Chuyên đề : dãy các số nguyên phân số viết theo quy luật ôn thi HSG- Toán THCS –1... a Tìm số hạng tổng quát của dãy.b Gọi A là tích của 11 số hạng đầu tiên của dãy.
Trang 1Chuyên đề : dãy các số nguyên phân số viết theo quy luật ôn thi HSG- Toán THCS –
(1). Dãy 1 : Sử dụng công thức tổng quát
n a
1 a
1 n) a.(a
n
+
−
= +
Chứng minh
-n a a n a a
a n
a a
n a n
a a
a n a n a a
n
+
−
= +
− +
+
= +
− +
= +
1 1 ) (
) (
) (
) ( ) (
∗Bài 1.1 : Tính
a)
2009 2006
3
14 11
3 11 8
3 8
.
5
3
+ + +
+
=
406 402
1
18 14
1 14 10
1 10 6
1
+ + +
+
=
B
c)
507 502
10
22 17
10 17 12
10 12
.
7
=
258 253
4
23 18
4 18 13
4 13 8
=
D
∗ Bài 1.2: Tính:
a)
509 252
1
19 7
1 7 9
1 9
.
2
=
405 802
1
17 26
1 13 18
1 9 10
=
B
c)
405 401
3 304
301
2
13 9
3 10 7
2 9 5
3 7
.
4
2
− +
+
− +
−
=
C
∗ Bài 1.3: Tìm số tự nhiên x, thoả mãn:
a)
8
5 120
1
21
1 15
1 10
1
45
29 45 41
4
17 13
4 13 9
4 9 5
4 7
= +
+ +
+ +
x
c) (2 1)(12 3) 1593
9 7
1 7
.
5
1
5
.
3
+ +
+ + +
+
x x
∗ Bài 1.4: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n khác 0 ta đều có:
a) (3 1)(13 2) 6 4
11 8
1 8 5
1 5
.
2
1
+
= +
− + + +
+
n
n n
n
b) (4 1)(54 3) 45 3
15 11
5 11 7
5 7
.
3
5
+
= +
− + + +
+
n
n n
n
∗ Bài 1.5: Chứng minh rằng với mọi n∈N;n≥ 2 ta có:
15
1 ) 4 5 )(
1 5 (
3
24 19
3 19 14
3 14 9
3
<
+
− + + +
+
n n
∗ Bài 1.6: Cho
403 399
4
23 19
4 19 15
4
+ + +
=
80
16 81
16
<
<A
∗ Bài 1.7: Cho dãy số : ;
25 18
2
; 18 11
2
; 11 4 2
a) Tìm số hạng tổng quát của dãy
b) Gọi S là tổng của 100 số hạng đầu tiên của dãy Tính S
∗ Bài 1.8: Cho 12 12 12 1 2
A= + + + + Chứng minh 3
4
A<
HD: Ta có : 12 1 ; 12 1 ; ; 12 1
3 < 2.3 4 <3.4 100 <99.100
A
⇒ = + + + + < 12 1 1 1 1 (1 1 1 1 1 1 )
2 +2.3 3.4+ + +99.100= +4 2 3 3 4− + − + +99 100−
4 2 100 100 100 4
= + − = < =
∗ Bài 1.9: Cho 2 2 2 2
9
1
4
1 3
1 2
1
+ + + +
=
9
8 5
2
<
< A
Trang 2∗ Bµi 1.10: Cho 12 12 12 12( , 2)
n
= + + + + ∈ ≥ Chøng minh A<1
∗ Bµi 1.11: Cho 2 2 2 2
2007
2
7
2 5
2 3
=
2008
1003
<
A
∗ Bµi 1.12: Cho 2 2 2 2
2006
1
8
1 6
1 4
1
+ + + +
=
2007
334
<
B
∗ Bµi 1.13: Cho 2 2 2
409
1
9
1 5
1
+ + +
=
12
1
<
S
∗ Bµi 1.14: Cho 2 2 2 2
305
9
17
9 11
9 5
9
+ + + +
=
4
3
<
A
201
202 200
49
48 25
24 9
8
+ + + +
=
∗ Bµi 1.16: Cho
1764
1766
25
27 16
18 9
11
+ + + +
=
21
20 40 43
20
40 <A<
∗ Bµi 1.17: Cho
100 98
99
6 4
5 5 3
4 4 2
3 3 1
+ + + + +
=
∗ Bµi 1.18: Cho
2500
2499
16
15 9
8 4
3 + + + +
=
HD: C = (1 - 1
4) + (1 -
1
9) + (1 -
1
16) + + (1 - …
1
2500 ) = 49 – ( 2 2 2 2
2 +3 +4 + +50 ) > 48
∗ Bµi 1.19: Cho
59
3 2 1
1
4 3 2 1
1 3
2 1
1
+ + + + + + + + +
+ + +
=
3
2
<
M
∗ Bµi1.20: Cho
100 99
101 98
5 4
6 3 4 3
5 2 3 2
4 1
+ + + +
=
∗ Bµi1.21: Chøng minh 2 2 2 2
n
= + + + + < ∈ ≥
HD: 12 12 12 1 2 1 12 ( 2 12 12 12) 1.1 1
P
= + + + + = + + + + < =
∗ Bµi1.22: Cho 12 12 12 12
Q= + + + + Chøng minh r»ng: 1 1
6< <Q 4
HD: ¸p dông ph¬ng ph¸p lµm tréi.
