2.32+3.42+ +98.992

HD: A = 1.2(3-1)+2.3(4-1)+3.4(5-1)+ +98.99(100-1)

A = 1.2.3-1.2+2.3.4-2.3+3.4.5-3.4+ +98.99.100-98.99

A = (1.2.3+2.3.4+3.4.5+ +98.99.100)-(1.2+2.3+3.4+ +98.99) Bài 10 - Tớnh A = 1.2.3+2.3.4+3.4.5+ +98.99.100

Bài 11-Tớnh:A = 12+22+32+ +992+1002

Bài 12-Tớnh :A = 22+42+62+ +982+1002

Bài 13-Tớnh A = 12+32+52+ +972+992

Bài 14-Tớnh A = 12-22+32-42+ +992-1002

Bài 15-Tớnh:A = 1.22+2.32+3.42+ +98.992

II Ph ơng pháp khử liên tiếp :

Giả sử ta cần tính tổng (1) mà ta có thể biểu diễn ai , i = 1,2,3 ,n , qua hiệu hai số hạng liên tiếp của 1 dãy số khác , chính xác hơn , giả sử : a1 = b1 - b2

a2 = b2 - b3

an = bn – bn+ 1 khi đó ta có ngay :

Sn = ( b1 – b2 ) + ( b2 – b3 ) + + ( bn – bn + 1 )

= b1 – bn + 1

Ví dụ 2 : tính tổng :

S =

100 99

1

13 12

1 12 11

1 11

.

10

1

+ + +

+

Ta có :

11

1 10

1 11

.

10

1

−

= ,

12

1 11

1 12 11

1

−

= ,

100

1 99

1 100 99

1

−

=

Do đó :

S =

100

9 100

1 10

1 100

1 99

1

12

1 11

1 11

1

10

1

=

−

=

− + +

− +

−

• Dạng tổng quát

Sn = ( 1 1)

3 2

1 2 1

1

+ + + +

n

n ( n > 1 ) = 1- 11= +1

n n

Ví dụ 3 : tính tổng Sn = ( 11)( 2)

5 4 3

1 4 3 2

1 3 2 1

1

+ + + + +

+

n n n







 − +











 −

) 2 )(

1 (

1 )

1 (

1 2

1

4 3

1 3 2

1 2

1 3 2

1 2 1

1 2

1

n n n

n

Sn =  − + − + + + −( + 1 )( + 2 ) 

1 )

1 (

1

4 3

1 3 2

1 3 2

1 2 1

1 2

1

n n n

n

Sn = 21 11.2 ( 1)(1 2) =4( +(1)(+3)+2)









+ +

−

n n

n n n

n

Ví dụ 4 : tính tổng Sn = 1! +2.2 ! + 3.3 ! + + n n! ( n! = 1.2.3 n )

Ta có : 1! = 2! -1!

2.2! = 3 ! -2!

3.3! = 4! -3!

n.n! = (n + 1) –n!

Vậy Sn = 2! - 1! +3! – 2 ! + 4! - 3! + + ( n+1) ! – n!

= ( n+1) ! - 1! = ( n+ 1) ! - 1

Ví dụ 5 : tính tổng Sn = 2 2 [ ( 1 )]2

1 2

) 3 2 (

5 )

2 1 (

3

+

+ +

+ +

n n n

Ta có : [ ] ( 1 ) ;

1 1

) 1 (

1 2

2 2

2 = − + +

+

i i i

i

i

i = 1 ; 2 ; 3; ; n

Do đó Sn = ( 1- + + − + 







1 1

3

1 2

1 ) 2

1

n n

= 1- 2 ( 1 ) 2

) 2 ( ) 1 (

1

+

+

=

n n n

III Ph ơng pháp giải ph ơng trình với ẩn là tổng cần tính:

Ví dụ 6 : Tính tổng S = 1+2+22 + + 2100 ( 4)

ta viết lại S nh sau :

S = 1+2 (1+2+22 + + 299 )

S = 1+2 ( 1 +2+22+ + 299 + 2 100 - 2100 )

=> S= 1+2 ( S -2 100 ) ( 5)

Từ (5) suy ra S = 1+ 2S -2101

 S = 2101-1

Ví dụ 7 : tính tổng Sn = 1+ p + p 2 + p3 + + pn ( p≠ 1)

Ta viết lại Sn dới dạng sau :

Sn = 1+p ( 1+p+p2 + + pn-1 )

Sn = 1 + p ( 1+p +p2 + + p n-1 + p n –p n )

 Sn = 1+p ( Sn –pn )

 Sn = 1 +p.Sn –p n+1

 Sn ( p -1 ) = pn+1 -1

 Sn = P p n+1−−11

Ví dụ 8 : Tính tổng Sn = 1+ 2p +3p 2 + + ( n+1 ) pn , ( p ≠1)

Ta có : p.Sn = p + 2p 2 + 3p3 + + ( n+ 1) p n +1

= 2p –p +3p 2 –p2 + 4p3–p3 + + (n+1) pn - pn + (n+1)pn –pn + ( n+1) pn+1

= ( 2p + 3p2 +4p3 + +(n+1) pn ) – ( p +p + p + pn ) + ( n+1) pn+1

= ( 1+ 2p+ 3p2+4p3+ + ( n+1) pn ) – ( 1 + p+ p2 + + p n) + ( n +1 ) pn+1

p.Sn=Sn- 1 ( 1 ) 1

1

+

+ +

−

n

P n P

Lại có (p-1)Sn = (n+1)pn+1 -

1

1

1

−

−

+

P

p n

1 1

) 1 (

1 1

) 1 (

−

−

−

−

P

p p

P

IV Ph ơng pháp tính qua các tổng đã biết

n i

a = + + + +

∑

=

3 2 1 1

• Các tính chất :

= = =

+

= +

n

i

n i

n i i i i

a

) (

2, ∑ ∑

=

=

i i n

i

i a a a

a

1 1

.

Ví dụ 9 : Tính tổng :Sn= 1.2 + 2.3 + 3.4 + + n( n+1)

=

= =

=

+

= +

=

i

n i

n i

n i

i i

i i i

i

1

2 2

1

) ( ) 1 (

Vì :

6

) 1 2 )(

1 (

2

) 1 (

3 2 1

1

2

1

+ +

=

+

= + + + +

=

∑

∑

=

=

n n

n i

n n n i

n

i

n

i

(Theo I )

cho nên : Sn =

3

) 2 )(

1 ( 6

) 1 2 )(

1 ( 2

) 1 (n+ +n n+ n+ =n n+ n+

n

Ví dụ 10 : Tính tổng :Sn =1.2+2.5+3.8+ +n(3n-1)

ta có : Sn = ∑ ∑

−

=

−

n i

n i

i i i

i

3 ( ) 1 3

==

=

− n

i

n i

i i

1 1

2

3

2

) 1 ( 6

) 1 2 )(

1 (

+

=

+

− +

n n

Ví dụ 11 Tính tổng Sn = 13+ +23 +53 + + (2n +1 )3

ta có : Sn = [( 13 +2 3 +33 +43 + +(2n+1)3 ] –[23+43 +63 + +(2n)3]

= [13+23 +33 +43 + + (2n +1 )3] -8 (13 +23 +33 +43 + + n3 )

Sn =

4

) 1 ( 8 4

) 2 2 ( ) 1 2

( n+ 2 n+ 2 − n2 n+ 2 ( theo (I) – 3 )

=( n+1) 2(2n+1) 2 – 2n2 (n+1)2 = (n +1 )2 (2n2 +4n +1)

V/ Vận dụng trực tiếp công thức tính tổng các số hạng của dãy số cách đều (Học sinh lớp 6 )

• Cơ sở lý thuyết :

+ để đếm số hạng của 1 dãy số mà 2 số hạng liên tiếp của dãy cách nhau cùng 1 số đơn vị , ta dùng công thức:

Số số hạng = ( số cuối – số đầu ) : ( khoảng cách ) + 1

+ Để tính tổng các số hạng của một dãy số mà 2 số hạng liên tiếp cách nhau cùng 1 số đơn vị ,

ta dùng công thức:Tổng = ( số đầu – số cuối ) ( số số hạng ) : 2

Ví dụ 12 : Tính tổng A = 19 +20 +21 + + 132

Số số hạng của A là : ( 132 – 19 ) : 1 +1 = 114 ( số hạng )

A = 114 ( 132 +19 ) : 2 = 8607

Ví dụ 13 : Tính tổng B = 1 +5 +9 + + 2005 +2009

số số hạng của B là ( 2009 – 1 ) : 4 + 1 = 503

B = ( 2009 +1 ) 503 :2 = 505515

VI / Vân dụng 1 số công thức chứng minh đợc vào làm toán

Ví dụ 14 : Chứng minh rằng : k ( k+1) (k+20 -9k-1)k(k+1) = 3k ( k +1 )

Từ đó tính tổng S = 1 2+2.3 + 3.4 + + n (n + 1)

Chứng minh : cách 1 : VT = k(k+1)(k+2) –(k-1) k(k+1)

= k( k+1) [(k + 2 ) − (k− 1 )] = k (k+1) 3 = 3k(k+1)

Cách 2 : Ta có k ( k +1) = k(k+1)

3

) 1 ( ) 2 (k+ − k −

=

3

) 1 )(

1 ( 3

) 2 )(

1 (k+ k+ −k k + k−

k

*

 3k ( k-1) = k (k+1)(k+2) – (k-1) k(k+1)

=> 1.2 = 1.2.3 0.1.2

2.3.4 1.2.3

2.3

n n

Ví dụ 15 : Chứng minh rằng : k (k+1) (k+2) (k+3) – (k-1) k(k+1) (k+2) =4k (k+1) (k+2)

từ đó tính tổng S = 1.2 3 + 2.3 4 +3.4.5 + + n(n+1) (n+2)

Chứng minh : VT = k( k+1) (k+2) [(k+ 3 ) − (k− 1 )]

= k( k+1) ( k +2 ) 4 Rút ra : k(k+1) (k+2) =

4

) 2 )(

1 ( ) 1 ( 4

) 3 )(

2 )(

1 (k + k + k+ − k− k k+ k+

k

áp dụng : 1.2.3 = 1.24.3.4 −0.14.2.3

2.3.4 = 2.34.4.5 −1.24.3.4

n(n+1) (n+2) = n(n+1)(n4+2)(n+3)−(n−1)n(n4+1)(n+2) Cộng vế với vế ta đợc S =

4

) 3 n )(

2 n )(

1 n (

* Bài tập đề nghị :

Tính các tổng sau 1, B = 2+ 6 +10 + 14 + + 202

2,

a, A = 1+2 +22 +23 + + 26.2 + 2 6 3

b, S = 5 + 52 + 53 + + 5 99 + 5100

c, C = 7 + 10 + 13 + + 76

3, D = 49 +64 + 81+ + 169

4, S = 1.4 + 2 5 + 3.6 + 4.7 + + n( n +3 ) , n = 1,2,3 ,

5, S =

100 99

1

4 3

1 3 2

1 2

.

1

1

+ +

+ +

6, S =

61 59

4

9 7

4 7

.

5

4

+ + +

7, A =

66 61

5

26 21

5 21 16

5 16

.

11

5

+ + +

+

8, M = 0 1 2 3 2005

1

3

1 3

1 3

1

+ + + +

9, Sn = ( 11)( 2)

4 3 2

1 3

.

2

.

1

1

+ + + + +

n n n

10, Sn = 98.992.100

4 3 2

2 3

2

.

1

11, Sn = ( 1)( 1 2)( 3)

5 4 3 2

1 4

3

2

.