Ta cã :
Më réng víi tÝch nhiÒu thõa sè:
) 2 )(
(
1 )
(
1 )
2 )(
(
2
n a n a n a a n a n a a
n
+ +
− +
= + +
Chøng minh:
) 2 )(
(
1 )
(
1 )
2 )(
( ) 2 )(
(
2 )
2 )(
(
) 2 ( ) 2 )(
(
2
n a n a n a a n a n a a
a n
a n a a
n a n
a n a a
a n a n
a
n
a
a
n
+ +
− +
= + +
− + +
+
= + +
− +
= +
+
) 3 )(
2 )(
(
1 )
2 )(
(
1 )
3 )(
2 )(
(
3
n a n a n a n a n a a n a n a n a a
n
+ +
+
− + +
= + +
+
∗ Bµi 1.23: TÝnh
39 38 37
2
4 3 2
2 3 2 1
=
S
∗ Bµi 1.24: Cho
20 19 18
1
4 3 2
1 3 2 1
=
4
1
<
A
Trang 3Chuyên đề : dãy các số nguyên phân số viết theo quy luật ôn thi HSG- Toán THCS –
HD:
1.2.3 2.3.4 18.19.20 2 1.2.3 2.3.4 18.19.20
2 1.2 2.3 2.3 3.4 18.19 19.20 2 2 19.20 2 380 760 756 4
∗ Bài 1.25: Cho
29 27 25
36
7 5 3
36 5
3 1
=
∗ Bài 1.26: Cho
308 305 302
5
14 11 8
5 11
8 5
5
+ + +
=
48
1
<
C
∗ Bài 1.27: Chứng minh với mọi n ∈N; n > 1 ta có:
4
1 1
4
1 3
1 2
1
3 3
3
3 + + + + <
=
n A
∗ Bài 1.28: Tính
30 29 28 27
1
5 4 3 2
1 4
3 2 1
=
M
∗ Bài 1.29: Tính
100 99
1
6 5
1 4 3
1 2 1
1
52
1 51 1
+ + + +
+ +
+
=
P
Bài 1.30: Tính:
2007 2005
1004 1002
) 1 2 )(
1 2 (
) 1 )(
1 (
9 7
5 3 7 5
4 2 5 3
3 1
+ + +
−
+
− + + + +
=
n n
n n Q
Bài 1 31: Tính:
2007 2005
2006
5 3
4 4 2
3 3 1
+ + + +
=
R
Bài 1.32: Cho
1 2005
2
1 2005
2
1 2005
2 1
2005
2 1 2005
2
2005
2006 2
1 2
3 2
2
+ +
+ + +
+ +
+ +
+ +
n
S
So sánh S với
1002 1
Hướng dẫn:
1 k
m 2 1 k
m 1 k
m 1 k
m 2 )
1 k )(
1 k (
m mk m mk 1 k
m 1
k
m
2
2 − ⇒ + = − − −
= +
−
+
− +
= +
−
−
Áp dụng vào bài toỏn với m ∈ {2; 2 , …., 2 } và k ∈ { 2005, 2005 , …2005 22006} ta cú:
1 2005
2 1
2005
2 1
2005
2
2
2
−
−
−
= +
1 2005
2 1
2005
2 1 2005
2
2
2
3 2
2 2
2
−
−
−
= +
………
(2) Dãy 2 : Dãy luỹ thừa
n
a
1
với n tự nhiên.