1

1

+ +

+ + + +

n n

n n

12, M = 9 + 99 + 999 + + 99 9

50 chữ số 9

13, Cho: S1 = 1+2 S3 = 6+7+8+9

S2 = 3+4+5 S4 = 10 +11 +12 +13 + 14 Tính S100 =?

Trong quá trình bồi dỡng học sinh giỏi , tôi đã kết hợp các dạng toán có liên quan đến dạng tính tổng để rèn luyện cho các em , chẳng hạn dạng toán tìm x :

14, a, (x+1) + (x+2) + (x+3) + + ( x+100 ) = 5070

b, 1 + 2 + 3 + 4 + + x = 820

c, 1 + 119891991

) 1 (

2

10

1 6

1 3

1

= + + + + +

x x

Hay các bài toán chứng minh sự chia hết liên quan

15, Chứng minh : a, A = 4+ 22 +23 +24 + + 220 là luỹ thừa của 2

b, B =2 + 22 + 2 3 + + 2 60  3 ; 7; 15

c, C = 3 + 33 +35 + + 31991  13 ; 41

d, D = 119 + 118 +117 + + 11 +1  5

phân số viết theo quy luật

Dãy 1: Sử dụng công thức tổng quát

Chứng minh

n a a n a a

a n

a a

n a n

a a

a n a n a a

n

+

−

= +

− +

+

= +

− +

= +

1 1 ) (

) (

) (

) ( ) (

Bài 1: Tính

a)

2009 2006

3

14 11

3 11 8

3 8

.

5

3

+ + +

+

=

406 402

1

18 14

1 14 10

1 10 6

1

+ + +

+

=

B

c)

507 502

10

22 17

10 17 12

10 12

.

7

=

258 253

4

23 18

4 18 13

4 13 8

=

D

Bài 1: Tính:

a)

509 252

1

19 7

1 7 9

1 9

.

2

=

405 802

1

17 26

1 13 18

1 9 10

=

B

13 9

3 10 7

2 9 5

3 7

.

4

2

− +

+

− +

−

=

C

Bài 1: Tìm số tự nhiên x, thoả mãn:

21

1 15

1 10

1

b)

45

29 45 41

4

17 13

4 13 9

4 9

.

5

4

x

c) (2 1)(12 3) 1593

9 7

1 7

.

5

1

5

.

3

+ +

+ + +

+

x x



← +

−

=

1 a

1 n) a.(a n

Bài 4: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n khác 0 ta đều có:

a) (3 1)(13 2) 6 4

11 8

1 8 5

1 5

.

2

1

+

= +

− + + + +

n

n n

n

b) (4 1)(54 3) 45 3

15 11

5 11 7

5 7

.

3

5

+

= +

− + + +

+

n

n n

n

Bài 5: Chứng minh rằng với mọi n∈N;n≥ 2 ta có:

15

1 ) 4 5 )(

1 5 (

3

24 19

3 19 14

3 14 9

+

− + + +

+

n n

Bài 6: Cho 3994.403

23 19

4 19 15

4

+ + +

=

A

chứng minh:

80

16 81

16 < A<

25 18

2

; 18 11

2

; 11 4 2

a) Tìm số hạng tổng quát của dãy

b) Gọi S là tổng của 100 số hạng đầu tiên của dãy Tính S

9

1

4

1 3

1 2

1

+ + + +

=

9

8 5

2

<

< A

2007

2

7

2 5

2 3

2

+ + + +

=

2008

1003

<

A

2006

1

8

1 6

1 4

1 + + + +

=

2007

334

<

B

409

1

9

1 5

1

+ + +

=

12

1

<

S

9

17

9 11

9 5

9

+ + + +

=

201

202 200

49

48 25

24 9

8

+ + + +

=

Bài14: Cho

1764

1766

25

27 16

18 9

=

21

20 40 43

20

40 <A<

Bài15: Cho

100 98

99

6 4

5 5 3

4 4 2

3 3 1

+ + + + +

=

Bài 16: Cho

2500

2499

16

15 9

8 4

=

4 3 2 1

1 3

2 1

1

+ + + + + + + + +

+ + +

=

3

2

<

M

Bµi18: Cho

100 99

101 98

5 4

6 3 4 3

5 2 3 2

4

=

• Më réng víi tÝch nhiÒu thõa sè:

) 2 )(

(

1 )

(

1 ) 2 )(

(

2

n a n a n a a n a n a a

n

+ +

− +

= + +

Chøng minh:

) 2 )( (

1 )

(

1 )

2 )(

( ) 2 )(

(

2 )

2 )(

(

) 2 ( ) 2 )(

(

2

n a n a n a a n a n a a

a n

a n a a

n a n

a n a a

a n a n

a

n

a

a

n

+ +

− +

= + +

− + +

+

= + +

− +

= + +

) 3 )(

2 )(

(

1 )

2 )(

(

1 )

3 )(

2 )(

(

3

n a n a n a n a n a a n a n a n a a

n

+ +

+

− + +

= + +

+

Bµi 19: TÝnh

39 38 37

2

4 3 2

2 3 2 1

2

+ + +

=

S

Bµi 20: Cho

20 19 18

1

4 3 2

1 3 2 1

=

4

1

<

A

Bµi 21: Cho

29 27 25

36

7 5 3

36 5 3 1

36

+ + +

=

Bµi 22: Cho

308 305 302

5

14 11 8

5 11

8 5

=

48

1

<

C

Bµi 23: Chøng minh víi mäi n ∈N; n > 1 ta cã:

4

1 1

4

1 3

1 2

1

3 3

3

=

n A

Bµi 24: TÝnh

30 29 28 27

1

5 4 3 2

1 4

3 2 1

=

M

Bµi 25: TÝnh

100 99

1

6 5

1 4 3

1 2 1

1

52

1 51 1

+ + + +

+ + +

=

P

) 1 2 )(

1 2 (

) 1 )(

1 (

9 7

5 3 7 5

4 2 5 3

3 1

+ + +

−

+

− + + + +

=

n n

n n Q

Bµi 27: TÝnh:

2007 2005

2006

5 3

4 4 2

3 3 1

+ + + +

=

R

Bµi 28: Cho

1 2005

2

1 2005

2

1 2005

2 1

2005

2 1 2005

2

2005

2006 2

1 2

3 2

2

+ +

+ + +

+ +

+ +

+ +

n S

So s¸nh S víi 10021

HD

1 k

m 2 1 k

m 1 k

m 1 k

m 2 )

1 k )(

1 k (

m mk m mk 1 k

m 1

k

m

2

2 − ⇒ + = − − −

= +

−

+

− +

= +

−

−

¸p dông vµo bµi to¸n víi m ∈ {2; 2 , …., 2 }

v k à ∈ { 2005, 2005 , …2005 2 2006} ta cã:

1 2005

2 1

2005

2 1

2005

2

2

2

−

−

−

= +

1 2005

2 1

2005

2 1 2005

2

2 2

3 2

2 2

2

−

−

−

= +

D·y 2: D·y luü thõa 







n a

1

víi n tù nhiªn.

Bµi 1: TÝnh : 2 3 2 100

1

2

1 2

1 2

1

+ + + +

=

A

2

1 2

1

2

1 2

1 2

1 2

1

− + +

− +

−

=

B

2

1

2

1 2

1 2

1

+ + + +

=

C

2

1

2

1 2

1 2

1 2

1

− +

− +

−

=

D

3

1 3

27

26 9

8 3

2+ + + + −

2

1

−

>n A

3

1 3

27

28 9

10 3

=

4

5

4

5 4

5 4

5

+ + + +

=

C Chøng minh: C <35

10 9

19

4 3

7 3

2

5 2

1

3

+ + +

+

=

Bµi 9: Cho 2 3 3 100

100

3

3 3

2 3

1

+ + + +

=

4

3

<

E

n F

3

1 3

3

10 3

7 3

4

3 2

+ + + + +

= víi n ∈N* Chøng minh:

4

11

<

F