Bài 2.1: Tính : 2 3 100
2
1
2
1 2
1 2
1
+ + + +
=
A
Bài 2.2: Tính: 2 3 4 99 100
2
1 2
1
2
1 2
1 2
1 2
1
− + +
− +
−
=
B
Bài 2.3: Tính: 3 5 99
2
1
2
1 2
1 2
1 + + + +
=
C
Bài 2.4: Tính: 4 7 10 58
2
1
2
1 2
1 2
1 2
1
− +
− +
−
=
D
3
1 3
27
26 9
8 3
2
1
−
>n A
Trang 4Bài 2.6: Cho 9898
3
1 3
27
28 9
10 3
=
4
5
4
5 4
5 4
5
+ + + +
=
3
5
<
C
Bài 2.8: Cho 2 2 2 2 2 2 2 2
10 9
19
4 3
7 3
2
5 2
1
3
+ + +
+
=
Bài 2.9: Cho 2 3 100
3
100
3
3 3
2 3
1
+ + + +
=
4
3
<
E
3
1 3
3
10 3
7 3
4
3 2
+ + + + +
= với n ∈N* Chứng minh:
4
11
<
F
3
302
3
11 3
8 3
=
2
1 3 9
5
2 <G<
3
601
3
19 3
13 3
7
+ + + +
=
9
7
3 <H <
3
605
3
23 3
17 3
11
+ + + +
=
3
904
3
22 3
13 3
4
+ + + +
=
4
17
<
K
3
403
3
15 3
11 3
7
+ + + +
=
L Chứng minh: L < 4,5
(3 ) Dãy 3 : Dãy dạng tích các phân số viết theo quy luật:
Bài 3.1: Tính:
2500
2499
25
24 16
15 9
8
=
35
1 1 , 24
1 1 , 15
1 1 , 8
1 1 , 3
1 1
a) Tìm số hạng tổng quát của dãy
b) Tính tích của 98 số hạng đầu tiên của dãy
−
−
−
−
−
=
780
1 1
15
1 1 10
1 1 6
1 1 3
1 1
Bài 3.4: Cho
200
199
6
5 4
3 2
1
=
201
1
2 <
C
HD: Ta có
200
199
6
5 4
3 2
1
=
2 4 6 .200
3 5 7 201
C
⇒ < (2)
Nhân (1) và (2) theo từng vế ta đợc:
2 1 3 5 199 2 4 6 200 1.(3.5.7 199).(2.4.6 200) 1 ( ).( )
2 4 6 200 3 5 7 201 (2.4.6 200).(3.5.7 199).201 201
Bài 3.5: Cho
100
99
6
5 4
3 2
1
=
10
1 15
1
<
<D
+
+
+
99
1
1 4
1 1 3
1 1 2
1
E
−
−
−
100
1
1 4
1 1 3
1 1 2
1
Bài 3.8: Tính: 2 2 2 2
30
899
4
15 3
8 2
3
=
Trang 5Chuyên đề : dãy các số nguyên phân số viết theo quy luật ôn thi HSG- Toán THCS –
Bài 3.9: Tính:
64
31 62
30
10
4 8
3 6
2 4
1
=
Bài 3.10: Tính: 101.10001.100000001 100 0001
/ 1 2
s c
n
I
−
=
−
−
100
1
1 4
1 1 3
1 1 2
1
2 2
2 2
2
1
−
−
−
−
−
=
20
1 1
4
1 1 3
1 1 2
1 1
21 1
−
−
−
−
=
100
1 1
16
1 1 9
1 1 4
1 1
19 11
Bài 3.14: Tính:
51 49
50
5 3
4 4 2
3 3 1
=
N
−
−
−
−
=
7
10 1
7
3 1 7
2 1 7
1 1
−
−
−
−
=
2007
2 1
7
2 1 5
2 1 3
2 1
Q
−
−
−
−
=
99
1 2
1
7
1 2
1 5
1 2
1 3
1 2
1
T
Bài 3.18: So sánh:
40
23 22 21
39
7 5 3 1
=
1 2
1
20 −
=
V
+
+
+
+
=
101 99
1 1
5 3
1 1 4 2
1 1 3 1
1 1
Bài 3.20: Cho
199
200
5
6 3
4 1
2
=
S Chứng minh: 201 <S2 < 400
Bài 3.21: Cho
210
208
12
10 9
7 6
4 3
1
=
25
1
<
A
Bài 3.22: Tính:
101 100
100
4 3
3 3 2
2 2 1
=
B
Bài 3.23: Tính:
+
+
+
+
+
+
+
+
=
1999
1000 1
3
1000 1
2
1000 1
1
1000 1
1000
1999 1
3
1999 1
2
1999 1
1
1999 1
C
Bài 3.24: Tính: − −
−
−
−
) 1 2 (
1 1
25
4 1 9
4 1 1
4 1
n
+ + + +
−
+ +
−
+
−
=
n
E
3 2 1
1 1
3 2 1
1 1 2 1
1 1
và
n
n
F = +2
với n ∈N* Tính
F E
+
+
+
+
+
2
1 1
256
1 1 16
1 1 4
1 1 2
1 1
2
1
=
H
Tính: G + H
n n
2 2
2
2 ) 1 2 )(
1 2 (
65536
2 257 255 256
2 17 15 16
2 5 3 4
2 3
Chứng minh:
3
4
<
I
3
1 1
; 3
1 1
; 3
1 1
; 3
1 1
; 3 1
Trang 6a) Tìm số hạng tổng quát của dãy.
b) Gọi A là tích của 11 số hạng đầu tiên của dãy Chứng minh
A
2 3
1
− là số tự nhiên.
c) Tìm chữ số tận cùng của
A
B
2 3
3
−
=
n n
A
2
2 2 4 2
6
2 3
6
97 6
13 6
6
1
− +
= n
B với n ∈N a) Chứng minh :
B
A
M = là số tự nhiên b) Tìm n để M là số nguyên tố
n
A
2
2 4
2
3
1 6
3
1297 3
37 3
=
+
+
+
+
+
3
1 1
3
1 1 3
1 1 3
1 1 3
1
a) Chứng minh : 5A – 2B là số tự nhiên
b) Chứng minh với mọi số tự nhiên n khác 0 thì 5A – 2B chia hết cho 45
n n
A
2
2 2 4 2
3
2 3
3
97 3
13 3
= ( với n ∈N ) Chứng minh: A < 3
(4) Tính hợp lí các biểu thức có nội dung phức tạp:
Bài 4.1: Tính: 1 (1 2) (1 2 3) (1 2 3 98)
1.98+2.97+3.96+ +97.2+98.1
A= + + + + + + + + + + +
Xét tổng: 1 (1 2) (1 2 3) (1 2 3 98)+ + + + + + + + + + + ( gồm có 98 tổng)
Ta thấy : số 1 có mặt ở 98 tổng ; số 2 có mặt ở 97 tổng ; số 3 có mặt ở 96 tổng ; ; số 97 có mặt ở 2 tổng…
; số 98 có mặt ở 1 tổng Do đó 1 (1 2) (1 2 3) (1 2 3 98)+ + + + + + + + + + +
= 1.98+2.97+3.96+ +97.2+98.1…
ĐS: A = 1
Bài 4.2: Tính:
99 98
4 3 3 2 2 1
1 98
96 3 97 2 98 1
+ + + +
+ + + +
=
B
HD: Theo bài 4.1, ta có 1.98+2.97+3.96+ +97.2+98.1…
= 1 (1 2) (1 2 3) (1 2 3 98)+ + + + + + + + + + +
áp dụng công thức tính tổng các số tự nhiên liên tiếp ta đợc:
1 (1 2) (1 2 3) (1 2 3 98)+ + + + + + + + + + + = 1.2 2.3 3.4 98.99 1(1.2 2.3 3.4 98.99)
99 98
4 3 3
.
2
2
.
1
1 98
96 3 97
.
2
98
.
1
+ + + +
+ + + +
=
1 (1.2 2.3 3.4 98.99) 2
1.2 2.3 3.4 98.99
+ + + + + + + +
= 1 2
Bài 4.3: Tính:
400 299
1
104 3
1 103 2
1 102 1
1
302 3
1 301 2
1 300 1 1
+ + +
+
+ + +
+
=
C
Bài 4.4: Tính:
100
99
4
3 3
2 2 1
100
1
3
1 2
1 1 100
+ + + +
−
=
D
HD: Ta có : 100 1 1 1 1
− + + + + ữ
1
2) + (1 -
1
3) + + (1 - …
1
100) =
1
2+
2
3+ + …
99 100
ĐS: D = 1
Trang 7Chuyên đề : dãy các số nguyên phân số viết theo quy luật ôn thi HSG- Toán THCS –
Bài 4.5: Tính:
100 99
1
6 5
1 4 3
1 2 1
1
53
1 52
1 51 1
+ + + +
+ + + +
=
E
HD: Ta chứng minh cho : 1 1 1 1
1.2 3.4 5.6+ + + +99.100= 1 1 1 1 1 1 1 1
1 2 3 4 5 6− + − + − + +99 100−
= 1 1 1 1
51 52 53+ + + +100
ĐS: E = 1
Bài 4.6: Tính
121
16 11
16 16
121
15 11
15 15 : 27
8 9
8 3
8 8
27
5 9
5 3
5 5
+
−
+
−
− +
−
− +
−
=
F
Bài 4.7: Tính
25
2 32 , 0
4
1 1 5
1 1 : 2 , 1 56
43 4 : 4
1 2 7
3 5
2
1 2 : 5
1 15
2 3
+
−
=
Bài 4.8: Tính
=
+ + + +
HD:Ta có:
2 = 100 99 98 97+ + + + +2 Vậy H = 100
Bài 4.9: Tính
2941
5 41
5 29
5 5
2941
4 41
4 29
4 4 : 1943
3 43
3 19
3 3
1943
2 43
2 19
2 2
− +
−
− +
−
− +
−
− +
−
=
6)
Bài 4.10: Tính
91
7 169
7 13
7 7
91
3 169
3 13
3 3 : 85
4 289
4 7
4 4
85
12 289
12 7
12 12
+ + +
+ + +
−
−
−
−
−
−
=
Bài 4.11: Tính
20 15 16 12 12 9 8 6 4 3
10 5 8 4 6 3 4 2 2 1
+ +
+ +
+ + + +
=
L
HD: 1.2 2.4 3.6 4.8 5.10 1.2(1 4 9 16 25) 1
3.4 6.8 9.12 12.16 15.20 3.4(1 4 9 16 25) 6
Bài 4.12: Tính
5
2 : 5 , 0 6 , 0 17
2 2 4
1 2 9
5 5
7
4 : 25
2 08 , 1 25
1 64 , 0
25 , 1 5
3 1 : 6 , 1
+
+
−
=
3 4 4+ + =3)
Trang 8Bài 4.13: Tính
43
11 8 : 1517
38 6 1591
94 11 5
1
=
N
HD: N = 41(5 94 38 ) :355 41(5 94 38 ) :355
5 +1591 1517− 43 = 5 +37.43 37.41− 43
= 41(5 94.41 38.43 43) 41(5 2220 ) 43 41(5 60 ) 43
5 37.41.43 355 5 37.41.43 355 5 41.43 355
−
= 41 8875 43 8875 5
5 41.43 335 5.355= =
=
37 13 11 7 3
4 222222
5 111111
5 10101
P
111111 2.111111 111111 222222 22
Bài 4.15: Tính
1 99
1 3 97
1
95 5
1 97 3
1 99 1
1
7
1 5
1 3
1 1
+ +
+ +
+
+ + + + +
=
Q
HD: Ta có :1 1 1 1 1
+ + + + + = (1 + 1
99) + (
1
3 +
1
97) +(
1
5 +
1
95) + +.(…
1
49 +
1
51) = 100
1.99+ 100
3.97+ 100
5.95+…+ 100
49.51 = 100.( 1 1 1 1
1.99 3.97 5.95+ + + +49.51) = 50 ( 1 1 1 1 1
1.99 3.97 5.95+ + + +97.3 99.1+ ) Vậy Q = 50
Bài 4.16: Tính
1
199 2
198
197
3 198
2 199
1
4
1 3
1 2 1
+ + + + +
+ + + +
=
R
HD:Ta có:
Làm tựơng tự nh bài 4.8 Ta có đáp số R = 1
200
Bài 4.17:
=
HD: Đặt V = x:y
Ta có x = 100(Theo bài 4.8)
Trang 9Chuyên đề : dãy các số nguyên phân số viết theo quy luật ôn thi HSG- Toán THCS –
Vậy V = 100 5
40 = 2
∗ Bài 4.18: Cho: 34 51 85 68
7.13 13.22 22.37 37.49
7.16 16.31 31.43 43.49
Tính tỷ số A
B
HD:
Ta có : 34 51 85 68 34 6 51 9 85 15 68 12
7.13 13.22 22.37 37.49 6 7.13 9 13.22 15 22.37 12 37.49
6 7 13 9 13 22 15 22 37 12 37 49
17 1 17 1 17 1 17 1 17 1 17 1 17 1 17 1
3 7 3 13 3 13 3 22 3 22 3 37 3 37 3 49
17 1 17 1 17 1 1
3 7 3 49 3 7 49
7.16 16.31 31.43 43.49 9 7.16 15 16.31 12 31.43 6 43.49
= 39 1.( 1) 26 1.( 1 ) 13 1( 1 )
-Hết -Hãy ghé thăm tôi nếu có thể http://violet.vn/sonhienhoa1981